2022年人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊期末綜合測試題

本冊綜合測試題

考試時間120分鐘，滿分150分.

一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，

只有一項是符合題目要求的）

1.直線/過點（一3,0）,且與直線y=2x—3垂直，則直線/的方程為（B）

A.y=—2（x—3）B.y=-］（x+3）

C.y=^（x-3）D.y=/（x+3）

［解析］因為直線y=2x—3的斜率為2,所以直線/的斜率為一g又直線/過點（一3,0）,

故所求直線的方程為y=—；（x+3）.

2-雙曲線旖內(nèi)一寸5=1的焦距是（B）

A.2陋B.8

C.4D.4小

［解析］依題意知，a2=m2+12,b2=4—m2,

所以帝=3^=4.所以焦距2c=8.

3.圓/+J2—2x—1=0關(guān)于直線2x—y+3=0對稱的圓的方程是（C）

A.（x+3）2+U—2）2=3B.Q—3>+（J+2）2

C.（尤+3）2+。-2）2=2D.3）2+。+2）2=2

［解析］圓的方程/+y2—2苫—i=o可變形為（x—i）2+y2=2,可得圓心（1,0）,半徑為6，

關(guān)于直線2x—y+3=0對稱的圓半徑不變，排除A,B；兩圓圓心連線段的中點在直線2x—y

+3=0上，C中圓（x+3>+（y—2產(chǎn)=2的圓心為（一3,2）,驗證適合，故選C.

4.拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：過焦點的光線經(jīng)拋物線反射后平行于拋物線的對稱軸；反之,

平行于拋物線對稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦點.已知拋物線丁=4x的焦

點、為F,一條平行于x軸的光線從點M（3,l）射出，經(jīng)過拋物線上的點A反射后，再經(jīng)拋物線

上的另一點8射出，則直線的斜率為（A）

44

A.-3B-3

-4c16

C.±2D.~g~

［解析］將y=l代入戶4x,得x=［,即A&1）,由拋物線的光學(xué)性質(zhì)可知，直線A8

1—04

經(jīng)過焦點網(wǎng)1,0),所以直線的斜率為^—=一個

--1

41

故選A.

5.過兩圓/+>2+6犬+4伊=0及f+y2+4x+2y—4=0的交點的直線的方程是(A)

A.尤+y+2=0B.尤+y—2—0

C.5x+3y—2=0D.不存在

［x2+y2+6x+4y—0

［解析〕由，「，，「

［x2+y2+4x+2y~4=0

得x+y+2=0,

故選A.

6.已知平面內(nèi)兩定點A(—5,0),2(5,0),動點M滿足陽4|一|八何=6,則點M的軌跡方

程是(D)

y2y2

A.而一守=1B.妄一§=1。24)

C.看一汽=1D.j-^=l(x^3)

［解析］由題意知,軌跡應(yīng)為以4(—5,0),2(5,0)為焦點的雙曲線的右支.由c=5,a=3,

知〃=16,因此M點的軌跡方程為］■一六=l(xN3).

故選D.

7.直三棱柱ABC—A15G中，ZBC4=90°,M,N分別是小田，4G的中點，BC=CA

=CG，則與AN所成角的余弦值為(C)

A-WB.|

C且D正

J10u-2

［解析］建立如圖所示的空間直角坐標系Cxyz,設(shè)8C=2,則8(0,2,0),A(2,0,0),M(l,

1,2),Ml,0,2),所以施=(1,-1,2),A7V=(-1,0,2),故與AN所成角(9的余弦值cos0

贏菰3刷

10

\BM\-\AN\#*小

8.(2021.全國乙卷)設(shè)2是橢圓C：^十方=1(“泌>0)的上頂點，若C上的任意一點尸都

滿足IPBIW26,則C的離心率的取值范圍是(C)

A?愕,1)B.1)

C.(0,當D.(0,1

22

［解析］設(shè)尸(如州),由3(0,b),因為我+患=1,-=廬+。2,所以I尸5|2=焉+。0—6)2

=a2^l—^+(yo—b)2=—^2(yo+^)2+^2+a2+b2,因為一Z?Wy()W。，當一b,即。22c2

時，I尸編"4〃，即|Pgx=2b,符合題意，由心02可得2c2,即。＜后半；當

—b,即廬＜，時，|尸3標ax=『+4+爐，即？+層+廬忘4廬，化簡得，(，一反)240,顯然該不

等式不成立.故選C.

二、多項選擇題(本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，

有多個選項是符合題目要求的，全部選對的得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得。分)

9.關(guān)于空間直角坐標系。爐中的一點P(l,2,3),下列說法正確的是(AD)

A.OP的中點坐標為&1,今

B.點尸關(guān)于無軸對稱的點的坐標為(一1,-2,-3)

C.點尸關(guān)于坐標原點對稱的點的坐標為(1,2,-3)

D.點P關(guān)于尤0y平面對稱的點的坐標為(1,2,-3)

［解析］A顯然正確；點尸關(guān)于x軸對稱的點的坐標為(1,-2,-3),故B錯；點P關(guān)

于坐標原點對稱的點的坐標為(一1,-2,-3),故C錯；D顯然正確.

10.如圖，在正方體A8C￡)—A/iCiDi中，下列各式運算的結(jié)果為元1的有(BCD)

A.AB+BC+CDB.AAi+B^Ci+D^Ci

C.AB-C^C+B^CiD.AAi+DC+B^Ci

[解析]^+BC+CD=AD^ACl,故A錯誤；A4i+B7Ci+Z)ICi=A4i+A7bi+￡hCi=

ACi,故B正確；iB-GC+B7Ci=AB+CCi+B]Ci=AB+Bfii+B7Ci=ACi,故C正確；AA\

+5C+B7CI=AAI+A]BI+B7CI=ACI,故D正確.故選BCD.

11.已知a6W0,。為坐標原點，點P(a,6)是圓/+;/=戶外一點，過點尸作直線/J_

OP,直線加的方程是〃x+Z?y=於，則下列結(jié)論正確的是(AD)

A.m//1B.m.Ll

C.m與圓相離D.相與圓相交

［解析］直線。尸的斜率為'直線/的斜率為一與直線/的方程為分+力=/+/，

又P(a,6)在圓外，二片+反〉產(chǎn)，故m〃I,圓心(0,0)到直線辦+-=〃的距離d=、2+7

<7=1從故根與圓相交.

12.如圖所示，在棱長為1的正方體ABCD-AiBiCbDi中，尸為線段42上的動點(不含

端點)，則下列結(jié)論正確的是(ACD)

A.平面。i4P_L平面4AP

B.Q?方"不是定值

C.三棱錐3—APC的體積為定值

D.DCilDiP

［解析］在正方體ABC。一AiBGA中，顯然平面4AP,又A4U平面。小小,

所以平面ZMiP_L平面AiAP,所以A正確；APDCi=(A4i+A>)-Z)Ci=AAlDCl+A^PDCi=

|A4i||j5Ci|cos45°+|/G,||Z5CI|COS90°=1X^X坐=1,故淳.虎尸1,故B錯誤；易知丫&

-DiPC=VP—BiDiC,△BQiC的面積是定值，42〃平面點尸在線段A/上動點，

所以點尸到平面囪￡>iC的距離是定值，所以VBi—￡>iPC=VP—B1GC是定值，故C正確；

因為Z>G_LAi￡)i,DCi±AiB,AQiAA—所以。G_L平面A01P,0PU平面小口尸,

所以。Ci_LZ)iP,故D正確.故選ACD.

三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)

13.已知/i,b是分別經(jīng)過點41,1)，2(0,—1)的兩條平行直線，則當3/2間的距離最

大時，直線乙的方程是x+2y—3=0.

［解析］當直線AB與/1,/2均垂直時，/1,，2間的距離最大.：4(1,1),2(0,-1),

,—1—1.1

??kAB=0］~=2,..kli=一"2,

?，?直線/i的方程為廠1=一如-1),

即x+2y—3—0.

14.若圓C的半徑為1,其圓心與點(1,0)關(guān)于直線>=無對稱，則圓C的標準方程為記

+(y—1)2=1..

［解析］由題意知圓C的圓心為(0,1),半徑為1,

所以圓c的標準方程為f+u—1)2=1.

15.(2021?新高考I卷)已知O為坐標原點，拋物線C：9=2/3>0)的焦點為凡P為C

上一點，尸尸與尤軸垂直，。為x軸上一點，且尸QLOP,若下Q=6,則C的準線方程為，

_3

［解析］不妨設(shè)造，P)所以Q(6+$0),而=(6,—p),因為PQLOP,所以叁6—

3

02=0因為p>0所以p=3所以C的準線方程為X=一7

16.如圖，已知正方體ABCD-AiBiCB棱長為4,點X在棱AAi上，且=在側(cè)

面8CC1S內(nèi)作邊長為1的正方形EFGG，P是側(cè)面8CG以內(nèi)一動點，且點尸至！|平面CDDrCi

的距離等于線段尸尸的長，則當點尸運動時，HP的范圍是122,號.

［解析］根據(jù)題意，以。為原點，DA,DC,所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立

空間直角坐標系如圖所示.

作HALLBBi交于點M,連接則

作PN工CCi交CG于N,則PN即為點P到平面CDDiCi的距離.

設(shè)P(x,4,z),則網(wǎng)1,4,3),M(4,4,3),N(0,4,z),0WxW4,0WzW4,

因為點P到平面COD1C1的距離等于線段PF的長，所以PN=PF,

由兩點間距離公式可得I(x—iy+(z—3)2,

化簡得2x—l=(z—3產(chǎn)，則2120,解不等式可得x斗

綜上可得

則在RtAWP中HP2=HM2+MP2=42+(X-4)2+(Z-3)2=42+(X-4)2+2X-1=(X-3)2

+22(吳啟4),

「

所以反尸6［22,—1131.

四、解答題(本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)

17.(本小題滿分10分)已知圓心為(1,1)的圓C經(jīng)過點”(1,2).

(1)求圓C的方程；

(2)若直線x+y+根=0與圓C交于A,2兩點,且△ABC是直角三角形，求實數(shù)九

［解析］(1)由已知，圓的半徑

r=|CM=^/(1-1)2+(2-1)2=1,

所以圓C的方程為(x—l)2+(y—1)2=1.

⑵由題意可知，|CA|=|CB|=1,且NAC2=90。，所以圓心C到直線x+y+加=0的距離

為羋，即解得加=-1或機=一3.

18.(本小題滿分12分)已知雙曲線的中心在原點，焦點Fi，&在坐標軸上，離心率為也,

且過點(4,-V10).

⑴求雙曲線的方程；

(2)若點M(3,m)在雙曲線上，求證：加1?加2=0.

［解析］(1)由雙曲線的離心率為陋，可知雙曲線為等軸雙曲線，設(shè)雙曲線的方程為

y2=A(/#0),又雙曲線過點(4,—\/10),代入解得4=6,故雙曲線的方程為X?—y2=6.

(2)由雙曲線的方程為％2—丁=6,可得a=b=玳，c=2小,所以尸1(一2審，0),尸2(2小，

0).由點M(3,m),得加1=(一24一3,一%)，加2=(2小一3,一機)，又點M(3,他)在雙

曲線上，所以9~7層=6,解得m2=3,所以=—3=0.

19.(本小題滿分12分)如圖所示，點P是矩形A8CZ)所在平面外一點，且抬，平面ABC。,

PM

M,N分別是PC,P。上的點，且標=3,N為PO的中點.

(1)求滿足血=尤贏+丫成+亦的實數(shù)x,y,z的值;

(2)若E4=A5=1,AD=2,求MN的長.

［解析］⑴取PC的中點E,連接NE,則疝=由一前=/歷一(前一兩=￡。一

—~7PC=-^AB—^—AP+AB+AD)=—^AB-7AD+-TAP,所以x=—T,

1

-

y--4Z

(2)因為B4=A8=1,AD=2,且B4_LA3,ABLAD,B4_LA。，

而|而2=］一1■施一%5+；可2

=(-弼2+(-：劃2+6硝2

9_,4_,_LZ

一=而十而十五一=土

所以|詬V|=#&故MN的長為勺歌.

20.體小題滿分12分)已知心0,n>Q,過P(如力的直線/與x軸交于A點，與y軸交

于8點，記/與坐標軸圍成的三角形AO3的面積為S

(1)若點尸的坐標為(2,4),且麗=2而，求直線/的方程;

(2)若點A,2都在正半軸上，求S的最小值.

［解析］(1)由題意可設(shè)A(a,0),B(0,b),因為P(2,4),

所以麗=(。-2,-4),而=(-2,b-4),

?―2=-4,a=-2

因為該=2麗，所以解得，

-4=2(Z?-4),b=2,

故所求直線方程為士+^=1,即無一y+2=0.

(2)因為點A,8都在正半軸上，由(1)可得。>0,6>0,

設(shè)直線/的方程為升力=1，將尸⑺，力代入得7+￡=1，

mn

又m>0,n>0,所lU~>0,^>0,

因此1號+圻§Pab^mn,

所以直線/與坐標軸圍成的三角形A08的面積SAAOB=^ab22nm.

即S的最小值為2m〃,當且僅當夕=￡=如取得最小值.

21.(本小題滿分12分X2021?全國甲卷)已知直三棱柱ABC—481G中，側(cè)面44山山為

正方形，AB=BC=2,E,尸分別為AC和CG的中點，。為棱小氏上的點，BFXAiBi，

D

A,I

C,

c

⑴證明：BF±DE.

(2)當SO為何值時，面88cle與平面。尸E所成的二面角的正弦值最??？

［解析】因為三棱柱ABC—4SG是直三棱柱，

所以8Bi_L底面ABC,所以

因為AiBi〃AB,BFLAiBi,所以8人LAB,

又BBGBF=B,所以A3_L平面BCCiS.

所以BA,BC,581兩兩垂直.

以8為坐標原點，分別以BA,BC,BE所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標系，如

圖.

所以8(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),5(0,0,2),4(2,0,2),Ci(0,2,2),E(l,l,0),F(0,2,l).

由題設(shè)。(a,0,2)(0WaW2).

(1)因為詬=(0,2,1),DE=(\~a,\,-2),

所以濟-m=0><(1—。)+2><1+1X(-2)=O,所以BFLDE.

(2)設(shè)平面。EE的法向量為m=(尤，y,z),

因為濟=(—1,1,1),DE={i-a,\,-2),

m-EF=01-x+y+z=0

所以<，即,.

m-DE=G1(1—g+y—2z=°

令z=2—a,則m=(3,l+a,2—a),

因為平面BCCiBi的法向量為或=(2,0,0),

設(shè)平面BCCiBi與平面DEF的二面角的平面角為6,

貝”cos0\=------=-----1=-j^=.

加卜|茂|2*弋2〃2—2〃+14勺2/—2。+14