山西省忻州市忻府區(qū)2023-2024學(xué)年八年級(jí)下學(xué)期中數(shù)學(xué)試題【含答案解析】

2023-2024學(xué)年度第二期期中學(xué)情調(diào)研八年級(jí)數(shù)學(xué)（人教版）注意事項(xiàng)：1．本試卷共4頁，滿分120分，考試時(shí)間120分鐘．2．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在本試卷相應(yīng)的位置上．.3．答卷全部在答題卡上完成，答在本試卷上無效．4．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．第Ⅰ卷選擇題（共30分）一、選擇題（本大題共10個(gè)小題，每小題3分，共30分）在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是最符合題目要求的，請(qǐng)將正確選項(xiàng)的字母標(biāo)號(hào)在答題卡相應(yīng)位置涂黑．1.要使分式有意義，則x的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】此題主要考查了二次根式有意義和分式有意義的條件，分式有意義，分母不為0；二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)．根據(jù)二次根式有意義和分式有意義的條件可得，再解不等式即可．【詳解】由題意得：，解得：，故選：D．2.的三條邊長分別為a、b、c，三個(gè)內(nèi)角分別為、、，則滿足下列條件的是直角三角形的是（）．A. B.，，C.，， D.，，【答案】C【解析】【分析】本題主要考查了勾股定理逆定理和三角形內(nèi)角和定理，如果三角形的三邊長a，b，c滿足，那么這個(gè)三角形就是直角三角形，據(jù)此先求出兩小邊的平方和，再求出最長邊的平方，最后看看是否相等即可．【詳解】解：A、∵，，∴∴不是直角三角形，故此選項(xiàng)不符合題意；B、∵，∴三邊長為，，，不可以組成直角三角形，故此選項(xiàng)不符合題意；C、∵，∴三邊長為，，，可以組成直角三角形，故此選項(xiàng)符合題意；D、∵，∴三邊長為，，，不可以組成直角三角形，故此選項(xiàng)不符合題意；故選：C．3.下列各式運(yùn)算正確的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本題主要考查了二次根式的性質(zhì)、二次根式的加減運(yùn)算、二次根式的乘法運(yùn)算等知識(shí)點(diǎn)，正確化簡二次根式是解題的關(guān)鍵．利用二次根式的性質(zhì)、立方根的性質(zhì)、二次根式的運(yùn)算法則逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：A.，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；B.，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；C.，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；D.，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意．故選D．4.如圖，在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，，點(diǎn)E、點(diǎn)G分別是OC、AB的中點(diǎn)，連接BE、GE，若，則的度數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題主要考查了平行四邊形性質(zhì)、等腰三角形的三線合一、直角三角形斜邊上的中線等知識(shí)點(diǎn)，熟悉這些知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵，由平行四邊形的性質(zhì)和已知條件可以得到是等腰三角形，再根據(jù)三線合一得到，最后根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到，進(jìn)而得到．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形；∴，；∵；∴；∴；∴是等腰三角形；∵點(diǎn)E是OC的中點(diǎn)；∴；∴是直角三角形；∵點(diǎn)G是AB的中點(diǎn)；∴，；∴；∴；∵；∴；故選：D．5.如圖，在數(shù)軸上點(diǎn)A，B所表示的數(shù)分別為-1，1，CB⊥AB，BC=1，以點(diǎn)A為圓心，AC長為半徑畫弧，交數(shù)軸于點(diǎn)D（點(diǎn)D在點(diǎn)B的右側(cè)），則點(diǎn)D所表示的數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，利用勾股定理可以求得AC的長，從而可以求得AD的長，進(jìn)而可以得到點(diǎn)D表示的數(shù)．【詳解】解：由題意可得，

AB=2，BC=1，AB⊥BC，

∴AC=，∴AD=，∴點(diǎn)D表示數(shù)為：-1，故選B.【點(diǎn)睛】本題考查實(shí)數(shù)與數(shù)軸和勾股定理，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．6.如圖，在矩形中，，對(duì)角線與相交于點(diǎn)O，垂直平分于點(diǎn)E，則的長為（）A. B. C.4 D.2【答案】B【解析】【分析】此題考查了矩形的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)以及勾股定理，由矩形的性質(zhì)和線段垂直平分線的性質(zhì)證出，得出，由勾股定理求出即可．【詳解】解：∵四邊形是矩形，∴，，，∴，∵垂直平分，∴，∵，∴，∴，故選：B．7.已知，則的值為（）A. B. C.12 D.18【答案】B【解析】【分析】本題主要考查二次根式有意義的條件，掌握被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)非負(fù)性求出的值即可得到答案．【詳解】解：由題意得：，解得，，，，故選B．8.如圖所示，在正方形中，O是對(duì)角線的交點(diǎn)，過O作，分別交于E、F，若，則的長為（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】C【解析】【分析】先利用證明，故得，進(jìn)而得出，在中利用勾股定理即可解得的長．本題主要考查了正方形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時(shí)，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件．【詳解】解：四邊形是正方形，，，，又，，，∴，，又，，∴中，．故選：C．9.勾股定理是人類數(shù)學(xué)文化的一顆璀璨明珠，是用代數(shù)思想解決幾何問題最重要的工具，也是數(shù)形結(jié)合的紐帶之一．如圖，踏板離地的垂直高度，將它往前推至C處時(shí)（即水平距離），踏板離地的垂直高度，它的繩索始終拉直，則繩索的長是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查勾股定理的實(shí)際應(yīng)用，設(shè)的長為，則，故．在直角中利用勾股定理即可求解，找到直角三角形，利用勾股定理是解決問題的關(guān)鍵．【詳解】由題意可知，，∴．設(shè)的長為，則，所以．在直角中，，即，解得：．故選：B．10.如圖，在菱形中，，，是邊上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)分別作于點(diǎn)，于點(diǎn)，連接，則的最小值為（）A B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)和判定，勾股定理，垂線段最短，連接，由菱形的性質(zhì)得，，，利用勾股定理可以求得的長為，又因?yàn)?，，可證四邊形為矩形，根據(jù)矩形的對(duì)角線相等的性質(zhì)可得，當(dāng)時(shí)，最短，再利用面積法求出的長即可求解的最小值，熟練掌握矩形的性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：連接，∵四邊形是菱形，∴，，，∴，，又∵，，∴，∴四邊形為矩形，∴，當(dāng)時(shí)，值最小，此時(shí)，，∴，∴的最小值為，故選：．第Ⅱ卷非選擇題（共90分）二、填空題（本大題共5個(gè)小題，每小題3分，共15分）11.若，且，則的值是_________．【答案】1或5【解析】【分析】根據(jù)絕對(duì)值和算術(shù)平方根的定義得到，再由得到，據(jù)此代值計(jì)算即可．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，∴的值是1或5，故答案為：1或5．【點(diǎn)睛】本題主要考查了代數(shù)式求值，算術(shù)平方根，絕對(duì)值，正確求出是解題的關(guān)鍵．12.如圖，，，分別以各邊為直徑作半圓，圖中陰影部分在數(shù)學(xué)史上稱為“希波克拉底月牙”，當(dāng)，時(shí)，則陰影部分的面積為____．【答案】14【解析】【分析】本題考查了勾股定理和三角形的面積、圓的面積，能把不規(guī)則圖形的面積轉(zhuǎn)化成規(guī)則圖形的面積是解此題的關(guān)鍵．根據(jù)勾股定理求出，分別求出三個(gè)半圓的面積和的面積，即可得出答案．【詳解】解：在中，，，，由勾股定理得：，∴陰影部分的面積，故答案為：14．13.如圖，點(diǎn)A、B、C分別在邊長為1的正方形網(wǎng)格圖頂點(diǎn)，則______．【答案】45°【解析】【分析】利用勾股定理可求出AB2，AC2，BC2的長，進(jìn)而可得出AB2=AC2+BC2，AC=BC，利用勾股定理的逆定理可得出△ABC為等腰直角三角形，再利用等腰直角三角形的性質(zhì)，可得出∠ABC=45°．【詳解】解：連接AC，根據(jù)題意，可知：BC2=12+22=5，AC2=12+22=5，AB2=12+32=10．∴AB2=AC2+BC2，AC=BC，∴△ABC為等腰直角三角形，∴∠ABC=45°．故答案為：45°．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的逆定理、勾股定理以及等腰直角三角形的性質(zhì)，利用勾股定理的逆定理及AC=BC，找出△ABC為等腰直角三角形是解題的關(guān)鍵．14.如圖，直線經(jīng)過正方形的頂點(diǎn)，分別過該正方形的頂點(diǎn)、作于，于．若，，則的長為________．【答案】9【解析】【分析】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形兩銳角互余等知識(shí)，證明是解題關(guān)鍵．利用“”證明，由全等三角形的性質(zhì)可得，，然后由即可獲得答案．【詳解】解：∵四邊形為正方形，∴，，∵，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，，∴．故答案為：9．15.如圖，矩形中，，，是對(duì)角線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，分別從同時(shí)出發(fā)，相向而行，速度均為，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，若分別是的中點(diǎn)，且，當(dāng)為頂點(diǎn)的四邊形為矩形時(shí)，的值為_____．【答案】或【解析】【分析】如圖所示，連接，當(dāng)為頂點(diǎn)的四邊形為矩形時(shí)，則四邊形的對(duì)角線相等，結(jié)合分類討論即可求解．【詳解】解：如圖所示，連接，∵矩形中，，，分別是的中點(diǎn)，∴，∵是上的動(dòng)點(diǎn)，速度均為，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，∴，當(dāng)為頂點(diǎn)的四邊形為矩形時(shí)，則，∴①，解得，；②，解得，；綜上所述，當(dāng)為或時(shí)，為頂點(diǎn)的四邊形為矩形，故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題主要考查矩形的性質(zhì)，掌握矩形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．三、解答題（本大題共8個(gè)小題，共75分）解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．16.計(jì)算：（1）；（2）．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本題考查的是二次根式的混合運(yùn)算，掌握運(yùn)算順序是解本題的關(guān)鍵；（1）先化簡二次根式，再合并即可；（2）先計(jì)算二次根式的乘法運(yùn)算，再計(jì)算加減運(yùn)算即可．小問1詳解】解：原式；【小問2詳解】原式．17.如圖，在中，頂點(diǎn)A，B，C均在格點(diǎn)上，為格點(diǎn)三角形，方格紙中小正方形的邊長為1個(gè)單位長度．（1）建立平面直角坐標(biāo)系，使點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為．此時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為______；（2）判斷的形狀，并說明理由．【答案】（1）（2）是直角三角形，理由見解析【解析】【分析】本題考查的是建立平面直角坐標(biāo)系，勾股定理與勾股定理的逆定理的應(yīng)用，熟記勾股定理與勾股定理的逆定理的含義是解本題的關(guān)鍵；（1）先建立坐標(biāo)系，從而可得C的坐標(biāo)；（2）求出三角形各邊長，再根據(jù)勾股定理逆定理進(jìn)行判斷即可．【小問1詳解】解：如圖，建立坐標(biāo)系如下：∴；【小問2詳解】由勾股定理得，，∴∴是直角三角形，且．18.已知，．（1）求和ab的值；（2）求的值；（3）若a的小數(shù)部分是x，b的整數(shù)部分是y，求的值．【答案】（1），（2）16（3）【解析】【分析】本題考查的是二次根式的混合運(yùn)算，無理數(shù)的整數(shù)部分與小數(shù)部分的含義，掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵；（1）直接把，代入計(jì)算即可；（2）把變形為，再整體代入計(jì)算即可；（3）先判斷，，再代入計(jì)算即可．【小問1詳解】解：∵，，∴，；【小問2詳解】由（1）得：，，∴；【小問3詳解】∵a的小數(shù)部分是x，∴，∵b的整數(shù)部分是y，∴，∴．19.在中，，D是的中點(diǎn)，過點(diǎn)A作，且，連接．（1）證明：四邊形是菱形；（2）若，求菱形面積．【答案】（1）見解析（2）24【解析】【分析】本題主要考查直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、菱形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，掌握菱形的判定定理是解題的關(guān)鍵．（1）先證是四邊形是平行四邊形，再根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形即可證明結(jié)論；（2）由菱形的性質(zhì)得，再證，可證明,然后代入數(shù)據(jù)即可解答．【小問1詳解】證明：∵，D是的中點(diǎn)，，∴，∵，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，∴平行四邊形是菱形．【小問2詳解】解：∵平行四邊形是菱形，∴，∵D是的中點(diǎn)，∴，∴．20.“兒童散學(xué)歸來早，忙趁東風(fēng)放紙鳶”．又到了放風(fēng)箏的最佳時(shí)節(jié)．某校八年級(jí)（1）班的小明和小亮學(xué)習(xí)了“勾股定理”之后，為了測(cè)得風(fēng)箏的垂直高度，他們進(jìn)行了如下操作：①測(cè)得水平距離的長為15米；②根據(jù)手中剩余線的長度計(jì)算出風(fēng)等線的長為25米；③牽線放風(fēng)箏的小明的身高為米．（1）求風(fēng)箏的垂直高度；（2）如果小明想風(fēng)箏沿方向下降12米，則他應(yīng)該往回收線多少米？【答案】（1）風(fēng)箏的高度為米（2）他應(yīng)該往回收線8米【解析】【分析】本題主要考查了勾股定理的實(shí)際應(yīng)用：（1）利用勾股定理求出的長，再加上的長度，即可求出的高度；（2）由題意得，米，則米，再利用勾股定理求出的長即可得到答案．【小問1詳解】解：在中，由勾股定理得，，∴米或米（負(fù)值舍去），∴（米），答：風(fēng)箏的高度為米；【小問2詳解】解：由題意得，米，∴米，∴（米），∴（米），∴他應(yīng)該往回收線8米．21.材料閱讀：在二次根式的運(yùn)算中，經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)諸如，的計(jì)算，需要運(yùn)用分式的基本性質(zhì)，將分母轉(zhuǎn)化為有理數(shù)，這就是“分母有理化”，例如：；．類似地，將分子轉(zhuǎn)化為有理數(shù)，就稱為“分子有理化”，例如：；．根據(jù)上述知識(shí)，請(qǐng)你完成下列問題：（1）運(yùn)用分母有理化，化簡：；（2）運(yùn)用分子有理化，比較與的大小，并說明理由；（3）計(jì)算：的值．【答案】（1）2（2）（3）9【解析】【分析】（1）根據(jù)分母有理化是要求把原式化為再計(jì)算即可得到答案；（2）根據(jù)分子有理化的要求把原式變形為，再計(jì)算出結(jié)果，再比較大小即可；（3）依次把每一項(xiàng)分母有理化，再合并即可．【小問1詳解】解：【小問2詳解】由【小問3詳解】【點(diǎn)睛】本題考查的是分母有理化，分子有理數(shù)，理解題意，熟悉閱讀部分的運(yùn)算要求與運(yùn)算法則，再解決問題即可．22.綜合與實(shí)踐：【問題背景】：（1）三角形中位線定理：如圖①，在中，點(diǎn)D，E分別是邊，的中點(diǎn)．請(qǐng)直接寫出中位線和第三條邊的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系；【知識(shí)應(yīng)用】（2）如圖②，在四邊形中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊，的中點(diǎn)，若，，，，求的度數(shù)；【解決問題】（3）如圖③，在四邊形中，點(diǎn)M，N分別為邊，的中點(diǎn)，對(duì)角線與相交于點(diǎn)E，連接，分別交，于點(diǎn)F，G，．求證：．【答案】（1），；（2）；（3）證明見解析【解析】【分析】本題主要考查了三角形中位線定理，勾股定理的逆定理的應(yīng)用，等腰三角形的判定和性質(zhì)，掌握三角形的中位線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）、根據(jù)三角形中位線定理即可得到結(jié)論；（2）、連接，根據(jù)三角形中位線定理得到，，根據(jù)勾股定理的逆定理得到，計(jì)算即可；（3）、取的中點(diǎn)，連接、，則、分別是、的中