四川省大數(shù)據(jù)學(xué)考聯(lián)盟2024屆高三第一次質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)（理科）試題（含答案解析）

四川省大數(shù)據(jù)學(xué)考大聯(lián)盟高三第一次質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)（理科）本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、班級(jí)和準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無(wú)效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有-項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，從而得到其共軛復(fù)數(shù)，再根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義判斷即可.【詳解】因?yàn)?，所以，所以?fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第三象限.故選：C2.已知集合，則集合的子集有（）個(gè)A.3 B.4 C.7 D.8【答案】D【解析】【分析】先求解集合中元素的個(gè)數(shù)，再求解子集個(gè)數(shù)即可.【詳解】，故集合的子集有個(gè).故選：D3.有一組樣本數(shù)據(jù)，其樣本平均數(shù)為，現(xiàn)加入一個(gè)數(shù)據(jù)，組成新的一組樣本數(shù)據(jù)，與原數(shù)據(jù)相比，關(guān)于新的樣本數(shù)據(jù)下列說(shuō)法一定錯(cuò)誤的是（）A.平均數(shù)不變 B.中位數(shù)不變 C.眾數(shù)不變 D.極差不變【答案】A【解析】【分析】根據(jù)平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)與極差的定義和性質(zhì)判斷即可.【詳解】對(duì)A，因?yàn)榧尤胍粋€(gè)數(shù)據(jù)，故平均數(shù)一定變大，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，如樣本數(shù)據(jù)1，2，2，3，中位數(shù)為2，平均數(shù)為2，加入一個(gè)新數(shù)據(jù)3后，中位數(shù)仍為2，故中位數(shù)可能不變，故B正確；對(duì)C，眾數(shù)為數(shù)據(jù)中出現(xiàn)最多次的數(shù)據(jù)，故加入一個(gè)數(shù)據(jù)后，眾數(shù)可能不變，故C正確；對(duì)D，加入后整組數(shù)據(jù)最大最小值的差不一定改變，即極差可能不變，故D正確.故選：A4.若為第二象限角且，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出、，再由二倍角公式計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)闉榈诙笙藿乔?，所以，所以，所?故選：A5.若，滿足約束條件，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析】畫出可行域，再數(shù)形結(jié)合即可得解.【詳解】因?yàn)?，滿足約束條件，則可行域如下圖所示：由，解得，則，令，則，平移直線，可知當(dāng)直線在軸上的截距最小時(shí)，取得最小值，由圖可知當(dāng)過(guò)點(diǎn)直線在軸上的截距最小，則，即的最小值為.故選：C6.若二項(xiàng)式的展開(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為243，則展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)為（）A.40 B.60 C.80 D.160【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，令可得，再由二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)，即可得到結(jié)果.【詳解】令，可得，則，所以的展開(kāi)式的通項(xiàng)為，令，可得.所以展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)為40.故選：A7.將函數(shù)圖象上各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的，再向右平移個(gè)單位得到曲線．若曲線的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則函數(shù)的一條對(duì)稱軸可以為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的變換規(guī)則得到曲線的解析式，再根據(jù)奇偶性求出，最后根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.【詳解】將函數(shù)圖象上各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的得到，再將向右平移個(gè)單位得到，又曲線的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以，解得，又，所以當(dāng)時(shí)，所以函數(shù)即，令，，解得，，即函數(shù)的對(duì)稱軸為，，所以函數(shù)的一條對(duì)稱軸可以為.故選：B8.已知函數(shù)，，在同一平面直角坐標(biāo)系的圖象如圖所示，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)冪函數(shù)，指數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得的取值范圍，進(jìn)而根據(jù)指對(duì)數(shù)與三角函數(shù)的性質(zhì)判斷即可.【詳解】因?yàn)閳D象過(guò)，故由圖象可得，又圖象過(guò)，故由圖象可得，又圖象過(guò)，故由圖象可得.故，，，故.故選：B9.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)，直線交拋物線于，兩點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），則以下說(shuō)法正確的是（）A. B.存在實(shí)數(shù)，使得C.若，則 D.若直線與的傾斜角互補(bǔ)，則【答案】D【解析】【分析】根據(jù)拋物線和直線方程可知直線過(guò)拋物線焦點(diǎn)，利用焦半徑公式可知可判斷A錯(cuò)誤；聯(lián)立直線和拋物線方程利用向量數(shù)量積公式可知，恒成立，所以B錯(cuò)誤；根據(jù)可知，兩點(diǎn)縱坐標(biāo)關(guān)系，解得其交點(diǎn)坐標(biāo)代入直線方程可得，即C錯(cuò)誤；由直線與的傾斜角互補(bǔ)，可知，利用韋達(dá)定理聯(lián)立方程即可求出，即D正確.【詳解】由題意可知，拋物線焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，又直線恒過(guò)，如下圖所示：設(shè)，作垂直于準(zhǔn)線，垂足為，根據(jù)拋物線定義可知，，易知，所以，但當(dāng)時(shí)，此時(shí)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，直線與拋物線僅有一個(gè)交點(diǎn)，因此，所以，即A錯(cuò)誤；聯(lián)立直線和拋物線，消元、理得，由，所以，則，此時(shí)，所以，即，所以不存在實(shí)數(shù)，使得，故B錯(cuò)誤；若，由幾何關(guān)系可得，結(jié)合，可得或，即或，將點(diǎn)坐標(biāo)代入直線方程可得，所以C錯(cuò)誤；若直線與的傾斜角互補(bǔ)，則，即，整理得，代入，解得或，當(dāng)時(shí)，直線過(guò)點(diǎn)，與點(diǎn)重合，不符合題意，所以；即D正確.故選：D10.為了深化教育改革，堅(jiān)持“五育并舉”融合育人．某學(xué)校準(zhǔn)備組建書法、音樂(lè)、美術(shù)、體育4個(gè)不同的社團(tuán)．現(xiàn)將甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)分配到這4個(gè)社團(tuán)進(jìn)行培訓(xùn)，每名同學(xué)只能分配到1個(gè)社團(tuán)，每個(gè)社團(tuán)至少分配1名同學(xué)，且甲乙兩名同學(xué)不能在同一個(gè)社團(tuán)培訓(xùn)，則不同的分配方案共有（）A.192種 B.216種 C.240種 D.432種【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，先計(jì)算出所有的分配方案數(shù)，然后去掉甲乙兩名同學(xué)在同一個(gè)社團(tuán)的方案數(shù)，即可得到結(jié)果.【詳解】由題意可得，將5名同學(xué)分配到這4個(gè)社團(tuán)進(jìn)行培訓(xùn)每名同學(xué)只能分配到1個(gè)社團(tuán)，每個(gè)社團(tuán)至少分配1名同學(xué)，則不同的分配方案共有種，當(dāng)甲乙兩名同學(xué)在同一個(gè)社團(tuán)培訓(xùn)，則不同的分配方案有種，綜上可得，不同的分配方案共有種.故選：B11.已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，對(duì)任意的，都有成立，且當(dāng)時(shí)，，若在區(qū)間內(nèi)方程有5個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由題意可知函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱且周期為4，由此可畫出函數(shù)在區(qū)間上的圖象，若在區(qū)間內(nèi)方程有5個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，即函數(shù)與的圖象有5個(gè)交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合列出不等式組求解即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱，所以函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，因?yàn)閷?duì)任意，都有成立，所以，所以函數(shù)的周期為4，畫出函數(shù)在區(qū)間上的圖象，如圖所示：若在區(qū)間內(nèi)方程有5個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，即函數(shù)與的圖象有5個(gè)交點(diǎn)，顯然，則，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：D．12.如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，點(diǎn)是該正方體對(duì)角線上的動(dòng)點(diǎn)，給出下列三個(gè)結(jié)論：①；②點(diǎn)到直線的距離的最小值是；③當(dāng)時(shí)，三棱錐外接球的表面積為．其中所有結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】C【解析】【分析】①根據(jù)正方體的特征即可通過(guò)線面垂直證得線線垂直；②，當(dāng)時(shí)，最小，解三角形即可求得；③當(dāng)時(shí)，作出外接球的直觀圖，利用勾股定理可以求出外接球的半徑，進(jìn)而求得表面積；【詳解】因?yàn)樵谡襟w中，，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，故①正確；設(shè)，連接，因?yàn)槠矫妫?，即為到直線的距離，當(dāng)時(shí)，最小，此時(shí)，，故②正確；三棱錐外接球主視圖如圖所示，，，關(guān)于直徑的對(duì)稱點(diǎn)為，，設(shè)，則即，解得，故，所以，故③錯(cuò)誤；故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是正方體圖形中本身的垂直關(guān)系，求非特殊三棱錐的體積主要在于構(gòu)造半徑有關(guān)的直角三角形，利用勾股定理來(lái)求半徑.二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在答題卡上．13.平面向量，滿足，，且，則的值為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】首先求出的坐標(biāo)，依題意，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示得到方程，解得即可.【詳解】因?yàn)?，，所以，又，所以，解?故答案為：14.函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可.【詳解】，，，故函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為，即.故答案為：15.在中，，，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得，，則的長(zhǎng)為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】利用正弦定理可求值，進(jìn)而可求的值，可求，的值，進(jìn)而利用正弦定理可得的值．【詳解】在中，，，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得，，在由正弦定理得，可得，又，所以或，若，則，則，在中，由正弦定理得，即，所以．若，則，則，不符合題意，故舍去；綜上可得．故答案為：．16.已知雙曲線的右焦點(diǎn)到它的一條漸近線的距離為，過(guò)雙曲線上一點(diǎn)作雙曲線的一條切線交其漸近線于兩點(diǎn)，若兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積為4，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_________．【答案】【解析】【分析】由右焦點(diǎn)到它的漸近線的距離為，可求出的值，寫出過(guò)點(diǎn)的切線方程，聯(lián)立切線方程與漸近線方程，由橫坐標(biāo)之積為4，可求出的值，從而求出結(jié)果.【詳解】解：雙曲線漸近線的方程為：，因?yàn)橛医裹c(diǎn)到漸近線的距離為，所以，即.設(shè)，則過(guò)點(diǎn)的切線方程為：，聯(lián)立得：，化簡(jiǎn)可得：，解得：，，即，因?yàn)樵陔p曲線上，滿足，即，所以，解得，所以雙曲線方程為：.故答案為：【點(diǎn)睛】知識(shí)點(diǎn)總結(jié)：（1）雙曲線上一點(diǎn)的切線方程為：或；（2）橢圓上一點(diǎn)的切線方程為：或；（3）拋物線上一點(diǎn)的切線方程為：或.三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．第題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答．第22，23題為選考題，考生依據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17.已知為等差數(shù)列，公差，且、、成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：．【答案】17.18.證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及等比中項(xiàng)的性質(zhì)求出，即可得解；（2）由（1）可得，利用裂項(xiàng)相消法求和即可得證.【小問(wèn)1詳解】依題意，，又、、成等比數(shù)列，所以，即，解得，所以.【小問(wèn)2詳解】由（1）可得，所以.18.如圖，多面體中，四邊形為菱形，，，，．（1）求證：平面平面；（2）當(dāng)時(shí)，求直線與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，由線面垂直的判定定理可證平面，再由面面垂直的判定定理即可證明；（2）根據(jù)題意，建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，所以點(diǎn)四點(diǎn)共面，又四邊形為菱形，所以，因?yàn)椋?，平面，所以平面，又平面，所以平面平?【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，，所以，又因?yàn)椋云矫?，設(shè)交于，則以為軸，為軸，過(guò)點(diǎn)且平行于的方向?yàn)檩S，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,因?yàn)?，四邊形為菱形，，則，所以有，則，不妨設(shè)平面的法向量為，則，取，得，設(shè)直線與平面所成角為，則，故直線與平面所成角的正弦值為.19.甲、乙兩醫(yī)院到某醫(yī)科大學(xué)實(shí)施“小小醫(yī)生計(jì)劃”，即通過(guò)對(duì)畢業(yè)生進(jìn)行筆試，面試，模擬診斷這3項(xiàng)程序后直接簽約一批畢業(yè)生．已知3項(xiàng)程序分別由3個(gè)部門獨(dú)立依次考核，且互不影響，當(dāng)3項(xiàng)程序全部通過(guò)即可簽約．假設(shè)該校口腔醫(yī)學(xué)系170名畢業(yè)生參加甲醫(yī)院的“小小醫(yī)生計(jì)劃”的具體情況如下表（不存在通過(guò)3項(xiàng)程序考核后放棄簽約的現(xiàn)象）．性別參加考核但未能簽約的人數(shù)參加考核并能簽約的人數(shù)合計(jì)男生582785女生424385合計(jì)10070170該?？谇会t(yī)學(xué)系的小華準(zhǔn)備參加兩醫(yī)院的“小小醫(yī)生計(jì)劃”，小華通過(guò)甲醫(yī)院的每項(xiàng)程序的概率均為，通過(guò)乙醫(yī)院的每項(xiàng)程序的概率依次為，，，其中．（1）判斷是否有的把握認(rèn)為這170名畢業(yè)生參加甲醫(yī)院的“小小醫(yī)生計(jì)劃”能否簽約與性別有關(guān)；（2）若小華通過(guò)甲、乙兩醫(yī)院程序的項(xiàng)數(shù)分別記為X，Y．當(dāng)時(shí)，求小華參加乙醫(yī)院考核并能成功簽約的概率．參考公式與臨界值表：，．0.1000.0500.0250.0102.7063.8415.0246.635【答案】（1）有的把握認(rèn)為這170名畢業(yè)生參加甲醫(yī)院的“小小醫(yī)生計(jì)劃”能否簽約與性別有關(guān)；（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入，求出后參考臨界值表即可判斷結(jié)果；（2）分別列出小華參加甲乙程序的分布列，算出與，通過(guò)即可求出的值，從而求出結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)椋?，所以有的把握認(rèn)為這170名畢業(yè)生參加甲醫(yī)院的“小小醫(yī)生計(jì)劃”能否簽約與性別有關(guān)；【小問(wèn)2詳解】因?yàn)樾∪A通過(guò)甲醫(yī)院各程序的結(jié)果相互不影響，所以，則，的可能取值為0，1，2，3.，，，，隨機(jī)變量Y的分布列：Y0123P，因?yàn)?，所以，即，小華參加乙醫(yī)院考核并能成功簽約的概率為.20.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，離心率為．點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，且直線的斜率與直線的斜率之商為2．（1）求的方程；（2）若點(diǎn)A、B在橢圓上，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，求面積的最小值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，由兩直線的斜率之商為2以及離心率公式，代入計(jì)算，即可求得從而得道結(jié)果；（2）根據(jù)題意，分直線，直線其中一條直線斜率不存在與直線，直線的斜率均存在討論，然后聯(lián)立方程，由三角形的面積公式結(jié)合基本不等式即可得到結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】設(shè)，所以，由直線的斜率與直線的斜率之商為2，可得，所以，又離心率，所以，則，所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問(wèn)2詳解】當(dāng)直線，直線其中一條直線斜率不存在時(shí)，不妨令，此時(shí)面積為；當(dāng)直線，直線的斜率均存在時(shí)，不妨設(shè)直線的方程為，則直線的方程為，設(shè)點(diǎn)，聯(lián)立方程可得，所以，聯(lián)立方程可得，所以，所以，因?yàn)?，又，所以，又，所以面積的最小值為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題主要考查了直線與橢圓相交問(wèn)題，難度較大，解答本題的關(guān)鍵在于分類討論以及結(jié)合基本不等式計(jì)算.21.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的最小值；（2）當(dāng)，時(shí)，求證：．【答案】（1）0（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）求導(dǎo)確定函數(shù)的單調(diào)性即可求出最值；（2）令，由的單調(diào)性可知，變形可得到，結(jié)合（1）知即，即可證明.【小問(wèn)1詳解】，，在上單調(diào)遞減，的最小值為.【小問(wèn)2詳解】令，則.在上單調(diào)遞