四川省南充市高中2025屆高三數(shù)學(xué)第一次適應(yīng)性考試試題文含解析

PAGE20-四川省南充市中學(xué)2025屆高三數(shù)學(xué)第一次適應(yīng)性考試試題文（含解析）第I卷一、選擇題1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】化簡集合，依據(jù)并集定義，即可得出答案.【詳解】，.故選:B【點睛】本題考查集合的運算，屬于基礎(chǔ)題.2.（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分母實數(shù)化，即可求得結(jié)果.【詳解】.故選:C【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法，屬于基礎(chǔ)題.3.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】依據(jù)充分必要條件推斷方法，即可得出結(jié)論.【詳解】若，則成立；若，則，故不成立，所以“”是“”的充分不必要條件.故選:A【點睛】本題考查充分必要條件的推斷，要留意三角函數(shù)值與角之間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.4.一個與球心距離為1的平面截球所得的圓面積為，則球的表面積為（）A B. C. D.【答案】B【解析】試題分析：設(shè)球的半徑為R，截面小圓半徑為r，球的表面積考點：圓的截面小圓性質(zhì)及球的表面積點評：球的半徑為R，截面小圓半徑為r，球心到截面的距離為d,則有，球的表面積5.函數(shù)的最小正周期是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】用二倍角余弦公式變形為，依據(jù)最小正周期為，求解即可.【詳解】故選D.【點睛】本題考查余弦型函數(shù)的周期性，二倍角公式的運用是解決本題的關(guān)鍵.屬于較易題.6.若變量滿意約束條件，則的最大值為（）A. B. C.3 D.11【答案】C【解析】【分析】依據(jù)約束條件畫出可行域與目標函數(shù)，數(shù)形結(jié)合，求解即可.【詳解】畫滿意約束條件的可行域，如圖所示.依據(jù)圖象可知，在點處取得最大值故選C點睛】本題考查線性規(guī)劃問題，屬于較易題.7.直線關(guān)于直線對稱的直線方程為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出直線與直線交點的坐標，然后取直線上點坐標，并求點關(guān)于直線對稱的點的坐標，再求直線方程即可.【詳解】設(shè)直線與直線交點為，由題意可知，解得，即.取直線上點，設(shè)點關(guān)于直線的對稱點.則直線垂直平分線段即，解得，所以點直線方程為，即.故選D.【點睛】本題考查直線關(guān)于直線的對稱直線，解決本類問題的關(guān)鍵在于將直線關(guān)于直線的對稱直線轉(zhuǎn)化為點關(guān)于直線的對稱點.屬于中檔題.8.若過點的直線與曲線有公共點，則直線的斜率的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設(shè)直線方程為，即，直線與曲線有公共點，圓心到直線的距離小于等于半徑，得，選擇C另外，數(shù)形結(jié)合畫出圖形也可以推斷C正確．9.函數(shù)，若方程有且只有一個實數(shù)根，則實數(shù)滿意（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】作出函數(shù)圖像，數(shù)形結(jié)合，即可求出答案.【詳解】做出函數(shù)圖像，如下圖所示：有且只有一個實數(shù)根.故選:A【點睛】本題考查函數(shù)零點的個數(shù)，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題.10.設(shè)、分別為雙曲線的左、右焦點.若在雙曲線右支上存在點，滿意，且到直線的距離等于雙曲線的實軸長，則該雙曲線的漸近線方程為A. B. C. D.【答案】C【解析】試題分析：依題意|PF2|=|F1F2|，可知三角形PF2F1是一個等腰三角形，F(xiàn)2在直線PF1的投影是其中點，由勾股定理知，可知|PF1|="2"=4b依據(jù)雙曲定義可知4b-2c=2a，整理得c=2b-a，代入c2=a2+b2整理得3b2-4ab=0，求得=∴雙曲線漸進線方程為y=±x，即4x±3y=0故選C考點：本題主要考查了直線與雙曲線的位置關(guān)系的運用．點評：解決該試題的關(guān)鍵是利用題設(shè)條件和雙曲線性質(zhì)在三角形中找尋等量關(guān)系，得出a與b之間的等量關(guān)系，可知答案．11.的內(nèi)角,,的對邊分別為,,.若，則角（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用正弦定理邊化角，化切為弦，整理求出值，即可求出結(jié)果.【詳解】，，，平方得，或，或，若則，若，則.故選:D【點睛】本題考查正弦定理邊角互化，考查同角間的平方關(guān)系和三角函數(shù)值與角的關(guān)系，屬于中檔題.12.設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，且，（為自然對數(shù)的底數(shù)），則不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)F（x）=，求出導(dǎo)數(shù)，推斷F（x）在R上遞增．原不等式等價為F（lnx）＜F（），運用單調(diào)性，可得lnx＜，運用對數(shù)不等式的解法，即可得到所求解集．【詳解】可構(gòu)造函數(shù)F（x）=，F(xiàn)′（x）==，由f′（x）＞2f（x），可得F′（x）＞0，即有F（x）在R上遞增．不等式f（lnx）＜x2即為＜1，（x＞0），即＜1，x＞0．即有F（）==1，即為F（lnx）＜F（），由F（x）在R上遞增，可得lnx＜，解得0＜x＜．故不等式的解集為（0，），故選B．【點睛】利用導(dǎo)數(shù)解抽象函數(shù)不等式，實質(zhì)是利用導(dǎo)數(shù)探討對應(yīng)函數(shù)單調(diào)性，而對應(yīng)函數(shù)須要構(gòu)造.構(gòu)造協(xié)助函數(shù)常依據(jù)導(dǎo)數(shù)法則進行：如構(gòu)造，構(gòu)造，構(gòu)造，構(gòu)造等第II卷（共90分）二、填空題13.已知，，，且，則__________.【答案】3【解析】【分析】依據(jù)向量平行的坐標關(guān)系，即可求解,【詳解】，，，.故答案為:3【點睛】本題考查向量的坐標表示、平行向量的坐標形式的充要條件，屬于基礎(chǔ)題.14.函數(shù)在區(qū)間上的最大值為_________.【答案】2【解析】【分析】化簡函數(shù)，依據(jù)自變量的范圍，即可求出結(jié)論.【詳解】，，的最大值為2.故答案為:2【點睛】本題考查三角函數(shù)的化簡，以及三角函數(shù)最值，屬于基礎(chǔ)題.15.若偶函數(shù)對隨意，都有，且時，，則___________.【答案】【解析】【分析】依據(jù)，可知函數(shù)周期為6.再依據(jù)函數(shù)為偶函數(shù)，可知，則，求解即可.【詳解】對隨意，都有即函數(shù)周期為6.又函數(shù)為偶函數(shù)，時，即.故答案為：.【點睛】本題考查函數(shù)的周期性與奇偶性，屬于較難的一道題.16.設(shè)拋物線的焦點為，點.若線段的中點在拋物線上，則到該拋物線準線的距離為_____________．【答案】【解析】試題分析：依據(jù)拋物線方程可表示出焦點F的坐標，進而求得B點的坐標代入拋物線方程求得p，則B點坐標和拋物線準線方程可求，進而求得B到該拋物線準線的距離．解：依題意可知F坐標為（，0）∴B的坐標為（，1）代入拋物線方程得=1，解得p=，∴拋物線準線方程為x=﹣所以點B到拋物線準線的距離為+=，故答案為考點：拋物線的定義；拋物線的簡潔性質(zhì)．三、解答題17.從某校隨機抽取100名學(xué)生，獲得了他們一周課外閱讀時間（單位：小時）的數(shù)據(jù)，整理得到頻數(shù)分布表和頻率分布直方圖如下．組號分組頻數(shù)1[0，2）62[2，4）83[4，6）174[6，8）225[8，10）256[10，12）127[12，14）68[14，16）29[16，18）2合計100（1）從該校隨機選取一名學(xué)生，試估計這名學(xué)生該周課外閱讀時間少于12小時頻率；（2）求頻率分布直方圖中的a，b的值．【答案】（1）0.9；（2），．【解析】【分析】（1）由頻數(shù)分布表得，課外閱讀時間不少于12小時的共有10（名），即可求解樣本中學(xué)生該周課外閱讀時間少于12小時的頻率；（2）由頻數(shù)分布表得，課外閱讀時間落在[4，6）的人數(shù)為17，則頻率是=0.17，進而可計算頻率分布直方圖中的值.【詳解】（1）由頻數(shù)分布表得，100名學(xué)生課外閱讀時間不少于12小時的共有6+2+2=10（名），所以樣本中學(xué)生該周課外閱讀時間少于12小時的頻率P=1–=0.9；則從該校隨機選取一名學(xué)生，估計這名學(xué)生該周課外閱讀時間少于12小時的頻率是0.9；（2）由頻數(shù)分布表得，課外閱讀時間落在[4，6）的人數(shù)為17，則頻率是=0.17，所以由頻率分布直方圖得，a==0.085，同理可得，b==0.125．【點睛】本題主要考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用，其中解答中熟記在頻率分布直方圖中，各小長方形的面積表示相應(yīng)各組的頻率，所以全部小長方形的面積的和等于1，且每個小矩形的高度為是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的實力，屬于基礎(chǔ)題.18.在等比數(shù)列{an}中，an>0(n∈N)，公比q∈(0,1)，且a1a5＋2a3a5＋a2a8＝25，又a3與a5的等比中項為2.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)設(shè)，數(shù)列{bn}的前n項和為Sn，當(dāng)最大時，求n的值.【答案】(1)25－n(2)8或9【解析】【分析】（1）依據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可知a1a5=a32，a2a8=a52化簡a1a5+2a3a5+a2a8=25得到a3+a5=5，又因為a3與a5的等比中項為2，聯(lián)立求得a3與a5的值，求出公比和首項即可得到數(shù)列的通項公式；（2）把an代入到bn=中得到bn的通項公式，即可得到前n項和的通項sn；把sn代入得到，探討求出各項和的最大值時n的取值．【詳解】解(1)∵a1a5＋2a3a5＋a2a8＝25，∴a＋2a3a5＋a＝25，又an>0，∴a3＋a5＝5.又a3與a5的等比中項為2，∴a3a5＝4，而q∈(0,1)，∴a3>a5，∴a3＝4，a5＝1.∴q＝，a1＝16，∴an＝16×n－1＝25－n.(2)bn＝log2an＝5－n，∴bn＋1－bn＝－1，∴{bn}是以b1＝4為首項，－1為公差的等差數(shù)列，∴Sn＝，∴＝，∴當(dāng)n≤8時，>0；當(dāng)n＝9時，＝0；當(dāng)n>9時，<0.∴當(dāng)n＝8或9時，＋＋＋…＋最大.【點睛】考查學(xué)生敏捷運用等比數(shù)列等比中項性質(zhì)的實力，駕馭等比數(shù)列的通項公式，會進行數(shù)列的求和的公式.19.如圖，在四棱錐中，底面是矩形，，，底面.（1）當(dāng)為何值時，平面？證明你的結(jié)論；（2）若在邊上至少存在一點，使，求的取值范圍.【答案】（1），證明見詳解；（2）【解析】【分析】（1）要證平面，只需證垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線，由題意可知，則只需證明，只有當(dāng)四邊形為正方形時滿意.（2）由題意可知，若存在點，使，則平面，即，則點應(yīng)是以為直徑的圓和邊的一個公共點，即半徑，求解即可.【詳解】（1）當(dāng)時，四邊形為正方形，則.因平面，平面，所以，又，平面，平面所以平面.故當(dāng)時，平面.（2）設(shè)是符合條件的邊上的點.因為平面，平面所以，又，，平面，平面所以平面，因為平面，所以.因此，點應(yīng)是以為直徑的圓和邊的一個公共點.則半徑，即.所以.【點睛】本題考查依據(jù)線面垂直與線線垂直求參數(shù)，屬于難題.20.已知橢圓的左，右焦點分別為，，點在橢圓上.（1）求橢圓的標準方程；（2）是否存在斜率為的直線與橢圓相交于,兩點，使得？若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由.【答案】（1）；（2）不存在，理由見解析【解析】【分析】（1）依據(jù)橢圓定義求出，即可求出橢圓的標準方程；（2）假設(shè)滿意條件的直線存在，與橢圓方程聯(lián)立，求出直線滿意的條件，依據(jù)已知條件在線段的垂直平分線上，結(jié)合直線的斜率公式，推導(dǎo)出直線不存在.【詳解】（1）因為橢圓的左右焦點分別為，，所以.由橢圓定義可得,解得,所以所以橢圓的標準方程為（2）假設(shè)存在滿意條件的直線，設(shè)直線的方程為，由得，即，，解得設(shè)，，則,,由于，設(shè)線段的中點為，則，所以又，所以，解得.當(dāng)時，不滿意.所以不存在滿意條件的直線.【點睛】本題考查橢圓的標準方程的求法，直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算實力.21.已知函數(shù)，其中．（1）當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；（2）若函數(shù)有唯一零點，求的值．【答案】(1)；(2)【解析】【分析】（1）依據(jù)題意求得切線的斜率和切點，由點斜式方程可得切線方程；（2）問題等價于關(guān)于的方程有唯一的解時，求的值．令，求得的導(dǎo)數(shù)，以及單調(diào)性和極值，結(jié)合圖象和已知條件可得的值；【詳解】解：（1）當(dāng)時，，所以，所以．又，所以曲線在點處的切線方程為，即．（2）問題等價于關(guān)于的方程有唯一的解時，求的值．令，則．令，則，在上單調(diào)遞減．又，當(dāng)時，，即，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，，即，在上單調(diào)遞減．的極大值為．當(dāng)時，；當(dāng)時，．又，當(dāng)方程有唯一的解時，．綜上，當(dāng)函數(shù)有唯一零點時，的值為1．【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線方程和單調(diào)性、極值和最值，考查換元法和構(gòu)造函數(shù)法，以及化簡運算實力，屬于中檔題．22.在極坐標系中，已知曲線：和曲線：，以極點為坐標原點，極軸為軸非負半軸建立平面直角坐標系.（1）求曲線和曲線的直角坐標方程；（2）若點是曲線上一動點，過點作線段的垂線交曲線于點，求線段長度的最小值.【答案】(1)的直角坐標方程為，的直角坐標方程為.(2).【解析】【分析】（1）極坐標方程化為直角坐標方程可得的直角坐標方程為，的直角坐標方程為.（2）由幾何關(guān)系可得直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），據(jù)此可得，，結(jié)合均值不等式的結(jié)論可得當(dāng)且僅當(dāng)時，線段長度取得最小值為.【詳解】（1）的極坐標方程即，則其直角坐標方程為，整理可得直角坐標方程為，的極坐標方程化為直角坐標方程可得其直角坐標方程為.（2）設(shè)曲線與軸異于原點的交點為，∵，∴過點，設(shè)直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），代入可得，解得或，可知，代入可得，解得，可知，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以線段長度的最小值為.【點睛】直角坐標方程轉(zhuǎn)為極坐標方程的關(guān)鍵是利用公式，而極坐標方程轉(zhuǎn)化為直角坐標方程的關(guān)鍵是利用公式，后者也可以把極坐標方程變形盡量產(chǎn)生，,以便轉(zhuǎn)化另一方面，當(dāng)動點在圓錐曲線運動改變時，我們可以用一個參數(shù)來表示動點坐標，從而利用一元函數(shù)求與動點有關(guān)的最值問題.23.已知函數(shù).（1）若恒成立，求實數(shù)的最大值；（2）在（1）成立的條件下，正數(shù)滿意，證明：.【答案】(1)2；(2)證明見解析.【解析】【分析】（1）由題意可得，則原問題等價于，據(jù)此