山東青島四區(qū)縣2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期末考數(shù)學(xué)試題

20222023學(xué)年度第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平檢測(cè)高二數(shù)學(xué)試題一?單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知點(diǎn)，在直線上，則直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)已知可求出直線的斜率，根據(jù)斜率與傾斜角的關(guān)系即可解出答案.【詳解】顯然直線的斜率存在，設(shè)直線的斜率為，傾斜角為.由已知可得，直線的斜率，又，所以，則.故選：B.2.現(xiàn)有隨機(jī)選出20個(gè)數(shù)據(jù)，統(tǒng)計(jì)如下，則（）A.該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為1.02 B.該組數(shù)據(jù)的極差為1.12C.該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為0.87 D.該組數(shù)據(jù)的80%分位數(shù)為1.02【答案】D【解析】【分析】觀察數(shù)據(jù)特征可知眾數(shù)為，極差是1.13，中位數(shù)是0.845，80%分位數(shù)為1.02即可選出正確選項(xiàng).【詳解】由題可知出現(xiàn)了三次，而只出現(xiàn)了兩次，根據(jù)眾數(shù)定義可知該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為，故A錯(cuò)誤；根據(jù)極差定義可知，該組數(shù)據(jù)的極差為，所以B錯(cuò)誤；由中位數(shù)定義可知，該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，即C錯(cuò)誤；由于，所以該組數(shù)據(jù)的80%分位數(shù)是第16個(gè)和第17個(gè)數(shù)的平均數(shù)，即，所以D正確；故選：D3.若動(dòng)點(diǎn)滿足關(guān)系式，則點(diǎn)的軌跡是（）A.直線 B.圓 C.橢圓 D.雙曲線一支【答案】D【解析】【分析】設(shè)，.由已知可得，根據(jù)雙曲線的定義即可得出答案.【詳解】設(shè)，，則.則由已知可得，，所以點(diǎn)的軌跡是雙曲線的左支.故選：D.4.為了解某地農(nóng)村經(jīng)濟(jì)情況，對(duì)該地農(nóng)戶家庭年收入進(jìn)行抽樣調(diào)查，將農(nóng)戶家庭年收入的調(diào)查數(shù)據(jù)整理得到如下頻率分布直方圖：根據(jù)此頻率分布直方圖，下面結(jié)論中正確的是（）A.估計(jì)該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值超過(guò)7.5萬(wàn)元B.估計(jì)該地有一半以上的農(nóng)戶，其家庭年收入不低于8.5萬(wàn)元C.該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬(wàn)元的農(nóng)戶比率估計(jì)為4%D.估計(jì)該地有一半以上的農(nóng)戶，其家庭年收入介于4.5萬(wàn)元至7.5萬(wàn)元之間【答案】A【解析】【分析】根據(jù)頻率分布直方圖,即可結(jié)合選項(xiàng)逐一計(jì)算平均值以及所占的比重.【詳解】對(duì)于A，估計(jì)該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值為,故A正確，對(duì)于B，家庭年收入不低于8.5萬(wàn)元所占的比例為，故B錯(cuò)誤，對(duì)于C，該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬(wàn)元的農(nóng)戶比率估計(jì)為，故C錯(cuò)誤，家庭年收入介于4.5萬(wàn)元至7.5萬(wàn)元之間的頻率為，故D錯(cuò)誤．故選：A5.圓與圓的公切線條數(shù)為（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】C【解析】【分析】根據(jù)兩圓的一般方程求出兩圓圓心、半徑，求出圓心距.根據(jù)圓心距與兩半徑之間的關(guān)系可得兩圓相交，即可得出答案.【詳解】由圓方程，可得圓心，半徑；由圓方程，可得圓心，半徑.所以，，且，所以兩圓相交，公切線條數(shù)為2.故選：C.6.已知?jiǎng)狱c(diǎn)在橢圓上，點(diǎn)到定點(diǎn)的距離記為，到定直線的距離記為，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和兩點(diǎn)間的距離公式即可求解.【詳解】設(shè)點(diǎn)，則，，所以.故選：C.7.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用列舉法及交集的定義即可求解.【詳解】由題可知，，所以.故選：A.8.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)橢圓內(nèi)部一點(diǎn)分別作軸和軸的平行線，并分別交橢圓于，兩點(diǎn)和，兩點(diǎn)，已知，，，.則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)已知，結(jié)合橢圓的對(duì)稱性可得出，，.將坐標(biāo)代入橢圓方程即可得出、、，即可得出結(jié)果.【詳解】不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，，則，.如圖，根據(jù)橢圓的對(duì)稱性可知，，.即，，所以，，所以，所以，.因?yàn)樵跈E圓上，所以有，解得，所以，所以.故選：B二?多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.由一組樣本數(shù)據(jù)，，…，得到新樣本數(shù)據(jù)，，…，，其中，，為常數(shù)，記兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)分別為，，標(biāo)準(zhǔn)差分別為，，則（）A.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差相同 B.C.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本眾數(shù)不相同 D.【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)前后數(shù)據(jù)變化對(duì)比即可求解.【詳解】?jī)山M樣本數(shù)據(jù)的樣本極差不一定相同，只當(dāng)時(shí)極差相同，故A錯(cuò)誤；，所以，故B正確；顯然不同時(shí)成立，否則兩個(gè)樣本為同一樣本，因此兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本眾數(shù)不相同，故C正確；，故D錯(cuò)誤.故選：BC10.已知雙曲線，點(diǎn)，在上，的中點(diǎn)為，則（）A.的漸近線方程為 B.的右焦點(diǎn)為C.與圓沒(méi)有交點(diǎn) D.直線的方程為【答案】CD【解析】【分析】對(duì)于AB，利用雙曲線的性質(zhì)即可求解；對(duì)于C，聯(lián)立雙曲線與圓的方程即可；對(duì)于D，利用點(diǎn)差法出直線的方程，再檢驗(yàn)即可求解.【詳解】對(duì)于AB，由雙曲線可得，所以漸近線方程為，右焦點(diǎn)為，故AB不正確；對(duì)于C，聯(lián)立消可得，代入，解得無(wú)實(shí)數(shù)根，所以與圓沒(méi)有交點(diǎn)，故正確；對(duì)于D，設(shè)，則，，兩式相減，得，因?yàn)榈闹悬c(diǎn)為，所以等式可得，易得直線的斜率存在，故可得，則直線為即，聯(lián)立雙曲線的方程和直線，消去x，可得，此時(shí)，則直線與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，符合題意，故直線l的方程為，故正確.故選：CD11.有4把鑰匙，其中2把能打開門，如果隨機(jī)取一把試著開門，把不能打開門的鑰匙扔掉，記第二次才能打開門的概率為；如果試過(guò)的鑰匙又混進(jìn)去，記第二次才能打開門的概率為，則（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)樣本空間和滿足條件的事件個(gè)數(shù)即可求解.【詳解】根據(jù)題意，，.故選：AD12.已知圓與軸交于點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)在圓上，則（）A.點(diǎn)到點(diǎn)的距離的最小值為4B.圓和圓關(guān)于直線對(duì)稱C.動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離是它到點(diǎn)距離的倍，則的軌跡是圓D.若點(diǎn)，，則【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)點(diǎn)到圓心的距離可求解A,根據(jù)點(diǎn)關(guān)于線的對(duì)稱可求解B,根據(jù)直接法求解軌跡方程可判斷C,根據(jù)圓的三角換元可求解D.【詳解】連接,所以,因此點(diǎn)到點(diǎn)的距離的最小值為，故A錯(cuò)誤，由于,設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為，所以且，解得，故圓關(guān)于直線對(duì)稱的圓的方程為，故B正確,設(shè)，,由得，故的軌跡是圓，故C正確，設(shè)，所以，故，故D正確，故選：BCD三?填空題：本題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分.13.某校高二年級(jí)共有學(xué)生1000人，其中男生480人，按性別進(jìn)行分層，用分層隨機(jī)抽樣的方法從高二全體學(xué)生中抽出一個(gè)容量為50的樣本，若樣本按比例分配，則女生應(yīng)抽取的人數(shù)為___________.【答案】26【解析】【分析】求出高二女生人數(shù)，根據(jù)分層抽樣可得，解方程即可得出答案.【詳解】設(shè)女生應(yīng)抽取的人數(shù)為.由已知可得，高二年級(jí)女生人數(shù)為，所以，根據(jù)分層抽樣可得，解得.故答案為：26.14.直線過(guò)點(diǎn)且其一個(gè)方向向量為，直線的參數(shù)方程為（為參變數(shù)），若，則直線與之間的距離為___________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)方向向量求出直線的方程，消去參數(shù)得到的普通方程，根據(jù)兩直線平行得到，從而求出的普通方程為，利用兩平行線距離公式求出答案.【詳解】由題意得：直線為，消去參數(shù)得到的普通方程為，則，故的普通方程為，則直線與之間的距離為.故答案為：.15.已知，是雙曲線的兩個(gè)頂點(diǎn)，的離心率為，為上一點(diǎn)，記直線，的斜率分別為，，則___________.【答案】2【解析】【分析】根據(jù)斜率公式以及點(diǎn)在雙曲線上即可代入化簡(jiǎn)求值.【詳解】不妨設(shè)雙曲線方程為，由題意可知，設(shè)，則，故答案為：216.數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則（1）___________；（2）___________.【答案】①.②.【解析】【分析】根據(jù)代入化簡(jiǎn)得，進(jìn)而根據(jù)是等差數(shù)列即可求解通項(xiàng)，由裂項(xiàng)求和即可求解.【詳解】由得，進(jìn)而，所以為等差數(shù)列，且公差為1，又首項(xiàng)為，所以，，故答案為：，四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.17.已知雙曲線的漸近線方程為，實(shí)軸長(zhǎng).（1）求的方程；（2）若直線過(guò)的右焦點(diǎn)與交于，兩點(diǎn)，，求直線的方程.【答案】（1）（2）或.【解析】【分析】（1）根據(jù)雙曲線的漸近線方程求出a，b即可求解.（2）根據(jù)直線和雙曲線的聯(lián)立以及即可求解.【小問(wèn)1詳解】根據(jù)題意，，，所以，所以.【小問(wèn)2詳解】雙曲線C的半焦距，顯然直線l不垂直于y軸，設(shè)直線方程為，聯(lián)立直線方程和橢圓方程：，所以，所以，所以，所以，所以，所以，解得.

所以直線的方程為：.即或.18.在“①，；②，”兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充到下面問(wèn)題中，并解答.已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足___________.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.注：如果選擇兩個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）若選①由，作商整理可得，可解出.進(jìn)而求出，即可得出表達(dá)式；若選②由，作商整理可得，可解出.進(jìn)而求出，即可得出表達(dá)式；（2）由（1）知，由，，兩式作差整理即可得出.【小問(wèn)1詳解】解：若選①，：設(shè)公比為，顯然.因?yàn)?，，因?yàn)?，兩式作商可得，整理可得，解得或（舍去），將代入可得，所以；若選②，：設(shè)公比為，顯然.由已知可得，，因?yàn)?，兩式作商可得，整理可得，解得或（舍去），將代入可得，，所?【小問(wèn)2詳解】解：由（1）知，，則.所以，，，兩式作差可得，，所以.19.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，圓的圓心在軸上，傾斜角為135°的直線與圓相交于，兩不同點(diǎn)，且的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，.（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求過(guò)點(diǎn)與圓相切的直線的方程.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）先利用點(diǎn)斜式得到直線，利用垂直可得到直線，繼而得到的坐標(biāo)，然后用垂徑定理可求出半徑，即可求解；（2）分直線的斜率是否存在，利用圓心到切線的距離等于半徑即可【小問(wèn)1詳解】因?yàn)樵谥本€上，所以直線的方程為，因?yàn)椋灾本€的方程為，因?yàn)閳A的圓心在軸上，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)圓的半徑為，又因?yàn)榻獾茫?，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問(wèn)2詳解】若該直線斜率不存在，則其方程為，顯然符合題意；若該直線斜率存在，設(shè)其方程為，設(shè)點(diǎn)到該直線距離為，因?yàn)樵撝本€與圓相切，所以，解得:，該直線為即，綜上，過(guò)點(diǎn)與圓C相切的直線的方程為或.20.某學(xué)校為舉辦甲?乙兩項(xiàng)不同活動(dòng)，分別設(shè)計(jì)了相應(yīng)的活動(dòng)方案：方案一?方案二.為了解該校學(xué)生對(duì)活動(dòng)方案是否支持，對(duì)學(xué)生進(jìn)行簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，獲得數(shù)據(jù)如下表：男生女生支持不支持支持不支持方案一200人400人300人100人方案二350人250人150人250人假設(shè)所有學(xué)生對(duì)活動(dòng)方案是否支持相互獨(dú)立.（1）從該校全體男生中隨機(jī)抽取1人，估計(jì)其支持方案一的概率，從全體女生中隨機(jī)抽取1人，估計(jì)其支持方案一的概率；（2）從該校全體男生中隨機(jī)抽取2人，全體女生中隨機(jī)抽取1人，估計(jì)這3人中恰有2人支持方案一的概率；（3）將該校學(xué)生支持方案一的概率估計(jì)值記為，假設(shè)該校一年級(jí)有500名男生和500名女生，除一年級(jí)外其他年級(jí)學(xué)生支持方案二的概率估計(jì)值記為，試比較與的大小.【答案】（1）從該校全體男生中隨機(jī)抽取1人，估計(jì)其支持方案一概率為，從全體女生中隨機(jī)抽取1人，估計(jì)其支持方案一的概率為（2）（3）理由見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）計(jì)算出全體男生人數(shù)，從而估計(jì)其支持方案一的概率，同理計(jì)算出全體女生人數(shù)，估計(jì)出其支持方案一的概率；（2）分兩種情況，支持方案一的這2人均為男生和支持方案一的這2人中1男1女，分別求出相應(yīng)的概率，相加得到結(jié)果；（3）先計(jì)算出，分別計(jì)算出該校一年級(jí)男生和女生中支持方案二的大約人數(shù)，從而得到一年級(jí)學(xué)生中支持方案二的概率，由得到.【小問(wèn)1詳解】全體男生共有200+400=600人，其中支持方案一的有200人，故從該校全體男生中隨機(jī)抽取1人，估計(jì)其支持方案一的概率為，全體女生共有300+100=400人，其中支持方案一的有300人，故從全體女生中隨機(jī)抽取1人，估計(jì)其支持方案一的概率為；【小問(wèn)2詳解】支持方案一的這2人均為男生，此時(shí)概率為，支持方案一的這2人中1男1女，此時(shí)概率為故估計(jì)這3人中恰有2人支持方案一的概率為；【小問(wèn)3詳解】，理由如下：由樣本的頻率估計(jì)總體概率，該校學(xué)生支持方案一的概率估計(jì)值為，該校一年級(jí)男生中支持方案二的約有人，該校一年級(jí)女生中支持方案二的約有人，假設(shè)一年級(jí)學(xué)生中支持方案二的概率為，則，因?yàn)?，則，故可知該校除一年級(jí)外其他年級(jí)學(xué)生支持方案二的概率應(yīng)高于平均概率，即.21.已知數(shù)列，，.（1）求數(shù)列通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿足：.（i）證明：；（ii）證明：.【答案】（1）（2）（i）證明見(jiàn)解析（ii）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)遞推公式將等式兩邊分別取倒數(shù)即可證明是等差數(shù)列，即可寫出數(shù)列通項(xiàng)公式；（2）利用數(shù)列與的關(guān)系式，可寫出的表達(dá)式，利用等比數(shù)列放縮即可證明（i）中的結(jié)論，再利用（i）得到的結(jié)論即可證明（ii）.【小問(wèn)1詳解】由題意可知，，將兩邊同時(shí)取倒數(shù)可得，，即，又，所以，數(shù)列是以為首項(xiàng)，公差的等差數(shù)列，即，得，所以數(shù)列通項(xiàng)公式為【小問(wèn)2詳解】（i）由可知，，所以兩式相減得當(dāng)時(shí)，，所以；（ii）所以22.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，圓的圓心為點(diǎn)，點(diǎn)與關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)恰在圓上，直線與直線交于點(diǎn)，記點(diǎn)的軌跡為曲線.（1）求曲線方程；（2）設(shè)不經(jīng)過(guò)的直線與曲線交于兩個(gè)不同點(diǎn)，，直線，，的斜率依次成等差數(shù)列，記點(diǎn)到直線的距離為，直線上兩點(diǎn)，的縱坐標(biāo)之差為，求的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件及圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用對(duì)稱性及線段的垂直平分線，結(jié)合橢圓的定義及橢圓中的關(guān)系即可求解;（2）將直線與橢圓的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理及等差中項(xiàng)