2023-2024學(xué)年陜西省寶雞市隴縣第二高級(jí)中學(xué)高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷 （含解析）

2023-2024學(xué)年陜西省寶雞市隴縣第二高級(jí)中學(xué)高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．王明正在籌劃班級(jí)迎新晚會(huì)，想知道該準(zhǔn)備多少斤水果，他最希望得到所有學(xué)生需要水果數(shù)量的（）A．四分位數(shù) B．中位數(shù) C．眾數(shù) D．均值2．已知復(fù)數(shù)z滿足，則|z|＝（）A．1 B． C． D．3．已知向量，，若+2與垂直，則k＝（）A．﹣3 B．﹣2 C．1 D．﹣14．如表記錄了上海某個(gè)月連續(xù)8天的空氣質(zhì)量指數(shù)（AQI）：時(shí)間12345678空氣質(zhì)量指數(shù)（AQI）2028243331353638則這些空氣質(zhì)量指數(shù)的75%分位數(shù)為（）A．35 B．35.5 C．36 D．375．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若，，則＝（）A．﹣1 B． C．1 D．6．若單位向量，滿足，則向量，夾角的余弦值為（）A． B． C． D．7．如圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E為棱D1C1的靠近D1上的三等分點(diǎn)，設(shè)AE與BB1D1D的交點(diǎn)為O，則（）A．三點(diǎn)D1，O，B共線，且OB＝2OD1 B．三點(diǎn)D1，O，B共線，且OB＝3OD1 C．三點(diǎn)D1，O，B不共線，且OB＝2OD1 D．三點(diǎn)D1，O，B不共線，且OB＝3OD18．已知三棱錐，則三棱錐P﹣ABC的外接球的表面積為（）A．28π B．7π C．14π D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．（多選）9．已知z為復(fù)數(shù)，下列說法正確的是（）A．若，則z∈R B．若z2∈R，則z∈R C．若z﹣1+3i＞0，則z＞1﹣3i D．（多選）10．下列說法不正確的是（）A．若直線a，b沒有交點(diǎn)，則a，b為異面直線 B．若直線a∥平面α，則a與α內(nèi)任何直線都平行 C．若直線a⊥平面α，平面α∥平面β，則直線a⊥平面β D．如果空間中兩個(gè)角的兩條邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)（多選）11．對(duì)于一個(gè)古典概型的樣本空間Ω和事件A，B，其中n（Ω）＝18，n（A）＝9，n（B）＝6，n（A∪B）＝12，則（）A．事件A與事件B互斥 B． C．事件A與事件相互獨(dú)立 D．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．某校共有學(xué)生2000名，男生1200名，女生800名，現(xiàn)按比例分配樣本進(jìn)行分層抽樣，從中抽取50名學(xué)生，則應(yīng)抽取的女生人數(shù)是人13．如圖①是一個(gè)小正方體的側(cè)面展開圖，小正方體從如圖②所示的位置依次翻到第1格、第2格、第3格、第4格、第5格，這時(shí)小正方體朝上面的字是．14．在平行四邊形ABCD中，E為CD的中點(diǎn)，若，，則2λ+μ＝．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟．15．在△ABC中，內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且ab＝c2﹣a2﹣b2．（1）求角C；（2）若△ABC的面積為，，求a、b的值．16．已知向量為坐標(biāo)原點(diǎn)．（1）若，求實(shí)數(shù)m的值；（2）在（1）的條件下，求與夾角的余弦值．17．如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA為點(diǎn)P到平面ABCD的距離，AB＝4，AD＝3，PA＝3，點(diǎn)E、M分別在線段AB、PC上，其中E是AB中點(diǎn)，，連接ME．（1）當(dāng)λ＝1時(shí)，證明：直線ME∥平面PAD；（2）當(dāng)λ＝2時(shí)，求三棱錐M﹣BCD的體積．18．（17分）某學(xué)校為了了解學(xué)校食堂的服務(wù)情況，邀請(qǐng)就餐師生對(duì)食堂服務(wù)質(zhì)量進(jìn)行打分，最高分為100分隨機(jī)調(diào)查100名就餐的教師和學(xué)生，根據(jù)這100名師生對(duì)食堂服務(wù)質(zhì)量的評(píng)分，繪制如圖所示頻率分布直方圖，其中樣本數(shù)據(jù)分組為：第一組[0，20），第二組[20，40），第三組[40，60），第四組[60，80），第五組[80，100]．（1）估計(jì)所打分?jǐn)?shù)的眾數(shù)，平均數(shù)；（2）若在第一、二組師生中按比例分配的分層抽樣的方法抽取6名師生進(jìn)行深人調(diào)查，之后將從這6人中隨機(jī)抽取2人聘為監(jiān)督員，求監(jiān)督員來自不同組的概率．19．（17分）如圖，在四棱錐O﹣MNPQ中，底面MNPQ是正方形，OM⊥平面MNPQ，且OM＝MN＝2．（1）求直線PO與平面OMQ所成角的余弦值；（2）求二面角N﹣OP﹣Q的大小．

參考答案一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．王明正在籌劃班級(jí)迎新晚會(huì)，想知道該準(zhǔn)備多少斤水果，他最希望得到所有學(xué)生需要水果數(shù)量的（）A．四分位數(shù) B．中位數(shù) C．眾數(shù) D．均值【分析】分別根據(jù)百分位數(shù)，中位數(shù)，眾數(shù)，均值的定義判斷即可求解．解：四分位數(shù)在統(tǒng)計(jì)學(xué)中是把所有數(shù)值由小到大排列并分成四等份，處于三個(gè)分割點(diǎn)位置的數(shù)值，沒有代表性；中位數(shù)是按順序排列的一組數(shù)據(jù)中居于中間位置的數(shù)，沒有代表性；眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)值，沒有代表性；平均數(shù)是表示一組數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的量數(shù)，是指在一組數(shù)據(jù)中所有數(shù)據(jù)之和再除以這組數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)，所以選擇均值較理想．故選：D．2．已知復(fù)數(shù)z滿足，則|z|＝（）A．1 B． C． D．【分析】直接根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算以及復(fù)數(shù)模的定義即可得到答案．解：，所以．故選：D．3．已知向量，，若+2與垂直，則k＝（）A．﹣3 B．﹣2 C．1 D．﹣1【分析】由向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示可知，＝0，代入即可求解k解：∵＝（，3），又∵∴＝＝0∴k＝﹣3故選：A．4．如表記錄了上海某個(gè)月連續(xù)8天的空氣質(zhì)量指數(shù)（AQI）：時(shí)間12345678空氣質(zhì)量指數(shù)（AQI）2028243331353638則這些空氣質(zhì)量指數(shù)的75%分位數(shù)為（）A．35 B．35.5 C．36 D．37【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合百分位數(shù)的定義，即可求解．解：8個(gè)數(shù)從小到大排列為：20，24，28，31，33，35，36，38，又8×75%＝6，所以這些空氣質(zhì)量指數(shù)的75%分位數(shù)為．故選：B．5．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若，，則＝（）A．﹣1 B． C．1 D．【分析】根據(jù)正弦定理計(jì)算可得，代入式子即可求解．解：由，得，所以．故選：C．6．若單位向量，滿足，則向量，夾角的余弦值為（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)題意，設(shè)向量，夾角為θ，由數(shù)量積的計(jì)算公式可得（2+）2＝42+2+4?＝5+4cosθ＝8，變形可得答案．解：根據(jù)題意，設(shè)向量，夾角為θ，若單位向量，滿足，則有（2+）2＝42+2+4?＝5+4cosθ＝8，則有cosθ＝，故選：A．7．如圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E為棱D1C1的靠近D1上的三等分點(diǎn)，設(shè)AE與BB1D1D的交點(diǎn)為O，則（）A．三點(diǎn)D1，O，B共線，且OB＝2OD1 B．三點(diǎn)D1，O，B共線，且OB＝3OD1 C．三點(diǎn)D1，O，B不共線，且OB＝2OD1 D．三點(diǎn)D1，O，B不共線，且OB＝3OD1【分析】連接AD1，BC1利用公理2可直接證得，并且由D1M∥AB可得1：2，從而求出結(jié)果；解：如圖：連接AD1，BC1，利用公理2可直接證得，并且由D1E∥AB且D1E＝AB，∴OD1＝BO，∴D1，O，B三點(diǎn)共線，且OB＝3OD1．故選：B．8．已知三棱錐，則三棱錐P﹣ABC的外接球的表面積為（）A．28π B．7π C．14π D．【分析】設(shè)△ABC的外接圓的半徑為r，根據(jù)正弦定理可求出r，再根據(jù)勾股定理建立方程，即可求解．解：設(shè)△ABC的外接圓的半徑為r，三棱錐P﹣ABC的外接球的半徑為2R，如圖經(jīng)補(bǔ)形可知球心在直三棱柱ABC﹣PDE高的中點(diǎn)處O，O′為△ABC外接圓的圓心，外接球的半徑＝2r＝4，∴r＝，∴三棱錐P﹣ABC的外接球的表面積為4πR2＝28π．故選：A．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．（多選）9．已知z為復(fù)數(shù)，下列說法正確的是（）A．若，則z∈R B．若z2∈R，則z∈R C．若z﹣1+3i＞0，則z＞1﹣3i D．【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘除法運(yùn)算以及復(fù)數(shù)的類型，即可判斷AB，由復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)即可判斷D，根據(jù)復(fù)數(shù)的特性判斷C．解：設(shè)z＝a+bi（a，b∈R），由為實(shí)數(shù)，得b＝0，所以z＝a∈R，故A正確；若z＝i，則z2＝﹣1∈R，故B錯(cuò)誤；不全是實(shí)數(shù)的兩個(gè)復(fù)數(shù)不能比較大小，故C錯(cuò)誤；設(shè)z＝a+bi（a，b∈R），則，故D正確．故選：AD．（多選）10．下列說法不正確的是（）A．若直線a，b沒有交點(diǎn)，則a，b為異面直線 B．若直線a∥平面α，則a與α內(nèi)任何直線都平行 C．若直線a⊥平面α，平面α∥平面β，則直線a⊥平面β D．如果空間中兩個(gè)角的兩條邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)【分析】根據(jù)空間直線的位置關(guān)系，可判斷A，B；利用面面平行的性質(zhì)以及線面垂直的判定可判斷C；根據(jù)空間的等角定理可判斷D．解：對(duì)于A，直線a，b沒有交點(diǎn)，則直線a，b為平行直線或異面直線，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，直線a∥平面α，則a與α內(nèi)任何直線都沒有交點(diǎn)，則a與α內(nèi)直線可能為平行直線或異面直線，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，直線a⊥平面α，則α內(nèi)一定存在兩相交直線，不妨設(shè)為m，n，滿足a⊥m，a⊥n，由平面α∥平面β，過m作一平面與β相交，交線設(shè)為m′，則m∥m′，同理過n作一平面與β相交，交線設(shè)為n′，則n∥n′，則m′，n′相交，則a⊥m′，a⊥n′，故直線a⊥平面β，故C正確；對(duì)于D，如果空間中兩個(gè)角的兩條邊分別對(duì)應(yīng)平行，根據(jù)等角定理可知，這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)，故D正確．故選：AB．（多選）11．對(duì)于一個(gè)古典概型的樣本空間Ω和事件A，B，其中n（Ω）＝18，n（A）＝9，n（B）＝6，n（A∪B）＝12，則（）A．事件A與事件B互斥 B． C．事件A與事件相互獨(dú)立 D．【分析】根據(jù)古典概型結(jié)合概率的性質(zhì)以及事件的獨(dú)立性分析判斷．解：由題意可得：P（A）＝＝，P（B）＝＝，則P（）＝1﹣P（B）＝，∵n（A∪B）＝n（A）+n（B）﹣n（AB），∴n（AB）＝n（A）+n（B）﹣n（A∪B）＝3≠0，即事件A與事件B不互斥，A錯(cuò)誤；可得：n（∪B）＝n（Ω）﹣n（A）+n（AB）＝12，故P（AB）＝＝，P（∪B）＝＝，P（AB）＝1﹣P（∪B）＝，P（）＝1﹣P（AB）＝，可知B正確，D錯(cuò)誤；又∵P（A）＝P（A）P（），∴事件A與事件相互獨(dú)立，C正確．故選：BC．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．某校共有學(xué)生2000名，男生1200名，女生800名，現(xiàn)按比例分配樣本進(jìn)行分層抽樣，從中抽取50名學(xué)生，則應(yīng)抽取的女生人數(shù)是20人【分析】根據(jù)分層抽樣等比例的性質(zhì)求應(yīng)抽取的女生人數(shù)．解：由題意，應(yīng)抽取的女生人數(shù)是人．故答案為：20．13．如圖①是一個(gè)小正方體的側(cè)面展開圖，小正方體從如圖②所示的位置依次翻到第1格、第2格、第3格、第4格、第5格，這時(shí)小正方體朝上面的字是路．【分析】根據(jù)正方體的表面展開圖找出相對(duì)面，再由其特征得到結(jié)果．解：由圖①可知，“國(guó)”和“興”相對(duì)，“夢(mèng)”和“中”相對(duì)，“復(fù)”和“路”相對(duì)，由圖②可得，第1、2、3、4、5格對(duì)應(yīng)面的字分別是“興”、“夢(mèng)”、“路”、“國(guó)”、“復(fù)”，所以到第5格時(shí)，小正方體朝上面的字是“路”．故答案為：路．14．在平行四邊形ABCD中，E為CD的中點(diǎn)，若，，則2λ+μ＝2．【分析】利用平面向量的線性運(yùn)算，平面向量基本定理求解即可．解：∵，E為CD的中點(diǎn)，∴＝＝（+）＝﹣，∴＝+＝+﹣＝+，∵，∴λ＝，μ＝，∴2λ+μ＝2，故答案為：2．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟．15．在△ABC中，內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且ab＝c2﹣a2﹣b2．（1）求角C；（2）若△ABC的面積為，，求a、b的值．【分析】（1）由已知利用余弦定理可求cosC的值，結(jié)合0＜C＜π，可求C的值；（2）由已知利用三角形的面積公式可求ab的值，由已知可求a+b的值，聯(lián)立方程即可解得a，b的值．解：（1）因?yàn)閍b＝c2﹣a2﹣b2，由余弦定理有因?yàn)?＜C＜π，可得；（2）因?yàn)椤鰽BC的面積為，，可得，可得ab＝8，又由，有ab＝28﹣a2﹣b2，可得a2+b2＝20，有，聯(lián)立方程，解得，或，故a＝2，b＝4或a＝4，b＝2．16．已知向量為坐標(biāo)原點(diǎn)．（1）若，求實(shí)數(shù)m的值；（2）在（1）的條件下，求與夾角的余弦值．【分析】（1）根據(jù)題意，求出的坐標(biāo)，由向量平行的坐標(biāo)表示方法可得2×（﹣2）＝1﹣m，解可得答案；（2）根據(jù)題意，設(shè)的夾角為θ，由數(shù)量積的計(jì)算公式計(jì)算可得答案．解：（1）根據(jù)題意，因?yàn)?，所以，又因?yàn)椤?，則有2×（﹣2）＝1﹣m，解可得m＝5；（2）由（1）知，設(shè)的夾角為θ，則．17．如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA為點(diǎn)P到平面ABCD的距離，AB＝4，AD＝3，PA＝3，點(diǎn)E、M分別在線段AB、PC上，其中E是AB中點(diǎn)，，連接ME．（1）當(dāng)λ＝1時(shí)，證明：直線ME∥平面PAD；（2）當(dāng)λ＝2時(shí)，求三棱錐M﹣BCD的體積．【分析】（1）構(gòu)造平行四邊形，然后利用線面平行的判定定理即可．（2）根據(jù)，求出三棱錐M﹣BCD的高，然后利用體積公式即可．解：（1）證明：取PD中點(diǎn)N，連接MN、AN，∵M(jìn)N是△PCD的中位線，∴MN∥CD，且，又AE∥CD，且，∴四邊形AEMN為平行四邊形，∴ME∥AN又ME?平面PAD，AN?平面PAD，∴ME∥平面PAD．（2）∵，P到平面ABCD的距離為3，∴點(diǎn)M到平面ABCD的距離為1，∴．18．（17分）某學(xué)校為了了解學(xué)校食堂的服務(wù)情況，邀請(qǐng)就餐師生對(duì)食堂服務(wù)質(zhì)量進(jìn)行打分，最高分為100分隨機(jī)調(diào)查100名就餐的教師和學(xué)生，根據(jù)這100名師生對(duì)食堂服務(wù)質(zhì)量的評(píng)分，繪制如圖所示頻率分布直方圖，其中樣本數(shù)據(jù)分組為：第一組[0，20），第二組[20，40），第三組[40，60），第四組[60，80），第五組[80，100]．（1）估計(jì)所打分?jǐn)?shù)的眾數(shù)，平均數(shù)；（2）若在第一、二組師生中按比例分配的分層抽樣的方法抽取6名師生進(jìn)行深人調(diào)查，之后將從這6人中隨機(jī)抽取2人聘為監(jiān)督員，求監(jiān)督員來自不同組的概率．【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖，以及眾數(shù)的定義，以及平均數(shù)的計(jì)算公式，即可求解．（2）根據(jù)已知條件，結(jié)合分層抽樣的定義，列舉法，古典概型的概率公式，即可求解．解：（1）由頻率分布直方圖可知，眾數(shù)為，5個(gè)組的頻率分別為0.05，0.1，0.2，0.35，0.3，故平均數(shù)為10×0.05+30×0.1+50×0.2+70×0.35+90×0.3＝65．（2）由頻率分布直方圖可知，第一組的頻率為0.05，第二組的頻率為0.1，則第一組的人數(shù)為5人，第二組的人數(shù)為10人，按分層抽樣的方法抽到的6人中，第一組抽2人，記為a，b，第二組抽4人，記為A，B，C，D，故將從這6人中隨機(jī)抽取2人聘為監(jiān)督員，分別為AB，AC，AD，BC，BD，CD，Aa，Ab，Ba，Bb，