2022-2023學(xué)年廣東省佛山市高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷含答案

2022-2023學(xué)年廣東省佛山市高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．（5分）(x+1A．0 B．1 C．2 D．32．（5分）四名志愿者到3個小區(qū)開展防詐騙宣傳活動，向社區(qū)居民普及防詐騙、反詐騙的知識．每名志愿者只去1個小區(qū)，每個小區(qū)至少安排1名志愿者，則不同的安排方法共有（）A．18種 B．30種 C．36種 D．72種3．（5分）吹氣球時，氣球的半徑r（單位：dm）與體積V（單位：L）之間的函數(shù)關(guān)系是r(V)=33V4π，估計V（參考數(shù)據(jù)：336πA．0.2 B．0.6 C．1 D．1.24．（5分）根據(jù)變量Y和x的成對樣本數(shù)據(jù)，由一元線性回歸模型Y=bx+a+eE(e)=0，D(e)=σ2，得到經(jīng)驗回歸模型yA．不滿足一元線性回歸模型的E（e）＝0的假設(shè) B．不滿足一元線性回歸模型的D（e）＝σ2的假設(shè) C．不滿足一元線性回歸模型的E（e）＝0和D（e）＝σ2的假設(shè) D．滿足一元線性回歸模型的所有假設(shè)5．（5分）如圖，直線l和圓C，當l從l0開始在平面上按順時針方向繞點O勻速轉(zhuǎn)動（轉(zhuǎn)動角度不超過90°）時，它掃過的圓內(nèi)陰影部分的面積S是時間t的函數(shù)．這個函數(shù)的圖象大致是（）A． B． C． D．6．（5分）如圖，某單位計劃在辦公樓前的一個花壇的A、B、C、D四個區(qū)域重新種花．現(xiàn)有紅、藍、黃、白四種顏色的花可選擇，一個區(qū)域只種一種顏色的花，且相鄰的兩個區(qū)域不能種同一種顏色的花，則共有（）種不同的種植方案．A．36 B．48 C．72 D．847．（5分）已知等比數(shù)列{an}的公比大于1，且a3+a4+a5＝28，等差數(shù)列{bn}滿足b2＝a3，b5＝a4+2，b8＝a5，則a3+b2023＝（）A．2026 B．4050 C．4052 D．40548．（5分）已知函數(shù)f(x)=1aex+2x(a＞0)，若?x1，x2∈（1，+∞），且x1＞x2，|f（x1）﹣f（x2）|＞（x1﹣1）ln（ax1﹣a）﹣（x2﹣1）ln（ax2A．（0，e] B．（0，e2] C．（1，e] D．（e，e2]二、選擇題：本題共4小題.每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.（多選）9．（5分）已知(3x-1)4A．a(chǎn)1+a2+a3+a4＝17 B．a(chǎn)1+a3＝﹣120 C．a(chǎn)1+2a2+3a3+4a4＝96 D．|a1|+|a2|+|a3|+|a4|＝256（多選）10．（5分）三名男生和四名女生，按照不同的要求站成一排，則（）A．任何兩名男生不相鄰的排隊方案有1440種 B．若3名男生的順序一定，則不同的排隊方案有210種 C．甲不站左端，乙不站右端的排隊方案有3720種 D．甲乙兩名同學(xué)之間恰有2人的不同排隊方案有960種（多選）11．（5分）事件A，B滿足P（A）＝0.5，P（B）＝0.4，P（B|A）＝0.3，則（）A．P（A∪B）＝0.75 B．P（A|B）＝0.375 C．P(B|A)=0.5 （多選）12．（5分）記等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，數(shù)列{Snn}的前k和為TA．若?n∈N*，均有Sn+1＞Sn，則Tk＞0 B．若當且僅當k＝20時，Tk取得最小值，則S9＞S11 C．若a1＜0且S20＝0，則當且僅當k＝19時，Tk取得最小值 D．若k＝19和k＝20時，Tk取得最小值，則?m∈N*，Sm＝0三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.其中16題第一空2分，第二空3分.13．（5分）設(shè)隨機變量X～N（1，σ2），P（﹣1＜X＜3）＝0.7，則P（X≥3）＝．14．（5分）已知成對樣本數(shù)據(jù)（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）（n≥2）中x1，x2，…，xn不全相等，且所有樣本點（xi，yi）（i＝1，2，?，n）都在直線y＝﹣2x+1上，則這組成對樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)r＝．15．（5分）直線y＝kx是曲線y＝ex的一條切線，則k＝．16．（5分）河圖、洛書是我國古代流傳下來的兩幅神秘圖案，蘊含了深奧的宇宙星象之理，被譽為“宇宙魔方”．洛書是世界上最古老的三階幻方（一般地，將連續(xù)的正整數(shù)1，2，3，…，n2填入n×n個方格中，使得每行、每列、每條對角線上的數(shù)的和相等，這個正方形叫做n階幻方）．記n階幻方的數(shù)之和為Sn，則S4＝，若Sn＞2023，則n的最小值為．四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．（10分）某商家為了提高服務(wù)質(zhì)量，專門開設(shè)了顧客反饋熱線電話．熱線電話共有3個分機專供與顧客通話．設(shè)每個分機在每一時刻占線的概率為13（1）求在某一時刻恰好有一個分機占線的概率；（2）求任一時刻占線的分機個數(shù)X的分布列與數(shù)學(xué)期望．18．（12分）已知函數(shù)f（x）＝x3﹣（2x﹣1）2．（1）討論f（x）的單調(diào)性；（2）求f（x）在區(qū)間[0，3]上的最小值與最大值．19．（12分）記數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知a1＝3，Sn+n（n+1）＝nan+1．（1）求{an}的通項公式；（2）若對任意n∈N*，m≥a1320．（12分）ChatGPT作為一個基于大型語言模型的聊天機器人，最近成為全球關(guān)注的焦點．ChatGPT是一個超強的AI，它能像人類一樣聊天交流，甚至能完成撰寫郵件、文案、寫論文、答辯、編程等任務(wù)．專家預(yù)言，隨著人工智能技術(shù)的發(fā)展，越來越多的職業(yè)可能會被ChatGPT或其他類似的人工智能工具所取代．某地區(qū)為了了解ChatGPT的普及情況，統(tǒng)計了該地區(qū)從2023年1月至5月使用ChatGPT的用戶人數(shù)y（萬人），詳見下表：x（月份）12345y（萬人）3.66.411.718.827.5（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)信息及模型①y＝ax+b與模型②y＝ax2+b，判斷哪一個模型更適合描述變量x和y的變化規(guī)律（無需說明理由），并求出y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程；（2）為了進一步了解人們對適應(yīng)人工智能所將帶來的職業(yè)結(jié)構(gòu)變化的自信程度（分為“基本適應(yīng)”和“不適應(yīng)”）是否跟年齡有關(guān)，某部門從該地區(qū)隨機抽取300人進行調(diào)查，調(diào)查數(shù)據(jù)如下表：基本適應(yīng)不適應(yīng)年齡小于30歲10050年齡不小于30歲7575根據(jù)小概率α＝0.01的獨立性檢驗，分析該地區(qū)對職業(yè)結(jié)構(gòu)變化的自信程度是否與年齡有關(guān)．附參考數(shù)據(jù)：b?=i=1nxiyi-nx?yi=1ni=15i=15i=15i=15i=15i=151555979682641122α0.150.10.050.0250.010.001xα2.0722.7063.8415.0246.63510.82821．（12分）機動車輛保險即汽車保險（簡稱車險），是指對機動車輛由于自然災(zāi)害或意外事故所造成的人身傷亡或財產(chǎn)損失負賠償責(zé)任的一種商業(yè)保險．機動車輛保險一般包括交強險和商業(yè)險兩部分，其中商業(yè)險包括基本險和附加險．經(jīng)驗表明新車商業(yè)險保費y（單位：元）與購車價格x（單位：元）近似滿足函數(shù)y＝7×10﹣3x+1300，且上一年的出險次數(shù)決定了下一年的保費倍率．佛山市某機動車輛保險公司將上一年的出險次數(shù)與下一年的保費倍率的具體關(guān)系制作如下表格：上一年出險次數(shù)012345次以上（含5次）下一年保費倍率85%100%125%150%175%200%連續(xù)兩年沒有出險打7折，連續(xù)三年沒有出險打6折王先生于2021年3月份購買了一輛30萬元的新車，一直到2022年12月沒有出過險，但于2023年買保險前僅出過兩次險．（1）王先生在2023年應(yīng)交商業(yè)險保費多少元？（2）保險公司計劃為前來續(xù)保的每一位車主提供抽獎的機會，抽獎規(guī)則是：有放回的從裝有大小相同的6個紅球和4個黑球的袋中任意抽取一個，若第一次抽到紅球則獎勵100元的獎券，抽到黑球則獎勵50元的獎券，第二次開始，每一次抽到紅球則獎券數(shù)額是上一次獎券數(shù)額的2倍，抽到黑球則獎勵50元的獎券，車主所獲得的獎券可以抵扣續(xù)保費．為了激勵車主謹慎駕駛，保險公司規(guī)定：上一年沒有出險的車主可以抽獎6次，車主每增加一次出險就減少一次抽獎機會．記車主第i次抽獎所得的獎券數(shù)額Xi(i∈N*)的數(shù)學(xué)期望為（i）寫出E（Xi﹣1）與E（Xi）的遞推關(guān)系式（其中i≥2且i∈N*）；（ii）若按照保險公司的計劃，且王先生不放棄每一次抽獎機會，王先生在2023年續(xù)保商業(yè)險時，實際支付保費的期望值為多少？22．（12分）已知函數(shù)f（x）＝sinx+x﹣1﹣2ax．（1）當x＞0時，證明：f（x）+2ax+1＜ex+x﹣1；（2）若函數(shù)f（x）在（0，π）上只有一個零點，求實數(shù)a的取值范圍．

2022-2023學(xué)年廣東省佛山市高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．（5分）(x+1A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：由于(x+1x2)3的展開式的通項公式為Tr+1=令3﹣3r＝0，求得r＝1，可得展開式中常數(shù)項是C3故選：D．2．（5分）四名志愿者到3個小區(qū)開展防詐騙宣傳活動，向社區(qū)居民普及防詐騙、反詐騙的知識．每名志愿者只去1個小區(qū)，每個小區(qū)至少安排1名志愿者，則不同的安排方法共有（）A．18種 B．30種 C．36種 D．72種【解答】解：根據(jù)題意可知，將四名志愿者分成三個組，其中一組為2人，則不同的安排方法共有C4故選：C．3．（5分）吹氣球時，氣球的半徑r（單位：dm）與體積V（單位：L）之間的函數(shù)關(guān)系是r(V)=33V4π，估計V（參考數(shù)據(jù)：336πA．0.2 B．0.6 C．1 D．1.2【解答】解：r(V)=33V4π當V＝1時，r′(V)=1故選：A．4．（5分）根據(jù)變量Y和x的成對樣本數(shù)據(jù)，由一元線性回歸模型Y=bx+a+eE(e)=0，D(e)=σ2，得到經(jīng)驗回歸模型yA．不滿足一元線性回歸模型的E（e）＝0的假設(shè) B．不滿足一元線性回歸模型的D（e）＝σ2的假設(shè) C．不滿足一元線性回歸模型的E（e）＝0和D（e）＝σ2的假設(shè) D．滿足一元線性回歸模型的所有假設(shè)【解答】解：用一元線性回歸模型Y=bx+a+eE(e)=0，D(e)=σ2根據(jù)對應(yīng)的殘差圖，殘差的均值E（e）＝0可能成立，但明顯殘差的x軸上方的數(shù)據(jù)更分散，D（e）＝σ2不滿足一元線性回歸模型，正確的只有B．故選：B．5．（5分）如圖，直線l和圓C，當l從l0開始在平面上按順時針方向繞點O勻速轉(zhuǎn)動（轉(zhuǎn)動角度不超過90°）時，它掃過的圓內(nèi)陰影部分的面積S是時間t的函數(shù)．這個函數(shù)的圖象大致是（）A． B． C． D．【解答】解：根據(jù)題意，觀察可知陰影部分的面積S變化情況為“一直增加，先慢后快，過圓心后又變慢”，對應(yīng)的函數(shù)的圖象是變化率先變大再變小，A選項符合這個特點．故選：A．6．（5分）如圖，某單位計劃在辦公樓前的一個花壇的A、B、C、D四個區(qū)域重新種花．現(xiàn)有紅、藍、黃、白四種顏色的花可選擇，一個區(qū)域只種一種顏色的花，且相鄰的兩個區(qū)域不能種同一種顏色的花，則共有（）種不同的種植方案．A．36 B．48 C．72 D．84【解答】解：若選用兩種顏色的花，則有C4若選用三種顏色的花，則有C4有C2另外的對角位置選擇不同位置的花，有A2共有4×6×2＝48種選擇，若選用四種顏色的花，則有A4綜上：共有12+48+24＝84種選擇．故選：D．7．（5分）已知等比數(shù)列{an}的公比大于1，且a3+a4+a5＝28，等差數(shù)列{bn}滿足b2＝a3，b5＝a4+2，b8＝a5，則a3+b2023＝（）A．2026 B．4050 C．4052 D．4054【解答】解：設(shè){an}的公比為q＞1，{bn}的公差為d，因為a3＝b2，a4＝b5﹣2，a5＝b8，a3+a4+a5＝28，所以b2+b5﹣2+b8＝28，因為b2+b8＝2b5，所以3b5＝30，解得b5＝10，故a4＝b5﹣2＝8，故a3+a4+a5=8q+8+8q=28，即8+8則a3又b2＝a3＝4，故d=b則b2023＝b2+2021d＝4+2021×2＝4046，所以a3+b2023＝4+4046＝4050．故選：B．8．（5分）已知函數(shù)f(x)=1aex+2x(a＞0)，若?x1，x2∈（1，+∞），且x1＞x2，|f（x1）﹣f（x2）|＞（x1﹣1）ln（ax1﹣a）﹣（x2﹣1）ln（ax2A．（0，e] B．（0，e2] C．（1，e] D．（e，e2]【解答】解：已知f(x)=1aex+2x(a＞0)，則f′（x）=已知x1，x2∈（1，+∞），且x1＞x2，故f（x1）＞f（x2），則|f（x1）﹣f（x2）|＝f（x1）﹣f（x2）＝（1aex已知|f（x1）﹣f（x2）|＞（x1﹣1）ln（ax1﹣a）﹣（x2﹣1）ln（ax2﹣a），則（1aex1+2x1）﹣（1aex2+2x2）＞（x1﹣1）ln（ax故1aex1+2x1-（x1﹣1）ln（ax1﹣a）＞1ae設(shè)g（x）=1即?x1，x2∈（1，+∞），x1＞x2，則g（x1）＞g（x2），故g（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，g′（x）=1aex設(shè)h（x）＝g′（x）=1aex-ln(ax-a)+1，則h已知x→1時，h′（x）→﹣∞，x→+∞時，h′（x）→+∞，又h″（x）=1aex+則存在x0∈（1，+∞），使得h′（x0）＝0，當1＜x＜x0時2，h′（x）＜0，h（x）單調(diào)遞減，當x＞x0時，h′（x）＞0，h（x）單調(diào)遞增，則當x＝x0時，h（x）取極小值也是最小值h（x0），已知?x＞1，有h（x）≥0，則h（x0）≥0，已知h′（x0）＝0，則1aex0-1x又h（x0）=1aex0-ln（ax0﹣a）+1=1x0-1-lna﹣ln（x設(shè)H（x）=1x-1-x-2ln(x-1)+1則H′（x）=-1(x-1)2-x-又H（2）＝1﹣2﹣0+1＝0，則1＜x＜2時，H（x）＞0，x＞2時，H（x）＜0，又h（x0）＝H（x0）≥0，則1＜x0≤2，又a=ex0（x0﹣1），則lna＝x0+ln（已知1＜x0≤2，則有l(wèi)na＝x0+ln（x0﹣1）≤2，即a＝elna≤e2，又a＞0，則0＜a≤e2．故選：B．二、選擇題：本題共4小題.每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.（多選）9．（5分）已知(3x-1)4A．a(chǎn)1+a2+a3+a4＝17 B．a(chǎn)1+a3＝﹣120 C．a(chǎn)1+2a2+3a3+4a4＝96 D．|a1|+|a2|+|a3|+|a4|＝256【解答】解：∵(3x-1)4∴令x＝0，可得a0＝1．再令x＝1，可得1+a1+a2+a3+a4＝16①，∴a1+a2+a3+a4＝15，故A錯誤．令x＝﹣1，可得1﹣a1+a2﹣a3+a4＝256②，用①﹣②，并除以2可得，a1+a3＝﹣120，故B正確．把所給的等式兩邊同時對x求導(dǎo)數(shù)，可得12（3x﹣1）3＝a1+2a2x+3a3x2+4a4x3，令x＝1，可得a1+2a2+3a3+4a4＝96，故C正確．1+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|，即（3x+1）4的各項系數(shù)和，故它的值為（3+1）4＝256，故|a1|+|a2|+|a3|+|a4|＝255，故D錯誤．故選：BC．（多選）10．（5分）三名男生和四名女生，按照不同的要求站成一排，則（）A．任何兩名男生不相鄰的排隊方案有1440種 B．若3名男生的順序一定，則不同的排隊方案有210種 C．甲不站左端，乙不站右端的排隊方案有3720種 D．甲乙兩名同學(xué)之間恰有2人的不同排隊方案有960種【解答】解：選項A：即不相鄰問題（插空法）：先排女生共A44種排法，男生在五個空中安插，有故共有A44A選項B：先排女生共A7則共有A74×1=840選項C：排法有A7其中A66是甲在左端或乙在右端的排法，A5選項D：（捆綁法）任取2人與甲、乙組成一個整體，與余下3個元素全排列，故共有A52A故選：ACD．（多選）11．（5分）事件A，B滿足P（A）＝0.5，P（B）＝0.4，P（B|A）＝0.3，則（）A．P（A∪B）＝0.75 B．P（A|B）＝0.375 C．P(B|A)=0.5 【解答】解：由P（B|A）＝0.3得P（AB）＝P（B|A）P（A）＝0.3×0.5＝0.15，P（A∪B）＝P（A）+P（B）﹣P（AB）＝0.5+0.4﹣0.15＝0.75，故A正確；所以P（A|B）=P(AB)P(B)=P（B|A）=P(AB)對于D，P（A|B）=P(BA)故選：ABC．（多選）12．（5分）記等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，數(shù)列{Snn}的前k和為TA．若?n∈N*，均有Sn+1＞Sn，則Tk＞0 B．若當且僅當k＝20時，Tk取得最小值，則S9＞S11 C．若a1＜0且S20＝0，則當且僅當k＝19時，Tk取得最小值 D．若k＝19和k＝20時，Tk取得最小值，則?m∈N*，Sm＝0【解答】解：根據(jù)題意不妨設(shè)an＝a1+（n﹣1）d＝dn+（a1﹣d），則Sn∴Sn∴數(shù)列{Snn}是首項為a1，公差為對A選項，若?n∈N*，均有Sn+1＞Sn，則an+1＞0，若等差數(shù)列{an}為首項為﹣1，公差為2的等差數(shù)列，則滿足an+1＞0，而此時S11=a1對B選項，∵數(shù)列{Snn}是首項為a1，公差為若當且僅當k＝20時，Tk取得最小值，則S2020＜0∴S20＜0，S21＞0，∴(a1+a20)×202∴a10+a11＜0，∴S11﹣S9＜0，∴S9＞S11，∴B選項正確；對C選項，若a1＜0且S20＝0，則(a∴a1+a20＝0，∴a10+a11＝0，又a1＜0，∴a10＜0，a11＞0，S20＝0，∴S19=(∴S1919＜0，S2020∴當k＝19或k＝20時，Tk取得最小值，∴C選項錯誤；對D選項，根據(jù)C選項分析可知：若k＝19和k＝20時，Tk取得最小值，則?m＝20，Sm＝0，∴D選項正確．故選：BD．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.其中16題第一空2分，第二空3分.13．（5分）設(shè)隨機變量X～N（1，σ2），P（﹣1＜X＜3）＝0.7，則P（X≥3）＝0.15．【解答】解：因為X～N（1，σ2），所以由對稱性可知P(X≥3)=1故答案為：0.15．14．（5分）已知成對樣本數(shù)據(jù)（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）（n≥2）中x1，x2，…，xn不全相等，且所有樣本點（xi，yi）（i＝1，2，?，n）都在直線y＝﹣2x+1上，則這組成對樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)r＝﹣1．【解答】解：由題設(shè)知，所有樣本點（xi，yi）（i＝1，2，…，n）都在直線y＝﹣2x+1上，∴這組樣本數(shù)據(jù)完全負相關(guān)，故其相關(guān)系數(shù)為﹣1．故答案為：﹣1．15．（5分）直線y＝kx是曲線y＝ex的一條切線，則k＝e．【解答】解：設(shè)切點為（x0，y0），則y0＝ex0，∵y′＝（ex）′＝ex，∴切線斜率k＝ex0，又點（x0，y0）在直線上，代入方程得y0＝kx0，即ex0＝ex0x0，解得x0＝1，∴k＝e．故答案為：e．16．（5分）河圖、洛書是我國古代流傳下來的兩幅神秘圖案，蘊含了深奧的宇宙星象之理，被譽為“宇宙魔方”．洛書是世界上最古老的三階幻方（一般地，將連續(xù)的正整數(shù)1，2，3，…，n2填入n×n個方格中，使得每行、每列、每條對角線上的數(shù)的和相等，這個正方形叫做n階幻方）．記n階幻方的數(shù)之和為Sn，則S4＝136，若Sn＞2023，則n的最小值為8．【解答】解：∵正整數(shù)1，2，3，…，n2，構(gòu)成一個公差為1，首項為1的等差數(shù)列，且設(shè)n階幻方的數(shù)之和為Sn，∴Sn∴S4令Sn可得（n2+1）n2＞4046，∵當n＝7時，（72+1）×72＝2450＜4046，當n＝8時，（82+1）×82＝4160＞4046，且當n∈N*時，（n2+1）n2隨n的增大而增大，∴當Sn＞2023時，n的最小值為8．故答案為：136；8．四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．（10分）某商家為了提高服務(wù)質(zhì)量，專門開設(shè)了顧客反饋熱線電話．熱線電話共有3個分機專供與顧客通話．設(shè)每個分機在每一時刻占線的概率為13（1）求在某一時刻恰好有一個分機占線的概率；（2）求任一時刻占線的分機個數(shù)X的分布列與數(shù)學(xué)期望．【解答】解：（1）設(shè)事件A＝“恰好有一個分機占線”，則P(A)=C（2）由于各個分機是否占線是相互獨立的，則X～B(3，1P(X=0)=CP(X=1)=CP(X=2)=CP(X=3)=C故X的分布列為：X0123P8274929127E（X）＝3×118．（12分）已知函數(shù)f（x）＝x3﹣（2x﹣1）2．（1）討論f（x）的單調(diào)性；（2）求f（x）在區(qū)間[0，3]上的最小值與最大值．【解答】解：（1）已知f（x）＝x3﹣（2x﹣1）2＝x3﹣4x2+4x﹣1，函數(shù)定義域為R，可得f′（x）＝3x2﹣8x+4＝（3x﹣2）（x﹣2）當x＜23時，f′（x）＞0，f（當23＜x＜2時，f′（x）＜0，f（當x＞2時，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，綜上，函數(shù)f（x）在區(qū)間(2在區(qū)間(-∞，2（2）由（1）知，函數(shù)f（x）函數(shù)f（x）在區(qū)間(2在區(qū)間(-∞，2所以當x=23時，函數(shù)f（x）取得極大值，極大值當x＝2時，函數(shù)f（x）取得極小值，極小值f（2）＝﹣1，又f（0）＝﹣1，f（3）＝2，所以函數(shù)f（x）在[0，3]上的最大值為2，最小值為﹣1．19．（12分）記數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知a1＝3，Sn+n（n+1）＝nan+1．（1）求{an}的通項公式；（2）若對任意n∈N*，m≥a13【解答】解：（1）因為Sn+n（n+1）＝nan+1，所以Sn﹣1+n（n﹣1）＝（n﹣1）an（n≥2），兩式相減得an+2n＝nan+1﹣（n﹣1）an，即an+1﹣an＝2（n≥2），又S1+2＝a2，所以a2﹣a1＝2，所以{an}是首項為3，公差為2的等差數(shù)列，所以an＝3+（n﹣1）×2＝2n+1；（2）因為an3n所以Tn=3兩式相減得：23=1+2所以Tn因為Tn＜2，所以m的最小整數(shù)值是2．20．（12分）ChatGPT作為一個基于大型語言模型的聊天機器人，最近成為全球關(guān)注的焦點．ChatGPT是一個超強的AI，它能像人類一樣聊天交流，甚至能完成撰寫郵件、文案、寫論文、答辯、編程等任務(wù)．專家預(yù)言，隨著人工智能技術(shù)的發(fā)展，越來越多的職業(yè)可能會被ChatGPT或其他類似的人工智能工具所取代．某地區(qū)為了了解ChatGPT的普及情況，統(tǒng)計了該地區(qū)從2023年1月至5月使用ChatGPT的用戶人數(shù)y（萬人），詳見下表：x（月份）12345y（萬人）3.66.411.718.827.5（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)信息及模型①y＝ax+b與模型②y＝ax2+b，判斷哪一個模型更適合描述變量x和y的變化規(guī)律（無需說明理由），并求出y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程；（2）為了進一步了解人們對適應(yīng)人工智能所將帶來的職業(yè)結(jié)構(gòu)變化的自信程度（分為“基本適應(yīng)”和“不適應(yīng)”）是否跟年齡有關(guān)，某部門從該地區(qū)隨機抽取300人進行調(diào)查，調(diào)查數(shù)據(jù)如下表：基本適應(yīng)不適應(yīng)年齡小于30歲10050年齡不小于30歲7575根據(jù)小概率α＝0.01的獨立性檢驗，分析該地區(qū)對職業(yè)結(jié)構(gòu)變化的自信程度是否與年齡有關(guān)．附參考數(shù)據(jù)：b?=i=1nxiyi-nx?yi=1ni=15i=15i=15i=15i=15i=151555979682641122α0.150.10.050.0250.010.001xα2.0722.7063.8415.0246.63510.828【解答】解：（1）選擇模型②y＝ax2+b，令u＝x2，則y＝au+b．由已知得，u=555=11，y=∴b?=i=1∴y＝u+2.6，即y關(guān)于x的回歸方程為y＝x2+2.6；（2）由題意，得到列聯(lián)表：基本適應(yīng)不適應(yīng)合計年齡不小于30歲7575150年齡小于30歲10050150合計175125300則χ2即認為該地區(qū)對職業(yè)結(jié)構(gòu)變化的自信程度與年齡有關(guān)，此推斷犯錯誤的概率不大于0.01．21．（12分）機動車輛保險即汽車保險（簡稱車險），是指對機動車輛由于自然災(zāi)害或意外事故所造成的人身傷亡或財產(chǎn)損失負賠償責(zé)任的一種商業(yè)保險．機動車輛保險一般包括交強險和商業(yè)險兩部分，其中商業(yè)險包括基本險和附加險．經(jīng)驗表明新車商業(yè)險保費y（單位：元）與購車價格x（單位：元）近似滿足函數(shù)y＝7×10﹣3x+1300，且上一年的出險次數(shù)決定了下一年的保費倍率．佛山市某機動車輛保險公司將上一年的出險次數(shù)與下一年的保費倍率的具體關(guān)系制作如下表格：上一年出險次數(shù)012345次以上（含5次）下一年保費倍率85%100%125%150%175%200%連續(xù)兩年沒有出險打7折，連續(xù)三年沒有出險打6折王先生于2021年3月份購買了一輛30萬元的新車，一直到2022年12月沒有出過險，但于2023年買保險前僅出過兩次險．（1）王先生在2023年應(yīng)交商業(yè)險保費多少元？（2）保險公司計劃為前來續(xù)保的每一位車主提供抽獎的機會，抽獎規(guī)則是：有放回的從裝有大小相同的6個紅球和4個黑球的袋中任意抽取一個，若第一次抽到紅球則獎勵100元的獎券，抽到黑球則獎勵50元的獎券，第二次開始，每一次抽到紅球則獎券數(shù)額是上一次獎券數(shù)額的2倍，抽到黑球則獎勵50元的獎券，車主所獲得的獎券可以抵扣續(xù)保費．為了激勵車主謹慎駕駛，保險公司規(guī)定：上一年沒有出險的車主可以抽獎6次，車主每增加一次出險就減少一次抽獎機會．記車主第i次抽獎所得的獎券數(shù)額Xi(i∈N*)的數(shù)學(xué)期望為（i）寫出E（Xi﹣1）與E（Xi）的遞推關(guān)系式（其中i≥2且i∈N*）；（ii）若按照保險公司的計劃，且王先生不放棄每一次抽獎機會，王先生在2023年續(xù)保商業(yè)險時，實際支付保費的期望值為多少？【解答】解：（1）王先生于2021年買新車時需交商業(yè)險為：7×10﹣3×30×104+1300＝3400元，由于王先生2021年3月份至2022年3月份沒有出險，所以2022年3月份李先生需交商業(yè)險費為：3400×85%＝2890元，但在2023年1月份出過兩次險，故王先生在2023年3月應(yīng)交商業(yè)險費為：2890×125%＝3612.5元．（2）（i）因為袋中裝有6個紅球和4個黑球，所以從中任意抽取一個是紅球的概率為0.6，是黑球的概率為：0.4，第一次抽到紅球則獎勵100元的獎券，抽到黑球則獎勵50元的獎券，則E（X1）＝100×0.6+50×0.4＝80，第二次開始，每一次抽到紅球則獎券數(shù)額是上一次獎券數(shù)額的2倍，抽到黑球則獎勵50元的獎券，故當i≥2時，車主第i次抽到獎券數(shù)額的期望為E（Xi）＝2E（Xi﹣1）×0.6+50×0.4＝1.2E（Xi﹣1）+20，且E（X1）＝80；（ii）由（i）知，E（X1）＝80，當i≥2時，E(Xi)=E（X1）+100＝180，由等比數(shù)列的定義可知，{E（Xi）+100}是以180為首項，65所以E(Xi)+100=180×由于王先生在2023年買保險前出過兩次險，故續(xù)保時只有4次抽獎機會，4次抽獎獲得獎券數(shù)額的期望值之和為180×[1-(按照保險公司的計劃，王先生在2023年續(xù)保商業(yè)險時，實際支付保費的期望值為：3612.5﹣566.24＝3046.26元．22．（12分）已知函數(shù)f（x）＝sinx+x﹣1﹣2ax．（1）當x＞0時，證明：f（x）+2ax+1＜ex+x﹣1；（2）若函數(shù)f（x）在（0，π）上只有一個零點，求實數(shù)a的取值范圍．【解答】（1）證明：函數(shù)f（x）＝sinx+x﹣1﹣2ax，不等式f（x）+2ax+1＜ex+x﹣1?ex﹣sinx﹣1＞0，令函數(shù)h（x）＝ex﹣sinx﹣1，x＞0，求導(dǎo)得h′（x）＝ex﹣cosx，當x∈（0，π）時，函數(shù)y＝cosx單調(diào)遞減，即有函數(shù)h′（x）單調(diào)遞增，h′（x）＞h′（0）＝0，當x∈[π，+∞）時，ex≥eπ，cosx≤1，則有h′（x）＞0，因此?x∈（0，+∞），h′（x）＞0成立，于是函數(shù)h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，則h（x）＞h（0）＝0，即ex﹣sinx﹣1＞0，所以當x＞0時，不等式f（x）+2ax+1＜ex+x﹣1成立．（2）解：當x∈（0，π）時，由f（x）＝0得2a=sinxx+1x2，令g(x)=求導(dǎo)得g′(x)=x(xcosx-sinx)-2x3，令φ（x）＝xcosx﹣sinx，x∈求導(dǎo)得φ′（x）＝﹣xsinx＜0，即函數(shù)φ（x）在（0，π）上單調(diào)遞減，φ（x）＜φ（0）＝0，于是g′(x)=xφ(x)-2x3＜0，函數(shù)g（x）在（0，而當x∈（0，π）時，g(x)=xsinx+1x2＞1x2因此函數(shù)g（x）在（0，π）上的值域為(1則函數(shù)f（x）在（0，π）上只有一個零點，當且僅當2a＞1π2所以a的取值范圍為(12022-2023學(xué)年廣東省華附、省實、廣雅、深中四校聯(lián)考高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．（5分）已知i為虛數(shù)單位，z＝1+i，則z2﹣|z|2＝（）A．0 B．2﹣2i C．2i﹣2 D．2i+22．（5分）已知集合M＝{x|0＜ln（x+1）＜3}，N＝{y|y＝sinx，x∈M}，則M∩N＝（）A．[﹣1，1] B．（﹣1，1] C．（0，1] D．[0，1]3．（5分）已知Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，若a1＝3，且S8＝a8，則a19＝（）A．﹣15 B．﹣18 C．﹣21 D．﹣224．（5分）已知向量a→，b→滿足a→?b→=-2，且b→=(1，A．4 B．3 C．2 D．15．（5分）小明將一顆質(zhì)地均勻的骰子拋擲三次，觀察向上一面的點數(shù)，已知三次點數(shù)都不相同，則三次點數(shù)之和不大于8的概率為（）A．1920 B．120 C．456．（5分）已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的左，右焦點分別為F1，F(xiàn)2，O為坐標原點，過F1作C的一條漸近線的垂線，垂足為D，且|A．2 B．2 C．5 D．37．（5分）已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：f（x﹣1）關(guān)于（1，0）中心對稱，f（x+1）是偶函數(shù)，且f(-3A．f（x）為偶函數(shù) B．f（x）周期為2 C．f(92)=1 D．f8．（5分）已知實數(shù)x，y滿足ex＝y(tǒng)lnx+ylny，則滿足條件的y的最小值為（）A．1 B．e C．2e D．e2二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。（多選）9．（5分）已知x＞y＞0，且x+y＞1，則（）A．x2＞y2 B．x2﹣x＜y2﹣y C．2x＞2y D．lnx+lny＞0（多選）10．（5分）在平面直角坐標系xOy中，點P（1，0）繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)α后到達點Q（x0，y0），若cosα-3sinα=-2213A．126 B．7326 C．-（多選）11．（5分）已知點P是圓C：x2+y2＝8上的動點，直線x+y＝4與x軸和y軸分別交于A，B兩點，若△PAB為直角三角形，則點P的坐標可以是（）A．（﹣2，﹣2） B．（﹣2，2） C．(1+3，1-3（多選）12．（5分）如圖，已知圓柱母線長為4，底面圓半徑為23，梯形ABCD內(nèi)接于下底面圓，CD是直徑，AB∥CD，AB＝6，過點A，B，C，D向上底面作垂線，垂足分別為A1，B1，C1，D1，點M，N分別是線段CC1，AA1上的動點，點QA．若平面DMN交線段BB1于點R，則NR∥DM B．若平面DMN過點B1，則直線MN過定點 C．△ABQ的周長為定值 D．當點Q在上底面圓周上運動時，記直線QA，QB與下底面所成角分別為α，β，則1tan三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．（5分）“x＜﹣1”是“x2﹣1＞0”的條件．14．（5分）已知某學(xué)校高二年級有男生500人、女生450人，調(diào)查該年級全部男、女學(xué)生是否喜歡徒步運動的等高堆積條形圖如圖，現(xiàn)從所有喜歡徒步的學(xué)生中按分層抽樣的方法抽取24人，則抽取的女生人數(shù)為．15．（5分）在三棱錐D﹣ABC中，已知平面BCD⊥平面ABC，∠CBD＝90°，∠BCA＝45°，AB=22，BD＝2，則三棱錐D﹣ABC的外接球的表面積為16．（5分）若數(shù)集S的子集滿足：至少含有2個元素，且任意兩個元素之差的絕對值大于1，則稱該子集為數(shù)集S的超子集．已知集合An={1，2，3，?，n}(n∈N*，n≥3)，記An的超子集的個數(shù)為an，則四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（10分）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為菱形，平面PAD⊥底面ABCD，且PA＝PD＝AB＝4，∠BAD＝60°，E為CD的中點，F(xiàn)為AD的中點．（1）證明：BD⊥平面PEF；（2）求三棱錐B﹣PCE的體積．18．（12分）已知函數(shù)f(x)=2sinxcosx+3（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；（2）在銳角△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若a＝2，f(A)=3，求△ABC19．（12分）設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足Sn（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）解關(guān)于n的不等式：a120．（12分）某籃球聯(lián)賽分為初賽和復(fù)賽兩個階段，組委會根據(jù)初賽成績進行第一階段排名（假設(shè)排名不重復(fù)），前六名的球隊直接進入復(fù)賽，第七、八名的球隊進行第一場復(fù)活賽，勝者進入復(fù)賽；第九、十名的球隊進行一場比賽，勝者與第一場復(fù)活賽的敗者進行第二場復(fù)活賽，本場的勝者成為進入復(fù)賽的最后一支球隊．假設(shè)各場比賽結(jié)果互不影響，且每場比賽必須分出勝負．（1）若初賽后，甲、乙、丙、丁四隊分別排在第七、八、九、十名，丁隊與甲、乙、丙隊比賽獲勝的概率分別是0.4，0.5，0.6，甲隊與乙隊比賽獲勝的概率是0.6，則丁隊進入復(fù)賽的概率是多少？（2）若甲，乙兩隊進入復(fù)賽，在復(fù)賽中，甲隊與乙隊需進行一場五局三勝制的比賽，只要其中一方獲勝三局，比賽結(jié)束、假設(shè)各局比賽結(jié)果互不影響．若乙隊每局比賽獲勝的概率為13，設(shè)比賽結(jié)束時乙隊獲勝的局數(shù)為X，求X21．（12分）設(shè)點F為拋物線C：x2＝2py（p＞0）的焦點，過點F且斜率為5的直線與C交于A，B兩點S△AOB=26（1）求拋物線C的方程；（2）過點E（0，2）作兩條斜率分別為k1，k2的直線l1，l2，它們分別與拋物線C交于點P，Q和R，S．已知|EP|?|EQ|＝|ER|?|ES|，問：是否存在實數(shù)λ，使得k1+λk2為定值？若存在，求λ的值，若不存在，請說明理由．22．（12分）已知函數(shù)f（x）＝sinπx﹣3（x﹣1）ln（x+1）﹣m．（1）當m＝0時，求曲線y＝f（x）在點（0，f（0））處的切線方程；（2）若f（x）在[0，1]上存在兩個零點x1，x2，證明：|x

2022-2023學(xué)年廣東省華附、省實、廣雅、深中四校聯(lián)考高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．（5分）已知i為虛數(shù)單位，z＝1+i，則z2﹣|z|2＝（）A．0 B．2﹣2i C．2i﹣2 D．2i+2【解答】解：z＝1+i，則z2＝（1+i）2＝2i，|z|=1故z2﹣|z|2＝2i﹣2＝﹣2+2i．故選：C．2．（5分）已知集合M＝{x|0＜ln（x+1）＜3}，N＝{y|y＝sinx，x∈M}，則M∩N＝（）A．[﹣1，1] B．（﹣1，1] C．（0，1] D．[0，1]【解答】解：0＜ln（x+1）＜3，則ln1＜ln（x+1）＜lne3，故1＜x+1＜e3，解得0＜x＜e3﹣1，所以N＝{y|y＝sinx，x∈M}＝（y|﹣1≤y≤1}，故M∩N＝（0，1]．故選：C．3．（5分）已知Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，若a1＝3，且S8＝a8，則a19＝（）A．﹣15 B．﹣18 C．﹣21 D．﹣22【解答】解：等差數(shù)列{an}中，a1＝3，且S8＝a8，所以8×3+28d＝3+7d，所以d＝﹣1，則a19＝a1+18d＝3﹣18＝﹣15．故選：A．4．（5分）已知向量a→，b→滿足a→?b→=-2，且b→=(1，A．4 B．3 C．2 D．1【解答】解：a→在b|a→|cos＜a→，=a→?即c→=（-12，-則|b→-c故選：B．5．（5分）小明將一顆質(zhì)地均勻的骰子拋擲三次，觀察向上一面的點數(shù)，已知三次點數(shù)都不相同，則三次點數(shù)之和不大于8的概率為（）A．1920 B．120 C．45【解答】解：基本事件共C6三次點數(shù)之和不大于8包括{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，3，4}共4A3故P=24故選：D．6．（5分）已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的左，右焦點分別為F1，F(xiàn)2，O為坐標原點，過F1作C的一條漸近線的垂線，垂足為D，且|A．2 B．2 C．5 D．3【解答】解：由雙曲線的性質(zhì)可知，雙曲線的一條漸近線方程為y=-bax，焦點F1（﹣c，0），F(xiàn)2（由F1作該漸近線的垂線，則根據(jù)點到直線的距離公式可得：|DF1|＝b，|OD|=c2∴|DF2|＝22a，由cos∠F1OD＝﹣cos∠DOF2可得：a2可得c2＝5a2，則離心率e=5故選：C．7．（5分）已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：f（x﹣1）關(guān)于（1，0）中心對稱，f（x+1）是偶函數(shù)，且f(-3A．f（x）為偶函數(shù) B．f（x）周期為2 C．f(92)=1 D．f【解答】解：由f（x﹣1）關(guān)于（1，0）中心對稱，可得f（x﹣1）+f（2﹣x﹣1）＝0，即為f（x﹣1）+f（1﹣x）＝0，即有f（﹣x）＝﹣f（x），即f（x）為奇函數(shù)，故A錯誤；由f（x+1）是偶函數(shù)，可得f（﹣x+1）＝f（x+1），即為f（﹣x）＝f（x+2），所以f（x+2）＝﹣f（x），則f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），所以f（x）的周期為4，故B錯誤；由f（92）＝f（92-4）＝f（12）＝f（32）＝﹣f由f（x﹣2）＝f（x+2）＝﹣f（﹣x﹣2），可得f（x﹣2）為奇函數(shù)，故D正確．故選：D．8．（5分）已知實數(shù)x，y滿足ex＝y(tǒng)lnx+ylny，則滿足條件的y的最小值為（）A．1 B．e C．2e D．e2【解答】解：由實數(shù)x，y滿足ex＝y(tǒng)lnx+ylny，可化為ex＝y(tǒng)ln（xy）（x＞0，y＞0，xy＞1），即xex＝xyln（xy）＝ln（xy）?eln（xy），構(gòu)造函數(shù)g（x）＝xex，（x＞0），g′（x）＝（x+1）ex，當x∈（0，+∞）時，g′（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增，即g（x）＝g（ln（xy）），可以得到x＝ln（xy），從而y=exxh′(x)=ex(x-1)x2，令h當x∈（0，1）時，h′（x）＜0，h（x）單調(diào)遞減，當x∈（1，+∞）時，h′（x）＞0，h（x）單調(diào)遞增，從而當x＝1時，h（x）取最小值h（1）＝e，即y有最小值e．故選：B．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。（多選）9．（5分）已知x＞y＞0，且x+y＞1，則（）A．x2＞y2 B．x2﹣x＜y2﹣y C．2x＞2y D．lnx+lny＞0【解答】解：對于A，因為x＞y＞0，所以x2＞y2，即選項A正確；對于B，不妨取x＝2，y＝1，則x2﹣x＝4﹣2＝2，y2﹣y＝1﹣1＝0，此時x2﹣x＞y2﹣y，即選項B錯誤；對于C，因為函數(shù)y＝2x單調(diào)遞增，所以2x＞2y，即選項C正確；對于D，不妨取x＝2，y=12，則lnx+lny＝ln（xy）＝ln（2×12）＝故選：AC．（多選）10．（5分）在平面直角坐標系xOy中，點P（1，0）繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)α后到達點Q（x0，y0），若cosα-3sinα=-2213A．126 B．7326 C．-【解答】解：因為cosα-3sinα=-2213，所以2cos（α+π3）=-當α+π3是第二象限角時，sin（α+π所以cosα＝cos[（α+π3）-π3]＝cos（α+π3）cosπ所以x0＝cosα=1當α+π3是第三象限角時，sin（α+π所以cosα＝cos[（α+π3）-π3]＝cos（α+π3）cosπ3+sin（α所以x0＝cosα=-23綜上，x0的可能取值為126或-故選：AD．（多選）11．（5分）已知點P是圓C：x2+y2＝8上的動點，直線x+y＝4與x軸和y軸分別交于A，B兩點，若△PAB為直角三角形，則點P的坐標可以是（）A．（﹣2，﹣2） B．（﹣2，2） C．(1+3，1-3【解答】解：由題可得A（4，0），B（0，4），設(shè)P（x，y），當∠PAB為直角時，AP→=(x-4，y)，∴AP→即（x﹣4）×（﹣4）+4y＝0，即x﹣y﹣4＝0，又x2+y2＝8，∴x=2y=-2，∴此時P當∠ABP為直角時，BP→=(x，y-4)，∴BP→即（﹣4）x+4（y﹣4）＝0，即x﹣y+4＝0，又x2+y2＝8，∴x=-2y=2，∴此時P當∠APB為直角時，AP→=(x-4，y)，∵AP→即x（x﹣4）+y（y﹣4）＝0，即x2﹣4x+y2﹣4y＝0，又x2+y2＝8，∴x=1-3y=1+3或x=1+3y=1-3，∴此時P（1-3故選：BCD．（多選）12．（5分）如圖，已知圓柱母線長為4，底面圓半徑為23，梯形ABCD內(nèi)接于下底面圓，CD是直徑，AB∥CD，AB＝6，過點A，B，C，D向上底面作垂線，垂足分別為A1，B1，C1，D1，點M，N分別是線段CC1，AA1上的動點，點QA．若平面DMN交線段BB1于點R，則NR∥DM B．若平面DMN過點B1，則直線MN過定點 C．△ABQ的周長為定值 D．當點Q在上底面圓周上運動時，記直線QA，QB與下底面所成角分別為α，β，則1tan【解答】解：A：由題可得DC∥AB，AB?面ABB1A1，DC?面ABB1A1，故DC∥面ABB1A1；又CC1∥BB1，BB1?面ABB1A1，CC1?面ABB1A1，故CC1∥面ABB1A1；DC∩CC1＝C，DC，CC1?面DCC1D1，故面DCC1D1∥面ABB1A1；又DM?面DCC1D1，故DM∥面ABB1A1；又DM?面DMN，面DMN∩面ABB1A1＝NR，故可得DM∥NR，故A正確；B：根據(jù)題意，DB1，MN共面，又M、N分別為CC1，AA1上的動點，故直線MN?面ACC1A1；不妨設(shè)直線DB1與平面ACC1A1的交點為P，若要滿足DB1與MN共面，則直線MN必過點P，又P為定點，故B正確；C：設(shè)△ABQ的周長為l，當點Q與B1重合時，l=AB+BB當點Q與A1B1中點重合時，連接BQ，AQ：此時l＝AB+BQ+AQ＝AB+2BQ＝6+2(12顯然△ABO周長不為定值，故C錯誤；D：過O作底面垂線，垂足為E，且在下底面圓周上，即QE⊥面ABCD，連接BE，AE，則∠QBE，∠QAE分別是直線QA，QB與下底面所成的角，∴sinα=QEAQ，cosα=AEAQ，sinβ=則cosαsinα=AE則cos∵QE＝4，AB＝6，底面圓半徑為23，若E在AB對應(yīng)優(yōu)弧上時，∠AEB=π3，則cos∠AEB∴AE2+BE2﹣AE?BE＝36≥AE2+BE22，當且僅當AE＝BE若E在AB對應(yīng)劣弧上時，∠AEB=2π3，則cos∠AEB∴AE2+BE2+AE?BE＝36≤3(AE2+BE2)此時AE2+BE2≥24，綜上24≤AE2+BE2≤72，32故cos2αsin2α+故選：ABD．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．（5分）“x＜﹣1”是“x2﹣1＞0”的充分不必要條件．【解答】解析：x2﹣1＞0?x＞1或x＜﹣1，故x＜﹣1?x2﹣1＞0，但x2﹣1＞0不能得出x＜﹣1，∴“x＜﹣1”是“x2﹣1＞0”的充分不必要條件．故答案為：充分不必要14．（5分）已知某學(xué)校高二年級有男生500人、女生450人，調(diào)查該年級全部男、女學(xué)生是否喜歡徒步運動的等高堆積條形圖如圖，現(xiàn)從所有喜歡徒步的學(xué)生中按分層抽樣的方法抽取24人，則抽取的女生人數(shù)為9．【解答】解：由等高堆積條形圖可得喜歡徒步的男生有500×0.6＝300人，喜歡徒步的女生有450×0.4＝180人．故喜歡徒步的總?cè)藬?shù)為300+180＝480人．按分層抽樣的方法抽取24人，則抽取的女生人數(shù)為180480故答案為：9．15．（5分）在三棱錐D﹣ABC中，已知平面BCD⊥平面ABC，∠CBD＝90°，∠BCA＝45°，AB=22，BD＝2，則三棱錐D﹣ABC的外接球的表面積為20π【解答】解：如圖所示：三棱錐D﹣ABC中，已知平面BCD⊥平面ABC，∠CBD＝90°，所以BD⊥BC，故BD⊥平面ABC，故AB⊥BD，∠BCA＝45°，AB=22，BD在△ABC中，有2R=AB所以外接圓的半徑為2，由于平面BCD⊥平面ABC，且其交線為BC，所以BD⊥BC，故BD⊥平面ABC，所以三棱錐D﹣ABC的外接球的半徑為r=(故外接球的表面積S=4?π?(5故答案為：20π．16．（5分）若數(shù)集S的子集滿足：至少含有2個元素，且任意兩個元素之差的絕對值大于1，則稱該子集為數(shù)集S的超子集．已知集合An={1，2，3，?，n}(n∈N*，n≥3)，記An的超子集的個數(shù)為an，則【解答】解：集合{1，2，3，…，k，k+1，k+2}（k∈N*）的超子集可以分為兩類：第一類中不含有k+2，這類子集有ak+1個，第二類子集中含有k+2，這類子集為{1，2，3，．…，k}的超子集與{k+2}的并集，共有ak+k個，∴ak+2＝ak+1+ak+k，∵a3＝1，a4＝3，∴a5＝7，a6＝14，a7＝26，a8＝46，a9＝79．故答案為：79．四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（10分）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為菱形，平面PAD⊥底面ABCD，且PA＝PD＝AB＝4，∠BAD＝60°，E為CD的中點，F(xiàn)為AD的中點．（1）證明：BD⊥平面PEF；（2）求三棱錐B﹣PCE的體積．【解答】（1）證明：連接AC，如圖所示，因為底面ABCD為菱形，所以AC⊥BD，又因為E為CD的中點，F(xiàn)為AD的中點，所以EF∥AC，所以BD⊥EF，因為PA＝PD，F(xiàn)為AD的中點．所以PF⊥AD，又因為平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD＝AD，所以PF⊥平面ABCD，又因為BD?平面ABCD，所以PF⊥BD，且EF∩PF＝F，EF?平面PEF，PF?平面PEF，所以BD⊥平面PEF．（2）解：AB＝BC＝4，CE=12CD＝2，∠所以S△BCE=12BC?CE?sin60°=12×又因為PA＝PD＝AD＝4，所以PF=32AD＝2所以三棱錐B﹣PCE的體積為：V三棱錐B﹣PCE＝V三棱錐P﹣BCE=13S△BCE?PF=13×18．（12分）已知函數(shù)f(x)=2sinxcosx+3（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；（2）在銳角△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若a＝2，f(A)=3，求△ABC【解答】解：（1）f(x)=sin2x-3函數(shù)的最小正周期為T=2π由2kπ-π2≤2x-即函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-π（2）∵f(A)=2sin(2A-π∴sin(2A-π因為0＜A＜π所以-π所以2A-π∴A=π又a＝2，由余弦定理可得b2+c2﹣a2＝2bccosA＝bc，即（b+c）2﹣2bc﹣4＝bc，則(b+c)2=3bc+4≤3(b+c∴b+c≤4，∴a+b+c≤6，所以△ABC周長最大值為6．19．（12分）設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足Sn（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）解關(guān)于n的不等式：a1【解答】解：（1）由Sn=2an-1(n∈N*)知當n≥2，有二式相減得an＝2an﹣2an﹣1，即an＝2an﹣1，又S1＝2a1﹣1＝a1，解得a1＝1，所以數(shù)列{an}是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以an＝2n﹣1；（2）結(jié)合（1）知原式＝1×Cn0+2×Cn1+22×Cn2由于3n隨著n的增大而增大，且36＝729＜2023，37＝2187＞2023，所以正整數(shù)n最大可取6，即原不等式的解集為{n|n≤6，n∈N*}．20．（12分）某籃球聯(lián)賽分為初賽和復(fù)賽兩個階段，組委會根據(jù)初賽成績進行第一階段排名（假設(shè)排名不重復(fù)），前六名的球隊直接進入復(fù)賽，第七、八名的球隊進行第一場復(fù)活賽，勝者進入復(fù)賽；第九、十名的球隊進行一場比賽，勝者與第一場復(fù)活賽的敗者進行第二場復(fù)活賽，本場的勝者成為進入復(fù)賽的最后一支球隊．假設(shè)各場比賽結(jié)果互不影響，且每場比賽必須分出勝負．（1）若初賽后，甲、乙、丙、丁四隊分別排在第七、八、九、十名，丁隊與甲、乙、丙隊比賽獲勝的概率分別是0.4，0.5，0.6，甲隊與乙隊比賽獲勝的概率是0.6，則丁隊進入復(fù)賽的概率是多少？（2）若甲，乙兩隊進入復(fù)賽，在復(fù)賽中，甲隊與乙隊需進行一場五局三勝制的比賽，只要其中一方獲勝三局，比賽結(jié)束、假設(shè)各局比賽結(jié)果互不影響．若乙隊每局比賽獲勝的概率為13，設(shè)比賽結(jié)束時乙隊獲勝的局數(shù)為X，求X【解答】解：（1）依題意，記丁隊進入復(fù)賽的事件為A，丁隊進入復(fù)賽需參加