2014新課標-函數(shù)的基本性質(zhì)-4離散型隨機變量的分布列

隨機變量的分布列【考點系統(tǒng)歸納】離散型隨機變量——如果隨機變量X的所有可能的取值都能一一列舉出來，則稱X為離散型隨機變量.離散型隨機變量的概率分布（離散型隨機變量的分布列）XP離散型隨機變量的分布列的性質(zhì)：.離散型隨機變量的期望與方差：……為…，則有…，…，所以(2)對于離散型隨機變量ξ，如果它所有可能取的值是，，…，，…，且取這些值的概率分別是，，…，，…，那么,＝＋＋…＋＋…稱為隨機變量ξ的均方差，簡稱為方差，式中的是隨機變量ξ的期望．4.幾種分布列：二點分布：X10P其中，則稱離散型隨機變量的X服從參數(shù)為的二點分布.舉例：籃球運動員在比賽中每次罰球命中得一分，不中得0分.已知某籃球運動員罰球命中得概率為0.8，則他罰球一次的得分的分布列為隨機變量X服從參數(shù)的二項分布.二點分布的期望與方差：期望,方差.(2).超幾何分布：設有總數(shù)為N件的兩類物品，其中一類有M件，從所有物品中任取n件(n≤N)，這n件中所含這類物品件數(shù)X是一個離散型隨機變量，它取值為m時的概率P(X＝m)＝eq\f(CMmCN－Mn－m,CNn)(0≤m≤l，l為n和M中較小的一個)，稱這種離散型隨機變量的概率分布為超幾何分布，也稱X服從參數(shù)為N、M、n的超幾何分布．超幾何分布給出了求解這類問題的方法，可以當公式直接運用求解．超幾何分布的期望：（3）.二項分布：如下：X…………由于恰好是二項展開式中的各項的值，所以稱這樣的隨機變量服從二項分布，記作，其中，為參數(shù)，并記＝．…二項分布的期望與方差：若，則正態(tài)分布：正態(tài)變量概率密度曲線的函數(shù)表達式：正態(tài)曲線的性質(zhì)：曲線在x軸的上方，并且關于對稱；曲線在處于最高點，并由此處向左右兩邊延伸時，曲線逐漸,呈現(xiàn)“中間，兩邊”的形狀；曲線的形狀由參數(shù)確定，越大，曲線越“”，越小，曲線越“”.【典型例題精講】求離散型隨機變量的分布列的步驟：要確定隨機變量的可能取值有哪些.明確每個值所表示的意義.分清概率類型，計算取得每一個值時的概率（取球、抽取產(chǎn)品等問題還要注意是放回抽樣還是不放回抽樣）.列表，給出分布列，并用分布列的性質(zhì)驗證.【例1】（2010年高考上海市理科6）隨機變量的概率分布率由下圖給出：則隨機變量的均值是【例2】.(2010年全國高考寧夏卷6）某種種子每粒發(fā)芽的概率都為0.9，現(xiàn)播種了1000粒，對于沒有發(fā)芽的種子，每粒需再補種2粒，補種的種子數(shù)記為X，則X的數(shù)學期望為（A）100（B）200（C）300（D）400【例3】（上海理9）馬老師從課本上抄錄一個隨機變量的概率分布律如下表請小牛同學計算的數(shù)學期望，盡管“！”處無法完全看清，且兩個“？”處字跡模糊，但能肯定這兩個“？”處的數(shù)值相同。據(jù)此，小牛給出了正確答案.【例4】（浙江理15）某畢業(yè)生參加人才招聘會，分別向甲、乙、丙三個公司投遞了個人簡歷，假定該畢業(yè)生得到甲公司面試的概率為，得到乙丙公司面試的概率為，且三個公司是否讓其面試是相互獨立的。記X為該畢業(yè)生得到面試得公司個數(shù)。若，則隨機變量X的數(shù)學期望【例5】（湖北理5）已知隨機變量服從正態(tài)分布，且Ｐ（＜4）＝，則Ｐ（0＜＜2）＝ Ａ．0．6 B．0．4 C．0．3 D．0．2【例6】（天津理16）學校游園活動有這樣一個游戲項目：甲箱子里裝有3個白球、2個黑球，乙箱子里裝有1個白球、2個黑球，這些球除顏色外完全相同，每次游戲從這兩個箱子里各隨機摸出2個球，若摸出的白球不少于2個，則獲獎．（每次游戲結束后將球放回原箱）（Ⅰ）求在1次游戲中，（i）摸出3個白球的概率；（ii）獲獎的概率；（Ⅱ）求在2次游戲中獲獎次數(shù)的分布列及數(shù)學期望.【例7】某公司通過三次測試來聘用職員，一旦某次測試就聘用，否則就已知測試到第三次為止.設每位職員每次通過測試的概率依次為.（Ⅰ）求某職員能聘用的概率；(Ⅱ)當為多少時，4位職員中恰有2人被聘用的概率最大，求4位職員中被聘用人數(shù)的分布列及數(shù)學期望.【例8】【20122012海淀模擬】為了加強大學生實踐、創(chuàng)新能力和團隊精神的培養(yǎng)，促進高等教育教學改革，交于部門主辦了全國大學生智能汽車競賽，該競賽分為預賽和決賽兩個階段，參加決賽的隊伍按照抽簽的方式確定出場順序，通過預賽，選拔出甲、乙等五支隊伍參加比賽。求決賽中甲，乙兩支隊伍恰好排在前兩個位置的概率。若決賽中甲隊和乙隊之間間隔的隊伍數(shù)記為X，求X的分布列和數(shù)學期望。【例9】【2012東營一?！磕硨W校為調(diào)查了解學生體能狀況，決定對高三學生進行一次體育達標測試，具體測試項目有100米跑、立定跳遠、擲實心球.測試規(guī)定如下：①三個測試項目中有兩項測試成績合格即可認定為體育達標；②測試時要求考生先從三個項目中隨機抽取兩個進行測試，若抽取的兩個項目測試都合格或都不合格時，不再參加第三個項目的測試；若抽取的兩個項目只有一項合格，則必須參加第三項測試.已知甲同學跑、跳、擲三個項目測試合格的概率分別是、、，各項測試時間間隔恰當，每次測試互不影響.（Ⅰ）求甲同學恰好先抽取跳、擲兩個項目進行測試的概率；（Ⅱ）求甲同學經(jīng)過兩個項目測試就能達標的概率；（Ⅲ）若甲按規(guī)定完成測試，參加測試項目個數(shù)為，求的分布列和期望.【例10】【2012煙臺一模】在一次數(shù)學考試中，第21題和第22題為選做題.規(guī)定每位考生必須且只須在其中選做一題.設4名考生選做這兩題的可能性均為.（1）求其中甲、乙二名學生選做同一道題的概率；（2）設這4名考生中選做第22題的學生個數(shù)為，求的概率分布及數(shù)學期望.【例11】（2012湖南理18）某商店試銷某種商品20天，獲得如下數(shù)據(jù)：日銷售量（件）0123頻數(shù)1595試銷結束后（假設該商品的日銷售量的分布規(guī)律不變），設某天開始營業(yè)時有該商品3件，當天營業(yè)結束后檢查存貨，若發(fā)現(xiàn)存貨少于2件，則當天進貨補充至3件，否則不進貨，將頻率視為概率。（Ⅰ）求當天商品不進貨的概率；（Ⅱ）記X為第二天開始營業(yè)時該商品的件數(shù)，求X的分布列和數(shù)學期型。【例12】（山東理18）紅隊隊員甲、乙、丙與藍隊隊員A、B、C進行圍棋比賽，甲對A，乙對B，丙對C各一盤，已知甲勝A，乙勝B，丙勝C的概率分別為0.6,0.5,0.5，假設各盤比賽結果相互獨立。（Ⅰ）求紅隊至少兩名隊員獲勝的概率；（Ⅱ）用表示紅隊隊員獲勝的總盤數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望.【例13】（四川理18）本著健康、低碳的生活理念，租自行車騎游的人越來越多。某自行車租車點的收費標準是每車每次租不超過兩小時免費，超過兩小時的收費標準為2元（不足1小時的部分按1小時計算）。有人獨立來該租車點則車騎游。各租一車一次。設甲、乙不超過兩小時還車的概率分別為；兩小時以上且不超過三小時還車的概率分別為；兩人租車時間都不會超過四小時。（Ⅰ）求甲、乙兩人所付租車費用相同的概率；（Ⅱ）求甲、乙兩人所付的租車費用之和為隨機變量，求的分布列與數(shù)學期望；【典型例題】參考答案【例1】（2010年高考上海市理科6）【答案】8.2【例2】.(2010年全國高考寧夏卷6）【答案】B解析：根據(jù)題意顯然有，所以，故【例3】【答案】2【例4】【答案】【例5】（湖北理5）【答案】C【例6】（天津理16）解析：（I）（i）解：設“在1次游戲中摸出i個白球”為事件則（ii）解：設“在1次游戲中獲獎”為事件B，則，又且A2，A3互斥，所以（II）解：由題意可知X的所有可能取值為0，1，2.所以X的分布列是X012PX的數(shù)學期望【例7】解析：(Ⅰ)某職員被聘用的概率為.(Ⅱ)若4位職員中恰有2人被聘用的概率由于當且僅當時，，此時，解得.4為職員中被聘用人數(shù)的取值為0、1、2、3，01234由于服從二項分布，所以=2.【點評】此題巧妙在第二問中涉及到的最值問題.把概率問題和函數(shù)最值問題聯(lián)系到一起.利用了均值不等式求最值，確定P的值.【例8】【20122012海淀模擬】.隨機變量的分布列為：因為，所以隨機變量的數(shù)學期望為.【例9】【2012東營一?！俊纠?0】【2012煙臺一?！拷馕觯海?）設事件表示“甲選做第21題”，事件表示“乙選做第21題”，則甲、乙2名學生選做同一道題的事件為“”，且事件、相互獨立∴=.（2）隨機變量的可能取值為0,1,2,3,4，且～.∴∴變量的分布表為：01234【例11】（2012湖南理18）解析：（I）（“當天商品不進貨”）（“當天商品銷售量為0件”）（“當天商品銷售量為1件”）（Ⅱ）由題意知，的可能取值為2,3.（“當天商品銷售量為1件”）（“當天商品銷售量為0件”）（“當天商品銷售量為2件”）（“當天商品銷售量為3件”）故的分布列為23的數(shù)學期望為【例12】（山東理18）解析：（I）設甲勝A的事件為D，乙勝B的事件為E，丙勝C的事件為F，則分別表示甲不勝A、乙不勝B，丙不勝C的事件。因為由對立事件的概率公式知紅隊至少兩人獲勝的事件有：由于以上四個事件兩兩互斥且各盤比賽的結果