2023北師大版新教材高中數(shù)學選擇性必修第一冊考前必背

考前必背

一、直線的傾斜角、斜率及其關(guān)系

1.在平面直角坐標系中，對于一條與X軸相交的直線I,把X軸（正方向）按逆時

針方向繞著交點旋轉(zhuǎn)到和直線I首次重合時所成的角，稱為直線I的傾斜角.

當直線I與x軸平行或重合時，規(guī)定它的傾斜角為0。.

直線的傾斜角ae[0,TT）.

2.當直線I的傾斜角《時，其傾斜角a和斜率k滿足k=tana.

3.經(jīng)過兩點Pi（xi,yi）,P2（X2,y2）（x什X2）的直線的斜率為

二、直線的方程

直線方程的五種形式及適用范圍:

名稱已知條件方程適用范圍

點斜式過一點、斜率y-yo=k(x-xo)

在V軸上的與x軸不垂直的直線

斜截式y(tǒng)=kx+b

截距、斜率

y-yi二x-xi

兩點式過兩點與兩坐標軸均不垂直的直線

y2-YiX2-X1

在x軸,y軸上

截距式,A不過原點且與兩坐標軸均不垂直的直線

的截距ab

Ax+By+C=0

一般式所有直線

(A,B不全為0)

過一點、直線法A(x-xo)+

點法式所有直線

向量n=（A,B）B(y-yo)=O

三、直線間的位置關(guān)系與距離公式

1.兩條直線平行和垂直的判定

對于兩條不重合的直線142,其斜率分別為ki,k2.

位置關(guān)系判定特例

平行Iml2?ki=k2直線I1J2的斜率都不存在時,li與I2平行

一直線斜率為零，另一直線斜率不存在時，兩條

垂直liJ2?kik2=-1

直線垂直

2.兩條直線的交點坐標

直線li：AiX+Biy+Ci=O和L:A2X+B2y+C2=0的公共點的坐標就是方程組

+B[y+C】=0,

1所+82丫+。2=0

3.距離公式

⑴兩點Pl(Xl,yi),P2(X2,y2)的距離|PF2|=J(%2%)2+。2-%)2；

(2)點Po(xo,yo)到直線l:Ax+By+C=0的距離d=卓福普(A,B不全為0);

(3)兩條平行直線li：Ax+By+G=0,l2：Ax+By+C2=0間的距離d=^祟(A,B不

全為0,且Ci*C2).

四、圓的方程

圓的定義圓是平面內(nèi)到定點的距離等于定長的所有點的集合

圓心坐標:(a,b)

圓標準式(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)

的半徑為r

方x2+y2+Dx+Ey+F=0圓心坐標：(-2,-亨)

程一般式

(D2+E2-4F>0)半徑《")2+E2-4F

五、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系

1.判斷直線與圓的位置關(guān)系常用的兩種方法

(1)幾何法:利用圓心到直線的距離d和圓的半徑r的大小關(guān)系判斷；

(2)代數(shù)法:將直線方程代入圓的方程得到一元二次方程，利用判別式△判斷.

位置關(guān)系幾何法代數(shù)法

相交d<r△>0

相切d=r△=0

相離d>r△<0

2.圓與圓的位置關(guān)系

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設(shè)圓Oi：(x-ai)2+(y-bi)2=r；(ri>0),圓O2：(x-a2)+(y-b2)=r^(r2>0).

幾何法:根據(jù)圓心距d=QQ2|與代數(shù)法:根據(jù)兩圓方程組成的方程

位置關(guān)系

口+「2或|門-「2|的大小關(guān)系進行判斷組解的個數(shù)進行判斷

外離d>ri+r2無解

外切d=n+r2一組實數(shù)解

相交|ri-r2|<d<ri+r2兩組不同的實數(shù)解

內(nèi)切d=|ri-f2|(ri*r2)一組實數(shù)解

內(nèi)含無解

0<d<|ri-r2|(ri*r2)

六、橢圓的標準方程及其幾何性質(zhì)

2222

標準方程—+^-=1(a>b>0)左+京?=1(a>b>0)

范圍-asXsa,-bsysb-asysa.-bsXsb

性對稱性對稱軸:坐標軸;對稱中心:原點

Ai(-a,0),A2(a,0),Ai(0,-3),A2(0,a),

Bi(0,-b),B2(0,b)Bi(-b,0),B2(b,0)

長軸AIA的長為2a,a為長半軸長;

軸2

短軸BIB2的長為2b,b為短半軸長

焦距|FIF2|=2C

離心率e=；,ee(0,1)淇中c=Va2-b2

a,b,c的關(guān)系a2=b2+c2

七、雙曲線的標準方程及其幾何性質(zhì)

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標準方程亳一標=1(a>0,b>0)幺一標=1(a>0,b>0)

一、斗八,

圖形

范圍x<-a或xzayRx<R,ys-a或y>a

對稱性對稱軸:坐標軸;對稱中心:原點

頂點Ai(-a,0),A2(8,0)Ai(0,-3),A2(0,a)

性.b,a

漸近線=±Xy=土/

質(zhì)ya

離心率e=?,ee(1,+s),其中c=Va2+b2

實軸AIA的長為2a,a為實半軸長;

軸2

虛軸BIB2的長為2b,b為虛半軸長

a,b,c的關(guān)系c2=a2+b2

八、拋物線的標準方程及其幾何性質(zhì)

I

圖形「k%卡

y2=2pxy2=-2pxx2=2pyx2=-2py

標準方程(p>0)(p>0)(P>0)(P>0)

p的幾何意義:焦點F到準線I的距離

性頂點0(0,0)

質(zhì)對稱軸X軸y軸

焦點F/O）F（O'f）F（2）

F信。）

離心率e=1

-P

準線方程x=-x=-vy甘

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范圍xaO,y6RxsO.yeRy20,XeRysO.XeR

開口方向向右向左向上向下

九、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的判斷

聯(lián)立直線I與圓錐曲線C的方程，消去x（或y）,得ay2+by+c=0（或ax2+bx+c=0）,

設(shè)其判別式為△，則有：

⑴若a=0,則當b=0時,1與C相離（無交點）;當b*0時,1與C相交（1個交點）.

（2）若a，0,則當△＞（）時,1與C相交（2個交點）;當A=0時,l與C相切（1個交點）；

當△＜（）時,1與C相離（無交點）.

十、圓錐曲線的弦長公式

當直線的斜率存在時，不妨設(shè)直線y=kx+b與圓錐曲線相交于A（xi,yi）,B（x2）y2）

兩點，則可得弦長公式：

|AB|=AE+/C2|XI-X2|=V1+N.J%+%2產(chǎn)4%1%2或|AB|=J1+專3廣

y2|=Jl+喪J仇+〉2）2-4%丫2體0）；

當直線的斜率不存在時,|AB|=|y2-yi|.

十一、空間向量運算的坐標表示

1.空間向量運算的坐標表示

設(shè)a=(ai,a2,a3),b=(bi,b2,b3).

運算坐標表示

加法a+b=(ai+bi,a2+b2,a3+b3)

減法a-b=(ai-bi,a2-b2,a3-b3)

=

數(shù)乘Aa(Aai,Aa2,Aa3)JAeR

數(shù)量積ab=aibi+a2b2+a3b3

2.空間向量常用結(jié)論的坐標表示

設(shè)a=(ai,a2,a3),b=(bi,b2,b3).

結(jié)論坐標表示

共線anb(b?0)?a=Ab?ai=Abi,a2=Ab2,a3=Ab3(AeR)

垂直abaACLaibi+a2b2+a3b3=0

向量長度|a|=Va-a=vai+a2+a3

向量夾c°sva,b>=衛(wèi)=%4+。*2+的匕3

角公式同同Jahai+aiJbi+bi+bi

3.空間兩點間的距離公式

設(shè)P(xi,yi,zi),Q(X2,y2,Z2)是空間中任意兩點，則

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IPQI=7(%2-XI)+(y2-yi)+

十二、空間向量基本定理

如果向量a,b,c是空間三個不共面的向量,p是空間任意一個向量，那么存在唯

一的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z),使得p=xa+yb+zc.

十三、空間向量

1.設(shè)直線l,m的方向向量分別為|J,v,平面a,p的法向量分別為ni,r)2,則

線線平行l(wèi)iim或I與m重合叩N=|J=AV,入,：R

線面平行Ina或ni=0

面面平行aiiP或a與B重合oDinn20nl=入2,入eR

線線垂直Lm?pxV^pv=0

線面垂直lj.ae>pnni?p=Ani,AeR

面面垂直aiP?ni±n2?nin2=0

線線角l,m所成的角0e[o,],cos0-l/z1

L2jIMIIV|

線面角l,o（所成的角ejo,4，sine=當萼

L2」iMllnil

二面角一面角。叫TT],cose-12或cos?！?2

|ni||n2||ni||n2|

2.點到平面的距離

點P到平面a的距離，等于點P與平面a內(nèi)任意一點A連線所得向量刀，在

平面a的單位法向量no方向上所作投影向量的長度，即d=\PAn0\.

3.點到直線的距離

若點P是直線I外一點Jo是直線I的單位方向向量，點A是直線I上任意一點,

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則點P到直線I的距離為d=J|PA|-|PA-Z0|.

十四、計數(shù)原理

1.排列與排列數(shù)

(1)排列

一般地，從n個不同元素中取出m(m=n,且m,rieN+)個元素，按照一定的順序排

成一列，叫作從n個不同元素中取出m個元素的一個排列.

(2)排列數(shù)公式

A^=n(n-1)(n-2)....[n-(m-1)].

2.組合與組合數(shù)

(1)組合

一般地，從n個不同元素中任取m(mwn,且m,r)eN+)個元素為一組，叫作從n個

不同元素中取出m個元素的一個組合.

(2)組合數(shù)公式

Cm:A-=n(n-l)(n-2)?…n!

(3)組合數(shù)的性質(zhì)

①c肝c”；②咽1y+優(yōu)±

3.二項式定理

(1)二項式定理:(a+b)n=c%an+gan-1b+…+第an*bk+…+C的n,簡寫成

(a+b)n=XC?an-kbk.

k=Q

(2)二項式通項:Tk+產(chǎn)第an*bk,通項為二項展開式的第(k+1)項.

4.二項式系數(shù)的和:(a+b)n的展開式的各二項式系數(shù)的和等于2、即

第+禺+鬃+…+喘=2n.

十五、概率

1.條件概率

設(shè)A.B是兩個事件，且P(A)>0,則稱P(B|A尸郊為在事件A發(fā)生的條件下事

件B發(fā)生的條件概率.

2.乘法公式與事件的獨立性

(1)乘法公式

P(AB)=P(B|A)P(A)(其中P(A)>0).

P(AB)=P(A|B)P(B)(其中P(B)>0).

(2)相互獨立事件

如果事件A(或B)是否發(fā)生對事件B(或A)發(fā)生的概率沒有影響，這樣的兩個事

件就叫作相互獨立事件.事件A與事件B相互獨立=P(AB)=P(A)P(B).

3.全概率公式

設(shè)BI,B2，…,Bn為樣本空間Q的一個劃分，若P(Bi)>0(i=1,2，…,n),則對任意一

n

個事件A有P(A)=ZP(B?P(A|Bi),稱此公式為全概率公式.

i=i

4.離散型隨機變量的分布列、期望與方差

名稱表現(xiàn)形式(或公式)性質(zhì)

,XX|X2...Xn

分布列

PPlP2...PnP1+P2+…+Pn+…=1

期訊EX=X1Pi+X2P2+...+XiPi+...+>(nP

E(aX+b)=aEX+b

n

(1)D(aX+b)=

n

方差DX=E(X-EX)2=Z(Xi-EX)2a2DX;

i=lPi

(2)DX=E(X2)-(EX)2

5.幾種常見的概率分布

名稱概念(或公式)數(shù)字特征

二項P(X=k)=C^pk(1-p)n-k,k=0,1,2，…,n.記作EX=np;

分布X-B(n,p)DX=