2021中考數(shù)學(xué)真題知識點分類匯編-圓解答題3圓綜合題（含答案）

2021中考數(shù)學(xué)真題知識點分類匯編-圓解答題3圓綜合題(含答案)

一.圓的綜合題(共42小題)

1.(2021?陜西)問題提出：

(1)如圖1,在四邊形48緲中，48=47=3,AC=4.求仇＞3的值.

問題解決：

(2)有一個直徑為30cm的圓形配件如圖2所示.現(xiàn)需在該配件上切割出一個四邊

形孔洞要求NgN8=60°,并使切割出的四邊形孔洞08c的面積盡可能小，試

問，請求出四邊形)8c面積的最小值，及此時力的長，請說明理由.

2.(2021?內(nèi)江)如圖，是。。的直徑，C、。是。。上兩點，且BD=CD,交力8的延長線

于點尸，連結(jié)4?、如交于點G.

(1)求證：/應(yīng)是。。的切線；

(2)若地=2,。。的半徑為2,求陰影部分的面積；

AG3

(3)連結(jié)在(2)的條件下，求的長.

3.(2021*德州)已知。。為的外接圓，AD=CD.

(1)如圖1,延長4?至點B,使BD=AD

①求證：△48C為直角三角形；

②若。。的半徑為4,AD=5,求宓的值；

(2)如圖2,若2力仇=90°,￡為。0上的一點，￡位于〃■兩側(cè)，作△/＜如關(guān)于4)對稱

的圖形△力"?，試猜想。I,QC

B

4.(2021*綿陽)如圖，四邊形48緲是。。的內(nèi)接矩形，過點4的切線與3的延長線交于

點M,AD>\,CA1.

(1)求證：△〃以"△刈步：

(2)設(shè)力。=不求ACOM的面積(用x的式子表示)；

(3)若NA0E=NC0D,求處的長.

5.(2021?濰坊)如圖，半圓形薄鐵皮的直徑力8=8,點0為圓心(不與48重合)，連接

兒;并延長到點。，使3奇，CB,48于點￡F,H,記NA8A6,6隨點C的移動

而變化.

(1)移動點C,當(dāng)點H,。重合時；

(2)當(dāng)6<45°時，求證：BH*AH=DH?FH-,

(3)當(dāng)9=45°時，將扇形4C剪下并卷成一個圓錐的側(cè)面，求該圓錐的底面半徑和高.

6.(2021?湘潭)德國著名的天文學(xué)家開普勒說過：“幾何學(xué)里有兩件寶，一個是勾股定理，

另一個是黃金分割.如果把勾股定理比作黃金礦的話

如圖①，點C把線段48分成兩部分，如果絲=近二1,那么稱點C為線段形的黃金分

AC2

圖①圖②圖③

(1)特例感知：在圖①中，若/4Q100,求4C的長；

(2)知識探究：如圖②，作。0的內(nèi)接正五邊形；

①作兩條相互垂直的直徑胸、//;

②作CW的中點只以戶為圓心，月4為半徑畫弧交〃于點0；

③以點力為圓心，力。為半徑，在。。上連續(xù)橫取等弧，連接力￡

則五邊形ABODE為正五邊形.

在該正五邊形作法中，點。是否為線段。/的黃金分割點？請說明理由；

(3)拓展應(yīng)用：國旗和國徽上的五南星是革命和光明的象征，是一個非常優(yōu)美的幾何圖

形，與黃金分割有著密切的聯(lián)系.

延長題(2)中的正五邊形4反?2省的每條邊，相交可得到五角星，點￡是線段陽的黃金

分割點，請利用題中的條件_

7.(2021*遵義)點4是半徑為2底的。。上一動點，點5是。。外一定點，AB.

(1)【閱讀感知】如圖①，當(dāng)△48。是等邊三角形時，連接0C；

將下列解答過程補充完整.

解：將線段08繞點8順時針旋轉(zhuǎn)60°到0'B,連接比'，CO'.

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知：/OBO'=60°,BO'=80=6,即△080'是等邊三角形.

00'=Bgb

又?.?△力仇?是等邊三角形

：.ZABC^60°,AB=BC

：.ZOBO'=NABX6Q。

：.ZOBA=ZO'BC

在△煙1和8c中，

'0B=0‘B

?N0BA=N0'BC

AB=CB

二(S45)

AOA=O'C

在△00'C中，0C<00'+0'C

當(dāng)0,O',C三點共線，OXOO'+0'C

即OK00'+0'c

...當(dāng)0,O',C三點共線，0C取最大值，最大值是.

(2)【類比探究】如圖②，當(dāng)四邊形力83是正方形時，連接0C；

(3)【理解運用】如圖③，當(dāng)△48C是以48為腰，頂角為120°的等腰三角形時，求0C

的最小值，并直接寫出此時△48C的周長.

圖①

圖②圖③

8.(2021?桂林)如圖，四邊形48”?中，4B=40=90",4￡L處于點￡點。是線段〃7

上的點，以點。為圓心，交BC于點、F,連接0G.

(1)求證：△EC%XABE：

(2)求證：00與4。相切;

(3)若8c=6,AA3M，求。0的半徑和陰影部分的面積.

DC

GB

9.(2021*廣州)如圖，在平面直角坐標系x0y中，直線/：y=-,y軸相交于4、8兩點,

2

點P(.x,y)

(1)求48兩點的坐標：

(2)設(shè)的面積為S,求S關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出x的取值范圍；

(3)作△240的外接圓。C,延長外交。C于點0,當(dāng)△戶0。的面積最小時

10.(2021*泰州)如圖，在。。中，48為直徑，PA=\,PB=m(用為常數(shù),且加＞0),Q為

前上一動點(與點8不重合)，垂足為4連接4?、BQ.

(1)若m=3.

①求證：Nfl4g60。：

②求世的值；

DH

(2)用含〃的代數(shù)式表示FQ,請直接寫出結(jié)果；

DH

(3)存在一個大小確定的。。，對于點。的任意位置，都有初-2。4+戶?的值是一個定

值，求此時N。的度數(shù).

11.(2021*哈爾濱)已知。。是△48C的外接圓，48為。0的直徑，點人為47的中點，連

接BE,BE交AC于,&D.

(1)如圖1,求證：NCDSLNBAC=135°;

2

(2)如圖2,過點。作。G_L8￡,DG爻AB于點、F,連接。G,OD,求證：OG//AC-,

(3)如圖3,在(2)的條件下，連接4建近求4G的長.

5

12.(2021?益陽)如圖，在等腰銳角三角形48C中，AB^AC,延長劭交△48C的外接圓于

點E,過點A作AFI.CE于F,a■的延長線交于點G.

(1)判斷￡4是否平分NW,并說明理由；

(2)求證：(S)BD=CF；

②)BG=DV+AE*EG.

(1)請按如下要求完成尺規(guī)作圖(不寫作法，保留作圖痕跡).

①作N8461的角平分線力。，交8c于點。：

②作線段的垂直平分線EFm48相交于點0；

③以點0為圓心，以勿長為半徑畫圓，交邊48于點朋

(2)在(1)的條件下，求證：宓是。。的切線；

(3)若AM=48M,AC^\Q,求。。的半徑.

14.(2021?黃石)如圖，PA、陽是。。的切線，48是切點，連接0R交。0于點。

(1)求證：BC//OP-,

(2)若￡恰好是川的中點，且四邊形勿陽的面積是16日，求陰影部分的面積；

(3)若sinN夕k?=」，且4?=2愿，求切線21的長.

15.(2021?棗莊)如圖，。。是的外接圓，點。在8c邊上，連接8。CD

(1)求證：DP//BC-,

(2)求證：XABD^XDCP；

(3)當(dāng)AB=5cm,加=12初時，求線段外的長.

16.(2021-呼和浩特)已知是。。的任意一條直徑.

(1)用圖1,求證：。。是以直徑所在直線為對稱軸的軸對稱圖形；

(2)已知。。的面積為4TT,直線Q)與。。相切于點C,過點8作8〃_L3,如圖2.

求證：①LBG=2BD\

2_

②改變圖2中切點C的位置，使得線段見L8c時,OD=2版.

圖1圖2

17.(2021?大慶)如圖，已知48是。。的直徑.8c是。0的弦，弦口垂直于點尸

(1)求證：PC=PG-,

(2)判斷4=物所是否成立？若成立，請證明該結(jié)論；

(3)若G為BC中點,蚌辰,sin8=YL

18.(2021*永州)如圖1,是的直徑，點E是。0上一動點，8兩點重合，NEAB的

平分線交。。于點C,交/￡的延長線于點2

(1)求證：3是。。的切線；

(2)求證：A@=2AD?AO-,

(3)如圖2,原有條件不變，連接維，延長力8至點〃NE的/的平分線交作的延長線

于點只總有N4N0.

19.(2021*包頭)如圖，已知△/48C是等邊三角形，戶是△48C內(nèi)部的一點，CP.

(1)如圖1,以8c為直徑的半圓0交48于點0,交4c于點分誨上時，連接4只CD=

AP,連接DP-._

(2)如圖2,￡是8c邊上一點，XEC=3BE,連接。并延長，交4C于點尸，若有，求

證：AEF=3AB；

(3)如圖3,M是4;邊上一點，當(dāng)力42雨時，AB=6a,M—氐、,△比?。的面積為

S,求S-&的值(用含a的代數(shù)式表示).

20.(2021*綏化)如圖，在△/4宛中，AB^AC,DELAC,垂足為￡

(1)求證：跳是。。的切線；

(2)若弦例垂直于他垂足為G,旭」，MN=43-

AB4

(3)在(2)的條件下，當(dāng)N54a36°時

A

M,

BD

21.（2021*廣東）如圖，在四邊形ABCD中,AB//CD,N/8a90°，點E、尸分別在線段

BC、4）上，AB=AF,CD^DF.

(1)求證：CFLFB；

(2)求證：以4?為直徑的圓與8c相切；

(3)有EF=2,NDFE=120°,求△/1綏的面積.

22.（2021*柳州）如圖，四邊形4員》中，AD//BC,40=48=1,a=而，為半徑作圓,

延長3交于點尸，連結(jié)8尸，交.DE于點、G.

(1)求證：8c為。4的切線;

(2)求cosN冰的值：

(3)求線段8G的長.

23.（2021*宜賓）如圖1,。為。0上一點，點C在直徑班的延長線上

（1）判斷直線3與。0的位置關(guān)系，并說明理由；

（2）若tanN4?a=L,AC=2,求。。的半徑；

2

（3）如圖2,在（2）的條件下，N4出的平分線然交。0于點￡,連結(jié)8f.求sinNDBE

的值.

z>D,

'E

圖1圖2

24.(2021*廣西)如圖，已知4。，戶是。0的直徑。0與。OABC的邊AB,0C分別交

于點6M,與《尸的延長線交于點G,/AFE=LOCD.

(1)求證：3是。。的切線；

(2)若GF=1,求cosN〃77的值；

(3)在(2)的條件下，若N/I8C的平分線仍交比于點“，求細■的值.

25.(2021*北京)在平面直角坐標系x0y中，。。的半徑為1.對于點力和線段8a給出

如下定義：若將線段8c繞點力旋轉(zhuǎn)可以得到。。的弦,C(夕，C分別是8,C的

對應(yīng)點)

(1)如圖，點4&,G,&,Ci,氏,Q的橫、縱坐標都是整數(shù).在線段區(qū)G,8G,&G

中，。。的以點4為中心的“關(guān)聯(lián)線段”是；

(2)△/IS。是邊長為1的等邊三角形，點力(0,t),其中t豐0.若8c是。。的以點力

為中心的“關(guān)聯(lián)線段”；

(3)在A/lb。中，46=1,AX2.若仇?是。0的以點4為中心的“關(guān)聯(lián)線段”，以及相

應(yīng)的8C長.

26.(2021*南京)在幾何體表面上，螞蟻怎樣爬行路徑最短？

(1)如圖①，圓錐的母線長為12c叫3為母線OC的中點，AC的長為4ncm.在圖②所

示的圓錐的側(cè)面展開圖中畫出螞蟻從點4爬行到點6的最短路徑，并標出它的長(結(jié)果

保留根號).

O

①②

(2)圖③中的幾何體由底面半徑相同的圓錐和圓柱組成.0是圓錐的頂點，點4在圓柱

的底面圓周上，設(shè)圓錐的母線長為/

①螞蟻從點A爬行到點。的最短路徑的長為(用含/,/?的代數(shù)式表示).

②設(shè)AD的長為a,點8在母線0c上，在圖中畫出螞蟻從點4爬行到點8的最短路徑的示

意圖，并寫出求最短路徑的長的思路.

③

27.（2021*衢州）如圖1,點C是半圓0的直徑上一動點(不包括端點)，AB=6cm,連

結(jié)4。，過點C作絡(luò)〃4。交半圓于點￡,記4C=xcm,EC=y,cm,EB=y2cm.請你一起參

與探究函數(shù)必、外隨自變量x變化的規(guī)律.

通過幾何畫板取點、畫圖、測量，得出如下幾組對應(yīng)值，并在圖2中描出了以各對對應(yīng)

值為坐標的點

X???0.300.801.602.403.204.004.805.60

71…2.012.983.463.332.832.111.270.38

力…5.604.953.952.962.061.240.570.10

(1)當(dāng)x=3時，/,=.

(2)在圖2中畫出函數(shù)外的圖象，并結(jié)合圖象判斷函數(shù)值”與此的大小關(guān)系.

(3)由(2)知“4C取某值時，有EC=EB”.如圖3,嘗試通過計算EC,的長來驗證

這一結(jié)論

28.（2021*隨州）等面積法是一種常用的、重要的數(shù)學(xué)解題方法.它是利用“同一個圖形

的面積相等”、“分割圖形后各部分的面積之和等于原圖形的面積”、“同底等高或等底同

高的兩個三角形面積相等”等性質(zhì)解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題，在解題中，靈活運用等面積法解

決相關(guān)問題，解題過程簡便快捷.

（1）在直角三角形中，兩直角邊長分別為3和4,則該直角三南形斜邊上的高的長

為,其內(nèi)切圓的半徑長為;

（2）①如圖1,。是邊長為a的正△48C內(nèi)任意一點，點。為的中心1,hi,連

接仍BP,CP,易知工a（啟+為+々）=S△布=36△.可得名+4+/%=：（結(jié)果用

2

含a的式子表示）

圖1圖2

②如圖2,戶是邊長為a的正五邊形ABCOE內(nèi)任意一點、,設(shè)點P到五邊形ABCDE各近距離

分別為%,用,%,九，參照①的探索過程，試用含a的式子表示外+與+e+/74+%的值.（參

考數(shù)據(jù)：tan36°5-,tan54°

118

（3）①如圖3,已知。0的半徑為2,點力為外一點，為8切。。于點8,弦BCHQA、

則圖中陰影部分的面積為：（結(jié)果保留n）

②如圖4,現(xiàn)有六邊形花壇483M由于修路等原因需將花壇進行改造，其中點G在4尸

的延長線上，且要保證改造前后花壇的面積不變，并說明理由

圖3圖4

29.(2021*宜昌)如圖，在菱形力反》中，。是對角線劭上一點(仇7>〃0),垂足為￡,以

如為半徑的。。分別交外于點H,EFmAC交于點G.

(1)求證：8c是。。的切線；

(2)若G是。尸的中點，宓=2,〃G=1.

①求宸的長；

②求47的長.

30.(2021*長沙)如圖，點。為以為直徑的半圓的圓心，點M,點P,。在窟上，點C

在加上運動(點C與點只。不重合)，連接4?交欣?于點￡,連接00.

(1)求sinN470的值；

(2)求細的值；

MN

(3)令ME=x,Qgy,直徑48=2/?(/?>0,/?是常數(shù))，并指明自變量x的取值范圍.

31.(2021*株洲)如圖所示，是O0的直徑，點C、。是。。上不同的兩點，若0C=3C￡,

且9(成-#)=od.

(1)求證：直線C廠是。。的切線；

(2)連接勿、AD、AC、DC,若NC0P=2N80c.

①求證：MACD^△0BE:

②過點￡作￡G〃/8,交線段/4C于點G,點"為線段4C的中點，求線段期的長度.

D

32.(2021.上海)如圖，在圓。中，弦AB等于弦CD,其中￡、F為AB、Q)中點.

(1)證明：OPLEF；

(2)連接4尸、AC.CE,關(guān)AF/jOP,證明：四邊形〃FC為矩形.

—

33.(2021*寧波)如圖1,四邊形48切內(nèi)接于。0,劭為直徑，虹，滿足AE=CD,連結(jié)

維并延長交辦的延長線于點F

(1)若NDBXa,請用含a的代數(shù)式表示N4G8.

(2)如圖2,連結(jié)C￡CE=BG.求證：EF=DG.

(3)如圖3,在(2)的條件下，連結(jié)CG

①若tanN4?8=近，求△尸GA的周長.

②求CG的最小值.

34.(2021*臺州)如圖，劭是半徑為3的。0的一條弦，8。=4&(不與點8,。重合),

以4B,。為頂點作口ABCD.

(1)如圖2,若點4是劣弧劭的中點.

①求證：°ABCD是菱形;

②求qA8CD的面枳.

(2)若點4運動到優(yōu)弧劭上，且。有一邊與。。相切.

①求的長：

②直接寫出口力反》對角線所夾銳角的正切值.

(2)若CE是。。的切線，NO4g30°,連接0C

①請判斷四邊形為8c0的形狀，并說明理由；

②當(dāng)48=2時，求47,AC與加

36.(2021*揚州)在一次數(shù)學(xué)探究活動中，李老師設(shè)計了一份活動單:

已知線段60=2,使用作圖工具作NHIg30°,嘗試操作后思考:

(1)這樣的點4唯一嗎？

(2)點力的位置有什么特征？你有什么感悟？

“追夢”學(xué)習(xí)小組通過操作、觀察、討論后匯報：點力的位置不唯一，它在以8c為弦的

圓弧上(點&C除外)，….小華同學(xué)畫出了符合要求的一條圓弧(如圖1).

(1)小華同學(xué)提出了下列問題，請你幫助解決.

①該弧所在圓的半徑長為:

②面積的最大值為：

(2)經(jīng)過比對發(fā)現(xiàn)，小明同學(xué)所畫的角的頂點不在小華所畫的圓弧上，而在如圖1所示

的弓形內(nèi)部，請你利用圖1證明N班'67>30".

(3)請你運用所學(xué)知識，結(jié)合以上活動經(jīng)驗，解決問題：如圖2,BC=3,點、戶在直線

切的左側(cè)2.

3

①線段外長的最小值為；

②若s△皈=—S?PAO,則線段外長為

3

圖1圖2備用圖

37.(2021*溫州)如圖，在平面直角坐標系中，。“經(jīng)過原點0(2,0),B(0,8),連結(jié)

AB.直線"分別交。"于點。，￡(點。在左側(cè))，交x軸于點C(17,0)

(1)求。〃的半徑和直線。/的函數(shù)表達式；

(2)求點。，￡的坐標；

(3)點夕在線段4?上，連結(jié)在￡當(dāng)N40與△08。的一個內(nèi)角相等時，求所有滿足條件

的OP的長.

38.(2021*泰安)如圖1,。為半圓的圓心，C、。為半圓上的兩點，且BD=CD,與劭的

延長線相交于點E.

(1)求證：CD=ED；

(2)ADmOC,8c分別交于點尸，H.

①若CF=CH,如圖2,求證：CF*AF=FO*AH-,

②若圓的半徑為2,劭=1,如圖3

圖1圖2圖3

39.(2021*金華)在扇形加8中，半徑勿=6,點戶在以上，將戶沿戶8折疊得到△0'

BP.

(1)如圖1,若Ng75°,且80'與AB

①求N/戶。'的度數(shù).

②求為戶的長.

40.(2021*成都)如圖，49為。。的直徑，C為。。上一點，BC,。為延長線上一點,

且NBCgNA.

(1)求證：切是。。的切線；

(2)若。0的半徑為遙，宓的面積為2粕，求3的長：

(3)在(2)的條件下，￡為。。上一點，若里=工，求8尸的長.

CF2

41.(2021-遂寧)如圖，。。的半徑為1,點4是。0的直徑劭延長線上的一點，AMCD,

Z/1=30°.

(1)求證：直線AC是。0的切線；

(2)求△4861的面積；

(3)點￡在加上運動(不與8、。重合)，過點C作綏的垂線

①當(dāng)點￡運動到與點C關(guān)于直徑劭對稱時，求CF的長;

②當(dāng)點￡運動到什么位置時，次取到最大值，并求出此時次的長.

42.(2021?自貢)如圖，點。在以48為直徑的。。上，過。作。。的切線交＞48延長線于點

C,交。。于點打，連接力。

(1)求證：/DAE=ZDAC;

(2)求證：DF*AC=AD*DC-.

(3)若sinNU_1,/4P=4A/10,求)的長.

4

參考答案與試題解析

圓的綜合題（共42小題）

1.（2021?陜西）問題提出：

（1）如圖1,在四邊形力83中，48=47=3,4a4.求6俏'C。的值.

問題解決：

（2）有一個直徑為30cm的圓形配件。0,如圖2所示.現(xiàn)需在該配件上切割出一個四邊

形孔洞以8a要求N0=NQ6O°,并使切割出的四邊形孔洞）8c的面積盡可能小，試

問，請求出四邊形08。面積的最小值，及此時）的長，請說明理由.

圖1圖2

【解析】解：（1）如圖1,

SCAN仍。=90°,AXAB,

二N研N/l〃ai80°,

可以將△48C繞A點逆時針旋轉(zhuǎn)90°得

:./ADE=NB,AE^AC,

:.C、D、￡在同一條直線上，

：8DE=CE=V2AC=7衣:

(2)如圖2,

圖2

連接OB,

■:/AOC=60°,OA=OC,

???將△加8繞。點順時針旋轉(zhuǎn)60°至連接

:.NBOE=60°,OE=OB,

???488是等邊三角形，

:.BE=OB=、5,/BEO=60。,

:,NCB3NCEB=60Q,

:?NBCE=VZG,

**S四邊形OABC=S^AOB^S^BCO—S^CO^S^BCO

=S^BOE-S^BCE

=?我-S&BCE,

二要使四邊形/8c的面積最小，就要使48您的面積最大，

作正48防作它的外接圓。/,

當(dāng)C與C重合時，S△皿最大，

S&BCE以*=」"X15X（生近匹在，

5224

S囹邊成OABCS.A'=D"/^,

2

115

7°E-R

此時OA=OC=—±_____=-F-=5V3.

cos30°VI

2

2.（2021*內(nèi)江）如圖，48是。。的直徑，C、。是。。上兩點，且笳=而,交力8的延長線

于點尸，連結(jié)4）、如交于點G.

（1）求證：然是。。的切線；

（2）若地上，。。的半徑為2,求陰影部分的面積;

AG3

（3）連結(jié)維，在（2）的條件下，求8E的長.

【解析】（1）證明：如圖，連接OD,

■:BD=CD,

：.NCAD=/DAB,

、：OA=OD,

???NDAB=Z.ODA,

：.NCAD=NODA,

：.OD//AE,

■:DEIAC,

：.ODLDE、

???勿是。0的半徑，

???/坦是。。的切線；

(2)解：VOD//AE,

:.△OGD^AEGA,

.DG=0D

??而AEJ

VDG=2_,。。的半徑為5,

AG3

-2=_L

：.AE=3,

如圖，連接8。

,.?48是。0的直徑，DEA-AE,

:?NAED=NADB=9C,

■:NCAD=NDAB,

:.△AEMXADB,

.AE=AD

,,ADAB)

gp3AD

AD5'

：.AD=243,

在中，cosN以俗=地=逅

AB2

...N%8=30°,

二N7尸=60°,ZD0B=60°,

.?."=30°,

,：0X2,

在RtZUfil/中，AM^AE*cos60°=3X工=型2應(yīng)，

822

：.MB=AB-AM=1-旦=±

22______________

???比=必12+g2=4哼產(chǎn)+電工后.

3.(2021*德州)已知。0為的外接圓，AD=CD.

(1)如圖1,延長47至點8,使能=4)

①求證：△48C為直角三角形；

②若。。的半徑為4,4?=5,求成?的值：

(2)如圖2,若NADC=90°,￡為。。上的一點，f位于力C兩側(cè)，作?關(guān)于對稱

的圖形△4。。，試猜想0),QC

B

【解析】證明：(1)①,：AACD,BD^AD,

J.DB^DC.

:.DC^XAB.

2

...△48。為直角三角形;

???AD=CD,

：.OD，AC且AH=CH.

的半徑為3,

0A=0X4.

設(shè)D4x,則0〃=4-x,

,:A?=OX-0點,

Ab!=AB-Dk

A22-X2=62-(4-x)7.

解得：%=25

8

:.DH=運.

8

由①知：BCLAC,

?：ODLAC,

：.OD//BC.

"：AH=CH,

:.BC=2DH=運.

4

(2)OA,0d=50d+0^.理由：

延長》交。0于點尸，連接/有如圖,

VZADC=90°,AD^CD,

，NZZ4UN。)=45°.

：.NDFA=ZE=NDCA=45°,NDFC=NDAC=45°.

：.ZOFC=ZAFD^ZDFC^9Q°.

：.Od=Of?^CF".

'：XADQ與關(guān)于力。對稱，

:.NDQA=NE=45°,

：.NDQA=NDFA=45",

：.DQ=DF.

:.NQDF=18Q°-/.DQA-^QFD=9Q°.

.?./+"=/2.

即Q廣=2Dd.

，：/QDF=/ADC=qQ°,

：.ZODA=NCDF.

在△。/和△/7?C中，

<ZQAD=ZDCF

-NDQA=NDFC=45°,

DA=DC

：./\ODA^/\FDC(/US).

：.QA=FC.

:.Qd=2Qj+Q￡.

4.(2021*綿陽)如圖，四邊形49CZ?是。0的內(nèi)接矩形，過點/)的切線與切的延長線交于

點、M,AD>\,d.

(1)求證：△DB"l\AMD;

(2)設(shè)4?=x,求△砌的面積(用x的式子表示)；

(3)若NA0E=ZC0D,求應(yīng)■的長.

【解析】解：如圖1,

圖1

(1)?/4/是。。的切線，

：.OAA.AM,

：.ZCAM=90°,

:./MA>/DAC=9G,

???四邊形ABCD是短形,

：.ZABC=^BCD=ZADC=90°,

:.NBAC+/DAC=M,

JNMAD=/BAC,

對于前：

4BAG=/BDC、

：./MAD=4BDC,

義NMDA=NBCD=9G。,

:.△DBCsRAMCh、

(2)如圖2,

D

B圖2

取3的中點N,連接ON,

:四邊形ABCD是矩形,

：.AO=CO,

：.ON//AD,加■皿,x,

：./CNgNADg9Q",

：.0N\CM,

由(1)知：XDBAXAMD,

.AD=DM

**DCAD)

."仁和匕，,

DC

:.C4D除CD=G+',

：.S^=—CM-ON=L+?1.

228

3,

=X+x?.

4

(3)如圖7,

作歷」兒?于月，延長如交物的延長線于G

在中，AAx,

.?.，妹辦2+1

.4.0F=OC-CF=(x2-5)&2+1,

4(X2+1)

'：DF//AG,

：./\DOF^L\GOA,

.AG=OA

"DFOF'

71

CAnrgAODF-TCD-AD

...NA?DF=2______=4______

OFOFOF

1

l~x

(x°T)Hx2+4

2(X2+2)

.?.4=?263±1)

(X2-4)2

在RtZX/l。/中，由射影定理得,

A!^=DM*MC^x(x2+1),

,/2AOE=ZCOD,

/A02NCOD,

：.ZA0E=/AOG,

'：OA=OA,

ZOAM^AOAG,

：./\AOM^!\AOG(.ASA),

：.AG^AM,

...X(X+l)=*2(x2+[),

(X4-1)2

=我，X2=-我(舍去),

:.AD=?勿=返_,

2

nr—x,=V5

Vx2+13

夢=近，

5

作于"，設(shè)0E=a,

:.E40E?sinN加￡=a?sinNZWF

=a?EL=2ZZa,

OD8

：.OH^ka,

3

AH=―%V?=—3,

tan/DACDC33

AD

由A卅OH=OA得,

近，

352

?45炳

10，

即：0E=3y.

10

5.（2021?濰坊）如圖，半圓形薄鐵皮的直徑力8=8,點。為圓心（不與48重合），連接

4C并延長到點。，使“'nCOACB,CB,4B于點E,F,H,記NABC=6,6隨點C的移動

而變化.

（1）移動點c,當(dāng)點H,。重合時；

（2）當(dāng)e<45°時，求證：BH*AH=DH*FH\

（3）當(dāng)9=45°時，將扇形"C剪下并卷成一個圓錐的側(cè)面，求該圓錐的底面半徑和高.

【解析】解：（1）當(dāng)點“，。重合時，連接OC,

D

■:AXCD,

.??0C是直角三角形斜邊上的中線,

:.OXLAD,

2

義,：OXOA,

即)=且電，

2

AZP=30°,

又：NZXNZZ4行90°,N/8/N勿仞=90°,

:.NABC=2X30°,

sin6=A；

8

(2),：2DCB=NDHB=NACB=9G,

由

(1)知￡ABC=4D,

:.△BHFs△DCFs△DHA,

:?BH；DC：DH=HF?.CF：HA,

:?B仲AH=DH-FH\

(3)當(dāng)6=45°時，ZAOC=90°,

AC的長=工，

4

即圓錐的底面周長為3ri,

圓錐的底面半徑r=2兀=8,

2兀

??,圓錐的母線="=4,

*,?圓錐的高h—JAB2-r5=_y2=7]5,

即圓錐的底面半徑和高分別為1和，彳石.

6.(2021?湘潭)德國著名的天文學(xué)家開普勒說過：“幾何學(xué)里有兩件寶，一個是勾股定理，

另一個是黃金分割.如果把勾股定理比作黃金礦的話

如圖①，點C把線段48分成兩部分，如果空=近二1,那么稱點C為線段的黃金分

AC2

割點.

BEE

(1)特例感知：在圖①中，若48=100,求力C的長；

(2)知識探究：如圖②，作。。的內(nèi)接正五邊形；

①作兩條相互垂直的直徑削、AI-,

②作。V的中點尸，以戶為圓心，以為半徑畫弧交0附于點0；

③以點4為圓心，力。為半徑，在。。上連續(xù)截取等孤，連接

則五邊形ABODE為正五邊形.

在該正五邊形作法中，點。是否為線段"的黃金分割點？請說明理由：

(3)拓展應(yīng)用：國旗和國徽上的五角星是革命和光明的象征，是一個非常優(yōu)美的幾何圖

形，與黃金分割有著密切的聯(lián)系.

延長題(2)中的正五邊形48c紙的每條邊，相交可得到五角星，點￡是線段切的黃金

分割點，請利用題中的條件

【解析】解：(1)根據(jù)黃金分割點的意義，

得AB-AC=V^-1

AC-2-，

?.海=100,

遙-50；

(2)。是線段。/的黃金分割點，理由如下：

設(shè)。。的半徑為r,則OP=kr,

8

...以仁為—、0P240A2=喙「,

0gOP-OP=^-r-遍Yr,MQ=OM-0gr-r,

82222

8/___

...幽一2r-(泥+])=遙7

*,0QV4-1V5-7(V5-4)(V5+1)2

2

即0是線段。/的黃金分割點：

(3)如圖③，作PH工AE于H,

由題可知，A4HE,

?.?正五邊形的每個內(nèi)角都為(5-2)X18O04-5=108°,

:.NPE4W-108°=72°,

即cosN陽/=cos72°=旦旦，

PE

?.?點￡是線段PD的黃金分割點，

.DE=V4-1

"'PE~，

乂?：DE=AE,HE=AH=*,

2

...cos72。=EH=i^=lxAE=AxDE=^L2.

PEPE2PE2PE4

圖③

7.(2021.遵義)點4是半徑為26的。。上一動點，點5是。。外一定點，AB.

(1)【閱讀感知】如圖①，當(dāng)△48。是等邊三角形時，連接0C；

將下列解答過程補充完整.

解：將線段如繞點8順時針旋轉(zhuǎn)60°至||O'B,連接00',CO'.

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知：/OBO'=60°,BO'=Bg6,即△080是等邊三角形.

00'=a=6

又?.,△力仇?是等邊三角形

：.4ABX60°,AB=BC

：.ZOBO'=/腕=60°

AZOBA=ZO'BC

在△煙I和△0'8c中，

'0B=0‘B

<Z0BA=Z0zBC

AB=CB

△如但△0'BC(.SAS')

：.OA=O'C

在△00'C中，0C<00'+0'C

當(dāng)0,O',。三點共線，OC^OO'+0'G

即OC^.OO'+0'C

...當(dāng)0,O1,C三點共線，0C取最大值，最大值是_6+蓊_.

(2)【類比探究】如圖②，當(dāng)四邊形力83是正方形時，連接0C；

(3)【理解運用】如圖③，當(dāng)△48C是以為腰，頂角為120°的等腰三角形時，求必

的最小值，并直接寫出此時△48C的周長.

圖②圖③

【解析】解：(1)將線段如繞點8順時針旋轉(zhuǎn)60°到OB,連接00’.

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知：/0B0'=60°,BO'=80=6,

00'=Bg6,

又?.?△力及7是等邊三角形，

,AB=BC,

：.ZOBO'=/腕=60°,

AZOBA=ZO'BC,

在△。外和△0'8c中，

'0B=0'B

<Z0BA=Z0yBC.

AB=CB

二△。外絲BC{SAS'),

：.OA=O'C,

在△00'C中，0C<00'+0'c,

當(dāng)0,0',且點C在。O'的延長線上時，

即oc^o(y+o'c,

...當(dāng)o,o',且點c在比’的延長線上時，oc的最大值為8+K6.

故答案為：40BAQX0'BC,2+2V3.

(2)如圖②-8中，作以能為邊的正方形0仇?山，連接0G,GC,

圖②-1

?.?四邊形08a0是正方形，

：.0ABC\=6,N08&=9O°,

A

0C1=V20B=7V2>

:四邊形ABCD是正方形,

：.BA=BC,NABX90。,

：.NOBC\=NABC,

：.

ZOBA=NCbBC,

在△067和△G8C中，

'OB=BCi

<ZOBA=ZC2BC,

AB=BC

△煙絲△G8C（囹S）,

A

CC1=0A=7V3>

在△OCC中，根據(jù)“三角形兩邊之差小于第三邊“，得8&_W^=0C]_CC]<0C，

當(dāng)0,G,C三點共線，且點G在0C的延長線上時，^7-2\[3=0Cg-CC?=00,

即0G-CQW0C,__

...當(dāng)0,G,C三點共線，且點G在0c的延長線上時，0C取最小值$/5-2A伍.

0c取最小值的圖象如下所示：

圖②"2

(3)如下圖，作以防為腰，頂角為120°的等腰△必?，連接OG,GC,過點8作股

_LOG于點Bb,

圖③-1

'：OB=BQ=6,NO頗=120°,

N60G=N0GQ3O°,

,:B&LOQ,

?'-ZC2BB4=yZOBC4=yX120°=60°，*=咳

,,-VoB7CoB4Co-

在RtZ\G段中，——=i60°=si