2019年秋高中數(shù)學(xué)必修四第一章《三角函數(shù)》教學(xué)設(shè)計(jì)

第一章三角函數(shù)

§1.1.1任意角(1)

教學(xué)目的：讓學(xué)生充分了解角的范圍的推廣，并會(huì)靈活運(yùn)用相應(yīng)知識(shí)解決相關(guān)題。

教學(xué)重點(diǎn)：負(fù)角，正角，零角，象限角，終邊相同的概念及其簡(jiǎn)單之用。

教學(xué)難點(diǎn)：終邊相同角，負(fù)角的概念。

教學(xué)用具：多媒體

教學(xué)課時(shí)：1課時(shí)

教學(xué)類型：新授課

教學(xué)過程

一.復(fù)習(xí)

初中學(xué)過的角的概念/

1.角的基本要素

始邊0A,終邊0B,頂點(diǎn)0。

2.特殊角(讓學(xué)生回答)0A

0°角,90。角,180。角和360。角的定義

二.新課

引入看課本P2的齒輪旋轉(zhuǎn)情況,可以看出在一定時(shí)間兩個(gè)齒輪都旋轉(zhuǎn)了一定角度，但各

個(gè)齒輪的旋轉(zhuǎn)方向不同，為了解決方向問題，我們就引入了負(fù)角的概念。

1.正角，負(fù)角和零角

規(guī)定：按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做正角；

按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做負(fù)角；

如果一條射線沒作任何旋轉(zhuǎn)，稱其為零角。

思考：1.如果手表慢了1.25小時(shí)，需要將分針旋轉(zhuǎn)多少度讀方可校對(duì).

2.如果手表快了2小時(shí),需要將分針旋轉(zhuǎn)多少度方可校對(duì).

總結(jié):角的范圍可以推廣到大于360°或小于-360P的角.

2.任意角

任意角包括正角，負(fù)角，零角.

3.象限角

象限角定義:角的始邊與X軸正向重合，終邊所在的象限就稱角為第幾象限角.

判斷：30。、-120°、460°、280°、100°各為第幾象限角？

思考：①90。、180°各為第幾象限角？

②20。,380°各為第幾象限角，兩角有什么關(guān)系？

4.終邊相同角

顧名思義：終邊相同的兩個(gè)角就是終邊相同角。

例.328°=-32°+360°-390°=-32°-360°-32°=-32°+0

-32°的終邊相同角為一32。+左.360。（左ez）

一般地，我們有所有與角a終邊相同的角，連同角a在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合

S={j3\j3=a+k?360°,k&z}

即任一與角。終邊相同的角，都可以表示成角戊與整數(shù)個(gè)周期的和.

1.在0°~360P范圍內(nèi)，找出與-950°12'角終邊相同的角，并判定它是第幾象限角.

總結(jié):判斷象限角的其本方法:/3=k?360°+a（kwZ）使得0。Wa<360P，根據(jù)a所在象限

確定P.

例2.

例3.

課內(nèi)練習(xí)

①寫出終邊在X正半軸上的角的集合.

②寫出終邊在X負(fù)半軸上的角的集合.

③寫出終邊在X軸上的角的集合.

④練習(xí)P6.1.2

三.作業(yè)P101.2

四.教后感

§1.1.1任意角（2）

教學(xué)目的：讓學(xué)生充分了解角的范圍的推廣，并會(huì)靈活運(yùn)用相應(yīng)知識(shí)解決相關(guān)題。

教學(xué)重點(diǎn)：負(fù)角，正角，零角，象限角，終邊相同的概念及其簡(jiǎn)單之用。

教學(xué)難點(diǎn)：終邊相同角，負(fù)角的概念。

教學(xué)用具：多媒體

教學(xué)課時(shí)：1課時(shí)

教學(xué)類型：新授課

教學(xué)過程

三.鞏固復(fù)習(xí)

1.正角，負(fù)角和零角

規(guī)定：按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做正角；

按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做負(fù)角；

如果一條射線沒作任何旋轉(zhuǎn)，稱其為零角。

2.任意角

任意角包括正角，負(fù)角，零角.

3.象限角

象限角定義:角的始邊與X軸正向重合，終邊所在的象限就稱角為第幾象限角.

4.終邊相同角

顧名思義：終邊相同的兩個(gè)角就是終邊相同角。

.328°=-32°+360°—390°=—32。一360P-32°=-32°+0

-32°的終邊相同角為一32。+左.360。(左ez)

一般地，我們有所有與角a終邊相同的角，連同角a在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合

S={j3\j3=a+k?360°,k&z}

即任一與角。終邊相同的角，都可以表示成角戊與整數(shù)個(gè)周期的和.

二.例題

例4.(1)表示出終邊在y=x(x>0)上的角的集合。(x|x=k?3600+45°,k^z}

(2)表示出終邊在y=x上的角的集合。{^x=^*180°+45°,^eZ}

例5.(1)寫出第一象限角的集合。

(2)寫出第一、二象限角的集合。

(3)寫出第一、三象限角的集合。

答案：(1)?360°<x<k?3600+90°,k&z}

(2)同左?360°<x<k?360°+1800母中k?360°+90°,k&z}

(3){R左?1800<x〈左?180。+90°,左eZ}

解題步驟：①寫出在(0°,360°)內(nèi)的范圍。②轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的終邊相同角。

③有必要時(shí)，可合并或化簡(jiǎn)。

課內(nèi)練習(xí)

已知角e的終邊般厚的陰影部分內(nèi)，寫出符合條件的a的集角

①丫V///②Y|

例7.已知的和76是中邊相同角且0°<8<180°,求滿足昆件的。的集合

解.由題知夕夕=夕+左?360°n6?=k?60°

0°<0<180°

M={00,60°,120°,1800}

a

例8.已知a為第一象限角，則一為第幾象限角？

3

解法一.設(shè)1=々?360°+4(0°<他<90°)三=左?120°+?(0°<^-<30°)

當(dāng)時(shí)，為第一象限角，

當(dāng)時(shí)，為第二象限角，

當(dāng)時(shí)，為第三象限角，

如此循環(huán)，可知為第一，二或第三象限角.

解法二.由題知,k-360°<a<k?3600+90°

左?1200<c(k?1200+30°

A:=0,1,2,3,4--?

三.作業(yè)整理例題在作業(yè)本上，復(fù)習(xí)并預(yù)習(xí)下一節(jié)內(nèi)容

四.教后感

§1.1.2弧度制

教學(xué)目的：1、理解1弧度的角，弧度制的意義

2、掌握角度與弧度的換算公式，能熟練進(jìn)行角度與弧度的換算

3、熟記特殊角的弧度數(shù)

教學(xué)重點(diǎn)：使學(xué)生理解弧度的意義，正確的進(jìn)行角度與弧度換算

教學(xué)難點(diǎn)：弧度概念及其與角度的關(guān)系

教學(xué)用具：多媒體

課時(shí)安排：1課時(shí)

教學(xué)類型：新授課

教學(xué)過程：

一、課題導(dǎo)入

初中，我們學(xué)過角的度量，1°的角時(shí)怎樣定義的呢？［周角的—為r的角］這種用度作

360

為單位來(lái)度量角的單位制叫做角度制。

今天，我們?cè)賮?lái)學(xué)習(xí)另一種在數(shù)學(xué)和其他學(xué)科中常用的度量角的單位制一一弧度制

二、講解新課

1、1弧度的角定義

我們把長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角。用符號(hào)rad表示，讀作弧度。

［練習(xí)］:周角的弧度角是多少？平角呢？直角呢？

［探究］:見課本P7

2、角度制與弧度制的換算

???周角的弧度數(shù)是2石在角度制下是360。

360°=2加ad180°=nrad

nl°=需rad（角度化弧度時(shí)用）

1on

lrad=（￡）°（弧度化角度時(shí)用）

TI

3、例題講解

例1、課本P8——例1

例2——4見課本P8-9例2——例4

［練習(xí)］:見課本P10練習(xí)

4、特殊角的度數(shù)與弧度數(shù)對(duì)應(yīng)表

見課本P。9

5、角的概念推廣后，在弧度制下，角的集合與實(shí)數(shù)集R之間建立起一一對(duì)應(yīng)關(guān)系：每一個(gè)角

都有唯一的一個(gè)實(shí)數(shù)（即這個(gè)角的弧度數(shù)）與它對(duì)應(yīng)；反過來(lái)，每一個(gè)實(shí)數(shù)也都有唯一

的一個(gè)角（即弧度數(shù)等于這個(gè)實(shí)數(shù)的角）與它對(duì)應(yīng)。

6、小結(jié)：本節(jié)課學(xué)習(xí)了（1）弧度制定義

（2）角度與弧度的換算公式及方法

三、作業(yè)

課本P.H習(xí)題1」A組7,8,9,10題

四.教后感

1.2任意角的三角函數(shù)（1）

教學(xué)目的：

1、掌握任意角的三角函數(shù)的定義。

2、掌握誘導(dǎo)公式（一）

3、會(huì)用定義及誘導(dǎo)公式求三角函數(shù)值。

4、體會(huì)特殊與一般關(guān)系及數(shù)形結(jié)合思想。

教學(xué)重點(diǎn)：

任意角的三角函數(shù)的定義、誘導(dǎo)公式（一）及應(yīng)用。

教學(xué)難點(diǎn):任意角的三角函數(shù)的定義、誘導(dǎo)公式（一）及應(yīng)用

計(jì)算三角函數(shù)值。

授課類型：新授課

課時(shí)安排：2課時(shí)

教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)引入：

1、銳角三角函數(shù)的定義。

2、角的概念的推廣及弧度制、象限角。

3、問題：直角三角形顯然不能包含所有的角，那么，仿照銳角三角函數(shù)定義，你認(rèn)為如何定

義任意的三角函數(shù)？

二、新知識(shí)探究

1、三角函數(shù)的定義

角的概念的推廣關(guān)鍵是看角的縱邊所在位置，因此，可以借助平面直角坐標(biāo)系來(lái)定義。

（1）比值,叫做a的正弦，記作sina,BPsincr=—；

rr

YY

（2）比值一叫做a的余弦，記作cosa,即cosa=—；

rr

⑶比值上叫做a的正切，記作tane,即tana=h；

xx

其中r=y)x2+y2o

學(xué)生思考討論：(1)銳角三角函數(shù)大小僅與角A的大小有關(guān)，與直角三角形的大小無(wú)關(guān)，這

里的三個(gè)比值有無(wú)類似性質(zhì)？

(2)比值是否唯一確定？依據(jù)函數(shù)的定義，可以構(gòu)成一個(gè)函數(shù)嗎？

(3)這三個(gè)函數(shù)的自變量是什么？x還是y?是r還是a。

(4)若P(x,y)是單位圓與縱邊的交點(diǎn)，則sina與cose的表達(dá)式如何？

師生共同小結(jié)：(1)只要a確定，就能在它的縱邊上取點(diǎn)，從而確定x及y值，算出r的值,

自變量為a。

(2)兩個(gè)量的比值為一個(gè)實(shí)數(shù)，由于角集合與實(shí)數(shù)之間可以建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，這三個(gè)比值

可以看成以實(shí)數(shù)(角用弧度表示)為自變量的函數(shù)。

(3)若P(x,y)是單位圓與縱邊的交點(diǎn)，則sina與cosa的表達(dá)式變?yōu)?/p>

sin。=y,cosa=x。

才若P(x,y)的坐標(biāo)是P(l,y),則tana=y

2、定義域與值域

函數(shù)sinacosatana

定義域aGRaeR兀1r

aw左7?"H——eZ

2

值域-1<sina<1一1<cosa<1tanaR

3、公式(一)

由三角函數(shù)的定義可得

sin（2^7r+cr）=sina,cos（2左乃+a）=cosatan（2左乃+a）=tana其中左eZ。

4、三角函數(shù)值的符號(hào)

函數(shù)sinacosatana

第一象限+++

第二象限+——

第三象限——+

第四象限—+—

三、應(yīng)用

1、求值，例1、例2、解(略)

解法要領(lǐng)：在縱邊上取一點(diǎn)，代入定義的公式。

例5、公式(一)的應(yīng)用。

2、角的縱邊與三角函數(shù)值的符號(hào)。

例3與例4o

定義的應(yīng)用。

四、解決課本練習(xí)：P*練習(xí)1、2、3、4、5、6、7?

小結(jié)：

主要內(nèi)容1：三角函數(shù)的定義。2：定義域與值域。3：公式(一)

4：應(yīng)用(1)求值，(2)角的縱邊所在象相與三角函數(shù)值的符號(hào)。

五.作業(yè)：P23A組1、2、3、4、5、6、7、8、9?

六.教學(xué)后記

L2任意角的三角函數(shù)(2)

教學(xué)目的：

1.理解有向線段的定義，正弦線、余弦線、正切線。

2.體會(huì)特殊與一般關(guān)系及數(shù)形結(jié)合思想。

教學(xué)重點(diǎn)：

理解有線線段的定義，正弦線、余弦線、正切線。

教學(xué)難點(diǎn)：

數(shù)與形的轉(zhuǎn)換解決問題。

授課類型：新授課

課時(shí)安排：1課時(shí)

教學(xué)過程：

二、復(fù)習(xí)引入：

1、任意角三角函數(shù)的定義。

2、在三角函數(shù)中，求三角函數(shù)的值，實(shí)際上是轉(zhuǎn)化為終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)的運(yùn)算，是否能用某一

線段來(lái)表示？

二、新知識(shí)探究

1、有線線段

直角坐標(biāo)系內(nèi)，點(diǎn)的坐標(biāo)與坐標(biāo)軸的方向有關(guān)，因此，一個(gè)自然的想法是以坐標(biāo)軸的方向來(lái)

規(guī)定坐標(biāo)所對(duì)應(yīng)線段的方向，以使它們的取值與P點(diǎn)的坐標(biāo)聯(lián)系起來(lái)。因此，引進(jìn)有線線段

的定義。

有線線段：帶有方向的線段叫有線線段。

2、用有向線段表示sina、cosa、tana的值。

如下圖，作單位圓與終邊相交于點(diǎn)P(x,y)

無(wú)論終邊在何位置，都有

MP

sincr=—=MP；

/、xOMex.

(5)cos。=—=---=OM；

rr

(6)tancif=--AT；

xr

其中r=lo

把分別叫做正弦線、余弦線、正切線。

注意，當(dāng)角的終邊在第二或第三象限時(shí)，要確定正切線，必須作出反向延長(zhǎng)線。

三、例題

例1、已知角a的正弦線和余弦線是方向一正一反、長(zhǎng)度相等的有向線段，則。的終邊在:

A、第一象限的角平分線上B、第二象限的角平分線上

C、第三象限的角平分線上D、第四象限的角平分線上

答：B、D

四、練習(xí)、課本PI、2、3、4。

五.作業(yè):P25B組4、

六.教學(xué)后記

1.2.2同角三角函數(shù)的基本關(guān)系

教學(xué)目的：1.讓學(xué)生理解同角的三個(gè)三角函數(shù)間不獨(dú)立。

2.掌握基本規(guī)律--公式。

3.培養(yǎng)學(xué)生事物是相互聯(lián)系的辨證思想。

教學(xué)重點(diǎn)：公式的靈活運(yùn)用

教學(xué)難點(diǎn)：公式的靈活運(yùn)用

教學(xué)課時(shí)：1課時(shí)

教學(xué)類型：新授課

教學(xué)過程

-新課導(dǎo)入：

前面我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了任意角的正、余弦和正切。那么對(duì)同一個(gè)角，這三個(gè)函數(shù)間有什

么關(guān)系呢？

二.公式推導(dǎo)：

設(shè)p(x,y)為角a的終邊與單位圓的交點(diǎn)，由三角函數(shù)的定義：

sincr=—,cos。=—,tana=—

11%

不難得到：sin2a+cos2a=y2+x2=1(平方關(guān)系)

sinay.乂/、

----=—=tana(商的關(guān)系)

COS6ZX

由三角函數(shù)及勾股定理，也可直觀看出sin2a+cos2[=l。

注：恒等式定義若等式/(x)=g(x),對(duì)/(x),g(x)有意義的公共范圍內(nèi)的任一個(gè)x都成

立，則/(X)=g(x)叫做恒等式。例如X=Mx—1)就是恒等式。

%-1

顯然-----=tan。，只在。wnn——時(shí)成立。

cosa2

三.公式的應(yīng)用

以上兩個(gè)關(guān)系可用于求三角函數(shù)值域，證明恒等式。

3

例6.已知：sincr=--,求cos/tana的值。

解：：sina<0且sincu/1,r.tz在第三或四象限，由

.22i216

sinF+cos。=Ineos=—

25

①當(dāng)a在第三象限時(shí)，cosa=-J史?=一士=>tana=紅色=(-3)x(-。)=3

V255cosa544

43

②當(dāng)a在第四象限時(shí)，coscr=—,tana=——

54

注：使用同角三角函數(shù)間的關(guān)系式求值時(shí)，應(yīng)先用平方關(guān)系，從而引發(fā)討論。

例7.求證：

證法1：（綜合法）見課本

證法2：（分析綜合法）見課本

<=cos2x=(l+sinx)(l-sinx)

分析：（在草稿上完成）要（1）成立

<=(：052%=1—51112%<=51112%+(：052尤=1即可。

課堂練習(xí)：P23練習(xí)1,2,3,4,5

四.習(xí)題1.210,11,12,13

五.教后感

1.3三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式

教學(xué)目的1.學(xué)會(huì)將0°?360。的角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化成銳角的三角函數(shù)值.

2.能夠運(yùn)用誘導(dǎo)公式進(jìn)行簡(jiǎn)單三角函數(shù)式的求值、化簡(jiǎn)與恒等式的證明.

3.提高對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)部聯(lián)系的認(rèn)識(shí).

教學(xué)重點(diǎn)：誘導(dǎo)公式的探究,運(yùn)用誘導(dǎo)公式進(jìn)行簡(jiǎn)單三角函數(shù)式的求值、化簡(jiǎn)與恒等式的證明,

提高對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)部聯(lián)系的認(rèn)識(shí).

教學(xué)難點(diǎn)：發(fā)現(xiàn)圓的幾何性質(zhì)（特別是對(duì)稱性）與三角函數(shù)性質(zhì)的聯(lián)系,特別是直角坐標(biāo)系內(nèi)關(guān)

7T

于直線y=x對(duì)稱的點(diǎn)的性質(zhì)與（］土a）的誘導(dǎo)公式的關(guān)系.

授課類型：新授課

課時(shí)安排：3課時(shí)

教具：多媒體

教學(xué)過程：

一.引入課題

前面學(xué)習(xí)過的終邊相同角的同名三角函數(shù)值相等這一公式的重要作用在于能夠把不在0°

360°內(nèi)的角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化成0°?360°內(nèi)角的三角函數(shù)值.

例如：S由1125°=S%(3x360°+45°)=Sin450=#

Cos(—2003°)=Gos(—6x360°+157°)=Cosl5T

總之任意一個(gè)角尸＜0°或￡＞360?？偪梢栽?°?360。內(nèi)找到一個(gè)與角夕的終邊相同的角

a，并通過公式一可將S沅夕轉(zhuǎn)化成S/a再求值，但是a不一定是銳角，那么當(dāng)a是第二、第

三、第四象限角時(shí)能否轉(zhuǎn)化成銳角再求值呢？換名話說，第二、第三、第四象限角與第一象

限的角有什么聯(lián)系呢？

二.新課

1.當(dāng)0°＜。＜90°即是銳角，是第一象限的角時(shí)下列各角與戊的關(guān)系是什么？

形式象限與a的關(guān)系

aI

n-aII關(guān)于y軸對(duì)稱

III關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

—ccIV關(guān)于X軸對(duì)稱

2TI-aIV關(guān)于X軸對(duì)稱

2.下面首先探究第HI象限的角"+2的三角函數(shù)值與第I象限的角a的三角函數(shù)值的聯(lián)系.

探究過程詳見教材P27

3.值得注意的問題：

(1)公式中a是任意的角也成立為什么？

(2)公式中正負(fù)符號(hào)的記法：

把a(bǔ)看成銳角(實(shí)際上a可以是任意角)形式上萬(wàn)+2為第ni象限的角故其三個(gè)三角函數(shù)的公

式符號(hào)與第III象限角的三個(gè)三角函數(shù)的值的真正符號(hào)相同如下：

三角函數(shù)象限符號(hào)公式二公式符號(hào)

sin[3III—sin(?+。)=-sinor—

cos/?III—cos(>r+a)=-cos?！?/p>

tan[3III+tanQr+a)=tana+

4.求解第三象限角的三角函數(shù)值的基本步驟：

1.大角化成小角：用公式一

(所為大角指的是不在0°?360。之間的角的三角函數(shù)值可用公式一化歸成0°

360°之間的角的三角函數(shù)值)

2.0°?360°間第HI象限角：用公式二

(第III象限角總可以寫成口+a的形式，故可用公式二將其化歸成銳角再求值)

例題：求下列各三角函數(shù)的值

、o、3、2萬(wàn)

1）585°2）——3）----

63

求解過程略

歸納與演繹

（這一部分的教學(xué)可進(jìn)行類比教學(xué)）

相當(dāng)于第II與第IV象限的角

1.n—a和一a與a的關(guān)系（見新課1.）

2.公的推導(dǎo)（略）

3.符號(hào)的判別

三角函數(shù)象限符號(hào)公式四公式符號(hào)

sin0II+sinQr—。)=sina+

cos/?II—COS(7T-df)=一cos?！?/p>

tan0II—tan(7r-a)=-tana—

三角函數(shù)象限符號(hào)公式三公式符號(hào)

sin0IV—sin(-cr)=-sina—

cos/?IV+cosQa)=cosa+

tan/3IV—tan(-cr)=-tana—

4.學(xué)生類比一中解題步驟,小結(jié)相當(dāng)于第二或第四象限的角解題步驟（略）

例題:求下列各角的三角函數(shù)值

277r7TC4-7T

1）?2）—看（兩種必須會(huì)的方法）3）—390P書—（

第一課時(shí)作業(yè):P30練習(xí)1）、2）P33A組1）、B組1）

第二課時(shí)把例3與習(xí)題相結(jié)合，以學(xué)生練習(xí)為主

1.講解例3

2.練習(xí)P30練習(xí)3）

3.習(xí)題P33A組3）、4）

作業(yè)：一課一練

第三課時(shí)

講解教材P30并完成課后練習(xí)

方法同上

需強(qiáng)調(diào)的是

形如。-a的角相當(dāng)于第一象限的角故公式符號(hào)全+

2

7T

形如一+a的角相當(dāng)于第二象限角，公式符號(hào)與第二象限角的三角函數(shù)值的符號(hào)相同

2

作業(yè)B組2)與一課一練

教學(xué)后記：

1.3三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式

教學(xué)目的：

(1)使學(xué)生掌握從單位圓的對(duì)稱性與任意角終邊的對(duì)稱性中推導(dǎo)誘導(dǎo)公式.

(2)能正確的運(yùn)用誘導(dǎo)公式求任意角的三角函數(shù)值，能進(jìn)行簡(jiǎn)單三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)與恒等式

證明.

(3)正確培養(yǎng)學(xué)生知識(shí)的運(yùn)用能力.

(4)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想.

教學(xué)重點(diǎn)：運(yùn)用誘導(dǎo)公式進(jìn)行三角函數(shù)式的求值、化簡(jiǎn)與證明.

教學(xué)難點(diǎn)：如何運(yùn)用誘導(dǎo)公式進(jìn)行三角函數(shù)式的求值、化簡(jiǎn)與證明，提高對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)部聯(lián)系的

認(rèn)識(shí).

教學(xué)過程

1、基本知識(shí)及其功能

(1)誘導(dǎo)公式

公式一：利用誘導(dǎo)公式一可把任意角三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為0?2”角的三角函數(shù)值.

公式二：是m+a與a之間的關(guān)系式，若a為銳角時(shí)可把0?2n間第三象限角轉(zhuǎn)化

為銳角求值.

公式三：研究角a與-a間關(guān)系，常用來(lái)把任意負(fù)角求值轉(zhuǎn)化為正角求值.

公式四：研究乃-。與a間關(guān)系，若a為銳角時(shí)可把0?2m間第二象限角轉(zhuǎn)化為銳角求值.

公式五：研究a與三一a間關(guān)系，可實(shí)現(xiàn)正、余弦相互轉(zhuǎn)化.

2

公式六：研究a與W+a間關(guān)系，若a為銳角時(shí)，可把0?2兀間第二象限角g+a轉(zhuǎn)化為銳角

22

求值.

*其它誘導(dǎo)公式：

公式七：sin（2Ji-a）=-sinacos（2兀-a）=cosatan（2兀-a）=-tana

?/3%\/37c\.

公式八:sin(——+a)=~cosacos(——+a)=smatan(—+a)=-cota

222

*/3冗\(yùn)/3九\.

公式九:sm(---oc尸一cosacos(---a)=~smatan(--a)=cota

222

(2)注意：

①各公式中角a可以是任意角，也可看成是銳角.

②公式一、二、三、四、七簡(jiǎn)記“函數(shù)名不變，符號(hào)看象限.”

③公式五、六、八、九簡(jiǎn)記“函數(shù)名改變，符號(hào)看象限.”

④任意角的三角函數(shù)求值轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)求值的一般步驟：

公式三或一公式一

任意負(fù)角的三角函數(shù)-----------A任意正角的三角函數(shù)-------日”

公式二或四或六

的角的三角函數(shù)曾角三角函數(shù).

此過程充分體現(xiàn)把未知知識(shí)轉(zhuǎn)化為已知問題的數(shù)學(xué)思想，即化歸思想.

⑤在運(yùn)用公式時(shí)，方法不是唯一的.

2、例題

例1、求sin(-3")的值

3

、注]./16x.16萬(wàn).乙工4萬(wàn)、.4萬(wàn).(,兀、.萬(wàn)石

法1：sin——")=-sm---=一sin(4"+——)=-sin——=-sin(乃+一)=sin—=——

3333332

法2：sin(--^-)=sin(-6^-+—)=sin—=sin(^--)=sin—=—

333332

注意：方法不唯一.

例2：若sinO=@，則——cos(7——+--------------8s(2萬(wàn)-。)-----的值是多少.

cos^[sin(—萬(wàn)—6)—1]cos(萬(wàn)+0)sin(—+6)-sin(^-+0)

利用誘導(dǎo)公式對(duì)被求式進(jìn)行化簡(jiǎn)答案：6

3、練習(xí)：

(1)(2001年全國(guó)高考題)tan3000+sin450°的值為：B

A1+V3BI-V3C-1~-^3D-1+V3

(2)(1999年廣東高考題)tan3150-tan(-300°)+cot(-300°)的值是：」

(3)(2004年湖北高考題)tan2010°的值為：立

3

課后作業(yè)：例題的再思考，運(yùn)用多種方法求解.

教學(xué)后記:

1.4三角函數(shù)的圖像

教學(xué)目標(biāo)：讓學(xué)生了解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)圖像的畫法及其圖像的特征.

教學(xué)重點(diǎn)：五點(diǎn)作圖法畫正、余弦函數(shù)的圖像，正、余弦函數(shù)圖像的特征.

教學(xué)難點(diǎn)：1、正弦函數(shù)圖像在［°2句內(nèi)的畫法

2、由［°2司拓展為R上的正、余弦函數(shù)的圖像

教學(xué)用具：多媒體

教學(xué)類型：新授課

教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)與鞏固

1、誘導(dǎo)公式

公式一sin（2左乃+。）=sin。cos(2左4+a)=cosatan(2左4+a)=tana

公式二sin(7r+cr)=-sinacos(?+a)=-cosatan(乃+a)=tancr

公式三sin(-cr)=-smacos(-cr)=cosatan(-cr)=-tana

公式四sin(7r-ez)=sinacos(〃一a)=-cosatan(〃一a)=-tana

m、

公式五sin(^--cif)=cosacosg-a)-sinatan(--cr)=cota

..TC..TC、.m、

公式六sm(—+a)=cosacos(—+a)—sinatan(—+a)=-cota

規(guī)律：奇變偶不變，符號(hào)看象限

2、三角函數(shù)線

二、新課

1、引入（1）作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的試驗(yàn)；（2）水波，水浪

2、直接可得波形圖像一/\/\

3、正課7

（一）正弦函數(shù)圖像的畫法

1、畫出y=sinx,xeD2的圖像

思考:上圖是否是y=sinx的圖像，為什么？因?yàn)閥=sinx的定義域是R

當(dāng)角x繼續(xù)增大時(shí)，圖像如何畫？當(dāng)角x取負(fù)值時(shí)，圖像如何畫？

2、畫出y=sinx,xGR的圖像.

①畫法1

思考：正弦函數(shù)線與正弦函數(shù)圖像的區(qū)別和聯(lián)系？

(1)正弦函數(shù)線是個(gè)體，正弦函數(shù)圖像是整體

(2)正弦函數(shù)線是做正弦函數(shù)圖像的基礎(chǔ)，正弦函數(shù)圖像是包含有正弦函數(shù)線

②正弦函數(shù)圖像的畫法(2)

常規(guī)方法：描點(diǎn)法

由于我們已知正弦函數(shù)的圖像是波形，所以我們只需找出y=sinx的關(guān)鍵點(diǎn)即可，通常取以

該方法稱為五點(diǎn)作圖法，拓展以后，即可得到整個(gè)圖像

思考提問：由正弦函數(shù)的圖像可觀察出，正弦函數(shù)的定義域和值域分別是什么？

3、余弦函數(shù)圖像的畫法

.z冗、

y=cosx=sin(——Fx)y=sin%—y=sin(——Fx),(也艮Py=cos%)

由誘導(dǎo)公式2由2

y=sinx的圖像向左平移工個(gè)單位，即可得郅=sin(-+%)

可見只需把22也即是

y=co石的圖史

(1)平移得到圖像為，=c°sx(xe[0,2/r])

(l)y=1+sinxxe[0,2/r](2)y=-cos%(%e[0,2/r])

解法一、五點(diǎn)作圖法

解法二、(1)y=l+sinx是由y=sinx向上平移一個(gè)單位得到

(2)y=-cosx是由y=cosx關(guān)于x軸對(duì)稱得到(x,y)f(x,-y)

3

y=sin(x——乃)和y=cosxfi勺圖像

例2、想一想，函數(shù)2,并在同一直角坐標(biāo)系中，畫出它

的草圖

5、總結(jié)

6、作業(yè)P53.1

課后反思

1.4三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)

教學(xué)目的：1.掌握正弦函數(shù)，余弦函數(shù)的性質(zhì).

2.會(huì)求簡(jiǎn)單函數(shù)的定義域、值域、最小正周期和單調(diào)區(qū)間.

教學(xué)重點(diǎn)：正、余弦函數(shù)的性質(zhì).

教學(xué)難點(diǎn)：正、余弦函數(shù)性質(zhì)的理解與應(yīng)用.

教學(xué)課時(shí)：3課時(shí)

教學(xué)類型：新授課

教具：多媒體

教學(xué)過程

二.引入：

上節(jié)我們研究了正、余弦函數(shù)的圖象.今天，我們借助它們的圖象來(lái)研究它們有哪些性

二.講解新課：

觀察圖象可以看出:

1.定義域

函數(shù)y=sin%及y=cosx定義域都是實(shí)數(shù)集R[或(-8,+8)],分別記作：

y=sinx,尤eRy=cos%,xeR.

2.值域

因?yàn)樵趩挝粓A中，正弦線、余弦線的長(zhǎng)度都是小于或等于半徑的長(zhǎng)1的，所以

卜山乂<iJcosRW1,即一1<sin%<1,-1<cosx<1.

也就是說，正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的值域都是[-1,1].

3.最大值與最小值

由圖象可知：

對(duì)于正弦函數(shù)y=sinx,xeR

JT

⑴當(dāng)且僅當(dāng)x=萬(wàn)+2左斗左eZ時(shí),y取得最大值1.

TT

(2)當(dāng)且僅當(dāng)x=--+2k小左eZ時(shí),y取得最小值-1.

而余弦函數(shù)

(1)當(dāng)且僅當(dāng)x=2bz■次eZ時(shí)，y取得最大值1.

(2)當(dāng)且僅當(dāng)x=(2、+1)],(eZ時(shí),y取得最小值-1.

4.周期性

從前面的學(xué)習(xí)我們已經(jīng)看到，正弦函數(shù)、余弦函數(shù)值具有“周而復(fù)始”的變化規(guī)律，又由

sinq+2左")=sinx,cos8+2左乃)=cosx,keZ

知:當(dāng)自變量x的值增加2乃的整數(shù)倍時(shí)，函數(shù)值重復(fù)出現(xiàn).

數(shù)學(xué)上，用周期性這個(gè)概念來(lái)定量刻畫這種“周而復(fù)始”的變化規(guī)律.

周期函數(shù)定義：

對(duì)于函數(shù)y=/(x)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T,使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，都有

/(x+T)=/(x),那么函數(shù)/(x)就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個(gè)函數(shù)的周期凋期

函數(shù)的周期不止一個(gè).例如，對(duì)于y=sin尤,xeR來(lái)說,2",4乃,…2漢—4肛…都是它的周期,

一般地,2左萬(wàn)(左eZ且左中0)都是它的周期.

最小正周期定義：

如果在周期函數(shù)y=/(x)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做了(x)

的最小正周期.根據(jù)上述意義，可知:正弦函數(shù).余弦函數(shù)都是周期函數(shù).2k兀(keZ且左w0)都

是它的周期,最小正周期是2萬(wàn)。

5.奇偶性：

觀察正弦曲線，余弦曲線，可以看到：

正弦曲線關(guān)于原點(diǎn)0對(duì)稱,余弦曲線關(guān)于y軸對(duì)稱

由誘導(dǎo)公式sin(一無(wú))=-sinx,cosQx)=cosx可知：

正弦函數(shù)是奇函數(shù),余弦函數(shù)是偶函數(shù).

6.單調(diào)性：

Jr37r

我們可以在正弦函數(shù)的一個(gè)周期的區(qū)間上(如)討論它的單調(diào)性，再利用它的周期性,

把單調(diào)性擴(kuò)展到整個(gè)定義域.

閱讀課P42-43引導(dǎo)學(xué)生觀察正弦曲線，共同探討得出：

TT1T

正弦函數(shù)在每一個(gè)閉區(qū)間［-5+2左肛5+2左乃］(左€2)上都是增函數(shù),其值從-1增大到1;在

每一個(gè)閉區(qū)間［1+2左左,m+2左刈(左62)上都是減函數(shù),其值從1減少到-1.

探究:類似地，你能寫出余弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間嗎？

三.例題與練習(xí)

例1：課本p40例2

思考:你能從例2的解答過程中歸納一下函數(shù)的周期與解析式中哪些量有關(guān)？

練習(xí):課本41頁(yè)練習(xí)第1題，第2題

練習(xí):課本46頁(yè)練習(xí)第2題

例2:課本43頁(yè)例3

練習(xí):課本46頁(yè)練習(xí)第1題第4題

例3:課本44頁(yè)例4

例4:課本44頁(yè)例5

練習(xí)課本46頁(yè)練習(xí)第4題第5題

四.小結(jié)：

1學(xué)會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的方法掌握正余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì).

2熟練掌握正弦余弦函數(shù)圖象性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用

五.布置作業(yè)

課本53頁(yè)第2-8題.

六.教后感

1.4.3正切函數(shù)的圖像與性質(zhì)

教學(xué)目的：1.借助圖象理解正切函數(shù)在22上的性質(zhì)（如單調(diào)性、最大和最小值,圖象與x

軸交點(diǎn)等）.

2.會(huì)求正切函數(shù)的定義域、周期、單調(diào)區(qū)間

3.體會(huì)正切函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型.

教學(xué)重點(diǎn):正切函數(shù)的性質(zhì)

教學(xué)難點(diǎn):正切函數(shù)的性質(zhì)的理解與應(yīng)用

教學(xué)時(shí)數(shù):2課時(shí)

教學(xué)方法:啟發(fā)引導(dǎo)式

教具準(zhǔn)備:多媒體

教學(xué)過程：

第一課時(shí)

回顧引入

（冗wfcrH——Kez）

正切函數(shù)的定義域,值域是什么？2

正切函數(shù)有哪些性質(zhì)？（周期性、奇偶性、單調(diào)性、最大值、最小值）

單位圓中的正切線如何表示？

二.講授新課

（一）作出y=tanx的圖像

1.如何作出丁=1211”在22上的圖像.圖略見050圖1.4—9

[兀]

y=tanxGAKTI-\——，左wz

2.作出2的圖像！

(二)討論正切函數(shù)的性質(zhì)

1.周期性

71

tan("+x)=tan%xeRx^—+k7ikez

二正切函數(shù)是周期函數(shù)，周期是萬(wàn)

2.奇偶性

71

tan-(x)=—tanvx&Rx^—+knkez

正切函數(shù)是奇函數(shù)

3.單調(diào)性

由圖形知丁日皿龍?jiān)?'2是單調(diào)增函數(shù)

(----F&7T,--k7l),kGZ.

由周期性知丁=tan%在22內(nèi)都是增函數(shù)

注意：只能說在某個(gè)區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)，不能說丁=1皿”在定義域范圍是增函數(shù).與

y=(”>D在某個(gè)某個(gè)定義域范圍內(nèi)是增函數(shù)是有區(qū)別的.

值域由圖形可知正切函數(shù)的值域是實(shí)數(shù)集R

(三)例題講解

_TC、

y=tan(z2xH——)

例1.求3的定義域,周期.

解略(1)定義域：212(2)2

注:求最小正周期，對(duì)丁=tan(g+e),用時(shí)求之.

三.課堂練習(xí).4J—4

四.教學(xué)小結(jié):本節(jié)學(xué)習(xí)了正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)（周期性,奇偶性，單調(diào)性,值域）

五作業(yè):鳥36，7

六.教學(xué)后記

第二課時(shí)

一.復(fù)習(xí)回顧

1.正切函數(shù)的圖象

2.正切函數(shù)的性質(zhì)

二.講授新課

例L求函數(shù)wtangx+g）的定義域周期和單調(diào)區(qū)間例6

（1）定義域1x卜工2k+g,左ez

(2)T=2

(3)單調(diào)遞增區(qū)間(-g+2k,g+24，左ez

例2.求函數(shù)丁=瞿二吧的定義域.

Vl-2sinx

tan%<1

1-tan%>0

解:由<.1(1)

l-2sinx>0sinx<—

2

利用單位圓的有向線段先在（-2,2）和（石，至）

2222

上找出滿足⑴式的X取值范圍再寫函數(shù)的定義域

|x\2k7i--<x<2k兀+—或2k力+—<x<2k兀+—,k&z}

[|2664

例3.下列四個(gè)命題中正確的是（）

A.正切函數(shù)在整個(gè)定義域內(nèi)是增函數(shù)

B.周期函數(shù)一定有最小正周期

C.函數(shù)y=3tan"的圖象關(guān)于Y軸對(duì)稱

解：由1：tan工〉tan四=一1排除A

44

7?（x）=0是周期函數(shù)，但沒有最小正周期.排除B

y=3tan7^=3tan|x|知可選C

例5.寫函數(shù)3tanx-620成立的X的集合.

j兀-I7C71

\{XK7lH——<X<K7l——,kGz}

62

三.課堂練習(xí)：月25,6

四.作業(yè):489P54B2

五..教學(xué)后記.

L5y=Asin（&￥+0）的圖像與性質(zhì)

教學(xué)目的：通過作丁=Asin（"氏十°）的圖象，使學(xué)生會(huì)作線性復(fù)合函數(shù)的圖象，從而深

入理解運(yùn)動(dòng)變換的觀念，進(jìn)而培養(yǎng)他們的創(chuàng)造意識(shí).

重點(diǎn):用參數(shù)思想討論y=Asin3：+0）的圖象變換過程.

難點(diǎn):圖象變換與函數(shù)解析式變換的內(nèi)在聯(lián)系的認(rèn)識(shí).

課型:新授

學(xué)時(shí):2

教學(xué)進(jìn)程：

如何用了（X）的圖像做出了（X土>°）的圖像.

命題1.（橫向平移）/（無(wú)土。*°>°）的圖像可由/（X）的圖像上的點(diǎn)向左（“+”）或向右（）平

移夕個(gè)單位而得到.

例1：用/（X）的圖象作出/（x±9）的圖象.

f（x）=sinx,（p=—

（1）3

命題2.（橫向伸縮變換）/（加》。>°）的圖像可由/（*）的圖像上的點(diǎn)縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸

縮到原來(lái)的。而得到.

注：“橫向伸縮變換”也叫“周期變換”

例2.用N=smx,xe[0,2捫的圖像作y=5詢2%,%6[0,1]的圖像

解:步驟：1.取關(guān)鍵點(diǎn)列變換表:

作業(yè):習(xí)題1.5A組1,2,(1),(2)

第二課時(shí)

命題3.(縱向伸縮變換)"(x)(A>°)的圖像可由/(%)的圖像上的點(diǎn)橫坐標(biāo)不變縱坐標(biāo)伸縮

到原來(lái)的A倍而得到.

注:縱向伸縮變換也叫“振幅變換”.

如何用AM的圖像作出/(x)±B(B>0)的圖像.

命題4.(縱向平移)/(x)±3(3>0)的圖像可由/'(X)的圖像上的點(diǎn)向上(“+”)或

向下(“-")平移B個(gè)單位而得到.

例3.判斷下面兩個(gè)命題是否正確.

(1)y=sin(2x+q)的圖像可由sin2x的圖像向左平移"得到.

(2)函數(shù)y=/(x-的圖像可由/(x),xe即,網(wǎng)的圖像向右平移3個(gè)單位

而得到.

解：(1)不正確，應(yīng)是sin2尤的圖像向左平移工.

6

(2)不正確，因?yàn)?(%)的定義域是［也用，當(dāng)xepn,加時(shí)，/(x-3)不一定有意義.

如何