2023北師大版新教材高中數(shù)學選擇性必修第一冊同步練習-3 組合問題

2023北師大版新教材高中數(shù)學選擇性必修第一冊

§3組合問題

3.1組合3.2組合數(shù)及其性質(zhì)

基礎過關練

題組一組合與組合數(shù)公式

1.以下5個命題，屬于組合問題的有（）

①從1,2,3,…,9九個數(shù)字中任取三個，組成一個無重復數(shù)字的三位數(shù);②從

1,2,3,…,9九個數(shù)字中任取三個,然后把這三個數(shù)字相加得到一個和,這樣的和

的個數(shù);③從a,b,c,d四名學生中選兩名去完成同一份工作的選法;④5個人規(guī)定

相互通話一次,通電話的次數(shù);⑤5個人相互寫一封信,所有信的數(shù)量.

A.2個B.3個C.4個D.5個

2.（2020福建寧德期末）若2A公3髭,則n=（）

A.9B.8C.7D.6

3.（2022黑龍江哈爾濱第三中學月考）不等式強-*目的解集

c*c%cx

為.

3+C3-

4.（2020湖南長沙期中）C尹方+/+?2192-.（用組合數(shù)表示即

可）

5.⑴求值:%F+C公七

⑵已知逐一喏一1。中求*

題組二組合的簡單應用

6.（2020黑龍江哈爾濱第六中學期末）從7名男生和5名女生中任選4人參加夏

令營，規(guī)定男、女生至少各有1人參加，則選法總數(shù)為（）

C1C1C2C1C1A2

751O751O

C.Cj2-C1-CfD.C?C|（Ci+CjCj+Cj）

7.（2020四川成都模擬）將標號為1,2,3,4,5,6的6個小球放入三個不同的盒子

中，若每個盒子放2個小球,其中標號為1,2的小球放入同一個盒子中，則不同的

方法共有（）

A.12種B.16種C.18種D.36種

8.（2020遼寧沈陽鐵路實驗中學期中）10個相同的小球放入3個編號為1,2,3的

盒中,每盒至少放1個,有種放法.

9.如圖，ZM0N的邊0M上有四個點Ai,A2,A3,A4,邊ON上有三個點B?B2,B3,則以

0,A1,A2,A3,A,bB?B2,B3為頂點的三角形的個數(shù)為.

10.（2021江西景德鎮(zhèn)一中期中）有10本相同的書要送給5位同學，其中甲、乙兩

位同學每人至少2本,其余每人至少一本,則不同的分配方案有種.（用

數(shù)字作答）

11.現(xiàn)準備將7臺型號相同的健身設備全部分配給5個不同的社區(qū)，其中甲、乙

兩個社區(qū)每個社區(qū)至少2臺，其他社區(qū)允許1臺也沒有,則不同的分配方案有

種.

12.6人坐在排成一排的10個座位上，問:

（1）空位不相鄰的坐法有多少種？

(2)4個空位只有3個相鄰的坐法有多少種？

(3)4個空位至多有2個相鄰的坐法有多少種?

題組三排列與組合的綜合應用

13.(2021福建泉州十一中等六校期末)將4名冬季運動會志愿者分配到花樣滑冰、

短道速滑、冰球3個項目進行培訓，每名志愿者只分配到1個項目，每個項目至

少分配1名志愿者,則不同的分配方案共有()

A.48種B.36種

C.24種D,12種

14.（2020陜西咸陽期末）2020年是脫貧攻堅年，為順利完成“兩不愁，三保障”，

即農(nóng)村貧困人口不愁吃、不愁穿，農(nóng)村貧困人口義務教育、基本醫(yī)療、住房安全

有保障.某市擬派出6人組成三個幫扶隊,每隊兩人,對脫貧任務較重的甲、乙、

丙三縣進行幫扶,則不同的派出方法共有種.

15.（2020浙江紹興月考）某賓館安排A、B、C、D、E五人入住3個房間，每個房

間至少住1人,則共有種不同的安排方法.（用數(shù)字作答）

16.（2020河北保定月考）2020年是我國脫貧攻堅決戰(zhàn)決勝之年,某縣農(nóng)業(yè)局為支

持該縣的扶貧工作，決定派出8名農(nóng)技人員（5男3女），并分成兩組,分配到2個

貧困村進行扶貧工作,若每組至少3人,且每組都有男農(nóng)技人員，則不同的分配方

案共有種.

17.從1,2,…,7這7個數(shù)字中任取兩個偶數(shù)和三個奇數(shù)組成沒有重復數(shù)字的五

位數(shù).試問：

（1）一共能組成多少個不同的五位偶數(shù)？

（2）組成的五位數(shù)中，兩個偶數(shù)排在一起的有幾個？

（3）兩個偶數(shù)不相鄰且三個奇數(shù)也不相鄰的五位數(shù)有幾個？（所有結(jié)果均用數(shù)字表

示）

答案與分層梯度式解析

基礎過關練

1.B①取出三個數(shù)字后，改變這三個數(shù)字的順序,會得到不同的三位數(shù),所以此

問題與順序有關,是排列問題;②取出三個數(shù)字之后,無論怎樣改變這三個數(shù)字的

順序,其和均不變,此問題只與取出的元素有關,與元素的順序無關,是組合問

題;③兩名學生完成的是同一份工作，沒有順序,是組合問題;④甲與乙通一次電

話,也就是乙與甲通一次電話,與順序無關,是組合問題;⑤發(fā)信人與收信人是有

區(qū)別的,是排列問題.故屬于組合問題的有3個.故選B.

2.D2A卷=3量，則2n(n-l)=3X絲包且,整理,得4=n-2,解得n=6,故選D.

"3x2x1

3.答案｛5,6,7,8,9,10,11)

解析由題意得x25,x￡N.

昭不等式為6______24____(______2A0______

八x(x-l)(x-2)x(x-l)(x-2)(x-3)x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)J

即X2-11X-12<0,解得

又x25,xGN,所以xG{5,6,7,8,9,10,11}.

4.答案C2021

解析Cl=Ci，C壯第二皓禺+年皓C"皆爵,……,C%2O+C%2O=C%21，

?*,Cg+禺+髭+…+C§019+^2020=^2021-

5—n<n,

2一”°二1解得4<nW5,

9—n<n+1,

(9—n>0,

VneN+,.\n=4^n=5.

當n=4時,原式=禺+/=5;

當n=5時，原式=Cg+C?=16.

(2)由題意可知m的取值范圍為{m|0WmW5,m￡N},

由已知得m!(5-m)!m!(6-m)!7m!(7-m)!

5!6!10x7!

即10m=(7-m)(6-m),

整理得m-23m+42=0,解得m=21(舍去)或m=2,AC^=Cl=28.

6.C任選4人的方法數(shù)為C%,其中全部為男生或全部為女生的方法數(shù)為G+Cg,

故選法總數(shù)為C%-0-讖.故選C.

7.C先從三個盒子中選一個放標號為1,2的小球,有3種不同的選法,再從剩下

的4個小球中選2個,放入剩下的其中一個盒子有此種放法,余下的放入最后一

個盒子,則不同的方法共有3位=18種,故選C.

8.答案36

解析依據(jù)題意,本題可轉(zhuǎn)化為將10個相同的小球分成3組,每組至少1個.可

將10個小球排成一列,在排除兩端的9個空位中任取2個,插入隔板即可，因此

共有釐=36種放法.

9.答案42

解析先從這8個點中任取3個,有喘種情況,再減去三點共線的情況即可.故所

求三角形的個數(shù)為喘-C卜量=42.

10.答案35

解析5位同學每人分1本，因為甲、乙兩位同學每人至少2本，所以剩余的5本

至少分成兩份，利用“隔板法”如下：

分成兩份,給甲、乙，共禺=4種分法；

分成三份,給甲、乙和另一名學生，共第?瑪=18種分法；

分成四份,給甲、乙和另兩名學生，共出?第=12種分法；

分成五份,五名學生再每人1本，共1種分法.

所以不同的分配方案有4+18+12+1=35種.

11.答案35

解析根據(jù)題意,7臺型號相同的健身設備是相同的元素，首先要滿足甲、乙兩個

社區(qū)每個社區(qū)至少2臺，可以先分給甲、乙兩個社區(qū)各2臺設備,余下的3臺設

備任意分給五個社區(qū)，分三種情況討論：

①當3臺設備都給一個社區(qū)時,有5種結(jié)果；

②當3臺設備按1和2分給兩個社區(qū)時,有2義髭=20種結(jié)果；

③當3臺設備按1,1,1分給三個社區(qū)時一,有髭=10種結(jié)果.

綜上可知，不同的分配方案有5+20+10=35種.

12.解析6人全排列有A3種排法,6人排好后包括兩端共有7個“間隔”可以插

入空位.

(1)空位不相鄰相當于將4個空位安排在上述7個“間隔”中，有第種排法，故空

位不相鄰的坐法有A^X0=25200種.

(2)將相鄰的3個空位看成一個元素,另一個空位看成另一個元素,安排在7個

“間隔”中，有A5種排法，故4個空位中只有3個相鄰的坐法有A3XA>30240

種.

(3)4個空位至多有2個相鄰的情況有三類：

①4個空位各不相鄰,有禺種坐法；

②4個空位2個相鄰，另2個不相鄰,有GX髭種坐法；

③4個空位分兩組,每組都有2個相鄰,有的種坐法.

綜上，有A3義(的+GX髭+的)=115920種坐法.

13.B先將4人分為3組,其中一組有2人,另外兩組各1人,共有第種分法;然

后將3個項目全排列,共有A豺中排法.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可得不同的分配方

案共有鬣?Al=36種，故選B.

14.答案90

解析根據(jù)題意,首先將6人平均分成3組,有筆等=15種分組方法,然后將分好

A3

的三組對應甲、乙、丙三個貧困縣，有A26種情況，則有15X6=90種派出方法.

易錯警示平均分組，比如四個人平均分成兩組，即兩人為一組的所有選法有

p2

粵=3種，即A、B、C、D四個人中，兩個人為一組的選法有：(AB)和(CD),(AC)和