2021年高考數(shù)學二輪解答題標準練-70分

2021年高考數(shù)學二輪解答題標準練

（70分）

[70分]解答題標準練（一）......................2

[70分]解答題標準練（二）......................9

[70分]解答題標準練（三）.....................17

[70分]解答題標準練（四）....................22

[70分]解答題標準練(一)

1.(2019?廣州模擬)已知｛”“｝是等差數(shù)列，且1g0=0,1g3=1.

⑴求數(shù)列｛斯｝的通項公式；

(2)若可，ak,四是等比數(shù)列｛九｝的前3項，求k的值及數(shù)歹！|｛斯+d｝的前〃項和.

解(1)數(shù)列｛斯｝是等差數(shù)列，設公差為乩

且1g0=0,1g424=1.

41=1,

則,

,ai+3d=10,

解得d=3,

所以Un—1+3(”-1)=3”一2.

(2)若以，”6是等比數(shù)列｛與｝的前3項，

則ai=ava6,

根據(jù)等差數(shù)列的通項公式得到ak=3k-2,

代入上式解得&=2；a\,a2,恁是等比數(shù)列｛d｝的前3項，0=1,4/2=4,

所以等比數(shù)列｛兒｝的公比為g=4.

由等比數(shù)列的通項公式得到為=4"」.

則詼+瓦=3”-2+4"一|,

故S?=(l+l)+(4+4l)H-----F(3〃-2+4"r)

.(3〃-1)4"-1

=2+4-1

=%-%+/(4”-1).

2.(2019?湖南六校聯(lián)考)如圖，A8CD是邊長為2的菱形，ZDAB=60°,ABCD,

F￡)J_平面ABC。，EB=2FD=4.

(1)求證：EF±AC；

(2)求幾何體EFABCD的體積.

⑴證明連接BO,

E

平面ABC。，EBJ_平面ABCD,

C.EB//FD,

:.E,F,D,B四點共面，

：.AC±EB.

設DBQAC=O,

為菱形，：.AC±DB.

又DBCEB=B,DB,EBU平面EFDB,

."CJ?平面EFDB,

；EFU平面EFDB,J.ACLEF.

(2)解,:EB〃FD,EB1.BD.

J.EFDB為直角梯形，

在菱形ABC。中，

N￡)AB=60°,AB=2,BD=2,AO=CO=小,

...梯形EFDB的面積S=(2+；)X2=6,

：AC_L平面EFDB,

VEFAHCD=VC-EFDB+VA-EFDB

=；SXAO+gsxco=4小.

3.（2019?濟寧模擬）已知橢圓C：，+/=36>0）的離心率為坐，且橢圓C過點仔，用.

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）過橢圓C的右焦點的直線/與橢圓C交于4B兩點,且與圓：/+）2=2交于E,尸兩點,

求HBHEFp的取值范圍.

解（1）由已知可得5=坐，

3

-b2

所以足2

所以橢圓C的方程為尹?

將點修孝）代入方程得/=2,即〃=3,

所以橢圓C的標準方程為亨+、=1.

(2)由(1)知橢圓的右焦點為(1,0).

①若直線/的斜率不存在，則直線/的方程為x=l,

不妨設A0,平)，8(1,—乎)，￡(1,1),尸(1,-D，

2

所以依8|=半，|EF『=4,\AB\-\EF\=^^;

②若直線/的斜率存在，設直線/的方程為

設4(為，yi),8(x2,”)，

=1,

聯(lián)立直線/與橢圓方程得

可得Q+BSM—Gdx+BR—GnO,

mii6—3/16

則曾+M=肅2制及=天不

所以|AB|=y（l+F）（XLX2）2

=4（+耳（磊卜4><奔]

4?。∕+1）

―2+3F'

固

因為圓心(0,0)到直線/的距離d=

、矛+1

所以|￡/平=4(2-含，=莖*,

4?。▋?1）4（必+2）

所以|48卜|印2=

2+3lc?F+1

16?。óa(chǎn)+2）_16小公+2

2+3標=3Z+2

因為后G[0,+°°),

所以(穹叵，16/5],

綜上，■硝班2的取值范圍是1

4.下表為2014年至2017年某百貨零售企業(yè)的線下銷售額），（單位：萬元），其中年份代碼x

=年份一2013.

年份代碼X1234

線下銷售額y95165230310

⑴已知y與x具有線性相關關系，求y關于x的線性回歸方程，并預測2019年該百貨零售企

業(yè)的線下銷售額；

⑵隨著網(wǎng)絡購物的飛速發(fā)展，有不少顧客對該百貨零售企業(yè)的線下銷售額持續(xù)增長表示懷

疑，某調查平臺為了解顧客對該百貨零售企業(yè)的線下銷售額持續(xù)增長的看法，隨機調查了55

位男顧客、50位女顧客（每位顧客從“持樂觀態(tài)度”和“持不樂觀態(tài)度”中任選一種），其中

對該百貨零售企業(yè)的線下銷售額持續(xù)增長持樂觀態(tài)度的男顧客有10人、女顧客有20人，能

否在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下認為對該百貨零售企業(yè)的線下銷售額持續(xù)增長所持

的態(tài)度與性別有關？

參考公式及數(shù)據(jù)：

〃一一

Zr渺一〃xy

Ai-IAA

b—------------------,a=y—hx,

-HX2

i=\

1______n(ad—bc￥______

K(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'

尸（心》心）0.150.100.050.0250.0100.005

ko2.0722.7063.8415.0246.6357.879

解(1)由題意得x=2.5,y=200,jE]X?=30,

4

渺=2355,

i-l

4_______

的n/A海W―4*2355-4X2.5X200

一"4/2=30—4X2.52

所以a=y-bx=200-71X2.5=22.5,

所以y關于x的線性回歸方程為y=71x+22.5.

由于2019—2013=6,

所以當x=6時，y=71X6+22.5=448.5,

所以預測2019年該百貨零售企業(yè)的線下銷售額為448.5萬元.

(2)由題意可得2X2列聯(lián)表如下:

持樂觀態(tài)度持不樂觀態(tài)度總計

男顧客104555

女顧客203050

總計3075105

c105X(10X30-45X20)2

故群的觀測值k=一<：乂<八乂2八乂71/=6.109,

由于6.109>5.024,所以可以在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下認為對該百貨零售企業(yè)的

線下銷售額持續(xù)增長所持的態(tài)度與性別有關.

5.己知函數(shù)/)=e*(sinx一加+2a—e),其中a￡R,e=2.71828…為自然對數(shù)的底數(shù).

(1)當〃=0時，討論函數(shù)火x)的單調性；

⑵當時，，求證：對任意的工￡[0,+°°)，A.v)<o.

⑴解當。=0時，Ax)=ev(sinx-e),

f(x)=ex(sinx+cosx-e)

=e1也sin(x+：)-e<0,

.\/U)在(-8,+8)上單調遞減.

(2)證明要證e"(sinx—加+24—?)<0對任意的+8)恒成立，

即證sinX—ax2+2a—e<0對任意的x￡[0,+8)恒成立，

令g(a)=(2—x2)〃+sinx-e,

即證當I，1時，

g(a)=(2—x2)4+sinx—e<0恒成立，

gGRsinx-l+l—e<0,①

即證彳⑵2成立.

、g(l)=sinx—f+2—e<0,②

Vsinx+l<e,

???①式成立.

現(xiàn)證明②式成立：

令力(x)=sinx—d+2—e,hr(x)=cosx—2x,

設存在xo￡[O,+8),

使得〃'（xo）=cosxo—2xo=O,

則O<xo<^,

在（0,沏）上單調遞增，在[沏，+8）上單調遞減，

/i（x）max=h（xo）=sin&—焉+2-e

.cos2xo,八

=sin沏--一十2一e

sin2A?（）.,2

41sinXo?e.

?O*^x（）<d，??sinxoG（°，2），

S'^~+sin^0+4-e<y^—e<0,即②式得證.

綜上所述，當xG[0,+8）時，犬x）<0恒成立.

6.已知直線/經(jīng)過點P（l,2）,傾斜角a=*圓C的極坐標方程為p=2吸cos（。一；）.

（1）寫出直線/的參數(shù)方程，并把圓C的方程化為直角坐標方程；

⑵若直線/與圓C相交于A,B兩點,求線段AB的中點M到點P的距離.

（..兀

x=1+rcos

解（1）直線/的參數(shù)方程為《

[y=2+?si吟，

即j（f為參數(shù)，fCR）.

y^2+2

由2=2媳3（。一；），

得p=2cos9+2sin0,

：.f，=2pcose+2〃sin0,

.,.f+）2=2x+2y,

...圓C的直角坐標方程為（x—Ip+G—1）2=2.

整理得P+r-l=O,zf=5>0,

設A,8兩點對應的參數(shù)分別為人，殳,

則力+介=-1,

7.已知函數(shù)應￥)=/一|x|+3.

⑴求不等式式x)23x的解集；

X

(2)若關于x的不等式,/U)—/W5+。恒成立，求實數(shù)。的取值范圍.

解(1)當x20時，犬X)=X2-X+323X,

即x2—4x+3》0,

解得x23或xWI,所以x23或OWxWl；

當x<0時，段)=/+彳+323萬，

此時不等式f-2x+320恒成立，所以x<0.

綜上所述，原不等式的解集為{x|x》3或xWl}.

(2)/U)—fW恒成立，

即一|x|+3Wf+a恒成立，

Y

即g+a+823恒成立,

*/^+a+|x|=^+a+楙+楙

25+4—5+f=同+f冽〃1，

當且僅當x=O時，等號成立，

同》3,解得”23或aW—3.

故實數(shù)a的取值范圍是(-8,-3]U[3,+8).

[70分]解答題標準練（二）

I.（2019?天一大聯(lián)考）已知△4BC的內角月，B,C的對邊分別為a,h,c,?。ā癱os。-6）=

asinC.

⑴求角A；

（2）若。=2巾，6=4,求c及△ABC的面積.

解（1）由題意及正弦定理可得

?。╯inAcosC—sinB）=sinAsinC.

'：A+B+C^it,

B=n—（A+Q,

.*.,\/3[sinAcosC-sin（＞4+Q]=sinAsinC,

即一V5cosAsinC=sinAsinC,

又sinOO,tanA=一小,

t'OvAv兀,；?A=亨.

⑵由余弦定理可得/=/+于一26CCOSA,

整理得<r+4c-12=0,

解得c=2或c=—6（舍去）.

2.(2019?沈陽模擬)如圖，在四棱錐P—ABC。中，PAmABCD,底面488是等腰梯形,

AD//BC,AC1BD.

(1)證明：BDLPC-,

(2)若AD=4,BC=2,設ACn2D=O,且/尸。。=60。，求四棱錐「一ABC。的體積.

⑴證明因為以1■平面4BCE>,BOU平面ABCD,

所以PALBD.

又AC_L8￡>,PA,AC是平面以C內的兩條相交直線，

所以平面PAC.

而PCU平面B4C,所以3￡>_LPC

⑵解連接。P,由⑴知，平面%C,

由POU平面以C知，BDLPO.

在RtAPOD中，

因為/如0=小

所以NOPO=*得PD=2DO.

又因為四邊形ABCO為等腰梯形，ACA.BD,

所以△A。。，ZiBOC均為等腰直角三角形.

從而梯形4BCD的高為泰力+38c=3,

于是梯形ABCD的面積S=1x(4+2)X3=9.

OD--^AD—2\[2,

在等腰直角三角形AOO中,

所以「。=2。。=4啦，PA=y]PD2~AD2=4.

故四棱錐P-ABCD的體積為

y=；XSX必=；X9X4=12.

3.某高三理科班共有60名同學參加某次考試，從中隨機挑選出5名同學，他們的數(shù)學成績

x與物理成績y如下表：

數(shù)學成績X145130120105100

物理成績y110901027870

數(shù)據(jù)表明y與x之間有較強的線性關系.

(1)求y關于x的線性回歸方程；

(2)該班一名同學的數(shù)學成績?yōu)?10分，利用(1)中的回歸方程，估計該同學的物理成績；

(3)本次考試中，規(guī)定數(shù)學成績達到125分為優(yōu)秀，物理成績達到100分為優(yōu)秀.若該班數(shù)學

優(yōu)秀率與物理優(yōu)秀率分別為50%和60%,且除去抽走的5名同學外，剩下的同學中數(shù)學優(yōu)秀

但物理不優(yōu)秀的同學共有5人.能否在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為數(shù)學優(yōu)秀與物

理優(yōu)秀有關？

Z(四一x)(.y/-y)

人/=]八_A_

參考數(shù)據(jù)：b=--------------------,a=y—bx.

￡(A-i-X)2

Z=1

)_______n(ad—be辛_____

K(a+b)(c-\-d)(a+c)(b+d)1

尸(心》6.635)=0.01,尸(群》10.828)=0.001.

解(1)由題意可知工=120,7=90,

5__

Z(XLx)8—y)=(145-120)(110-90)+(130-120)X(90-90)+(120-120)(102-90)+

/=1

(105-120)(78-90)+(100-120)(70-90)

=500+0+0+180+400=1080,

5-

2(即一x)2=(145—120)2+(130—120)2+(120-120)2+(105—120)2+(100—120)2

/=1

=625+100+0+225+400=1350,

故號攜=,=0.8.

a=90-120X0.8=-6,

故線性回歸方程為y=0.8x—6.

A

⑵將尤=110代入上述方程，得y=0.8X110-6=82.

(3)由題意可知，該班數(shù)學優(yōu)秀人數(shù)及物理優(yōu)秀人數(shù)分別為30,36.

抽出的5人中，數(shù)學優(yōu)秀但物理不優(yōu)秀的共1人，

故全班數(shù)學優(yōu)秀但物理不優(yōu)秀的共6人.

于是可以得到如下2X2列聯(lián)表：

物理優(yōu)秀物理不優(yōu)秀總計

數(shù)學優(yōu)秀24630

數(shù)學不優(yōu)秀121830

總計362460

丁目,60X(24><18—12X6)2

于K--30X30X36X24-=10>6-635>

因此在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下，可以認為數(shù)學優(yōu)秀與物理優(yōu)秀有關.

4.(2019?長沙一中、常德一中等六校聯(lián)考)如圖，橢圓C：的右焦點為F,過點尸

的直線/與橢圓交于A,B兩點，直線加x=4與x軸相交于點E,點M在直線〃上，且滿

足軸.

⑴當直線/與x軸垂直時，求直線AM的方程;

(2)證明：直線AM經(jīng)過線段EF的中點.

⑴解由。=^^=1,

.X

3

**?直線AM的方程為y—1=—(x—1),

即2x+2v-5=0.

⑵證明當直線/垂直于y軸時，線段所在直線AM上，符合題意,

當直線/不垂直于y軸時，

設直線/的方程為犬=沖+1,

f"=l，

由『3得3(加):+1)2+4戶12,

[x=my+1,

即(3m2+4R2+6my—9=0.

A=(6相>+36(3m2+4)>0.

設A3，y\),8(x2,》2),

,—6m-9

則M％+”=藐4丁小=就彳，

的中點為[I，0),M(4,y2),

又?nyi一亍義”一歹1=，〃％”一+")

-9m3-6m

3/n2+42*3病+4

；.A,N,M三點共線，

直線AM經(jīng)過線段EF的中點.

5.(2019?安慶模擬)設函數(shù)段)=『+4x+2,g(x)=fe'[T(x)-2],其中fGR.函數(shù)段)的圖象在

點A(-*/(一5)處的切線與函數(shù)g(x)的圖象在點仇0,g(0))處的切線互相垂直.

⑴求f的值；

(2)若依(尤)》紈x)在xd[—2,+8)上恒成立，求實數(shù)上的取值范圍.

解⑴由,/(x)=f+4x+2得，，(x)=2x+4.

于是g(x)=reU'(x)-2]=2W(x+1),

所以g'(x)=2fe、(x+2).

函數(shù)_/U)的圖象在點一器，/(一?處的切線與函數(shù)g(x)的圖象在點B(0,g(0))處的切線互

相垂直,

所以/(一/)g'(6=一1，

即_(，々=_|'f=l.

(2)/(x)=f+4x+2,g(x)=2e%x+l).

設函數(shù)F(x)=依(x)—2/(x)

=2&e*(x+1)—2/—8x—4(x2—2),

貝UP(x)=kgfM-2fr(x)

=2tev(x+l)+2tev-4x-8=2(x+2)(tev-2).

由題設可知尸(0)20,即女，2.

2

令尸(x)=0得xi=ln12=—2.

①若一2<nW0,則2WA<2e2,

此時xG(—2,xi)時，F(xiàn)'(x)<0,xG(xi,+8)時，

F'(x)>0,即F(x)在(一2,汨)上單調遞減，在但，+8)上單調遞增，所以尸(x)在工=制處取

最小值F(xi).

而F(xt)=2ke''(XI+1)—2XT-8內一4

—4xi+4—2x?—8為一4=-2%I(XI+2)20.

.?.當x)一2時，尸(x)》F(xi)20,

即依(x)24U)恒成立.

②若為=-2,則Jl=2e2,

此時F'(x)=2(x+2)(2ev+2-2)0,

.?.F(x)在[-2,+8)上單調遞增，而尸(一2)=0,

...當x2一2時，F(xiàn)(x)20,即僅(x)20(x)恒成立.

③若xi<—2,則k>2e2時，

尸(x)在[-2,+8)上單調遞增，

此時F(—2)=—2左-2+4=—2e-2(Jl-2e2)<0.

當x》一2時，Ag(x)》"x)不能恒成立.

綜上所述，上的取值范圍是[2,2e2].

6.在平面直角坐標系xQy中，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，己知曲

[x=2cos0,7

線C的參數(shù)方程為.(。為參數(shù))，直線/的極坐標方程為修

[y=sinziUcosuzsinu

(1)求曲線C和直線/的直角坐標方程，并求出曲線C上到直線/的距離最大的點尸的坐標；

(2)求曲線C的極坐標方程，并設A,8為曲線C上的兩個動點，且a?而=0,求|矗|2的取

值范圍.

解(1)曲線C的直角坐標方程為4+丫2=1,直線/的直角坐標方程為x-2)，-2=0,

則曲線C上的點到直線/的距離

|2cos0—2sin0-2\

〃=奉

|2sin。-2cos。+2|

=忑

=靠gin。-0+1],

當。=平時，d最大，

此時，一也，坐)

(2)曲線C的極坐標方程為p2cos20+4p2sin20=4,

44

即"9cos20+4sin2^3sin2<9+f

設A3,6)，即2,。+?,

f44

則"B[2=PT+/=3sin2(9+1+3COS2?+1

20_「16

=9--------GT5

4sin220+4

即畫的取值范圍為[冬5.

7.設函數(shù)/U)=|2x+l|+2|x—a|.

(1)若a=2,試求的解集；

(2)若a>0,且關于x的不等式7(x)<3x有解，求實數(shù)。的取值范圍.

1

x<——

解⑴由。=2得，①J2，

、一(2x+1)—2(x-2)26,

得xW—：3；

2

②J無解；

、2x+1—2(x—2)26,

③[|x2>x2+,l+2(x—2)己6,得'X與g’

綜上，不等式的解集為(-8,-1

-4x—1+2。，x<-2?

⑵3="+2a,―9/。，

、4x+l—2。，x>a.

要使7U)<3x有解，

則只需2a+l<3a,即a>l.

所以實數(shù)a的取值范圍為(1,+8).

[70分]解答題標準練（三）

l.ZXABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知('-sinC)cosA=sinAcosC,a=2.

⑴求4;

(2)求AABC的面積的最大值.

解(1)因為Qb—sinC)cosA=sinAcosC,

I/?cosA

所以］Z?cos4=sinCeosA+sinAcosC=sin(A+C)=sinB,所以公巾B=1，

由正弦定理得卷=卷=熹,

近0osA2cosA

加以2sinB=2sinA=LsinA=cosA,

TT

又AW(0,it),所以A=1

(2)由余弦定理a2=/>2+c2—2feccosA得,

b2+cr=yl2bc+4,

因為P+d》2bc.

所以小加

解得6cW2(2+/)，

所以S<MBc=3%csinA=乎力cW坐X2(2-

所以△ABC面積的最大值為也+l.

2.（2019?成都市實驗外國語學校模擬）某商場舉行購物抽獎活動，抽獎箱中放有編號分別為

1,2,345的五個小球.小球除編號不同外，其余均相同.活動規(guī)則如下：從抽獎箱中隨機抽

取一球，若抽到的小球編號為3,則獲得獎金100元；若抽到的小球編號為偶數(shù)，則獲得獎

金50元；若抽到其余編號的小球，則不中獎.現(xiàn)某顧客依次有放回的抽獎兩次.

（1）求該顧客兩次抽獎后都沒有中獎的概率；

（2）求該顧客兩次抽獎后獲得獎金之和為100元的概率.

解（1）由題意得，該顧客有放回的抽獎兩次的所有可能結果為：

(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),

(3,5),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),共有25種.

設''該顧客兩次抽獎后都沒有中獎”為事件A,則事件A包含的結果為(1,1),(1,5),(5』)，

(5,5),共4種，

4

所以尸(4)=行.

即該顧客兩次抽獎后都沒有中獎的概率為六.

(2)兩次抽獎獎金之和為100元包括三種情況:

①第一次獎金為100元，第二次沒有獲獎，其包含的結果為(3,1),(3,5)；

②第一次沒中獎，第二次獎金為100元，其包含的結果為(1,3),(5,3)；

③兩次各獲獎金50元，包含的結果有(2,2),(2,4),(4,2),(4,4).

綜上，兩次抽獎獎金之和為100元包含8種結果.

故所求概率為P=^,

即該顧客兩次抽獎后獲得獎金之和為100元的概率為福.

3.(2019?河南名校聯(lián)盟聯(lián)考)如圖所示，已知四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形,

AD//BC,AB±BC,AB=AO=1,BC=2,PB_L平面ABC。，PB=l.

(1)求證：CDLPD；

(2)求四棱錐P-ABCD的表面積.

(1)證明在梯形ABC。中，易求BD=?P￡>=小，PA=?

"：BC=2,：.BC2=Cb2+BD2,：.CD±BD.

:尸8平面ABCD,：.PBA.CD,

又PBCBD=B,PB,BDU平面PBD,

.,.CD_L平面PBD.

又P￡)u平面PBD,J.CDLPD.

⑵解由(1)知6義小=坐

又,：DA〃BC,BC1AB,P8_L平面ABC￡),

：./\PAD,/\PBA,△P8C都為直角三角形.

??'△PAD-2，)△出8—2，?,3悌形A8CD—2?

四棱錐P-ABCD的表面積為坐+坐+；+1+,=逅土半土烏

4.已知橢圓C：=1(a>〃>0)的兩個焦點分別為Fi,點尸是橢圓上的任意一點，且

IPQHP&I的最大值為4,橢圓C的離心率與雙曲線，一￡=1的離心率互為倒數(shù).

(1)求橢圓C的方程;

過點戶作兩條直線/1，，2與圓。+1)2+戶+《|)相切且分別交橢圓

于M,N,求證：直線MN的斜率為定值.

(1)解設橢圓的焦距為2c,

由題意知|尸尸小IPBIW(中加;仍碼｝=層=4,

所以a=2.

由雙曲線3一石=1的離心率為"4(12=2,

可知橢圓C的離心率為今

即5=寺，解得c=l,序=3,

所以橢圓C的方程為3+1=1.

(2)證明點《一1,|)在橢圓C上，顯然兩直線八，b的斜率存在，設為％I,k2,M(xi,%),

N(X2,竺)，由于直線與圓(x+l)2+y2=r2(0＜，y|')相切，可知心=—k2,

3

直線-

2

3

廠5=ki(x+D，

可得(3+46]+8k1(左1+4Gi+?—12=0,

訴n,的(%+[一*12—+3

所以為-1—一3+46’Xi~3+4后，

Q】、)—4好+12e+3

所以及=一訐福一，

_24公

為一及=訐誦,

-8好+6

又為+X2=F7拓

y\~y2=k\(x\+xi)-\-lk\

仁8M+6)必

=k{3+4后廣2%尸訐詬

⑵I

、Vi—\?23+4后1

可知直線MN的斜率為k-_型=—^=一5

X|—X2-24故2

3+4后

故所求的直線MN的斜率為定值一；.

5.己知函數(shù)fix)=/—x—y[x.

(I)求函數(shù)y=?x)的零點的個數(shù)；

(2)令g(x)=景寶+lnx,若函數(shù)y=g(x)在(0,f內有極值，求實數(shù)。的取值范圍.

解(1)函數(shù)y(x)的定義域為[0,+8).

因為40)=0,

所以x=0為y=y(x)的一個零點，

當x>0時，./(力=乂/一1

設9(x)=f-1—七，

貝i]9,(x)=2x+.qp>°，

所以夕(x)在(0,+8)上單調遞增,

又夕(1)=—1<0,磯2)=3—亞>0,

故夕(x)在(0,+8)上有唯一零點，且在(1,2)內,

所以y=/m)在[0，+8)有且僅有2個零點.

a^+ax,

(2W)=.^w：+lnx

辦(x+1)一__q_

x(x+1)(》一1)+11l+lnX,

定義域為(0,l)U(l,+8),

屋a)=；_G^

(2+〃)x+1

=~X(LIp-，

設〃(x)=f—(2+a)x+1,

要使y=g(x)在(o，§內有極值,

則/l(x)=o有兩個不同的根X],X2,且有一根在I

所以/=(2+〃)2—4>0,解得a>0或a<—4,

不妨設0<為<],又X1M=1,

所以04]<[<e<T2,

又人(0)=1,則只需破卜0,

即5一(2+.)義9+1<0,

解得a>e+：-2,

所以a的取值范圍為(e+P—2,+8)

6.(2019?汕尾質檢)在直角坐標系xOy中，曲線G的參數(shù)方程為卜一于。為參數(shù))，曲線

ly=2t

x=1+v2cosa,

廠伍為參數(shù))，以。為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐

{y=l+\2sina

標系.

⑴求曲線C和。2的極坐標方程；

(2)直線/的極坐標方程為6=全直線/與曲線Ci和C2分別交于不同于原點的4B兩點，

求|AB|的值.

(I2

解(1)曲線。的參數(shù)方程為，2,。為參數(shù))，

J=2f

轉換為普通方程為V=8x,

轉換為極坐標方程為psin%=8cos9.

x=1+v2cosa,

廠(a為參數(shù))，

(y=1+\2sina

22

轉換為普通方程為x+y—2x—2y=01

轉換為極坐標方程為p—2cos0—2sin0=0.

(2)設AQI,穿，8G2,

c兀

8cosw

16

所以"i=~

si吟

_兀IC.

p2=2cosq+2sin5=1+小,

13

所以IA間=bi-p2i=亍一小.

7.(2019?汕尾質檢)已知於)=|2x+2|+|x-l|的最小值為t.

⑴求，的值；

(2)若實數(shù)m6滿足2/+2〃=f,求*j■+昌]的最小值.

px+1,

解⑴/(x)=|2x+2|+|x—1|=卜+3,—l<r<l,

1-3xT,xW-1.

故當X=-1時，函數(shù)y(x)有最小值2,所以，=2.

⑵由⑴可知2a2+2/=2,

故/+1+/+2=4,

圻,,,11___<..11"2+1+-+2

所以/+1+/+2-。+[+/+2)4

,_Z>2+2,g2+l

2+a2+\+b2+2

=4Nl，

當且僅當片+1="+2=2,

即〃2=i,"=0時等號成立，

故〃]+萬；2的最小值為L

[70分]解答題標準練(四)

1.已知在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,cos(2B+2C)+3cosA-1=0,

且△ABC的外接圓的直徑為2.

(1)求角A的大小；

(2)若△ABC的面積為2小，求△ABC的周長；

(3)當△ABC的面積取最大值時，判斷△ABC的形狀.

解(1)由題意知24+28+2C=27t,所以cos(2B+2C)+3cosA—1=cos2A+3cosA—1=0,

即2cos2A+3cosA—2=0,

解得cosA=-2(舍去)或cosA=g.

jr

又0<A<K,所以A=,

(2)由題意及正弦定理得癮=2,

所以“=2sin：=小.

因為△ABC的面積S=/csinA=24§,所以從'=8,

由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA

=S+c)2—3/?c=S+c)2—24=3,

所以/?+c=3小，

所以△ABC的周長為〃+〃+c="x/§+3，§=4、/§.

(3)由余弦定理得3=/+C2-2ACOSA》A,當且僅當b=c時等號成立，

所以S=T〃csinA=^bcW乎X3=^^,

當且僅當人=c時等號成立，

JT

故當△ABC的面積取最大值時，b=c,又A=],

所以AABC為等邊三角形.

2.如圖①，在長方形ABC。中，AB=；BC=也，E,尸分別為A。，BC的中點，G為ED的

中點，點”在線段A尸上，且滿足凡將正方形4BFE沿EF折起，使得直線E尸與平

面48CC間的距離為1,得到如圖②所示的三棱柱AED-BFC.

(1)求證："1.平面BED；

(2)若三棱錐G-HFC的體積為乎，求2的值.

⑴證明因為EFV/AB,ABCD,ABU平面ABC￡>,所以EF〃平面ABCD

所以直線EF與平面ABCD間的距離等于點E到平面ABCD的距離.

由題意知EF_LAE,EFLED,又AECED=E,AEU平面4E￡),E0U平面4E。，所以EF_L

平面AED,

因為EF〃AB,所以AB_L平面AEZ),

又ABU平面ABCO,所以平面4EDJ_平面A8CD

所以點E到平面ABCQ的距離即為點E到直線A。的距離.

在△AED中，過點E作EM_L4。于點M,如圖所示.

則EM=1,AE=ED=用,易知AM=M￡>=1,

所以AC=2,所以AE_LED

又EDJLEF,EFCAE=E,EFU平面4EF8,AEU平面AEFB,

所以ED_L平面AEFB,

又AFU平面AEFB,所以AF_LED

由題意知4尸J_EB,又EDCEB=E,EDU平面BED,

EBU平面BED,所以AFI.平面BED.

⑵解過點H作”/，E尸于點/,如圖所示,

則H/〃AE,易知H/_L平面GFC,

所以H/=(l-2)AE=，5(I-2).

貝“V陵雛G-HFC—VH-GFC—2義SAGFCXHI

=/x；x&xpx也(D=*,

解得2=今

3.由于往屆高三年級數(shù)學學科的學習方式大都是“刷題——講題——再刷題”的模式，效果

不理想，某市一中的數(shù)學課堂教改采用了“記題型——刷題——檢測效果”的模式，并記錄

了某學生的記題型時間f（單位：h）與檢測效果y的數(shù)據(jù)如下表所示.

記題型時間th~1~~2~~3~~4~~5~~6~~~

檢測效果），

⑴據(jù)統(tǒng)計表明，y與，之間具有線性相關關系，請用相關系數(shù)r加以說明（若仍》0.75,則認為

y與，有很強的線性相關關系，否則認為沒有很強的線性相關關系）；

（2）建立y關于/的線性回歸方程，并預測該學生記題型8h的檢測效果；

（3）在該學生檢測效果不低于3.6的數(shù)據(jù)中任取2個，求檢測效果均高于4.4的概率.

E(為一x)(y<—y)

參考公式：回歸直線；=￡+聯(lián)中斜率和截距的最小二乘估計分別為Z=------------------------

E（為一x）2

E(Xi—x)8—>')

i=l

a—y—bx相關系數(shù)r=

__7_

參考數(shù)據(jù)：t=4,y=4.3,X(yi~y)2=7.08,

i=l

￡彷-7)8—5)=14,[198.24F4.08.

i=\

7__

解⑴由題意得Z(L1=9+4+1+0+1+4+9=28,

i=l

Z(?Lt)8—y)

產(chǎn)i14

所以r=----1----/=i"0.99>0.75,

n_r,_028X7.08

A/Z(lt)2A/￡8-y)2

所以y與r有很強的線性相關關系.

7__

Z(ti-t)ty,—y)

A

尸i14

(2)由(1)可得b==2g=0.5,

X(Lt)2

/=i

A___A

所以a~b7=4.3—0.5X4=2.3,

A

所以y關于f的線性回歸方程為y=0.5f+2.3.

A

當，=8時，y=0.5X8+2.3=63,

所以預測該學生記題型8h的檢測效果約為6.3.

(3)由題意知該學生檢測效果不低于3.6的數(shù)據(jù)有5個，任取2個數(shù)據(jù)有(3.644),(36,4.8),

(3.6,5.2),(3.6,5.9),(4.4,4.8),(4.4,5.2),(4.4,5.9),(4.8,5.2),(4.8,5.9),(5.2,5.9),共10種

結果，其中檢測效果均高于4.4的有(4.8,5.2),(4.8,5.9),(52,5.9),共3種結果，故所求概率

為春

4.已知橢圓C：動直線/過點4(0,1)且與橢圓C交于尸，Q兩點.

⑴求弦PQ的中點M的軌跡方程；

(2)設。為坐標原點，問是否存在常數(shù)2,使得游?恁+5>?而為定值？若存在，求出2的

值；若不存在，請說明理由.

解(1)當直線/的斜率不存在時，易知點M(0,0).

當直線/的斜率存在時，設直線/的方程為)，=依+1,

「(XI,n),2(X2,”)，M(x,y)(y#O).

儼+2戶4,

由.

y=kx+l9

得(2乒+1)1+4"一2=0,

/=(必)2+8(2斤+1)>0恒成立，

4K2

則XI+及=-2胃+1'制冷=-2必+「

-V|+.V22k

所以X①

22必+1'

r(一春川=■,②

①②兩式聯(lián)立，得*+29-2)，=0。/0).

又(0,0)適合上式，

故弦PQ的中點M的軌跡方程為』+2產(chǎn)—2》=0.

(2)當直線/的斜率存在時，由(1)知

XAPAQ+OPOQ

=x[jrix2+tyi—1）（J2—l）]+xix2+yi>'2

=（1+z）（llc）X\X2-\~k（x\+也）+1

（一2/1—4）我+（—22—1）

2^+1

z-1

2-2,

2產(chǎn)+1

所以當2=1時，一會與一2一2為定值-3.

當直線/的斜率不存在時，易知