2020-2021學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第十一章立體幾何初步1142平面與平面垂直學(xué)案新人教B版必修第四冊(cè)

11.4.2平面與平面垂直

新課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)業(yè)水平要求

★水平一

1.借助長(zhǎng)方體,通過(guò)直觀(guān)1.能夠了解用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)的面面垂直的判定與性質(zhì)定

感知，了解平面與平面垂理.（數(shù)學(xué)抽象）

直的關(guān)系，并歸納出面面2.了解面面垂直的判定與性質(zhì)定理的條件與結(jié)論之間的邏輯

垂直的判定與性質(zhì)定理.關(guān)系.（邏輯推理）

2.能運(yùn)用直觀(guān)感覺(jué)、定理3.掌握一些基本命題的證明，并有條理地表述論證過(guò)程.（邏

和已獲得的結(jié)論證明空輯推理）

間基本圖形位置關(guān)系的★水平二

命題.對(duì)于一些基本命題，能選擇合適的論證方法表述論證過(guò)程，能

夠通過(guò)舉反例說(shuō)明某些數(shù)學(xué)結(jié)論不成立.（邏輯推理）

必備知識(shí)-自主學(xué)習(xí)

1.二面角、二面角的平面角是怎樣定義的?怎么求二面角的大小？

導(dǎo)思2.平面與平面垂直的判定定理是什么？

3.兩平面垂直的性質(zhì)定理是什么？

1.二面角

（D二面角的定義

從一條直線(xiàn)出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角.這條直線(xiàn)稱(chēng)為二面角的棱,這兩個(gè)半

平面稱(chēng)為二面角的面.

（2）圖示與記法

圖示記法

二面角?-1-0或

二面角P-AB-Q或

二面角P-1-Q

（3）二面角的平面角

定義圖示

在二面角a-1-P的棱上任取一點(diǎn)。，以0

為垂足，分別在半平面a和B內(nèi)作垂直于

棱的射線(xiàn)0A和0B,則射線(xiàn)0A和0B所成的

角稱(chēng)為二面角的平面角

思考7

(i)在二面角的定義中，根據(jù)“從一條直線(xiàn)出發(fā)的兩個(gè)半平面”，想一想，能否用運(yùn)動(dòng)的觀(guān)點(diǎn)

定義二面角？

提示:二面角也可以看作是一個(gè)半平面以其棱為釉旋轉(zhuǎn)而成.

(2)二面角的平面角的定義中，“棱1上”、“在半平面a和B內(nèi)”、“垂直于棱”可以

缺少一個(gè)嗎？

提示:這三條是構(gòu)成二面角的平面角的三要素,缺一不可.實(shí)際上,二面角的平面角的頂點(diǎn)必須

在棱上，角的兩邊必須分別在兩個(gè)半平面內(nèi)，角的兩邊必須都與棱垂直:這三個(gè)缺一不可.前兩

個(gè)要索決定了二面角的平面角在同一個(gè)平面內(nèi)，第三個(gè)要素決定了二面角的平面角大小的唯

一性和平面角所在的平面與棱垂直.

2.平面與平面垂直

(1)兩個(gè)平面垂直的定義

如果兩個(gè)平面a與B所成角的大小為90°,則稱(chēng)這兩個(gè)平面互相垂直，記作a_LB.

(2)畫(huà)法:兩個(gè)互相垂直的平面通常把直立平面的豎邊畫(huà)成與水平平面的橫邊垂直.如圖所示.

(3)面面垂直的判定定理

判定定理符號(hào)表示圖示

(4)面面垂直的性質(zhì)定理

性質(zhì)定理符號(hào)表示圖示

如果兩個(gè)平面互相垂直，那如果

么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們a_LB,anB

交線(xiàn)的直線(xiàn)垂直于另一個(gè)平=m,AOua,A0±5

面m,則A0±B

思考？

(1)由面面垂直的定義中“直二面角”可以想到線(xiàn)線(xiàn)垂直和面面垂直有什么關(guān)系？

提示:作出二面角的平面角，由二面角的平面角是直角推出兩個(gè)平面垂直,反之，由兩個(gè)平面垂

直也可以推出二面角的平面角是直角，即實(shí)現(xiàn)了線(xiàn)線(xiàn)垂直與面面垂直的相互轉(zhuǎn)化.

(2)由面面垂直的判定定理中，可以想到線(xiàn)面垂直和面面垂直有什么關(guān)系？

提示:可以通過(guò)直線(xiàn)與平面垂直來(lái)證明平面與平面垂直.通常我們將其記為:線(xiàn)面垂直,則面面

垂直.因此證明面面垂直可轉(zhuǎn)化為證明線(xiàn)面垂直.

(3)性質(zhì)定理中若去掉在一個(gè)平面內(nèi)即“AOua”，定理是否成立？

提示:不一定成立，如圖,a_La,這時(shí)也有2_11,但a與B不垂直.

,，基礎(chǔ)小測(cè)j

1.辨析記憶(對(duì)的打“J”，錯(cuò)的打“X”)

(1)兩個(gè)相交平面組成的圖形叫做二面角.

(2)對(duì)于確定的二面角而言,平面角的大小與頂點(diǎn)在棱上的位置有關(guān).

(3)兩個(gè)平面垂直，其中一個(gè)平面內(nèi)的任一條直線(xiàn)與另一個(gè)平面一定垂直.

(4)如果平面a內(nèi)有一條直線(xiàn)垂直于平面B內(nèi)的一條直線(xiàn)，則a1P.

提示：(1)X.由二面倒的定義：從一條直線(xiàn)出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面倒，所以

(1)不對(duì)，實(shí)質(zhì)上它共有四個(gè)二面角.

⑵X.對(duì)于確定的二面角而言，在其棱上任取兩個(gè)不同的點(diǎn)，分別作這兩個(gè)二面角的平面角，

因?yàn)檫@兩個(gè)二面角的平面角所在的邊分別平行，且它們的方向相同，所以這兩個(gè)角相等，即平

面角的大小與頂點(diǎn)在棱上的位置無(wú)關(guān)，只與二面角的張角大小有關(guān)，所以該命題錯(cuò)誤.

(3)X.不一定.只有在一個(gè)平面內(nèi)垂直于兩平而交線(xiàn)的直線(xiàn)才能垂直于另一個(gè)平面.

⑷X.如圖所示，長(zhǎng)方體中平面a內(nèi)有一條直線(xiàn)I垂直于平面B內(nèi)的一條直線(xiàn)叫但是平面a與

平面B不垂直.

2.空間四邊形ABCD中，若AD±BC,BDXAD,那么有

A.平面ABC_L平面ADC

B.平面ABCJ_平面ADB

C.平面ABC_L平面DBC

D.平面ADC_L平面DBC

【解析】選D.因?yàn)锳D±BC,ADXBD,BCDBD=B,

所以ADJ■平面BCD.

又因?yàn)锳Dc平面ADC,

所以平面ADCJ■平面DBC.

3.（教材二次開(kāi)發(fā):例題改編）在長(zhǎng)方體ABCD-ABCD中,AB=AD=2A/WCC*/2,二面角G-BD-C

的大小為.

【解析】如圖，連接AC交BD于點(diǎn)0,連接GO.

因?yàn)镃iD=CiB,0為BD中點(diǎn),

所以CQ_LBD.

因?yàn)锳C±BD,所以NCQC是二面角C-BD-C的平面角，

在RtACiCO中，GC=企，可以計(jì)算出CQ=2&,

CiC1

所以sinNGOG;-------

C±O2

所以NCQC=30°.

答案:30°

關(guān)鍵能力-合作學(xué)習(xí)

類(lèi)型一二面角的概念及大小的計(jì)算（數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀(guān)想象）

【典例】如圖所示，四邊形ABCD是正方形,0是正方形的中心,四_L底面ABCD,側(cè)棱HA與底面

A/6

ABCD所成的角的正切值為一.求側(cè)面PAD與底面ABCD所成的二面角的大小.

2

V6

【思路導(dǎo)引】一方面借助側(cè)棱PA與底面ABCD所成的角的正切值為5求底面邊長(zhǎng)和棱錐高的

關(guān)系，另?方面要作出側(cè)面PAD與底面ABCD所成的二面角的平面角，并解直角三角形求正切

值.

【解析】取AD中點(diǎn)M,連接MO,PM,

因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，所以0A=0D,所以O(shè)M±AD,

因?yàn)镻OJ■底面ABCD,所以NPOA=NP0D=90°,

所以aPOA且△POD,所以PA=PD,所以PM±AD,

所以NPM0是側(cè)面PAD與底面ABCD所成的二面角的平面角，因?yàn)镻O_L底面ABCD,

DMA

所以NPA0是側(cè)棱PA與底面ABCD所成的角，

V6

所以tanNPAO二,

2

設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a,則AoJ^a,

2

V2V6V3

所以PO=AO?tanZPAO=---aX—=-a,

222

OP后

所以tanZPMO=---=V3,所以/PM0=60°.

OM

故側(cè)面PAD與底而ABCD所成的二面角是60°.

?變直送究

V6

將本例的條件“側(cè)楂PA與底面ABCD所成的角的正切值為——”改為“底面邊長(zhǎng)為a,E是PC

2

的中點(diǎn).若二面角E-BD-C為30°”，求四棱錐P-ABCD的體積.

B

【解析】取0C的中點(diǎn)F,連接EF,OE,如圖所示,

因?yàn)镋為PC的中點(diǎn)，

所以EF為△POC的中位線(xiàn)，所以EF〃PO,

因?yàn)镻OJL底面ABCD,所以EF_L底面ABCD,

BDc平面ABCD,所以EF_LBD,

因?yàn)镺F_LBD,EF±BD,OFClEF=F,

所以BDJ■平面EOF,OEc平面EOF,

所以BDLOE,

所以NEOF為二面角E-BD-C的平面角，

所以NEOF=30°,

11V2

因?yàn)镺F=-OC=-AC=—a,

244

所以在RtZkEOF中，

EF=OF-tan300=-a,

12

所以0P二2EF=A,

6

故Vi/xdx吏a二吏J

3618

?解避略

1.求二面角大小的步驟

作出平面角

證明所作的角滿(mǎn)足定義,即為所求二面角

的平面角

將作出的角放在三角形中,計(jì)算出平面角

的大小

簡(jiǎn)稱(chēng)為“一作二證三求”.

2.作二面角的平面角的方法

方法一：（定義法）在二面角的棱上找一個(gè)特殊點(diǎn),在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作垂直于棱的射線(xiàn).

如圖所示，ZAOB為二面角n-a-B的平面角.

方法二：（垂線(xiàn)法）過(guò)二面角的一個(gè)面內(nèi)一點(diǎn)作另一個(gè)平面的垂線(xiàn)，過(guò)垂足作棱的垂線(xiàn)，連接該

點(diǎn)與垂足,利用線(xiàn)面垂直可找到二面角的平面角或其補(bǔ)角.

如圖所示，ZAFE為二面角A-BC-I）的平面角.

方法三：（垂面法）過(guò)棱上一點(diǎn)作棱的垂直平面，該平面與二面角的兩個(gè)半平面產(chǎn)生交線(xiàn)，這兩

條交線(xiàn)所成的角，即為二面角的平面角.

如圖所示，NAOB為二面角a-1-3的平面角.

提醒：二面角的平面角的大小與頂點(diǎn)在棱上的位置無(wú)關(guān),通常可根據(jù)需要選擇特殊點(diǎn)作平面角

的頂點(diǎn)

跟蹤訓(xùn)練

1.如圖,在正方體ABCD-ABCD中,求二面角B-AiCrB,的正切值.

（解析］取AC的中點(diǎn)0,連接B,0,B0.

由題意知B,O±AiCh又BAFBCI,0為AiCi的中點(diǎn)，所以B0_LAQ,所以NBOBi即是二面角B-AiCi-Bi

的平面角.

因?yàn)锽BiJ■平面AiB^iDi.OBiC平面ABCD,

所以BB,±OBi.

設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a,則陽(yáng)二紇

2

在RtABBiO中tanZBOB,=

所以二面角B-A￡LBI的正切值為Y2.

2.如圖所示,在4ABC中,AB_LBC,SAJ_平面ABC,DE垂直平分SC,且分別交AC,SC于點(diǎn)D,E,又

SA=AB,SB=BC,求二面角E-BD-C的大小.

（解析】因?yàn)镋為SC的中點(diǎn)，且SB=BC,

所以BE_LSC.又DE_LSC,BEClDE=E,

所以SCJ■平面BDE,所以BD±SC,又SAJ■平面ABC,

可得SA_LBD,因?yàn)镾CClSA=S,所以BDJ■平面SAC,

從而B(niǎo)D±AC,BD±DE,

所以NEDC為二面角E-BD-C的平面角.

設(shè)SA=AB=1,在4ABC中，因?yàn)锳B_LBC,

所以SB=BC=V2,AC=A/3,

所以SC=2.在RtASACZDCS=30°,

所以NEDC=60°,即二面角E-BD-C為60°.

【補(bǔ)償訓(xùn)練】

1.如圖所示的二面角可記為(

A.a-3-1B.M-l-NC.1-M-ND.l-0-a

【解析】選B.根據(jù)二面角的記法規(guī)則可知B正確.

1

2.如圖,AC_L平面BCD,BD±CD,AC=~AD,求平面ABD與平面BCD所成的二面角的大小.

2

【解析】因?yàn)锳C_L平面BCD,BDc平面BCD,所以BD±AC.

又因?yàn)锽D_LCD,ACDCD=C,所以BDJ■平面ACD.

因?yàn)锳Dc平面ACD,所以AD±BD,

1

所以NADC即為平面ABD與平面BCD所成二面南的平面角.在RtAACD中，AC二一AD,所以N

2

ADC=30°.

即平面ABD與平面BCD所成的二面角的大小為30°.

類(lèi)型二平面與平面垂直的判定（邏輯推理、直觀(guān)想象）

【典例】1.經(jīng)過(guò)平面a外一點(diǎn)和平面a內(nèi)一點(diǎn)與平面a垂直的平面有.

2.如圖，四棱柱ABCD-ABCD的底面為菱形，四邊形BBDD是矩形，證明：平面BDDB_L平面

AiC>CA.

【思路導(dǎo)引】1.分這兩點(diǎn)的連線(xiàn)與平面之間的關(guān)系討論，得出不同的結(jié)論.

2.依據(jù)題目條件,要證平面BDDB_L平面ACCA,只要證BD_L平面ACCA.

【解析】1.設(shè)平面外的點(diǎn)為A,平面內(nèi)的點(diǎn)為B,過(guò)點(diǎn)A作平面a的垂線(xiàn)1,若點(diǎn)B恰為垂足，

則所有過(guò)AB的平面均與a垂直，此時(shí)有無(wú)數(shù)個(gè)平面與a垂直；若點(diǎn)B不是垂足，則1與點(diǎn)B

確定唯一一個(gè)平面與a垂直.

答案:1個(gè)或無(wú)數(shù)個(gè)

2.由于四邊彩BBiDtD是矩形，所以BD±B,B.

又A從〃BB,所以BDJLAA

又四棱柱ABCD-ABCD的底面ABCD是菱形,

所以BD_LAC.

因?yàn)锳CClAiA=A，所以BDJ■平面AiCiCA.

因?yàn)锽Du平面BDDB,

所以平面BDDBJ■平面AiCiCA.

.解涯南

證明平面與平面垂直的兩個(gè)常用方法

(1)利用定義:證明二面角的平面角為直角，其判定的方法是：

①找出兩相交平面的平面角；

②證明這個(gè)平面角是直角；

③根據(jù)定義,這兩個(gè)相交平面互相垂直.

(2)利用面面垂直的判定定理:要證面面垂直，只要證線(xiàn)面垂直.即在其中一個(gè)平面內(nèi)尋找一條

直線(xiàn)與另一個(gè)平面垂直.這是證明面面垂直的常用方法,其基本步驟是：

跟蹤訓(xùn)練'

1.已知直線(xiàn)1_L平面?,則經(jīng)過(guò)1且和□垂直的平面

A.有一個(gè)B.有兩個(gè)

C.有無(wú)數(shù)個(gè)D.不存在

【解析】選C.經(jīng)過(guò)1的任一平面都和a垂直.

2.如圖，在直三棱柱ABC-A.B,C.中，D,E分別為AB,BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在側(cè)棱B1B上，且

BD_LAF,ACJ_AB.

求證：(DDE〃平面ACF.

(2)平面BiDE_L平面AiCiF.

【證明】⑴因?yàn)镈,E分別是AB,BC的中點(diǎn),

所以DE〃AC,又AC〃AC,所以DE〃AC,

又因?yàn)锳iCiC平面AiCiF,且DEQ平面ACF,

所以DE〃平面ACF.

(2)因?yàn)锳BC-ABC是直三棱柱，

所以AA」平面ABG,

所以AAi±AiC,.

又因?yàn)锳iCi±AiBi,JLAA,ClAiBi=AbAAbA1B1C平面AABB,所以AG_L平面AABB,

所以ACJLBD,又AiF±B,D,A.FAAICFAI,

所以&D_L平面ACF,

又因?yàn)锽iDc平面B,DE,

所以平面BQEJ■平面AiCiF.

【補(bǔ)償訓(xùn)練】

1.如圖所示,在四面體ABCS中，已知NBSC=90°,ZBSA=ZCSA=60°,又SA=SB=SC.

求證:平面ABC_L平面SBC.

【證明】方法一：(利用定義證明)

因?yàn)镹BSA=ZCSA=60°,SA=SB=SC,

所以aASB和4ASC是等邊三角形，

則有SA=SB=SC=AB=AC,

令其值為a,則4ABC和4SBC為共底邊BC的等腰三角形.取BC的中點(diǎn)D,如圖所示,

連接AD,SD,則ADJLBC,SD±BC,

所以NADS為二面角A-BC-S的平面角.

在RtABSC中，因?yàn)镾B=SC=a,

V2BCV2

所以SD=-----a,BD=-----=-----a.

222

V2

在RtZ\ABD中，AD二-a,

2

在A(yíng)ADS中，因?yàn)镾D2+AD2=SA2,

所以NADS=90°,即二面角A-BC-S為直二面角，

故平面ABC_L平面SBC.

方法二：（利用判定定理）

因?yàn)镾A=SB=SC,且ZBSA=ZCSA=60°,

所以SA二AB二AC,

所以點(diǎn)A在平面SBC上的射影為aSBC的外心.

因?yàn)?SBC為直角三角影，

所以點(diǎn)A在4SBC上的射影D為斜邊BC的中點(diǎn)，

所以ADJ■平面SBC.

又因?yàn)锳Du平面ABC,所以平面ABCJ■平面SBC.

2.如圖所示,四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為a的菱形,PCJ_平面ABCD,E是PA的中點(diǎn),求證:平面BDE±

平面ABCD.

【證明】連接AC,設(shè)ACABD=O,連接0E.

因?yàn)?為AC中點(diǎn),E為PA的中點(diǎn)，

所以E0是APAC的中位線(xiàn)，所以E077PC.

因?yàn)镻CJ■平面ABCD,所以EOJ■平面ABCD.

又因?yàn)镋Oc平面BDE,所以平面BDEJ■平面ABCD.

類(lèi)型三面面垂直性質(zhì)定理的應(yīng)用(邏輯推理、直觀(guān)想象)

［典例］1.如圖,在多邊形PABCD中,AD〃BC,AB_LAD,

PA=AB=AD=2BC,ZPAD=60°,M是線(xiàn)段PD上的一點(diǎn),且DM=2MP,若將△PAD沿AD折起,得到幾何

體P-ABCD.

(1)證明:PB〃平面AMC.

(2)若BC=1,且平面PAD_L平面ABCD,求三棱錐P-ACM的體積.

2.如圖,在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形,平面PADJ_平面ABCD,PA±PD.

(1)求證:DC_L平面PAD.

(2)求證:平面PAB_L平面PCD.

【思路導(dǎo)引】1.(D用線(xiàn)面平行的判定定理證明.

(2)一方面要注意由平面PAD_L平面ABCD推出BA_L平面PAD;另一方面要注意VP-^VC-PAM.

2.(1)依據(jù)平面PAI)J_平面ABCD和AD1DC證明；

(2)轉(zhuǎn)化為證明PA_L平面PCD.

【解析】1.(1)連接BD,交AC于點(diǎn)0,連接M0.

因?yàn)锳D#BC,所以△BCOsADAO,

M

/A，址今。

BC

因?yàn)锳D=2BC，所以D0=2B0,因?yàn)镈N=2MP,

所以PB/7M0,

因?yàn)镻BQ平面AMC,MOc平面AMC,

所以PB〃平面AMC.

(2)因?yàn)槠矫鍼ADJ■平面ABCD,

平面PADD平面ABCD=AD,

ABc平面ABCD,AB±AD,

所以BAJ■平面PAD.因?yàn)锽C/7AD,

BCQ平面PAD,ADc平面PAD,

所以BC〃平面PAD,則三枝維C-PAM的高等于點(diǎn)B到平面PAD的距離，即BA=2,

111V312>/3

=l-=

因?yàn)镾APAM=_SziPAo-XXAPXADXsin600,所以VP-ACM=Vc-PAk^^apM,BA—

332339

2.(1)因?yàn)榈酌鍭BCD是能形，所以AD_LDC,又因?yàn)槠矫鍼ADJ?平面ABCD,干面PADCl平面ABCD=AD,

且DCc平面ABCD,所以DCJ?平面PAD.

⑵由⑴得DCJ?平面PAD.又因?yàn)镻Au平面PAD,所以DCXPA,又因?yàn)镻A_LPD,DCDPD=D,所以

PA_L平面PCD,又PAc平面PAB,所以平面PABJ■平面PCD.

?解還略

1.應(yīng)用面面垂直的性質(zhì)定理的一個(gè)意識(shí)和三個(gè)注意點(diǎn)

(1)一個(gè)意識(shí)

若所給題目中有面面垂直的條件,一般要利用面面垂直的性質(zhì)定理將其轉(zhuǎn)化為線(xiàn)面垂直.

(2)三個(gè)注意點(diǎn):①兩個(gè)平面垂直，是前提條件;②直線(xiàn)必須在其中一個(gè)平面內(nèi);③直線(xiàn)必須垂

直于它們的交線(xiàn).

2.證明線(xiàn)面垂直的常用方法

(1)線(xiàn)面垂直的判定定理；

(2)面面垂直的性質(zhì)定理；

(3)若@〃卜2_1_/則13_1(1(a,b為直線(xiàn)，a為平面)；

(4)若/_1(1,a〃B祟lJa_LB(a為直線(xiàn)，a,B為平面).

3.解決折疊問(wèn)題的策略

(1)抓住折疊前后的變量與不變量，一般情況下，在折線(xiàn)同側(cè)的量，折疊前后不變，“跨過(guò)”折

線(xiàn)的量,折疊前后可能會(huì)發(fā)生變化,這是解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵.

(2)在解題時(shí)仔細(xì)審視從平面圖形到立體圖形的兒何特征的變化情況，注意相應(yīng)的點(diǎn)、直線(xiàn)、

平面間的位置關(guān)系,線(xiàn)段的長(zhǎng)度,角度的變化情況.

跟蹤訓(xùn)練、

如圖，四棱錐V-ABCD的底面是矩形，側(cè)面VAB_L底面ABCD,又VB_L平面VAD.

求證:平面VBC_L平面VAC.

【證明】因?yàn)槠矫鎂AB_L平面ABCD,且BC_LAB,平面VABA平面ABCD=AB,BCu平面ABCD.

所以BCJ■平面VAB,

又VAc平面VAB,所以BC1VA,

又VBJ■平面VAD,所以VB1VA,

又VBABC=B,所以VAJ■平面VBC,

因?yàn)閂Au平面VAC,所以平面VBCJ?平面VAC.

【補(bǔ)償訓(xùn)練】

如圖,在三棱錐P-ABC中,PAJ_平面ABC,平面PAB_L平面PBC.

求證:BC_LAB.

【證明】如圖，在平面PAB內(nèi)，作AD_LPB于點(diǎn)D.

D

AC

B

因?yàn)槠矫鍼AB_L平面PBC,

且平面PABCi平面PBC=PB,AD±PB,ADc平面PAB,

所以ADJ■平面PBC.

又BCc平面PBC,所以AD±BC.

又因?yàn)镻AJ■平面ABC,BCc平面ABC,所以PA±BC,

又因?yàn)镻ADAD=A,所以BC_L平面PAB.

又ABc平面PAB,所以BC±AB.

備選類(lèi)型垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用(邏輯推理、直觀(guān)想象)

(典例】如圖,在四棱錐P-ABCD中,側(cè)面PAD是正三角形，且與底面ABC1)垂直,底面ABCI)是邊

長(zhǎng)為2的菱形，NBAD=60°,N是PB的中點(diǎn),過(guò)A,D,N三點(diǎn)的平面交PC于M,E為AD的中點(diǎn).求

證：

(DEN〃平面PDC;

(2)BC_L平面PEB;

(3)平面PBC_L平面ADMN.

【思路導(dǎo)引】(1)證明EN〃DM;

⑵由AD/7BC可證ADJ_平面PEB;

(3)利用(2)可證PB_L平面ADMN.

【證明】⑴因?yàn)锳D〃BC,BCu平面PBC,ADC平面PBC,

所以AD〃平面PBC.

又因?yàn)槠矫鍭DMNCl平面PBC二MN,所以AD〃MN.

又因?yàn)锽C〃AD,所以MN〃BC.

又因?yàn)镹是PB的中點(diǎn)，所以點(diǎn)M為PC的中點(diǎn).

1

所以MN〃BC且MN二一BC,

2

又因?yàn)镋為AD的中點(diǎn)，所以MN〃DE,且MN=DE.

所以四邊形DENM為平行四邊形.

所以EN〃DM,且ENQ平面PDC,DMc平面PDC.

所以EN〃平面PDC.

(2)因?yàn)樗倪呅蜛BCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，

且NBAD=60°，所以BE_LAD.

又因?yàn)閭?cè)面PAD是正三角形，且E為AD中點(diǎn)，

所以PE_LAD,因?yàn)锽EC1PE=E,所以ADJ?平面PBE.

又因?yàn)锳D〃BC,所以BCJ"平面PEB.

⑶由(2)知ADJ■平面PBE,又PBu平面PBE,

所以ADJLPB.又因?yàn)镻A=AB,N為PB的中點(diǎn)，

所以AN_LPB,且ANCAD二A,

所以PB_L平面ADMN.

又因?yàn)镻Bu平面PBC,

所以平面PBCJ?平面ADMN.

.解避略

線(xiàn)面、面面垂直的綜合問(wèn)題的解題策略

(1)重視轉(zhuǎn)化

涉及線(xiàn)面垂直、面面垂直的綜合問(wèn)題的解題關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化，即證面面垂直，轉(zhuǎn)化為證線(xiàn)面垂直;證

線(xiàn)面垂直轉(zhuǎn)化為證線(xiàn)線(xiàn)垂直.

(2)充分挖掘線(xiàn)面垂直關(guān)系

解答線(xiàn)面垂直、面面垂直的綜合問(wèn)題時(shí),通常要先證出一個(gè)關(guān)鍵的線(xiàn)面垂直關(guān)系，由此出發(fā)才

能證出其他線(xiàn)線(xiàn)垂直、線(xiàn)面垂直關(guān)系,因此要注意線(xiàn)面垂直在解題過(guò)程中的樞紐作用.

跟蹤訓(xùn)練、

如圖,在三棱錐P-ABC中,PA1AB,PA±BC,AB1BC,AB=BC,I)為線(xiàn)段AC的中點(diǎn),E為線(xiàn)段PC上

—占

/、、、?

⑴求證:PA_LBD;

（2）求證:平面BDE_L平面PAC.

【證明】（1）因?yàn)镻A_LAB,PA_LBC,ABC1BC二B,

所以PAJ■平面ABC.

又因?yàn)锽Dc平面ABC,所以PA±BD.

⑵因?yàn)锳B=BC,D為AC的中點(diǎn)，所以BDJ_AC.

由（1）知，PA_LBD,又AC（1PA=A,

所以BD_L平面PAC.因?yàn)锽Dc平面BDE,

所以平面BDEJ?平面PAC.

課堂檢測(cè)?素養(yǎng)達(dá)標(biāo)

1.下列說(shuō)法中，錯(cuò)誤的是

A.如果平面a_L平面B,那么平面a內(nèi)一定存在直線(xiàn)平行于平面B

B.如果平面a不垂直于平面B,那么平面a內(nèi)一定不存在直線(xiàn)垂直于平面B

C.如果平面a_L平面Y,平面B_L平面Y,anB=l,那么1_L平面Y

D.如果平面a_L平面B,那么平面a內(nèi)所有直線(xiàn)都垂直于平面B

【解析】選D.如果平面a_L平面B,那么平面a內(nèi)垂直于交線(xiàn)的直線(xiàn)都垂直于平面B,其他

與交線(xiàn)不垂直的直線(xiàn)均不與平面B垂直，故D錯(cuò)誤.

2.如圖,AB是圓的直徑,PA±AC,PA1BC,C是圓上一點(diǎn)（不同于A(yíng),B）,且PA=AC,則二面角P-BC-A

的平面角為

A.ZPACB.ZCPAC.ZPCAD.ZCAB

【解析】選C.因?yàn)锳B為圓的直徑，所以AC±BC.因?yàn)镻A_LBC,ACnPA=A，所以BC_L平面PAC.

所以BC_LPC.所以NPCA為二面角P-BC-A的平面角.

3.（教材二次開(kāi)發(fā):練習(xí)改編）下列四個(gè)說(shuō)法中,正確的序號(hào)有.

0a//3,BJ.丫，貝ija_LY;②a〃B,B〃丫，則a〃丫；

③a_LR,Y_LH,貝lJa_Ly；④a_LR,Y_LR，貝ijQ〃y.

【解析】③④不正確，如圖所示，a_LB,y_LB,但a,y相交且不垂直.

答案:?0

4.如圖所示,檢查工件的相鄰兩個(gè)面是否垂直時(shí)，只要用曲尺的一邊緊靠在工件的一個(gè)面上,

另一邊在工件的另一個(gè)面上轉(zhuǎn)動(dòng)，觀(guān)察尺邊是否和這個(gè)面密合就可以了，其原理

是.

【解析】如圖，因?yàn)镺A±OB,0A10C,OBc0,OCc13且OBGOC=O,根據(jù)線(xiàn)面垂直的判定定理，可

得OA_LB.又OAua,根據(jù)面面垂直的判定定理，可得a13.

答案：面面垂直的判定定理

5.如圖所示,三棱錐P-ABC中，已知AABC是等腰直角三角形，NABC=90°,ZXPAC是直角三角

形，ZPAC=90°,平面PACJ_平面ABC.求證:平面PAB_L平面PBC.

【證明】因?yàn)槠矫鍼ACJ■平面ABC,平面PACC1平面ABC=AC,PA±AC,

所以PAJ■平面ABC.又BCc平面ABC,所以PA±BC.

又因?yàn)锳B_LBC,ABAPA=A,ABc平面PAB,

PAc平面PAB,所以BC_L平面PAB.又BCc平面PBC,

所以平面PABJ■平面PBC.

課時(shí)素養(yǎng)評(píng)價(jià)

十九平面與平面垂直

恒基礎(chǔ)通關(guān)一"水平一?（15分鐘,30分）

1.對(duì)于直線(xiàn)m,n和平面a,B,能得出a±B的一個(gè)條件是（）

A.m±n,m//a,n//BB.m±n,aGB,nCa

C.m//n,n_LB,mUaD.m//n,ml.a,n_LB

【解析】選C.因?yàn)閚_LB,m〃n,所以m_LB,又mUa,由面面垂直的判定定理，得a±3.

2.如圖所示,四邊形ABCD是矩形,PA_L平面ABCD,則圖中互相垂直的平面共有（）

A.3對(duì)B.4對(duì)C.5對(duì)D.6對(duì)

【解析】選D.因?yàn)镻A_L平面ABCD,且PAU平面PAB,

PAU平面PAD,PAU平面PAC,

所以平面PAB和平面PAC和平面PAD都與平面ABCD垂直，

又AD±PA,AD_LAB,所以ADJ?平面PAB,

又ADU平面PAD,

所以平面PABJ■平面PAD,

同理可證平面PBCJ■平面PAB,

平面PCD1■平面PAD.

3.設(shè)叫n是兩條不同的直線(xiàn)，a,B是兩個(gè)不同的平面.下列命題中正確的是（）

A.若a_LB,mUa,nCB,則m±n

B.若a〃B,mUa,nCB,貝ljm//n

C.若m±n,mCa,nCB,貝ija_LB

D.若m_La,m〃n,n〃B,則aJLB

【解析】選I）.A中，m,n可能為平行、垂直、異面直線(xiàn)；B中，m,n可能為異面直線(xiàn)；C中，m應(yīng)與

B中兩條相交直線(xiàn)垂直時(shí)結(jié)論才成立.

4-/3

4.矩形ABCD的兩邊AB=3,AD=4,PA平面ABCD,且PA=-,則二面角A-BD-P的度數(shù)為

5

A.30°B.45°C.60°D.120°

【解析】選A.過(guò)A作AE_LBD,連接PE,

則NAEP為所求角.

由AB=3,AD=4知BD=5.

又AB-AD=BD?AE,所以AEq-,

—V3

所以tanNAEP二號(hào)——.所以NAEP=30°.

5.如圖所示，平面a_L平面B,在a與B交線(xiàn)上取線(xiàn)段AB=4,AC,BI）分別在平面a和B

內(nèi)，AC_LAB,BD1AB,AC=3,BD=12,則CD=________.

（解析］連接BC.因?yàn)锽DXAB,a10,aA0=AB,

所以BD±a.因?yàn)锽CCa,

所以BD_LBC,

所以ACBD是直角三角形.

在RtABAC中，BC=V32+42=5.

在RtACBD中,Cg/52+122=13.

答案：13

6.如圖所示，已知正方體ABCD-A,B>CiDl中,E為棱CG上的動(dòng)點(diǎn).

⑴求證:A】EJ_BD.

(2)當(dāng)E恰為棱CG的中點(diǎn)時(shí)，求證:平面儲(chǔ)RDI平面ERD.

【解題指南］(1)欲證A.E±BD,只需證明BD垂直A.E所在平面即可.

(2)要證平面A】BD_L平面EBD,只需求出二面角為直二面角即可,或證明一個(gè)平面內(nèi)的某一直線(xiàn)

垂直于另一個(gè)面.

【證明】連接AC,設(shè)ACClDB=O,連接AiO,OE,

⑴因?yàn)锳A」底面ABCD,所以BD±AiA,

XBD±AC,AiAAAC=A,所以BDJL平面ACEAi,

因?yàn)锳iEU平面ACEAi,所以AiEJLBD.

(2)在等邊三角形AiBD中，BDJLAQ,

因?yàn)锽DJ■平面ACEA】，OEU平面ACEAi,

所以BDXOE,所以NAQE為二面角A-BD-E的平面角.

在正方體ABCD-AiBiCiDi中，設(shè)棱長(zhǎng)為2a,

因?yàn)镋為棱CG的中點(diǎn)，由平面幾何知識(shí)，

得E0=V3a,AiO=V6a,AiE=3a,

滿(mǎn)足AiE?=AQ4E（）2,所以NAQE=90°,

即平面ABDJL平面EBD.

@L能力進(jìn)階一水/—?（30分鐘*60分）

一、單選題（每小題5分，共20分）

1.己知1,m,n是三條不同的直線(xiàn)，o,B是不同的平面,則a_L8的一個(gè)充分條件是（）

A.1Ua,mUB,且1_Lm

B.1Ca,mCB,nUB,且l_Lm,1J_n

C.mCa,nC且l_Lm

D.1Ua,l〃m,且mj,B

【解析】選D.A選項(xiàng)，IUa,mUB,且l_Lm,

如圖1,a,B不垂直；B選項(xiàng)，IUa,mU0,nUB,且I_Lm,I_Ln,

如圖2,a,B不垂直；

C選項(xiàng)，mUa,nU0,m〃n，且I_Lm,直線(xiàn)I沒(méi)有確定，則a,B的關(guān)系也不能確定；D選項(xiàng)，IU

a,l〃m,且m_LB,則必有I，B,根據(jù)面面垂直的判定定理知，

a_LB.

2.如圖,在矩形ABCD中,AB=2,AD=3,點(diǎn)E為AD的中點(diǎn),現(xiàn)分別沿BE,CE將△ABE,ADCE翻折，

使得點(diǎn)A,D重合于F,此時(shí)二面角E-BC-F的余弦值為（）

3V72V5

A.一B.—C.一

433

［解析］選B.取BC的中點(diǎn)0,連接0E,0F,

因?yàn)锽A二CD,所以BF二FC,即三角形BFC是等腰三角形,

則F0XBC,因?yàn)锽E=CE,

所以ABEC是等腰三角形，所以E01BC,

則NFOE是二面角E-BC-F的平面角，

因?yàn)镋F±CF,BF±EF,

3

則直角三角形EFO中，0E=AB=2,EF=DE=",

3.在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD-ABCD中,E,F,M分別是AB,AD,AAt的中點(diǎn),又P,Q分別在線(xiàn)段

AiBi,AiDi±,且AiP=AiQ=m(O<m<a),設(shè)平面MEFG平面MPQ=1,則下列結(jié)論中不成立的是()

A.1〃平面BDDB

B.1JLMC

a

C.當(dāng)nF-ff寸，平面MPQ1MEF

2

D.當(dāng)m變化時(shí),直線(xiàn)1的位置不變

【解析】選C.因?yàn)锳F=AQ二m,

所以PQ〃BD,因?yàn)镋,F分別是AB,AD的中點(diǎn),

所以EF〃BD,

所以PQ〃EF,

因?yàn)槠矫鍹EFA平面MPQ=I,

所以PQ〃EF〃I.選項(xiàng)A,D顯然成立；

因?yàn)锽D〃EF〃I,BDJ■平面ACCA,

所以l_L平面ACC.Ai,

因?yàn)镸CU平面ACCA,

所以I_LMC,所以B選項(xiàng)成立；

易知AG_L平面MEF,A￡J?平面MPQ,而直線(xiàn)AC與AC不垂直，所以C項(xiàng)不成立.

4.如圖,AB是圓錐SO的底面圓0的直徑,D是圓0上異于A(yíng),B的任意一點(diǎn)，以A0為直徑的圓與

AD的另一個(gè)交點(diǎn)為C,P為SD的中點(diǎn).現(xiàn)給出以下結(jié)論：

①4SAC為直角三角形；

②平面SAD_L平面SBD;

③平面PAB必與圓錐SO的某條母線(xiàn)平行.

其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

【解析】選C.①因?yàn)镾O_L底面圓0,

所以SO_LAC,C在以A0為直徑的圓上，

所以ACJLOC,因?yàn)閛cnso=o,

所以ACJ■平面SOC,AC±SC,

即4SAC為直角三角形，故①正確；

②假設(shè)平面SAD_L平面SBD,在平面SAD中過(guò)A作AH±SD交SD于H,

則AHJ■平面SBD,所以AH±BD,

又因?yàn)锽DJLAD,

所以BDJ■平面SAD,又C0/7BD,

所以CO_1■平面SAD,所以CO_LSC,

又在△SOC中，SOJ_OC,在一個(gè)三角形內(nèi)不可能有兩個(gè)直角，故平面SADJ■平面SBD不成立，故②

錯(cuò)誤；

③連接DO并延長(zhǎng)交圓于E,連接PO,SE,

因?yàn)镻為SD的中點(diǎn),0為ED的中點(diǎn),

所以0P是ASDE的中位線(xiàn)，

所以P0〃SE,即SE〃平面APB,

即平面PAB必與圓錐S0的母線(xiàn)SE平行,故③正確.故正確的是①③.

【補(bǔ)償訓(xùn)練】

如圖,BC為圓0的直徑,D為圓周上異于B,C的一點(diǎn),AB垂直于圓0所在的平面,BE1AC于點(diǎn)

E,BF_LAD于點(diǎn)F.給出以下命題:①BF_LDE;②BEJ_CD;③平面ABD4Flil|ACD;④平面BEFJ_平面

ACD.

其中正確命題的個(gè)數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

【解析】選C.由題可知,AB_L平面BCD,

則有AB±CD.XCD±BD,可得CDJ■平面ABD,又CDU平面ACD,得：平面ABDJL平面ACD,故③正

確；

由CDJ■平面ABD,得CD±BF,又BF1AD,得BFJ?平面ACD,又DEU平面ACD,

所以BF_LDE,故①正確；

由BFJ■平面ACD,BFU平面BEF,得平面BEFJ■平面ACD,故④正確；

不正確的是②BEJLCD.

二、多選題（每小題5分，共10分,全部選對(duì)得5分,選對(duì)但不全的得3分,有選錯(cuò)的得0分）

5.已知直線(xiàn)l,m,平面a,B,且l_La,mUB,下列四個(gè)命題中正確命題是（）

A.若a〃B,則l_Lm

B.若l_Lm,則a〃B

（；.若CI_LB,則l〃m

D.若l〃m,貝lja_LR

【解析】選AD.A選項(xiàng)，若a〃B,

因?yàn)閘_La,則l_LB,又因?yàn)閙U0,所以l_Lm.故A正確；

B選項(xiàng)，舉反例，當(dāng)aDB二m時(shí)，滿(mǎn)足I_La,mU0,I_Lm,故B錯(cuò)；

C選項(xiàng)，舉反例，當(dāng)anB二m時(shí)，滿(mǎn)足I_La,mUB,a_LB,

則IJ_m,故C錯(cuò);D選項(xiàng)，若l〃m,

則mJLa,因?yàn)閙U0,所以a±B,D正確.

【補(bǔ)償訓(xùn)練】

（多選題）已知兩條直線(xiàn)1,m及三個(gè)平面a,B,Y,下列條件中能推出a_LB的是（）

A.lCa,l±p

B.1±a,m±B,IXm

C.a_Ly,B〃丫

D.ICa,mUB,l_Lm

【解析】選ABC.由如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一平面的垂線(xiàn)，則這兩個(gè)平面相互垂直知選項(xiàng)A正確；

選項(xiàng)B顯然正確；由如果兩個(gè)互相平行的平面有一個(gè)垂直于一個(gè)平面，那么另一個(gè)平面也垂直

這個(gè)平面知選項(xiàng)C正確；D選項(xiàng)a與B可能平行.

6.如圖所示，已知正方體ABCD-ABCD,E,F分別是DBAC上不重合的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),下列四個(gè)結(jié)論

中正確的是（）

A.CE〃DF

B.平面AFD〃平面BEG

C.AB1±EF

D.平面AED_L平面ABB.Ai

【解析】選CD.A選項(xiàng)，如圖,

Di

在DB,AC上分別取點(diǎn)E,F,

因?yàn)锳BCD-AiBiCiDi為正方體，

則四邊形AiBC?為矩形,因?yàn)镹FD￡+NECDKNADC+NBCD產(chǎn)180°,

所以CE與DF不平行，故A錯(cuò)誤;B選項(xiàng)，不妨取F與Ai重合，E與0重合，此時(shí)平面AFD與平面

BEG相交，故B錯(cuò)誤；C選項(xiàng),AB」AiB,AB」BC,且BBDBC=B,則AB】_L平面ABC。，則AB.XEF,

故C正確；D選項(xiàng)，ADJ?平面ABBA,而ADU平面AED,則平面AED_L平面ABBA,故D正確.

【補(bǔ)償訓(xùn)練】

（多選題）在正四面體ABCD中,E,F,G分別是BC,CD,DB的中點(diǎn),下面四個(gè)結(jié)論中正確的是（）

A.BC〃平面AGF

B.EG_L平面ABF

C.平面AEF_L平面BCD

D.平面ABF_L平面BCD

【解析】選ABD.

如圖所示.

A選項(xiàng)，因?yàn)镕,G分別是CD,DB的中點(diǎn)，

所以GF〃BC,則BC〃平面AGF,故A正確；

B選項(xiàng),因?yàn)镋,F,G分別是BC,CD,DB的中點(diǎn),

所以CD_LAF,CD±BF,

即CD_L平面ABF,

因?yàn)镋G#CD,所以EG_L平面ABF,故B正確；

D選項(xiàng)，因?yàn)镃D_L平面ABF,

CDU平面BCD,

所以平面ABFJ■平面BCD,故D正確；只有C錯(cuò)誤.

三、填空題（每小題5分，共10分）

7.已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,將aADC沿對(duì)角線(xiàn)AC折起,若折疊后平面ACD_L平面ACB,則此

時(shí)AC與BD所成角的大小是，點(diǎn)B,D之間的距離是.

【解析】如圖所示，取AC的中點(diǎn)0,連接0B,0D.

因?yàn)镈A=DC,BA=BC,。為AC的中點(diǎn)，

所以DO±AC,B0±AC,又D0CIB0=0,

所以ACJ■平面B0D,又BDu平面B0D,

所以ACJ_BD,即此時(shí)AC與BD所成的角是90°.

因?yàn)槠矫鍭CD_L平面ACB,平面ACDP平面ACB=AC,D0_LAC,所以D0_L平面ABC,

1V2

所以DOJLOB,又OB=OD=~AC=-,

22

2

所以BD=VOB2+OD=1.

答案：90°1

【補(bǔ)償訓(xùn)練】

如圖所示,A,B,C,D為空間四點(diǎn),在aABC中,AB=2,AC=BC=J2等邊三隹形ADB以AB為軸運(yùn)動(dòng),

當(dāng)平面ADB_L平面ABC時(shí),CD=

（解析】取AB的中點(diǎn)E,連接DE,CE.

因?yàn)?ADB是等邊三角形，所以DE1AB.

當(dāng)平面ADBJ■平面ABC時(shí)，因?yàn)槠矫鍭DBCI平面ABC=AB,且DEJ_AB,

所以口￡_!_平面ABC,故DE±CE.

由已知可得DE二相,EC=1,在RtADEC中,CD='DE2+CE2=2.

答案:2

8.如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,PA_L底面ABCD,且底面各邊都相等,M是PC上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)

M滿(mǎn)足條件①BM_LDM,②DM_LPC,③BM_LPC中的時(shí),平面MBD_L平面PCD（只要填寫(xiě)一個(gè)

你認(rèn)為是正確的條件序號(hào)即可）.

【解析】因?yàn)镻AJ■底面ABCD,所以PA_LBD,

因?yàn)榈酌娓鬟叾枷嗟?，所以AC±BD,

因?yàn)镻ADAC=A,所以BDJ■平面PAC,

所以BD±PC,所以當(dāng)DM_LPC（或BMJ_PC）時(shí)，即有PCJ■平面MBD,而PCU平面PCD,

所以平面MBD_L平面PCD.

答案:②（或③）

四、解答題（每小題10分，共20分）

9.如圖所示,AABC是正三角形,線(xiàn)段EA和DC都垂直于平面ABC,設(shè)EA=AB=2a,DC=a,且F為BE

的中點(diǎn).

⑴求證:DF〃平面ABC.

⑵求證:AF_LBD.

（3）求平面BDF與平面ABC所成的較小二面角的大小.

E

D

AW-十，C

【解析】(1)如圖所示，取