新高考數(shù)學一輪復習講義 第36講 空間向量及其應用（原卷版）

第36講空間向量及其應用（精講）題型目錄一覽①利用空間向量證線面平行、面面平行②利用空間向量證線面垂直、面面垂直③利用空間向量求異面直線夾角④利用空間向量求線面角、面面角⑤利用空間向量求點到線距離、點到面距離一、知識點梳理一、知識點梳理一、法向量的求解與簡單應用（1）平面的法向量：如果表示向量SKIPIF1<0的有向線段所在直線垂直于平面SKIPIF1<0，則稱這個向量垂直于平面SKIPIF1<0，記作SKIPIF1<0，如果SKIPIF1<0，那么向量SKIPIF1<0叫做平面SKIPIF1<0的法向量．注：=1\*GB3①法向量一定是非零向量；=2\*GB3②一個平面的所有法向量都互相平行；=3\*GB3③向量SKIPIF1<0是平面的法向量，向量SKIPIF1<0是與平面平行或在平面內(nèi)，則有SKIPIF1<0．第一步：寫出平面內(nèi)兩個不平行的向SKIPIF1<0；第二步：那么平面法向量SKIPIF1<0，滿足SKIPIF1<0．（2）判定直線、平面間的位置關(guān)系=1\*GB3①直線與直線的位置關(guān)系：不重合的兩條直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的方向向量分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0；若SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．=2\*GB3②直線與平面的位置關(guān)系：直線SKIPIF1<0的方向向量為SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0；若SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．（3）平面與平面的位置關(guān)系平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0；若SKIPIF1<0⊥SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0⊥SKIPIF1<0．二、空間角公式（1）異面直線所成角公式：設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為異面直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上的方向向量，SKIPIF1<0為異面直線所成角的大小，則SKIPIF1<0．（2）線面角公式：設(shè)SKIPIF1<0為平面SKIPIF1<0的斜線，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的方向向量，SKIPIF1<0為平面SKIPIF1<0的法向量，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的大小，則SKIPIF1<0．（3）二面角公式：設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的法向量，二面角的大小為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（需要根據(jù)具體情況判斷相等或互補），其中SKIPIF1<0．三、空間中的距離（1）異面直線間的距離：兩條異面直線間的距離也不必尋找公垂線段，只需利用向量的正射影性質(zhì)直接計算．如圖，設(shè)兩條異面直線SKIPIF1<0的公垂線的方向向量為SKIPIF1<0，這時分別在SKIPIF1<0上任取SKIPIF1<0兩點，則向量在SKIPIF1<0上的正射影長就是兩條異面直線SKIPIF1<0的距離．則SKIPIF1<0即兩異面直線間的距離，等于兩異面直線上分別任取兩點的向量和公垂線方向向量的數(shù)量積的絕對值與公垂線的方向向量模的比值．（2）點到平面的距離SKIPIF1<0為平面SKIPIF1<0外一點（如圖），SKIPIF1<0為平面SKIPIF1<0的法向量，過SKIPIF1<0作平面SKIPIF1<0的斜線SKIPIF1<0及垂線SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【常用結(jié)論】用向量法解題的途徑有兩種：一種是坐標法，即通過建立空間直角坐標系，確定出一些點的坐標，進而求出向量的坐標，再進行坐標運算；另一種是基底法，即先選擇基向量（除要求不共面外，還要能夠便于表示所求的目標向量，并優(yōu)先選擇相互夾角已知的向量作為基底，如常選擇幾何體上共點而不共面的三條棱所在的向量為基底），然后將有關(guān)向量用基底向量表示，并進行向量運算．二、題型分類精講二、題型分類精講題型一利用空間向量證線面平行、面面平行策略方法利用空間向量證明平行的方法線線平行證明兩直線的方向向量共線線面平行①證明該直線的方向向量與平面的某一法向量垂直；②證明直線的方向向量與平面內(nèi)某直線的方向向量平行面面平行①證明兩平面的法向量為共線向量；②轉(zhuǎn)化為線面平行、線線平行問題【典例1】在正方體SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點.

求證：(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(3)平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．【題型訓練】一、解答題1．如圖所示，正四棱SKIPIF1<0的底面邊長1，側(cè)棱長4，SKIPIF1<0中點為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中點為SKIPIF1<0．求證：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.

2．如圖，在八面體SKIPIF1<0中，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，平面SKIPIF1<0∥平面QBC，二面角SKIPIF1<0與二面角SKIPIF1<0的大小都是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．證明：平面SKIPIF1<0∥平面QAB．3．如圖，在四棱錐SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0為矩形，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點.

(1)求證：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；4．如圖，在三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，D，E分別為棱AB，SKIPIF1<0的中點，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.證明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.5．）在正四棱錐SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.

(1)證明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；6．如圖，直四棱柱SKIPIF1<0的底面為正方形，P，O分別是上、下底面的中心，E是AB的中點，SKIPIF1<0.(1)求證：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；7．如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形SKIPIF1<0與SKIPIF1<0均為直角梯形，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)已知點G為AF上一點，且SKIPIF1<0，求證：BG與平面DCE不平行；8．如圖，正方體SKIPIF1<0的棱長為2，E為棱SKIPIF1<0的中點.

(1)證明：SKIPIF1<0平面ACE；9．如圖，四邊形ABCD是圓柱OE的軸截面，點F在底面圓O上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點G是線段BF的中點．

(1)證明：SKIPIF1<0平面DAF；題型二利用空間向量證線面垂直、面面垂直策略方法利用空間向量證明垂直的方法線線垂直證明兩直線所在的方向向量互相垂直，即證它們的數(shù)量積為零線面垂直證明直線的方向向量與平面的法向量共線，或?qū)⒕€面垂直的判定定理用向量表示面面垂直證明兩個平面的法向量垂直，或?qū)⒚婷娲怪钡呐卸ǘɡ碛孟蛄勘硎尽镜淅?】如圖，在直三棱柱SKIPIF1<0中，點SKIPIF1<0分別為線段SKIPIF1<0的中點，SKIPIF1<0．證明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．

【典例2】如圖，在四棱錐SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0是正方形，SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，E是SKIPIF1<0的中點，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．

(1)求證：SKIPIF1<0；(2)求證：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．【題型訓練】一、解答題1．如圖，在正方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0.SKIPIF1<0分別是棱SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點.

(1)證明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.2．在正方體SKIPIF1<0中，如圖SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分別是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點．

(1)求證：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；3．如圖，在長方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點E在棱SKIPIF1<0上移動．

(1)證明：SKIPIF1<0；4．）已知幾何體SKIPIF1<0，如圖所示，其中四邊形SKIPIF1<0、四邊形SKIPIF1<0、四邊形SKIPIF1<0均為正方形，且邊長為1，點SKIPIF1<0在棱SKIPIF1<0上.

(1)求證：SKIPIF1<0.5．如圖，正三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0分別是棱SKIPIF1<0上的點，SKIPIF1<0.

(1)證明：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；6．如圖，在四棱錐SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0為正方形，SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點．

(1)求證：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；7．已知在直三棱柱SKIPIF1<0中，其中SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點，點SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上靠近SKIPIF1<0的四等分點，SKIPIF1<0與底面SKIPIF1<0所成角的余弦值為SKIPIF1<0．

(1)求證：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；8．）如圖所示，在直三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點M，N分別是棱SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點．

(1)求證：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；9．在長方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是棱SKIPIF1<0的中點．

(1)求證：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；10．《九章算術(shù)》中，將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑.如圖，在陽馬SKIPIF1<0中，側(cè)棱SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，過棱SKIPIF1<0的中點SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0.

(1)證明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；11．如圖，已知直四棱柱SKIPIF1<0的底面SKIPIF1<0是菱形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的交點，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點.(1)證明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0;12．在四棱錐SKIPIF1<0中，面SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是線段SKIPIF1<0上的靠近SKIPIF1<0點的三等分點.(1)求證：SKIPIF1<0面SKIPIF1<0；13．）已知直三棱柱SKIPIF1<0中，側(cè)面SKIPIF1<0為正方形，SKIPIF1<0，E，F(xiàn)分別為AC和SKIPIF1<0的中點，D為棱SKIPIF1<0上的動點.SKIPIF1<0.

(1)證明：SKIPIF1<0；14．如圖，在三棱柱SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0是等腰三角形，且SKIPIF1<0，又側(cè)棱SKIPIF1<0，面對角線SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0分別是棱SKIPIF1<0的中點，SKIPIF1<0.

(1)證明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；15．如圖，棱臺SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，底面ABCD是邊長為4的正方形，底面SKIPIF1<0是邊長為2的正方形，連接SKIPIF1<0，BD，SKIPIF1<0.

(1)證明：SKIPIF1<0；16．）如圖，在四棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點，點SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0.(1)求證：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；題型三利用空間向量求異面直線夾角策略方法用向量法求異面直線所成角的一般步驟【典例1】如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，AB＝SKIPIF1<0，BC＝1，PA＝2，E為PD的中點．求AC與PB所成角的余弦值．【題型訓練】一、單選題1．如圖，四棱錐SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0為正方形，SKIPIF1<0是正三角形，SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的余弦值為（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．如圖，在直三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0夾角的余弦值為（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．在正方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是棱SKIPIF1<0上一點，SKIPIF1<0是棱SKIPIF1<0上一點，SKIPIF1<0，則異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的余弦值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．直三棱柱SKIPIF1<0如圖所示，SKIPIF1<0為棱SKIPIF1<0的中點，三棱柱的各頂點在同一球面上，且球的表面積為SKIPIF1<0，則異面直線SKIPIF1<0和SKIPIF1<0所成的角的余弦值為（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．如圖，在三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是邊長為2的等邊三角形，SKIPIF1<0，若三棱錐SKIPIF1<0的體積等于SKIPIF1<0時，異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的余弦值為（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．如圖，在四棱錐SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0是菱形，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點，點SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上不與端點重合的動點，則異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的正切值最小為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<07．四棱柱SKIPIF1<0中，側(cè)棱SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，側(cè)面SKIPIF1<0為正方形，設(shè)點O為四棱錐SKIPIF1<0外接球的球心，E為SKIPIF1<0上的動點，則直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成的最小角的正弦值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、填空題8．在三棱錐P－ABC中，SKIPIF1<0底面ABC，底面ABC為正三角形，PA＝AB，則異面直線PB與AC所成角的余弦值為9．如圖，某空間幾何體由一個直三棱柱和一個長方體組成，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別是棱SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點，則異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的余弦值是．10．三棱柱SKIPIF1<0中，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的正弦值為．11．如圖所示，已知兩個正四棱錐SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的高分別為1和2，SKIPIF1<0，則異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的正弦值為．12．已知四面體ABCD滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且該四面體的體積為SKIPIF1<0，則異面直線AD與BC所成的角的大小為．13．在中國古代數(shù)學著作《九章算術(shù)》中記載了一種稱為“曲池”的幾何體，該幾何體的上、下底面平行，且均為扇環(huán)形（扇環(huán)是指圓環(huán)被扇形截得的部分）．現(xiàn)有一個如圖所示的曲池，它的高為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0均與曲池的底面垂直，底面扇環(huán)對應的兩個圓的半徑分別為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，對應的圓心角為SKIPIF1<0，則圖中異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的余弦值為．14．已知SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，四邊形SKIPIF1<0是矩形，SKIPIF1<0為定長，當SKIPIF1<0的長度變化時，異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的取值范圍是．題型四利用空間向量求線面角、面面角策略方法1.利用向量法求線面角的兩種方法2.利用向量計算二面角大小的常用方法【典例1】如圖，SKIPIF1<0為圓柱底面的直徑，SKIPIF1<0是圓柱底面的內(nèi)接正三角形，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0為圓柱的兩條母線，若SKIPIF1<0.

(1)求證：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求SKIPIF1<0與面SKIPIF1<0所成角正弦值；(3)求平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的余弦值.【題型訓練】一、解答題1．已知幾何體SKIPIF1<0，如圖所示，其中四邊形SKIPIF1<0、四邊形SKIPIF1<0、四邊形SKIPIF1<0均為正方形，且邊長為1，點SKIPIF1<0在棱SKIPIF1<0上.

(1)求證：SKIPIF1<0.(2)是否存在點SKIPIF1<0，使得直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的角為SKIPIF1<0?若存在，確定點SKIPIF1<0的位置；若不存在，請說明理由.2．已知直四棱柱SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0為菱形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，E為線段SKIPIF1<0上中點.(1)證明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值.3．如圖，在多面體SKIPIF1<0中，四邊形SKIPIF1<0為正方形，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是線段SKIPIF1<0上的一動點，過點SKIPIF1<0和直線SKIPIF1<0的平面SKIPIF1<0與SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點.

(1)若SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點，請在圖中作出線段SKIPIF1<0，并說明SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的位置及作法理由；(2)線段SKIPIF1<0上是否存在點SKIPIF1<0，使得直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值為SKIPIF1<0？若存在，求出SKIPIF1<0的長；若不存在，請說明理由.4．已知四棱錐SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0是矩形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點．

(1)證明：SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上的動點，直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0．5．如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形SKIPIF1<0與SKIPIF1<0均為直角梯形，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)已知點G為AF上一點，且SKIPIF1<0，求證：BG與平面DCE不平行；(2)已知直線BF與平面DCE所成角的正弦值為SKIPIF1<0，求AF的長及四棱錐D－ABEF的體積．6．已知三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點，SKIPIF1<0是線段SKIPIF1<0上一點.

(1)求證：SKIPIF1<0；(2)設(shè)SKIPIF1<0是棱SKIPIF1<0上的動點（不包括邊界），當SKIPIF1<0的面積最小時，求直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值.7．如圖，在三棱錐SKIPIF1<0中，側(cè)棱SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，過棱SKIPIF1<0的中點SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0.

(1)證明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，三棱錐SKIPIF1<0的體積是SKIPIF1<0，求直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的大小.8．如圖，在三棱柱SKIPIF1<0中，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，四邊形SKIPIF1<0是矩形，四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0為直徑的圓經(jīng)過點F．

(1)求證：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的余弦值．9．如圖，四邊形ABCD是邊長為2的菱形，SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0沿BD折起到SKIPIF1<0的位置，使SKIPIF1<0．

(1)求證：平面SKIPIF1<0平面ABD；(2)求直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值．10．如圖，四棱錐SKIPIF1<0的頂點P在底面ABCD上的射影為AB的中點H，SKIPIF1<0為等邊三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，棱BC的中點為E.

(1)證明：SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，求直線PE與平面PBD所成角的正弦值.11．如圖所示，正六棱柱SKIPIF1<0的底面邊長為1，高為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0上的動點.

(1)求證：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)設(shè)直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的角為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的取值范圍.12．在三棱柱SKIPIF1<0中，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，側(cè)面SKIPIF1<0為菱形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點.

(1)求證：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)點SKIPIF1<0在線段SKIPIF1<0上（異于點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0），SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值.13．如圖，在幾何體SKIPIF1<0中，菱形SKIPIF1<0所在的平面與矩形SKIPIF1<0所在的平面互相垂直.

(1)若SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0上的一個動點，證明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的長.14．在長方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.點SKIPIF1<0是線段SKIPIF1<0上的動點，點SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點.

(1)當SKIPIF1<0點是SKIPIF1<0中點時，求證：直線SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)若二面角SKIPIF1<0的余弦值為SKIPIF1<0，求線段SKIPIF1<0的長.15．四棱錐SKIPIF1<0中，四邊形SKIPIF1<0為梯形，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．

(1)證明：SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，且三棱錐SKIPIF1<0的體積為SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，求平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的銳二面角的余弦值．16．如圖，四邊形SKIPIF1<0是正方形，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，F(xiàn)，G，H分別為BP，BE，PC的中點.AI(1)求證：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0夾角的大??；(3)求直線CE與平面PBC所成角的正弦值.17．四邊形SKIPIF1<0為菱形，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．

(1)設(shè)SKIPIF1<0中點為SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0的夾角的大?。?8．如圖，在四棱錐SKIPIF1<0中，底面ABCD為正方形，側(cè)面PAD是正三角形，側(cè)面SKIPIF1<0底面ABCD，M是PD的中點.

(1)求證：SKIPIF1<0平面PCD；(2)求平面BPD與平面SKIPIF1<0夾角的余弦值.19．如圖①在平行四邊形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0折起，使平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，得到圖②所示幾何體．(1)若SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點，求四棱錐SKIPIF1<0的體積SKIPIF1<0；(2)在線段SKIPIF1<0上，是否存在一點SKIPIF1<0，使得平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成銳二面角的余弦值為SKIPIF1<0，如果存在，求出SKIPIF1<0的值，如果不存在，說明理由．20．如圖，在三棱柱SKIPIF1<0中，側(cè)面SKIPIF1<0是菱形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是棱SKIPIF1<0的中點，SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0在線段SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0.

(1)求證：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.(2)若SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，求平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成銳二面角的余弦值.21．如圖，直三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．

(1)求證：SKIPIF1<0；(2)求二面角SKIPIF1<0的正弦值．22．（2023秋·廣西玉林·高三校聯(lián)考開學考試）如圖，在正四棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.點SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分別在棱SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.AI(1)求多面體SKIPIF1<0的體積；(2)當點SKIPIF1<0在棱SKIPIF1<0上運動時（包括端點），求二面角SKIPIF1<0的余弦值的絕對值的取值范圍.23．在三棱臺SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)求證：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成二面角大小為SKIPIF1<0，求三棱錐SKIPIF1<0的體積.24．如圖，在四棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點E在平面SKIPIF1<0上運動．

(1)試確定一點E，使得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，并說明點E的位置；(2)若四棱錐的體積為6，在側(cè)棱SKIPIF1<0上是否存在一點F，使得二面角SKIPIF1<0的余弦值為SKIPIF1<0．若存在，求SKIPIF1<0的長，若不存在，請說明理由．25．如圖，四棱錐SKIPIF1<0中，底面四邊形SKIPIF1<0是直角梯形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成的角為SKIPIF1<0．

(1)求證：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)點SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0上一點，若二面角SKIPIF1<0的大小為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的長．題型五利用空間向量求點到線距離、點到面距離策略方法1.點到面的距離如圖所示，平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0是平面SKIPIF1<0內(nèi)一點，點SKIPIF1<0是平面SKIPIF1<0外的任意一點，則點SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離SKIPIF1<0，就等于向量SKIPIF1<0在法向量SKIPIF1<0方向上的投影的絕對值，即SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【典例1】正四棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點，SKIPIF1<0為下底面正方形的中心．求：

(1)點SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離；(2)點SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離．【題型訓練】一、解答題1．如圖，在三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩兩垂直，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求點SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離；(2)求直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值．2．如圖，已知長方體SKIPIF1<0的體積為4，點A到平面SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0的面積；(2)若SKIPIF1<0，動點E在線段SKIPIF1<0上移動，求SKIPIF1<0面積的取值范圍．3．在四棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，四邊形SKIPIF1<0是直角梯形，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點，SKIPIF1<0在線段SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0.

(1)求證：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求直線PB與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值；(3)求點SKIPIF1<0到PD的距離.4．三棱臺SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點．

(1)求三角形SKIPIF1<0重心SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離；(2)求二面角SKIPIF1<0的余弦值．5．如圖，直四棱柱SKIPIF1<0的底面SKIPIF1<0為平行四邊形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點P，M分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上靠近SKIPIF1<0的三等分點．(1)求點M到直線SKIPIF1<0的距離；(2)求直線PD與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值.6．如圖，已知三棱柱SKIPIF1<0的棱長均為2，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)證明：平面SKIPIF1<0平面ABC；(2)設(shè)M為側(cè)棱SKIPIF1<0上的點，若平面SKIPIF1<0與平面ABC夾角的余弦值為SKIPIF1<0，求點M到直線SKIPIF1<