安徽省合肥市肥東縣高級(jí)中學(xué)2025屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期3月線上調(diào)研考試試題理含解析

PAGE19-安徽省合肥市肥東縣高級(jí)中學(xué)2025屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期3月線上調(diào)研考試試題理（含解析）留意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、學(xué)生號(hào)填寫在答題卡上.2.作答時(shí)，務(wù)必將答案寫在答題卡指定的位置，書寫要工整清楚.3.考試結(jié)束后，5分鐘內(nèi)將答題卡拍照上傳到考試群中.第I卷選擇題（共60分）一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.)1.已知全集，，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【詳解】,,,.故選B.2.已知復(fù)數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：首先依據(jù)題中所給的復(fù)數(shù)z，可以求得其共軛復(fù)數(shù)，并且可以求出復(fù)數(shù)的模，代入求得，從而求得結(jié)果.詳解：依據(jù)，可得，且，所以有，故選C.點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)復(fù)數(shù)的問(wèn)題，涉及到的學(xué)問(wèn)點(diǎn)有復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的模、以及復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題目.3.已知非零向量滿意，向量的夾角為，且，則向量與的夾角為（）A B. C. D.【答案】B【解析】【詳解】因?yàn)?，所以，所以與的夾角為，故選B．4.已知某口袋中有3個(gè)白球和個(gè)黑球（），現(xiàn)從中隨機(jī)取出一球，再換回一個(gè)不同顏色的球（即若取出的是白球，則放回一個(gè)黑球；若取出的是黑球，則放回一個(gè)白球），記換好球后袋中白球的個(gè)數(shù)是．若，則=()A. B.1 C. D.2【答案】B【解析】由題意或4，則，故選B．5.設(shè)函數(shù)為偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，則（）A B.1 C. D.【答案】D【解析】【詳解】∵函數(shù)為偶函數(shù)，∴，∵當(dāng)時(shí)，∴；∵當(dāng)時(shí)，∴，∴，故選D.6.我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》對(duì)立體幾何也有深化的探討，從其中的一些數(shù)學(xué)用語(yǔ)可見，譬如“塹堵”意指底面為直角三角形，且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱，“陽(yáng)馬”指底面為矩形且有一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐．現(xiàn)有一如圖所示的“塹堵”即三棱柱，其中，若，當(dāng)“陽(yáng)馬”即四棱錐體積最大時(shí)，“塹堵”即三棱柱外接球的體積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)，則，，所以當(dāng)最大時(shí)，體積最大，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取到最大值，所以，，外接球的直徑，所以，，故選B．7.函數(shù)的圖象向左平移（）個(gè)單位后關(guān)于對(duì)稱，且兩相鄰對(duì)稱中心相距，則函數(shù)在上的最小值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【詳解】函數(shù)的圖象向左平移（）個(gè)單位后得到：兩相鄰對(duì)稱中心相距，所以半周期為，所以關(guān)于對(duì)稱，所以.,因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)取最小值-1.故選B.8.拋物線（）的焦點(diǎn)為，其準(zhǔn)線經(jīng)過(guò)雙曲線的左焦點(diǎn)，點(diǎn)為這兩條曲線的一個(gè)交點(diǎn)，且，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】拋物線的焦點(diǎn)為，其準(zhǔn)線方程為準(zhǔn)線經(jīng)過(guò)雙曲線的左焦點(diǎn)，點(diǎn)為這兩條曲線的一個(gè)交點(diǎn)，且的橫坐標(biāo)為代入拋物線方程，可得的縱坐標(biāo)為將的坐標(biāo)代入雙曲線方程，可得故選9.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，若對(duì)隨意，都有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】即對(duì)隨意都成立，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，歸納得：故選點(diǎn)睛：依據(jù)已知條件運(yùn)用分組求和法不難計(jì)算出數(shù)列前項(xiàng)和為，為求的取值范圍則依據(jù)為奇數(shù)和為偶數(shù)兩種狀況進(jìn)行分類探討，求得最終的結(jié)果10.函數(shù)的圖象大致為A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】推斷函數(shù)的奇偶性和對(duì)稱性，利用特別值的符號(hào)是否一樣進(jìn)行解除即可．【詳解】，函數(shù)是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，解除A，B，，解除C，故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)圖象的識(shí)別和推斷，利用函數(shù)圖象的對(duì)稱性以及特別值法是解決本題的關(guān)鍵．11.若函數(shù)的圖象在x＝1處的切線與圓x2＋y2＝1相切，則a＋b的最大值是()A.4 B.2 C.2 D.【答案】D【解析】，所以，則f′(1)＝－為切線的斜率，切點(diǎn)為(1，－)，所以切線方程為y＋＝－(x－1)，整理得ax＋by＋1＝0.因?yàn)榍芯€與圓相切，所以＝1，即a2＋b2＝1.由基本不等式得a2＋b2＝1≥2ab，所以(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab＝1＋2ab≤2，所以a＋b≤，即a＋b的最大值為.故選D.點(diǎn)睛：求曲線的切線方程是導(dǎo)數(shù)的重要應(yīng)用之一，用導(dǎo)數(shù)求切線方程的關(guān)鍵在于求出切點(diǎn)及斜率，其求法為：設(shè)是曲線上的一點(diǎn)，則以的切點(diǎn)的切線方程為：．若曲線在點(diǎn)的切線平行于軸（即導(dǎo)數(shù)不存在）時(shí)，由切線定義知，切線方程為．12.將余弦函數(shù)的圖象上全部點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的倍（橫坐標(biāo)不變），再將所得到的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象.若關(guān)于的方程在內(nèi)有兩個(gè)不同的解，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【詳解】由題意得，若關(guān)于的方程在內(nèi)有兩個(gè)不同的解，依據(jù)正弦函數(shù)的圖象知，選A.第II卷非選擇題（共90分）二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)13.的綻開式中的系數(shù)為__________．【答案】9【解析】，的通項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，得到的系數(shù)為；當(dāng)時(shí)，，得到的系數(shù)為，所以綻開式中的系數(shù)為．14.若函數(shù)f(x)＝ax＋loga(x＋1)在[0,1]上的最大值和最小值之和為a，則a的值為________．【答案】【解析】【分析】無(wú)論a取何值，函數(shù)f(x)＝ax＋loga(x＋1)都具有單調(diào)性，因而將x=1和x=0可得到最大與最小值，代入即可求解．【詳解】函數(shù)f(x)＝ax＋loga(x＋1)在[0,1]上有單調(diào)性將x=1和x=0代入可得最大值與最小值所以解得【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)數(shù)單調(diào)性的簡(jiǎn)潔應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．15.將正整數(shù)12分解成兩個(gè)正整數(shù)的乘積有，，三種，其中是這三種分解中兩數(shù)差的肯定值最小的，我們稱為12的最佳分解.當(dāng)（且）是正整數(shù)的最佳分解時(shí)，我們定義函數(shù)，例如.數(shù)列的前100項(xiàng)和為__________．【答案】【解析】當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，，故答案為.16.已知在直三棱柱中，為等腰直角三角形，，，棱的中點(diǎn)為，棱的中點(diǎn)為，平面與平面的交線與所成角的正切值為，則三棱柱外接球的半徑為__________．【答案】【解析】如圖，在面延長(zhǎng)，連，則是兩平面的交線，故，由于，故，又的外接圓的半徑，球半徑，應(yīng)填答案．三、解答題(本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.)17.已知中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，其中，（1）若，求的值；（2）若邊上的中線長(zhǎng)為，求的面積.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）依題意，，，利用正弦定理化簡(jiǎn)，結(jié)合和與差的公式即可求解的值；

（2）由邊上的中線長(zhǎng)為，利用向量的運(yùn)算和夾角公式求解，即可求解【詳解】（1）依題意，，故，所以，所以，即，即，因?yàn)椋?，故，可得；?）記邊上的中線為CD，故，所以，結(jié)合（1）可知，解得，所以的面積.【點(diǎn)睛】本題考查了正余弦定理的敏捷運(yùn)用和計(jì)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題．18.【2024湖北八校高三上學(xué)期第一次聯(lián)考（12月）】四棱錐中，∥，，，為的中點(diǎn)．（I）求證：平面平面；（II）求與平面所成角的余弦值．【答案】（I）證明見解析；（II）．【解析】試題分析：（1）設(shè)為的中點(diǎn)，連接，首先證明，由此可得，再證明，可得，由線面垂直判定定理可得面，最終由面面垂直判定定理可得結(jié)果；（2）設(shè)為的中點(diǎn),連接，先證得，通過(guò)證明面面求出與面改成角的大小，故而得出結(jié)論.試題解析：（1）設(shè)為的中點(diǎn)，連接為的中點(diǎn)，，則，又，，從而，面，面面，面面.（2）設(shè)為的中點(diǎn),連接,則平行且等于,∥，∥,不難得出面（）,面面,在面射影為，的大小為與面改成角的大小,設(shè)，則，,即與改成角的余弦值為.19.“微信運(yùn)動(dòng)”已成為當(dāng)下熱門的運(yùn)動(dòng)方式，小王的微信摯友圈內(nèi)也有大量好友參加了“微信運(yùn)動(dòng)”，他隨機(jī)選取了其中的40人（男、女各20人），記錄了他們某一天的走路步數(shù)，并將數(shù)據(jù)整理如下：步數(shù)性別0-20002001-50005001-80008001-10000>10000男12368女0210620.100.050.0250.0102.7063.8415.0246.635附：（1）已知某人一天走路步數(shù)超過(guò)8000步被系統(tǒng)評(píng)定為“主動(dòng)型”，否則為“懈怠型”，依據(jù)題意完成下面的列聯(lián)表，并據(jù)此推斷能否有95%以上的把握認(rèn)為“評(píng)定類型”與“性別”有關(guān)？主動(dòng)型懈怠型總計(jì)男女總計(jì)（2）若小王以這40位好友該日走路步數(shù)的頻率分布來(lái)估計(jì)其全部微信好友每日走路步數(shù)的概率分布，現(xiàn)從小王的全部微信好友中任選2人，其中每日走路不超過(guò)5000步的有人，超過(guò)10000步的有人，設(shè)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.【答案】（1）列聯(lián)表見解析，沒有95%以上的把握認(rèn)為二者有關(guān)（2）分布列見解析，【解析】試題分析：（1）依據(jù)依據(jù)表格中數(shù)據(jù)可完成列聯(lián)表，依據(jù)公式求出，由此可得沒有以上的把握認(rèn)為“評(píng)定類型”與“性別”有關(guān)；（2）的全部可能取值為分別求出各隨機(jī)變量的概率，從而可得的分布列，依據(jù)期望公式可得數(shù)學(xué)期望.試題解析：（1）主動(dòng)型懈怠型總計(jì)男14620女81220總計(jì)221840故沒有95%以上的吧我認(rèn)為二者有關(guān)（2）由題知，小王的微信好友中任選一人，其每日走路步數(shù)不超過(guò)5000步的概率為，超過(guò)10000步的概率為，且當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)或時(shí)，；即的分布列為012可得期望【方法點(diǎn)睛】本題主要獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用以及離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望，屬于中檔題.求解離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望問(wèn)題，首項(xiàng)要理解問(wèn)題的關(guān)鍵，其次要精確無(wú)誤的隨機(jī)變量的所以可能值，計(jì)算出相應(yīng)的概率，寫出隨機(jī)變量的分布列，正確運(yùn)用均值、方差的公式進(jìn)行計(jì)算，也就是要過(guò)三關(guān)：（1）閱讀理解關(guān)；（2）概率計(jì)算關(guān)；（3）公式應(yīng)用關(guān).20.已知，分別是橢圓：（）的左、右焦點(diǎn)，離心率為，，分別是橢圓的上、下頂點(diǎn)，.（1）求橢圓的方程；（2）過(guò)作直線與交于，兩點(diǎn)，求三角形面積的最大值（是坐標(biāo)原點(diǎn)）.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由得，再結(jié)合即可求出答案；（2）設(shè)，，直線的方程為，然后求出和到的距離，然后可得，令，然后可用基本不等式求解.【詳解】（1）由題知，，，，∴，∴，①∵，∴，∴，②①②聯(lián)立解得，，∴橢圓的方程為.（2）設(shè)，，明顯直線斜率存在，設(shè)其方程為，代入，整理得，則，即，，，，所以到的距離，所以三角形面積，設(shè)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，即，即時(shí)取等號(hào)，所以面積的最大值為.【點(diǎn)睛】涉及拋物線的弦長(zhǎng)、中點(diǎn)、距離等相關(guān)問(wèn)題時(shí)，一般利用根與系數(shù)的關(guān)系采納“設(shè)而不求”“整體帶入”等解法.21.已知函數(shù)（1）若在上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若的最大值為2，求實(shí)數(shù)的值.【答案】（1）（2）【解析】分析：（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，設(shè)，依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可；（2）求出的單調(diào)區(qū)間，得到，求出a的值即可.詳解：（1）若在上是減函數(shù)，則在恒成立，，∴，設(shè)，則，∵，∴遞增，又，故.（2）由，要使，故的遞減區(qū)間是，遞增區(qū)間是，∴，即，∴.點(diǎn)睛：由函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍的方法(1)可導(dǎo)函數(shù)在某一區(qū)間上單調(diào)，事實(shí)上就是在該區(qū)間上f′(x)≥0(或f′(x)≤0)(f′(x)在該區(qū)間的隨意子區(qū)間內(nèi)都不恒等于0)恒成立，然后分別參數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題，從而獲得參數(shù)的取值范圍；(2)可導(dǎo)函數(shù)在某一區(qū)間上存在單調(diào)區(qū)間，事實(shí)上就是f′(x)>0(或f′(x)<0)在該區(qū)間上存在解集，這樣就把函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題轉(zhuǎn)化成了不等式問(wèn)題；(3)若已知f(x)在區(qū)間I上的單調(diào)性，區(qū)間I中含有參數(shù)時(shí)，可先求出f(x)的單調(diào)區(qū)間，令I(lǐng)是其單調(diào)區(qū)間的子集，從而可求出參數(shù)的取值范圍．22.已知直線的參數(shù)方程為為參數(shù))．以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系,圓的極坐標(biāo)方程為.（Ⅰ）求直線與圓的一般方程；（Ⅱ）若直線分圓所得的弧長(zhǎng)之比為，求實(shí)數(shù)的值．【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)或.【解析】【詳解】試題分析：(Ⅰ)消去參數(shù)方程中的即可得的一般方程，利用，即得圓的一般方程；（Ⅱ）直線分圓所得的弧長(zhǎng)之比為則弧所對(duì)的圓心角為90°，可得弦長(zhǎng)為，利用垂徑定理可得距離，進(jìn)而利用點(diǎn)到直線距離可得參數(shù)的值.試題解析：（