沙子的開采-數(shù)學(xué)建模

沙子的開采問題摘要本文主要研究的是估算某一地區(qū)的含沙量，并做出開采沙子的收益分析。針對(duì)問題一，我們根據(jù)題中表格中已有的數(shù)據(jù)，利用線性插值的方法對(duì)相鄰兩點(diǎn)作線性外推，估算出了缺少的數(shù)據(jù)。然后通過matlab畫出地表、沙層頂部以及沙層低部的等高線。為了更精確的計(jì)算出表土層與沙層的體積，用matlab對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行線性插值，將50米50米的方格精確到1米1米的小方塊。再利用體積公式近似計(jì)算出表土層與沙層的體積，進(jìn)而得到該礦含沙量超過400萬噸，表土體積小于沙子體積19%，可以對(duì)這項(xiàng)工程進(jìn)行投資。針對(duì)問題二，構(gòu)造單位面積的利潤(rùn)函數(shù)，利用matlab軟件畫出利潤(rùn)等值線。由于貼現(xiàn)的緣故，施工應(yīng)按照利潤(rùn)由大到小的順序進(jìn)行。所以施工順序是按照等值線的分布進(jìn)行的。在確定每個(gè)階段的施工時(shí)間后，分別計(jì)算利潤(rùn)，進(jìn)而求得總利潤(rùn)。關(guān)鍵詞：沙子的開采線性插值matlab貼現(xiàn)率一.問題簡(jiǎn)述沙子作為最重要建筑材料之一，一直有著穩(wěn)定的市場(chǎng)。沙子在形成之后上面覆蓋著表土，由于表土層結(jié)構(gòu)松散，沙子只能露天開采即先將表土移走再挖沙子。現(xiàn)有一開采地，四周有幾塊沼澤地。藍(lán)色隧道公司為生產(chǎn)建筑材料委托一支地質(zhì)隊(duì)調(diào)查該開采地，在開采地上畫的網(wǎng)格點(diǎn)處用空心管垂直鉆入地下．利用進(jìn)入空心管的厚度的開采地的面積可得出表土和沙子的體積，其中每個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)中最上面一項(xiàng)為哪一項(xiàng)地表高度，中間一項(xiàng)為哪一項(xiàng)沙層頂部的高度，最下面一項(xiàng)為哪一項(xiàng)沙層底部的高度．由于地表存在沼澤地，局部網(wǎng)格點(diǎn)的數(shù)據(jù)沒有采集，即所給表中的數(shù)據(jù)空白處．現(xiàn)有該公司提供的相關(guān)材料，需要解決以下工作：

〔1〕通過計(jì)算表土和沙子體積決定是否該對(duì)這項(xiàng)工程進(jìn)行投資，并畫出地表、沙層頂部以及沙層低部的等高線。

〔2〕如果可以投資，根據(jù)已給數(shù)據(jù)和條件設(shè)計(jì)開采方案，做出收益分析作并求出相應(yīng)的利潤(rùn)。二.問題分析問題一：開采地四周的沼澤地也存在沙子，所以要補(bǔ)充完整表格中的數(shù)據(jù)，即分別把表土高度、沙層頂部高度、沙層底部高度的數(shù)據(jù)估算出來。根據(jù)網(wǎng)格中已有的相關(guān)數(shù)據(jù)，取前后或上下兩個(gè)連著的數(shù)據(jù)，利用線性插值法進(jìn)行數(shù)據(jù)處理，然后用Matlab編程運(yùn)算分別得出表土高度、沙層頂部高度、沙層底部高度的等高線圖。題中給出的地表高度、沙層頂部和沙層底部高度的原始數(shù)據(jù)，相臨的點(diǎn)相距50米。為了更精確地計(jì)算表層體積，對(duì)沙子的儲(chǔ)量作精確的估算，用matlab軟件對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行插值，使得相臨的點(diǎn)彼此相距1米，每個(gè)網(wǎng)格是11的小方塊，經(jīng)過插值后的數(shù)據(jù)可更精確地反映沙層厚度分布情形。我們將所有的沙土聚集在單位網(wǎng)格，網(wǎng)格點(diǎn)補(bǔ)充完整后就根據(jù)網(wǎng)格點(diǎn)中的數(shù)據(jù)分別算出每個(gè)小區(qū)域的表土厚度〔表土高度-沙層頂部高度〕和沙層厚度〔沙層頂部高度-沙層底部高度〕，利用體積公式累加求出沙層、土層的總體積。問題二：為解決開采沙子的收益分析，首先要構(gòu)造利潤(rùn)函數(shù)。在不考慮本錢中每月10萬元的地區(qū)管理費(fèi)的情況下，單位面積利潤(rùn)函數(shù)(單位:元/米2)只存在沙和土的密度與厚度這倆個(gè)變量，沙的銷售單價(jià)，沙和土的開挖費(fèi)和運(yùn)輸、處理費(fèi)都為固定值。根據(jù)所得利潤(rùn)函數(shù)利用matlab軟件求得函數(shù)的等值線。由于每個(gè)月交納的10萬元地區(qū)管理費(fèi),再考慮到每月最多開挖量10萬噸的限制,只作出了該函數(shù)大于等于0的范圍,我們的施工設(shè)計(jì)局限于該范圍。由于10萬噸的限制將施工區(qū)域分成幾個(gè)局部，按階段施工，分別求出各階段的利潤(rùn)，求和得出總利潤(rùn)。三.模型假設(shè)假設(shè)題目中所給數(shù)據(jù)都是準(zhǔn)確的。開采地沙層與表土層都是連續(xù)的，近幾年不會(huì)發(fā)生地質(zhì)以及自然災(zāi)害造成地質(zhì)構(gòu)造的變化。月貼現(xiàn)只針對(duì)利潤(rùn)，并不包括其他費(fèi)用。沙子的單價(jià)，開采費(fèi)用以及其他投入價(jià)格不會(huì)發(fā)生改變。5.每月利潤(rùn)當(dāng)月結(jié)算，所得收入在月底統(tǒng)一貼現(xiàn)。四.符號(hào)說明符號(hào)符號(hào)說明單位m1m2p表土的質(zhì)量表土的密度表土的體積沙子的質(zhì)量沙子的密度沙子的體積單位面積利潤(rùn)函數(shù)開采單位面積沙土所獲利潤(rùn)噸噸/立方米立方米噸噸/立方米立方米磅/平方米磅五.模型的建立與求解問題一：要解決表土和沙子的體積就要填充網(wǎng)格中所空白數(shù)據(jù)，首先對(duì)網(wǎng)格中的所給出的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，利用二維線性插值法較精確地估算出表格中因沼澤地原因無法測(cè)得的數(shù)據(jù)。二維線性插值法方法如下：首先在X方向進(jìn)行線性插值，得到：然后在Y方向進(jìn)行線性插值，得到：這樣就得到所要的結(jié)果：即得到如下數(shù)據(jù)表格：ABCDEFGHIJKLMNO01234567822.322.0421.922.022.423.223.423.222.822.523.023.223.222.621.919.119.019.319.520.020.620.419.919.3518.417.818.019.019.018.816.414.212.18.75.84.12.11.10.50.40.40.60.20.23.622.422.422.522.623.023.123.223.423.524.024.024.023.823.022.220.419.519.619.719.920.020.019.819.920.019.819.619.519.319.113.710.68.46.06.03.21.61.01.11.00.80.90.80.36.022.322.622.722.823.123.323.423.423.524.224.124.124.023.022.521.120.219.619.819.819.719.820.020.120.320.420.520.019.619.6118.24.32.12.21.40.60.50.3-0.2-0.10.00.70.45.022.122.622.923.023.123.523.623.423.623.824.024.224.023.022.521.020.420.020.120.019.519.519.820.220.420.620.720.820.019.87.46.13.61.81.81.40.70.60.40.10.10.10.91.36.02222.823.023.123.223.423.824.024.024.023.923.823.723.422.620.520.320.020.220.520.620.620.420.420.520.620.820.720.520.64.94.23.01.61.41.21.00.80.80.30.50.61.45.06.222.223.023.223.323.423.623.823.923.924.024.124.224.023.022.419.820.020.120.320.420.720.921.020.920.820.820.720.320.320.93.63.53.02.01.51.11.00.90.60.60.97.18.38.97.9523.02423.323.123.523.423.323.223.123.022.922.822.722.522.219.319.520.220.320.620.821.020.820.620.420.220.019.619.420.22.82.62.01.51.41.21.21.10.80.71.24.18.010.211.122.824.524.023.023.022.422.322.222.122.122.222.222.322.222.318.819.020.220.320.720.921.020.620.420.019.419.219.018.718.91.00.80.70.71.21.21.52.32.43.07.010.214.014.714.724.325.024.023.022.321.521.020.922.022.221.922.122.022.022.118.619.520.120.220.621.021.220.919.819.218.618.918.818.317.70.10.90.91.21.31.31.52.74.76.07.38.59.911.412.9再根據(jù)上述所給的表格，利用matalab軟件分別作出地表高度、沙層頂部高度、沙層底部高度的等高線圖〔matlab數(shù)據(jù)程序見附錄〕插值后的地表高度結(jié)果見圖5-1：圖5-1地表等高線圖5-1地表等高線插值后的沙層頂部高度結(jié)果見圖5-2：圖5-2頂部等高線圖5-2頂部等高線插值后的沙層底部高度結(jié)果見圖5-3：圖5-3底部等高線圖5-3底部等高線對(duì)沙子體積的計(jì)算采用最根本的體積計(jì)算公式：體積=底面積×高度題中給出的地表高度、沙層頂部和沙層底部高度的原始數(shù)據(jù)，相臨的點(diǎn)彼此相距50米。為了更精確地反映地質(zhì)結(jié)構(gòu)，對(duì)沙子的儲(chǔ)量作精確的估算，用數(shù)學(xué)軟件包MATALAB對(duì)沙層厚度進(jìn)行插值，使得相臨的點(diǎn)彼此相距1米，每個(gè)網(wǎng)格是1×1(米)的小方塊,經(jīng)過插值后的數(shù)據(jù)可更精確地反映沙層厚度分布情形。由合理假設(shè)，該區(qū)域沒有復(fù)雜的地質(zhì)構(gòu)造?？梢哉J(rèn)為經(jīng)過插值后的在1×1(米)網(wǎng)格點(diǎn)處的函數(shù)值，是以此點(diǎn)為中心的單位方塊內(nèi)沙層厚度的平均值。計(jì)算出表土的體積是867480立方米，沙子的體積是4754900立方米?！泊a見附錄〕再利用質(zhì)量最根本的計(jì)算公式：質(zhì)量=密度×體積計(jì)算沙子的質(zhì)量。由上述計(jì)算出的體積以及密度的值得：表土的質(zhì)量：m1==1350千克/立方米×867480立方米 =1171098噸沙子的質(zhì)量：m2===1620千克/立方米×4754900立方米=7702938噸因?yàn)樯匙拥馁|(zhì)量為7702938噸>400萬噸，沙子的體積是4754900立方米，475490019％=903431立方米。表土的體積是867480立方米<903431立方米，所以該工程值得投資。5.2問題二：構(gòu)造利潤(rùn)函數(shù)來解決開采沙子的收益分析，在不考慮本錢中每月10萬磅的地區(qū)管理費(fèi)的情況下，單位面積利潤(rùn)函數(shù)(單位:磅/平方米)其中的xi和yi分別是沙和土的密度與厚度,m是沙的銷售單價(jià)，ai和bi分別是沙和土的開挖費(fèi)和運(yùn)輸、處理費(fèi)(i=1，2)。單位面積利潤(rùn)函數(shù)只存在沙和土的密度與厚度這兩個(gè)變量，沙的銷售單價(jià)，沙和土的開挖費(fèi)和運(yùn)輸、處理費(fèi)都為固定值。根據(jù)所得利潤(rùn)函數(shù)利用Matlab軟件求得函數(shù)的等值線。由于每個(gè)月交納的10萬元地區(qū)管理費(fèi),再考慮到每月最多開挖量10萬噸的限制,該函數(shù)的等值線圖如圖5-4所示。圖5-4利潤(rùn)等圖5-4利潤(rùn)等值線表1圖2只作出了該函數(shù)大于0的范圍,我們的施工設(shè)計(jì)也局限于該范圍。由于等值線將施工區(qū)域分成幾個(gè)局部，方案按階段施工，各階段數(shù)據(jù)如表1所示。表1工程階段(月)1-19月20-4950-6162-6667-7071-7273-74757677開采區(qū)域f>6055<f<6050<f<5545<f<5040<f<4535<f<4030<f<3525<f<3020<f<255<f<20沙子的體積v2利潤(rùn)(經(jīng)貼現(xiàn))月均利潤(rùn)(經(jīng)貼現(xiàn))12195003332127.5175375.118252003998373.5133279.27335501288242.8107353.5352130491397.098279.4218220375607.393901.8134090181450.890725.4109560176001.088000.56494286525.786525.74269084451.284451.25440075402.975402.9在計(jì)算貼現(xiàn)后的利潤(rùn)時(shí)，要用到月貼現(xiàn)率，在進(jìn)行工程預(yù)算時(shí)，對(duì)每個(gè)月的利潤(rùn)經(jīng)過現(xiàn)金貼現(xiàn)得到純現(xiàn)值，再相加得總利潤(rùn)。在計(jì)算工程開始后第n個(gè)月利潤(rùn)的純現(xiàn)值，那么用公式，其中i是月貼現(xiàn)率，P是這個(gè)月的利潤(rùn)值。根據(jù)各階段的利潤(rùn)，求和得出總利潤(rùn)為10189579.723磅。六.模型的評(píng)價(jià)與改良6.1模型的優(yōu)點(diǎn)此題選擇的模型簡(jiǎn)單易懂，計(jì)算簡(jiǎn)便，同時(shí)也結(jié)合了實(shí)際生產(chǎn)情況，對(duì)沙子的開挖過程具有一定的指導(dǎo)意義。問題一通過Matlab軟件對(duì)沙層厚度進(jìn)行線性插值，使得相鄰的點(diǎn)彼此距離為1m的，插值后的數(shù)據(jù)可更精確的地反映沙層厚度分布情況。問題二巧妙地結(jié)合的問題一求等高線的要求，求解得到了實(shí)際開挖中每階段可挖采的范圍。6.2模型的缺點(diǎn)為計(jì)算方便，我們認(rèn)為開挖方式是一次挖到沙層的底部，可認(rèn)為是垂直開采，不考慮力學(xué)上的要求，故最終計(jì)算的利潤(rùn)會(huì)存在一定誤差。為結(jié)合實(shí)際生產(chǎn)情況，我們選擇相鄰階段的施工區(qū)域相鄰，而不是優(yōu)先選擇利潤(rùn)最大的位置，這會(huì)導(dǎo)致所求利潤(rùn)不是理論上的最大值。參考文獻(xiàn)【1】姜啟源，謝金星，葉俊.數(shù)學(xué)模型〔第三版〕.高等教育出版社,2003.8附錄附錄一等高線繪制程序%用matlab讀入儲(chǔ)存在excel中的數(shù)據(jù)附錄1.1繪制地表等高線dibiao=data(1:3:27,:);[x,y]=meshgrid([1:15],[1:9]);contour(dibiao);