2024年黑龍江省牡丹江市中考數(shù)學(xué)試卷含答案

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2024年黑龍江省牡丹江市中考數(shù)學(xué)試卷

一、單項(xiàng)選擇題（本題10個(gè)小題，每小題3分，共30分）

1．（3分）下列圖形既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形的是（）

A． B．

C． D．

2．（3分）下列計(jì)算正確的是（）

A．2a3?a2＝2a6 B．（﹣2a）3÷b×＝﹣8a3

C．（a3+a2+a）÷a＝a2+a D．3a﹣2＝

3．（3分）由5個(gè)形狀、大小完全相同的小正方體組合而成的幾何體，其主視圖和左視圖如圖所示，則搭建該幾何體的方式有（）

A．1種 B．2種 C．3種 D．4種

4．（3分）某校八年級(jí)3班承擔(dān)下周學(xué)校升旗任務(wù)，老師從備選的甲、乙、丙、丁四名同學(xué)中，選擇兩名擔(dān)任升旗手，則甲、乙兩名同學(xué)同時(shí)被選中的概率是（）

A． B． C． D．

5．（3分）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，AB是⊙O的直徑，若∠BEC＝20°，則∠ADC的度數(shù)為（）

A．100° B．110° C．120° D．130°

6．（3分）一種藥品原價(jià)每盒48元，經(jīng)過(guò)兩次降價(jià)后每盒27元，兩次降價(jià)的百分率相同，則每次降價(jià)的百分率為（）

A．20% B．22% C．25% D．28%

7．（3分）如圖是由一些同樣大小的三角形按照一定規(guī)律所組成的圖形，第1個(gè)圖有4個(gè)三角形．第2個(gè)圖有7個(gè)三角形，第3個(gè)圖有10個(gè)三角形…按照此規(guī)律排列下去，第674個(gè)圖中三角形的個(gè)數(shù)是（）

A．2022 B．2023 C．2024 D．2025

8．（3分）矩形OBAC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，反比例函數(shù)的圖象與AB邊交于點(diǎn)D，與AC邊交于點(diǎn)F，與OA交于點(diǎn)E，OE＝2AE，若四邊形ODAF的面積為2，則k的值是（）

A． B． C． D．

9．（3分）小明同學(xué)手中有一張矩形紙片ABCD，AD＝12cm，CD＝10cm，他進(jìn)行了如下操作：

第一步，如圖①，將矩形紙片對(duì)折，使AD與BC重合，得到折痕MN，將紙片展平．

第二步，如圖②，再一次折疊紙片，把△ADN沿AN折疊得到△AD′N，AD′交折痕MN于點(diǎn)E，則線段EN的長(zhǎng)為（）

A．8cm B． C． D．

10．（3分）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于A、B兩點(diǎn)，A（﹣3，0），B（1，0），與y軸交點(diǎn)C的縱坐標(biāo)在﹣3～﹣2之間，根據(jù)圖象判斷以下結(jié)論：①abc2＞0；②＜b＜2；③若﹣bx1＝﹣bx2且x1≠x2，則x1+x2＝﹣2；④直線y＝﹣cx+c與拋物線y＝ax2+bx+c的一個(gè)交點(diǎn)（m，n）（m≠0），則m＝．其中正確的結(jié)論是（）

A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④

二、填空題（本題8個(gè)小題，每小題3分，共24分）

11．（3分）函數(shù)y＝中，自變量x的取值范圍是

12．（3分）如圖，△ABC中，D是AB上一點(diǎn)，CF∥AB，D、E、F三點(diǎn)共線，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件，使得AE＝CE．（只添一種情況即可）

13．（3分）將拋物線y＝ax2+bx+3向下平移5個(gè)單位長(zhǎng)度后，經(jīng)過(guò)點(diǎn)（﹣2，4），則6a﹣3b﹣7＝．

14．（3分）如圖，在⊙O中，直徑AB⊥CD于點(diǎn)E，CD＝6，BE＝1，則弦AC的長(zhǎng)為．

15．（3分）已知一組正整數(shù)a，1，b，b，3有唯一眾數(shù)8，中位數(shù)是5，則這一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為．

16．（3分）若分式方程的解為正整數(shù)，則整數(shù)m的值為．

17．（3分）矩形ABCD的面積是90，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是BC邊的三等分點(diǎn)，連接DE，點(diǎn)P是DE的中點(diǎn)，OP＝3，連接CP，則PC+PE的值為．

18．（3分）如圖，在正方形ABCD中，E是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，AE分別交BD、CD于點(diǎn)F、M，過(guò)點(diǎn)F作NP⊥AE，分別交AD、BC于點(diǎn)N、P，連接MP．下列四個(gè)結(jié)論：①AM＝PN；②DM+DN＝DF；③若P是BC中點(diǎn)，AB＝3，則EM＝2；④BF?NF＝AF?BP；⑤若PM∥BD，則CE＝BC．其中正確的結(jié)論是．

三、解答題（共66分）

19．先化簡(jiǎn)，再求值：÷（x﹣），并從﹣1，0，1，2，3中選一個(gè)合適的數(shù)代入求值．

20．如圖，某數(shù)學(xué)活動(dòng)小組用高度為1.5米的測(cè)角儀BC，對(duì)垂直于地面CD的建筑物AD的高度進(jìn)行測(cè)量，BC⊥CD于點(diǎn)C．在B處測(cè)得A的仰角∠ABE＝45°，然后將測(cè)角儀向建筑物方向水平移動(dòng)6米至FG處，F(xiàn)G⊥CD于點(diǎn)G，測(cè)得A的仰角∠AFE＝58°，BF的延長(zhǎng)線交AD于點(diǎn)E，求建筑物AD的高度（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）．（參考數(shù)據(jù)：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）

21．某校為掌握學(xué)生對(duì)垃圾分類的了解情況，在全校范圍內(nèi)抽取部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查問(wèn)卷，并將收集到的信息進(jìn)行整理，繪制成如圖所示不完整的統(tǒng)計(jì)圖，其中A為“非常了解”，B為“了解較多”，C為“基本了解”，D為“了解較少”．請(qǐng)你根據(jù)圖中提供的信息，解答下列問(wèn)題：

（1）本次調(diào)查共抽取了名學(xué)生；

（2）補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖，并求出扇形統(tǒng)計(jì)圖中“了解較少”所對(duì)應(yīng)的圓心角度數(shù)；

（3）若全校共有1200名學(xué)生，請(qǐng)估計(jì)全校有多少名學(xué)生“非常了解”垃圾分類問(wèn)題．

22．在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，BC＝12，AC＝8，以BC為邊向△ACB外作有一個(gè)內(nèi)角為60°的菱形BCDE，對(duì)角線BD，CE交于點(diǎn)O，連接OA，請(qǐng)用尺規(guī)和三角板作出圖形，并直接寫出△AOC的面積．

23．如圖，二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣1，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，﹣3），連接BC．

（1）求該二次函數(shù)的解析式；

（2）點(diǎn)P是拋物線在第四象限圖象上的任意一點(diǎn)，當(dāng)△BCP的面積最大時(shí)，BC邊上的高PN的值為．

24．一條公路上依次有A、B、C三地，甲車從A地出發(fā)，沿公路經(jīng)B地到C地，乙車從C地出發(fā)，沿公路駛向B地．甲、乙兩車同時(shí)出發(fā)，勻速行駛，乙車比甲車早小時(shí)到達(dá)目的地．甲、乙兩車之間的路程ykm與兩車行駛時(shí)間xh的函數(shù)關(guān)系如圖所示，請(qǐng)結(jié)合圖象信息，解答下列問(wèn)題：

（1）甲車行駛的速度是km/h，并在圖中括號(hào)內(nèi)填上正確的數(shù)；

（2）求圖中線段EF所在直線的函數(shù)解析式（不要求寫出自變量的取值范圍）；

（3）請(qǐng)直接寫出兩車出發(fā)多少小時(shí)，乙車距B地的路程是甲車距B地路程的3倍．

25．?dāng)?shù)學(xué)老師在課堂上給出了一個(gè)問(wèn)題，讓同學(xué)們探究．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，點(diǎn)D在直線BC上，將線段AD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AE，過(guò)點(diǎn)E作EF∥BC，交直線AB于點(diǎn)F．

（1）當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，如圖①，求證：BD+EF＝AB；

分析問(wèn)題：某同學(xué)在思考這道題時(shí)，想利用AD＝AE構(gòu)造全等三角形，便嘗試著在AB上截取AM＝EF，連接DM，通過(guò)證明兩個(gè)三角形全等，最終證出結(jié)論：

推理證明：寫出圖①的證明過(guò)程：

探究問(wèn)題：

（2）當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖②：當(dāng)點(diǎn)D在線段CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖③，請(qǐng)判斷并直接寫出線段BD，EF，AB之間的數(shù)量關(guān)系；

拓展思考：

（3）在（1）（2）的條件下，若AC＝6，CD＝2BD，則EF＝．

26．牡丹江某縣市作為猴頭菇生產(chǎn)的“黃金地帶”，年總產(chǎn)量占全國(guó)總產(chǎn)量的50%以上，黑龍江省發(fā)布的“九珍十八品”名錄將猴頭菇列為首位．某商店準(zhǔn)備在該地購(gòu)進(jìn)特級(jí)鮮品、特級(jí)干品兩種猴頭菇，購(gòu)進(jìn)鮮品猴頭菇3箱、干品猴頭菇2箱需420元，購(gòu)進(jìn)鮮品猴頭菇4箱、干品猴頭菇5箱需910元．請(qǐng)解答下列問(wèn)題：

（1）特級(jí)鮮品猴頭菇和特級(jí)干品猴頭菇每箱的進(jìn)價(jià)各是多少元？

（2）某商店計(jì)劃同時(shí)購(gòu)進(jìn)特級(jí)鮮品猴頭菇和特級(jí)干品猴頭菇共80箱，特級(jí)鮮品猴頭菇每箱售價(jià)定為50元，特級(jí)干品猴頭菇每箱售價(jià)定為180元，全部銷售后，獲利不少于1560元，其中干品猴頭菇不多于40箱，該商店有哪幾種進(jìn)貨方案？

（3）在（2）的條件下，購(gòu)進(jìn)猴頭菇全部售出，其中兩種猴頭菇各有1箱樣品打a（a為正整數(shù)）折售出，最終獲利1577元，請(qǐng)直接寫出商店的進(jìn)貨方案．

27．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝x+b與x軸的正半軸交于點(diǎn)A，與y軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)D，點(diǎn)B在x軸的正半軸上，四邊形ABCD是平行四邊形，線段OA的長(zhǎng)是一元二次方程x2﹣4x﹣12＝0的一個(gè)根．請(qǐng)解答下列問(wèn)題：

（1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）若線段BC的垂直平分線交直線AD于點(diǎn)E，交x軸于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)G，點(diǎn)E在第一象限，，連接BE，求tan∠ABE的值；

（3）在（2）的條件下，點(diǎn)M在直線DE上，在x軸上是否存在點(diǎn)N，使以E、M、N為頂點(diǎn)的三角形是直角邊比為1：2的直角三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出△EMN的個(gè)數(shù)和其中兩個(gè)點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

2024年黑龍江省牡丹江市中考數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

一、單項(xiàng)選擇題（本題10個(gè)小題，每小題3分，共30分）

1．（3分）下列圖形既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形的是（）

A． B．

C． D．

【分析】中心對(duì)稱圖形的定義：把一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能與原來(lái)的圖形重合，那么這個(gè)圖形就叫做中心對(duì)稱圖形；軸對(duì)稱圖形的定義：如果一個(gè)圖形沿著一條直線對(duì)折后兩部分完全重臺(tái)，這樣的圖形叫做軸對(duì)稱圖形．根據(jù)定義依次對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．

【解答】解：A、是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意；

B、是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意；

C、是軸對(duì)稱圖形，是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)符合題意；

D、是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意；

故選：C．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了中心對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱圖形的概念，正確掌握中心對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱圖形定義是解題關(guān)鍵．

2．（3分）下列計(jì)算正確的是（）

A．2a3?a2＝2a6 B．（﹣2a）3÷b×＝﹣8a3

C．（a3+a2+a）÷a＝a2+a D．3a﹣2＝

【分析】根據(jù)單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式的法則、分式的乘除法法則、整式的除法法則以及負(fù)整數(shù)指數(shù)冪法則進(jìn)行解題即可．

【解答】解：A、2a3?a2＝2a5，故該選項(xiàng)是錯(cuò)誤的；

B、，故該選項(xiàng)是錯(cuò)誤的；

C、（a3+a2+a）÷a＝a2+a+1，故該選項(xiàng)是錯(cuò)誤的；

D、，故該選項(xiàng)是正確的；

故選：D．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式、分式的乘除法、整式的除法以及負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．

3．（3分）由5個(gè)形狀、大小完全相同的小正方體組合而成的幾何體，其主視圖和左視圖如圖所示，則搭建該幾何體的方式有（）

A．1種 B．2種 C．3種 D．4種

【分析】根據(jù)小正方體一共5個(gè)，以及主視圖和左視圖，畫出俯視圖即可．

【解答】解：由主視圖可知，左側(cè)一列最高一層，右側(cè)一列最高三層，由左視圖可知，前一排最高三層，后一排最高一層，可知右側(cè)第一排一定為三層，可得該幾何體俯視圖如圖所示，

故選：C．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三視圖，解題的關(guān)鍵是理解三視圖的定義．

4．（3分）某校八年級(jí)3班承擔(dān)下周學(xué)校升旗任務(wù)，老師從備選的甲、乙、丙、丁四名同學(xué)中，選擇兩名擔(dān)任升旗手，則甲、乙兩名同學(xué)同時(shí)被選中的概率是（）

A． B． C． D．

【分析】根據(jù)列表法或者樹(shù)狀圖分析出所有可能的結(jié)果，然后根據(jù)概率公式求出結(jié)果即可．

【解答】解：列表如下：

甲

乙

丙

丁

甲

﹣

（甲，乙）

（甲，丙）

（甲，丁）

乙

（乙，甲）

﹣

（乙，丙）

（乙，丁）

丙

（丙，甲）

（丙，乙）

﹣

（丙，?。?/p>

丁

（丁，甲）

（丁，乙）

（丁，丙）

﹣

由列表可知，共有12種等可能的結(jié)果，其中甲、乙兩名同學(xué)同時(shí)被選中的情況有2種，則甲、乙兩名同學(xué)同時(shí)被選中的概率是．

故選：A．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查列表法與樹(shù)狀圖法，解答本題的關(guān)鍵要明確在畫樹(shù)狀圖或列表法求概率時(shí)，列表適用于兩個(gè)因素的問(wèn)題，三個(gè)或三個(gè)以上因素的問(wèn)題只能用樹(shù)狀圖．

5．（3分）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，AB是⊙O的直徑，若∠BEC＝20°，則∠ADC的度數(shù)為（）

A．100° B．110° C．120° D．130°

【分析】連接AC，由AB是⊙O的直徑得到∠ACB＝90°，根據(jù)圓周角定理得到∠CAB＝∠BEC＝20°，得到∠ABC＝90°﹣∠BAC＝70°，再由圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)得到答案．

【解答】解：如圖，連接AC，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB＝90°，

∵∠BEC＝20°，

∴∠CAB＝∠BEC＝20°，

∴∠ABC＝90°﹣∠BAC＝70°，

∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，

∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝110°，

故選：B．

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了圓周角定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)知識(shí)的靈活運(yùn)用．

6．（3分）一種藥品原價(jià)每盒48元，經(jīng)過(guò)兩次降價(jià)后每盒27元，兩次降價(jià)的百分率相同，則每次降價(jià)的百分率為（）

A．20% B．22% C．25% D．28%

【分析】設(shè)每次降價(jià)的百分率為x，根據(jù)原價(jià)每盒48元，經(jīng)過(guò)兩次降價(jià)后每盒27元，列出方程進(jìn)行求解即可．

【解答】解：設(shè)每次降價(jià)的百分率為x，由題意，得：

48（1﹣x）2＝27，

解得：（舍去）；

故選：C．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)等量關(guān)系，列出一元二次方程．

7．（3分）如圖是由一些同樣大小的三角形按照一定規(guī)律所組成的圖形，第1個(gè)圖有4個(gè)三角形．第2個(gè)圖有7個(gè)三角形，第3個(gè)圖有10個(gè)三角形…按照此規(guī)律排列下去，第674個(gè)圖中三角形的個(gè)數(shù)是（）

A．2022 B．2023 C．2024 D．2025

【分析】根據(jù)前幾個(gè)圖形的變化發(fā)現(xiàn)規(guī)律，可用含n的代數(shù)式表示出第n個(gè)圖形中三角形的個(gè)數(shù)，從而可求第674個(gè)圖形中三角形的個(gè)數(shù)．

【解答】解：第1個(gè)圖案有4個(gè)三角形，即4＝3×1+1，

第2個(gè)圖案有7個(gè)三角形，即7＝3×2+1，

第3個(gè)圖案有10個(gè)三角形，即10＝3×3+1，

…，

按此規(guī)律擺下去，第n個(gè)圖案有（3n+1）個(gè)三角形，

則第674個(gè)圖案中三角形的個(gè)數(shù)為：3×674+1＝2023（個(gè)）．

故選：B．

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了圖形的變化規(guī)律，解題的關(guān)鍵是根據(jù)圖形的排列，歸納出圖形的變化規(guī)律．

8．（3分）矩形OBAC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，反比例函數(shù)的圖象與AB邊交于點(diǎn)D，與AC邊交于點(diǎn)F，與OA交于點(diǎn)E，OE＝2AE，若四邊形ODAF的面積為2，則k的值是（）

A． B． C． D．

【分析】過(guò)點(diǎn)E作EM⊥OC，則EM∥OB，設(shè)，由△OME∽△OCA，可得，再S矩形OBAC＝S△OBD+S△OCF+S四邊形ODAF，列方程，即可得出k的值．

【解答】解：過(guò)點(diǎn)E作EM⊥OC，則EM∥OB，

∴△OME∽△OCA，

∴，

設(shè)，

∵OE＝2AE，

∴，

∴，

∴，

即，解得：，

故選：D．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的性質(zhì)、三角形面積的計(jì)算、反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)；熟練掌握矩形的性質(zhì)和反比例函數(shù)的性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．

9．（3分）小明同學(xué)手中有一張矩形紙片ABCD，AD＝12cm，CD＝10cm，他進(jìn)行了如下操作：

第一步，如圖①，將矩形紙片對(duì)折，使AD與BC重合，得到折痕MN，將紙片展平．

第二步，如圖②，再一次折疊紙片，把△ADN沿AN折疊得到△AD′N，AD′交折痕MN于點(diǎn)E，則線段EN的長(zhǎng)為（）

A．8cm B． C． D．

【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)推出∠ANM＝∠D′AN，進(jìn)而得出EA＝AN，設(shè)EA＝AN＝xcm，則EM＝（12﹣x）cm，根據(jù)勾股定理可得：AM2+ME2＝AE2，列出方程求解即可．

【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，

∴AB＝CD＝10cm，

由折疊可得：，AD＝AD′＝12cm，MN⊥AB，∠DAN＝∠D′AN，

∴四邊形AMND是矩形，

∴MN∥AD，MN＝AD＝12cm，

∴∠DAN＝∠ANM，

∴∠ANM＝∠D′AN，

∴EA＝EN，

設(shè)EA＝EN＝xcm，則EM＝（12﹣x）cm，

在Rt△AME中，根據(jù)勾股定理可得：AM2+ME2＝AE2，

即52+（12﹣x）2＝x2，

解得：，

即，

故選：B．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的折疊問(wèn)題，熟練掌握矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理是解題的關(guān)鍵．

10．（3分）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于A、B兩點(diǎn)，A（﹣3，0），B（1，0），與y軸交點(diǎn)C的縱坐標(biāo)在﹣3～﹣2之間，根據(jù)圖象判斷以下結(jié)論：①abc2＞0；②＜b＜2；③若﹣bx1＝﹣bx2且x1≠x2，則x1+x2＝﹣2；④直線y＝﹣cx+c與拋物線y＝ax2+bx+c的一個(gè)交點(diǎn)（m，n）（m≠0），則m＝．其中正確的結(jié)論是（）

A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④

【分析】根據(jù)題意得到拋物線的解析式為y＝ax2+2ax﹣3a，即可得到b＝2a，c＝﹣3a，代入即可判斷①；根據(jù)﹣3＜﹣3a＜﹣2判斷②；把b＝2a代入，然后利用因式分解法解方程即可判斷③；然后把b＝2a，c＝﹣3a代入解方程求出m的值判斷④．

【解答】解：設(shè)拋物線的解析式為：y＝a（x+3）（x﹣1）＝ax2+2ax﹣3a，

∴b＝2a，c＝﹣3a，

∴abc2＝a?2a?（﹣3a）2＝18a4＞0，故①正確；

∵點(diǎn)C的縱坐標(biāo)在﹣3～﹣2之間，

∴﹣3＜﹣3a＜﹣2，即，

∴，故②正確；

∵，

∴，即，

∴（x1+x2﹣2）（x1﹣x2）＝0，

又∵x1≠x2，

∴x1+x2＝2，故③錯(cuò)誤；

∵令y相等，則，

∴，解得x1＝0（舍），，

∴，故④正確；

故選：A．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，二次函數(shù)和一元一次方程的關(guān)系，掌握二次函數(shù)和一元一次方程的關(guān)系是解題的關(guān)鍵，

二、填空題（本題8個(gè)小題，每小題3分，共24分）

11．（3分）函數(shù)y＝中，自變量x的取值范圍是x≥﹣3且x≠0

【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)和分式的意義，被開(kāi)方數(shù)大于等于0，分母不等于0列不等式組求解．

【解答】解：根據(jù)題意得：，

解得x≥﹣3且x≠0．

故答案為x≥﹣3且x≠0．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)自變量的取值范圍．考查的知識(shí)點(diǎn)為：分式有意義，分母不為0，二次根式有意義，被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)．

12．（3分）如圖，△ABC中，D是AB上一點(diǎn)，CF∥AB，D、E、F三點(diǎn)共線，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件DE＝EF，使得AE＝CE．（只添一種情況即可）

【分析】根據(jù)題目中的條件和全等三角形的判定，可以寫出添加的條件，注意本題答案不唯一．

【解答】解：∵CF∥AB，

∴∠A＝∠ECF，∠ADE＝∠CFE，

∴添加條件DE＝EF，可以使得△ADE≌△CFE（AAS），

添加條件AD＝CF，可以使得△ADE≌△CFE（ASA），

故答案為：DE＝EF或AD＝CF（答案不唯一）．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查全等三角形的判定，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用全等三角形的判定解答．

13．（3分）將拋物線y＝ax2+bx+3向下平移5個(gè)單位長(zhǎng)度后，經(jīng)過(guò)點(diǎn)（﹣2，4），則6a﹣3b﹣7＝2．

【分析】根據(jù)平移規(guī)律得到函數(shù)解析式，把點(diǎn)的坐標(biāo)代入得到2a﹣b＝3，再整體代入變形后代數(shù)式即可．

【解答】解：拋物線y＝ax2+bx+3向下平移5個(gè)單位長(zhǎng)度后得到y(tǒng)＝ax2+bx+3﹣5＝ax2+bx﹣2，

把點(diǎn)（﹣2，4）代入得到，4＝a×（﹣2）2﹣2b﹣2，

得到2a﹣b＝3，

∴6a﹣3b﹣7＝3（2a﹣b）﹣7＝3×3﹣7＝2，

故答案為：2．

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，掌握二次函數(shù)的平移規(guī)律是解題的關(guān)鍵．

14．（3分）如圖，在⊙O中，直徑AB⊥CD于點(diǎn)E，CD＝6，BE＝1，則弦AC的長(zhǎng)為．

【分析】由垂徑定理得，設(shè)⊙O的半徑為r，則OE＝OB﹣EB＝r﹣1，在Rt△OED中，由勾股定理得出方程，求出r＝5，即可得出AE＝9，在Rt△AEC中，由勾股定理即可求解．

【解答】解：∵AB⊥CD，CD＝6，

∴，

設(shè)⊙O的半徑為r，則OE＝OB﹣EB＝r﹣1，

在Rt△OED中，由勾股定理得：OE2+DE2＝OD2，即（r﹣1）2+32＝r2，

解得：r＝5，

∴OA＝5，OE＝4，

∴AE＝OA+OE＝9，

在Rt△AEC中，由勾股定理得：，

故答案為：．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂徑定理和勾股定理等知識(shí)，熟練掌握垂徑定理，由勾股定理得出方程是解題的關(guān)鍵．

15．（3分）已知一組正整數(shù)a，1，b，b，3有唯一眾數(shù)8，中位數(shù)是5，則這一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為5．

【分析】根據(jù)眾數(shù)、算術(shù)平均數(shù)和中位數(shù)的概念求解．

【解答】解：∵這組數(shù)據(jù)有唯一眾數(shù)8，

∴b為8，

∵中位數(shù)是5，

∴a是5，

∴這一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，

故答案為：5．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了眾數(shù)、算術(shù)平均數(shù)和中位數(shù)的知識(shí)．熟練掌握眾數(shù)、算術(shù)平均數(shù)和中位數(shù)的概念是解題的關(guān)鍵．

16．（3分）若分式方程的解為正整數(shù)，則整數(shù)m的值為﹣1．

【分析】表示出方程的解，由解是正整數(shù)，確定出整數(shù)m的值即可．

【解答】解：，

化簡(jiǎn)得：，

去分母得：x＝3（x﹣1）+mx，

移項(xiàng)合并得：（2+m）x＝3，

解得：，

由方程的解是正整數(shù)，得到x為正整數(shù)，即2+m＝1或2+m＝3，

解得：m＝﹣1或m＝1（舍去，會(huì)使得分式無(wú)意義）．

故答案為：﹣1．

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了分式方程的解，方程的解即為能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值．

17．（3分）矩形ABCD的面積是90，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是BC邊的三等分點(diǎn)，連接DE，點(diǎn)P是DE的中點(diǎn)，OP＝3，連接CP，則PC+PE的值為13或．

【分析】當(dāng)CE＞BE時(shí)，利用三角形中位線定理求得CE＝12，再求得矩形的邊長(zhǎng)，利用勾股定理求得DE的長(zhǎng)，再根據(jù)斜邊中線的性質(zhì)即可求解；當(dāng)CE＜BE時(shí)，同理求解即可．

【解答】解：當(dāng)CE＞BE時(shí)，如圖，

∵矩形ABCD，

∴點(diǎn)O是BD的中點(diǎn)，

∵點(diǎn)P是DE的中點(diǎn)，

∴BE＝2OP＝6，CP＝PE＝PD，

∵點(diǎn)E是BC邊的三等分點(diǎn)，

∴CE＝2BE＝12，BC＝3BE＝18，

∵矩形ABCD的面積是90，

∴BC×CD＝90，

∴CD＝5，

∴，

∴PC+PE＝DE＝13；

當(dāng)CE＜BE時(shí)，如圖2，

∵矩形ABCD，

∴點(diǎn)O是BD的中點(diǎn)，

∵點(diǎn)P是DE的中點(diǎn)，

∴BE＝2OP＝6，CP＝PE＝PD，

∵點(diǎn)E是BC邊的三等分點(diǎn)，

∴，BC＝3+6＝9，

∵矩形ABCD的面積是90，

∴BC×CD＝90，

∴CD＝10，

∴，

∴；

故答案為：13或．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的性質(zhì)，三角形中位線定理，勾股定理，解答本題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用分類討論思想解決問(wèn)題．

18．（3分）如圖，在正方形ABCD中，E是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，AE分別交BD、CD于點(diǎn)F、M，過(guò)點(diǎn)F作NP⊥AE，分別交AD、BC于點(diǎn)N、P，連接MP．下列四個(gè)結(jié)論：①AM＝PN；②DM+DN＝DF；③若P是BC中點(diǎn)，AB＝3，則EM＝2；④BF?NF＝AF?BP；⑤若PM∥BD，則CE＝BC．其中正確的結(jié)論是①②③⑤．

【分析】如圖1，作PG⊥AD于G，則四邊形ABPG是矩形，證明△PGN≌△ADM（ASA），則AM＝PN，可判斷①的正誤；如圖2，作HF⊥DF交AD于H，連接CF，證明△ABF≌△CBF（SAS），則AF＝CF，∠BAF＝∠BCF，由∠BPF+∠BAF＝360°﹣∠ABP﹣∠AFP＝180°，∠BPF+∠FPC＝180°，可得∠BAF＝∠FPC，PF＝CF＝AF，F(xiàn)N＝FM，證明△HFN≌△DFM（SAS），則HN＝DM，由勾股定理得，，由DH＝HN+DN＝DM+DN，可得，可判斷②的正誤；如圖3，連接AP，由勾股定理得，，，可求，設(shè)EM＝x，則，BE＝3+x，由勾股定理得，，由，可得，整理得，x2﹣2x﹣24＝0，可求滿足要求的解為x＝6，則，BE＝9，由，可得，可求，可判斷③的正誤；由題意知，∠BPF＞90°，△BPF、△NFA不相似，BF?NF≠AF?BP，可判斷④的正誤；由設(shè)PC＝CM＝a，BC＝CD＝AD＝AB＝b，CE＝c，則DM＝b﹣a，BE＝b+c，PE＝a+c，，證明△AFN≌△PFM（SAS），則，證明△AMD∽△EDC，則，即，可求，同理，△ANF∽△EPF，則，即，同理，△DMF∽△BAF，則，即，可得，將代入得，，整理得，，可得，，則，可判斷⑤的正誤．

【解答】解：∵正方形ABCD，

∴∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°，AB＝BC＝CD＝AD，∠ADB＝∠ABD＝∠CBD＝∠CDB＝45°，

如圖，作PG⊥AD于G，則四邊形ABPG是矩形，

∴PG＝AB＝AD，

∵∠GPN+∠GNP＝90°＝∠GNP+∠DAM，

∴∠GPN＝∠DAM，

又∵PG＝AD，∠PGN＝90°＝∠ADM，

∴△PGN≌△ADM（ASA），

∴AM＝PN，①正確，故符合要求；

如圖，作HF⊥DF交AD于H，連接CF，

∴∠DHF＝45°＝∠ADB，

∴DF＝HF，

∵AB＝BC，∠ABF＝∠CBF＝45°，BF＝BF，

∴△ABF≌△CBF（SAS），

∴AF＝CF，∠BAF＝∠BCF，

∵∠BPF+∠BAF＝360°﹣∠ABP﹣∠AFP＝180°，∠BPF+∠FPC＝180°，

∴∠BAF＝∠FPC，

∴∠BCF＝∠FPC，

∴PF＝CF＝AF，

∴PN﹣PF＝AM﹣AF，即FN＝FM，

∵∠HFN+∠NFD＝90°＝∠DFM+∠NFD，

∴∠HFN＝∠DFM，

∵HF＝DF，∠HFN＝∠DFM，F(xiàn)N＝FM，

∴△HFN≌△DFM（SAS），

∴HN＝DM，

由勾股定理得，，

∵DH＝HN+DN＝DM+DN，

∴，②正確，故符合要求；

∵P是BC中點(diǎn)，AB＝3，

∴，

如圖，連接AP，

由勾股定理得，，，

解得，，

設(shè)EM＝x，則，BE＝3+x，

由勾股定理得，，

∵，

∴，整理得，x2﹣2x﹣24＝0，

解得，x＝6或x＝﹣4（舍去），

∴，BE＝9，

∵，

∴，

解得，，③正確，故符合要求；

由題意知，∠BPF＞90°，

∴△BPF、△NFA不相似，BF?NF≠AF?BP，④錯(cuò)誤，故不符合要求；

∵PM∥BD，

∴∠CPM＝∠CBD＝45°，∠CMP＝∠CDB＝45°，

設(shè)PC＝CM＝a，BC＝CD＝AD＝AB＝b，CE＝c，則DM＝b﹣a，BE＝b+c，PE＝a+c，，

∵AF＝PF，∠AFN＝90°＝∠PFM，F(xiàn)N＝FM，

∴△AFN≌△PFM（SAS），

∴，

∵∠ADM＝90°＝∠ECM，∠AMD＝∠EDC，

∴△AMD∽△EDC，

∴，即，

解得，，

同理，△ANF∽△EPF，

∴，即，

同理，△DMF∽△BAF，

∴，即，

∴，

將代入得，，整理得，，

解得，，

∴，⑤正確，故符合要求；

故答案為：①②③⑤．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等角對(duì)等邊，勾股定理，正弦，余弦，相似三角形的判定與性質(zhì)．熟練掌握正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等角對(duì)等邊，勾股定理，正弦，余弦，相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

三、解答題（共66分）

19．先化簡(jiǎn)，再求值：÷（x﹣），并從﹣1，0，1，2，3中選一個(gè)合適的數(shù)代入求值．

【分析】先計(jì)算括號(hào)內(nèi)的減法，再計(jì)算除法，然后根據(jù)分式有意義的條件選取合適的值代入計(jì)算即可得．

【解答】解：

＝

＝

＝

＝．

∵x≠0且x≠3，

∴x＝﹣1或x＝1或x＝2．

當(dāng)x＝﹣1時(shí)，原式＝．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式的化簡(jiǎn)求值，熟練掌握分式的運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．

20．如圖，某數(shù)學(xué)活動(dòng)小組用高度為1.5米的測(cè)角儀BC，對(duì)垂直于地面CD的建筑物AD的高度進(jìn)行測(cè)量，BC⊥CD于點(diǎn)C．在B處測(cè)得A的仰角∠ABE＝45°，然后將測(cè)角儀向建筑物方向水平移動(dòng)6米至FG處，F(xiàn)G⊥CD于點(diǎn)G，測(cè)得A的仰角∠AFE＝58°，BF的延長(zhǎng)線交AD于點(diǎn)E，求建筑物AD的高度（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）．（參考數(shù)據(jù)：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）

【分析】由題意可得四邊形BEDC是矩形，則DE＝BC＝1.5m．解直角三角形得到，進(jìn)而得到，據(jù)此求出AE即可得到答案．

【解答】解：根據(jù)題意可知四邊形BEDC是矩形，

∴DE＝BC＝1.5m．

如圖，∠ABE＝45°，∠AFE＝58°．

∵，

∴．

∵BE＝EF+BF，

∴

∴AE≈16．

∴AD＝AE+DE＝17.5（米）

答：建筑物AD的高度約為17.5米．

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了矩形的性質(zhì)與判定，解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)知識(shí)的靈活運(yùn)用．

21．某校為掌握學(xué)生對(duì)垃圾分類的了解情況，在全校范圍內(nèi)抽取部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查問(wèn)卷，并將收集到的信息進(jìn)行整理，繪制成如圖所示不完整的統(tǒng)計(jì)圖，其中A為“非常了解”，B為“了解較多”，C為“基本了解”，D為“了解較少”．請(qǐng)你根據(jù)圖中提供的信息，解答下列問(wèn)題：

（1）本次調(diào)查共抽取了50名學(xué)生；

（2）補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖，并求出扇形統(tǒng)計(jì)圖中“了解較少”所對(duì)應(yīng)的圓心角度數(shù)；

（3）若全校共有1200名學(xué)生，請(qǐng)估計(jì)全校有多少名學(xué)生“非常了解”垃圾分類問(wèn)題．

【分析】（1）用A、C、D的總?cè)藬?shù)除以所占比例即可求解；

（2）先用360°×“了解較少”的占比，用總?cè)藬?shù)減去A、C、D的人數(shù)即可得B的人數(shù)，據(jù)此即可補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；

（3）用樣本估算總體即可．

【解答】解：（1）這次被調(diào)查的學(xué)生人數(shù)為：（20+8+5）÷（1﹣34%）＝50（名）；

（2）“了解較少”所對(duì)應(yīng)的圓心角度數(shù)為：，

50×34%＝17（人）

補(bǔ)全圖形如下：

（3）（名），

估計(jì)全校有多少名學(xué)生“非常了解”垃圾分類問(wèn)題有480名．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖的綜合運(yùn)用，讀懂統(tǒng)計(jì)圖，從不同的統(tǒng)計(jì)圖中得到必要的信息是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．條形統(tǒng)計(jì)圖能清楚地表示出每個(gè)項(xiàng)目的數(shù)據(jù)；扇形統(tǒng)計(jì)圖直接反映部分占總體的百分比大?。?/p>

22．在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，BC＝12，AC＝8，以BC為邊向△ACB外作有一個(gè)內(nèi)角為60°的菱形BCDE，對(duì)角線BD，CE交于點(diǎn)O，連接OA，請(qǐng)用尺規(guī)和三角板作出圖形，并直接寫出△AOC的面積．

【分析】分兩種情況討論，作OF⊥BC，垂足為F，利用直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理分別求得CF的長(zhǎng)，再利用三角形面積公式即可求解．

【解答】解：當(dāng)∠CBE＝60°時(shí)，所作圖形如圖，作OF⊥BC，垂足為F，

∵菱形BCDE，∠CBE＝60°，

∴∠COB＝90°，∠CBO＝30°，∠OCB＝60°，

∵BC＝12，

∴，

∵∠OCB＝60°，

∴∠COF＝30°，

∴，

∴△AOC的面積為；

當(dāng)∠BCD＝60°時(shí)，所作圖形如圖，作OF⊥BC，垂足為F，如圖2，

∵菱形BCDE，∠BCD＝60°，

∴∠COB＝90°，∠BCO＝30°，

∵BC＝12，

∴，，

∴，，

∴△AOC的面積為；

綜上，△AOC的面積為12或36．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖v﹣復(fù)雜作圖，三角形的面積，含30度角的直角三角形，菱形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用分類討論思想解決問(wèn)題．

23．如圖，二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣1，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，﹣3），連接BC．

（1）求該二次函數(shù)的解析式；

（2）點(diǎn)P是拋物線在第四象限圖象上的任意一點(diǎn)，當(dāng)△BCP的面積最大時(shí)，BC邊上的高PN的值為．

【分析】（1）直接利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；

（2）先求出直線BC的解析式，然后過(guò)點(diǎn)P作PD⊥x軸交BC于點(diǎn)D，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為，根據(jù)求出面積的最大值，然后求高PN即可．

【解答】解：（1）把（﹣1，0）和（0，﹣3）代入得：

，

解得，

∴二次函數(shù)的解析式為；

（2）令y＝0，則，

解得：x1＝﹣1，x2＝6，

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6，0），

∴，

設(shè)直線BC的解析式為y＝mx+n，代入得：

，

解得，

∴直線BC的解析式為，

過(guò)點(diǎn)P作PD⊥x軸交BC于點(diǎn)D，如圖，

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為，

∴，

∴，

∴△PBC最大為，

∴，

故答案為：．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線與x軸的交點(diǎn)，二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)的最值，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，掌握待定系數(shù)法是解題的關(guān)鍵．

24．一條公路上依次有A、B、C三地，甲車從A地出發(fā)，沿公路經(jīng)B地到C地，乙車從C地出發(fā)，沿公路駛向B地．甲、乙兩車同時(shí)出發(fā)，勻速行駛，乙車比甲車早小時(shí)到達(dá)目的地．甲、乙兩車之間的路程ykm與兩車行駛時(shí)間xh的函數(shù)關(guān)系如圖所示，請(qǐng)結(jié)合圖象信息，解答下列問(wèn)題：

（1）甲車行駛的速度是70km/h，并在圖中括號(hào)內(nèi)填上正確的數(shù)；

（2）求圖中線段EF所在直線的函數(shù)解析式（不要求寫出自變量的取值范圍）；

（3）請(qǐng)直接寫出兩車出發(fā)多少小時(shí)，乙車距B地的路程是甲車距B地路程的3倍．

【分析】（1）利用時(shí)間、速度、路程之間的關(guān)系求解；

（2）利用待定系數(shù)法求解；

（3）先求出A、B、C兩兩之間的距離和乙車的速度，設(shè)兩車出發(fā)x小時(shí)，乙車距B地的路程是甲車距B地路程的3倍，分甲乙相遇前、相遇后兩種情況，列一元一次方程分別求解即可．

【解答】解：（1）由圖可知，甲車小時(shí)行駛的路程為（200﹣180）km，

∴甲車行駛的速度是，

70×（4+）＝300（km），

填圖如下：

故答案為：70；

（2）由圖可知E，F(xiàn)的坐標(biāo)分別為，（4，180），

設(shè)線段EF所在直線的函數(shù)解析式為y＝kx+b，

則，

解得，

∴線段EF所在直線的函數(shù)解析式為y＝120x﹣300；

（3）由題意知，A、C兩地的距離為：，

乙車行駛的速度為：，

C、B兩地的距離為：50×4＝200（km），

A、B兩地的距離為：300﹣200＝100（km），

設(shè)兩車出發(fā)x小時(shí)，乙車距B地的路程是甲車距B地路程的3倍，

分兩種情況，當(dāng)甲乙相遇前時(shí)：

200﹣50x＝3（100﹣70x），

解得；

當(dāng)甲乙相遇后時(shí)：

200﹣50x＝3（70x﹣100），

解得；

綜上可知，兩車出發(fā)或時(shí)，乙車距B地的路程是甲車距B地路程的3倍．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，一元一次方程的實(shí)際應(yīng)用，求出A、B、C兩兩之間的距離是解題的關(guān)鍵．

25．?dāng)?shù)學(xué)老師在課堂上給出了一個(gè)問(wèn)題，讓同學(xué)們探究．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，點(diǎn)D在直線BC上，將線段AD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AE，過(guò)點(diǎn)E作EF∥BC，交直線AB于點(diǎn)F．

（1）當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，如圖①，求證：BD+EF＝AB；

分析問(wèn)題：某同學(xué)在思考這道題時(shí)，想利用AD＝AE構(gòu)造全等三角形，便嘗試著在AB上截取AM＝EF，連接DM，通過(guò)證明兩個(gè)三角形全等，最終證出結(jié)論：

推理證明：寫出圖①的證明過(guò)程：

探究問(wèn)題：

（2）當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖②：當(dāng)點(diǎn)D在線段CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖③，請(qǐng)判斷并直接寫出線段BD，EF，AB之間的數(shù)量關(guān)系；

拓展思考：

（3）在（1）（2）的條件下，若AC＝6，CD＝2BD，則EF＝10或18．

【分析】（1）在AB邊上截取AM＝EF，連接DM，根據(jù)題意證明出△DAM≌△AEF（SAS），得到AF＝DM，然后證明出△BMD是等邊三角形，得到BD＝BM＝DM，進(jìn)而求解即可；

（2）圖②：在BD上取點(diǎn)H，使BH＝AB，連接AH并延長(zhǎng)到點(diǎn)G使AG＝AF，連接DG，首先證明出△ABH是等邊三角形，得到∠BAH＝60°，然后求出∠BAH＝∠DAE，然后證明出△FAE≌△GAD（SAS），得到EF＝DG，∠AFE＝∠G，然后證明出△DHG是等邊三角形，得到DH＝DG＝EF，進(jìn)而求解即可；

圖③：在EF上取點(diǎn)H使AH＝AF，同理證明出△EAH≌△ADB（AAS），得到BD＝AH，AB＝EH，進(jìn)而求解即可；

（3）根據(jù)勾股定理和含30°角直角三角形的性質(zhì)求出BC＝6，AB＝12，然后結(jié)合CD＝2BD，分別（1）（2）的條件下求出BD的長(zhǎng)度，進(jìn)而求解即可．

【解答】（1）證明：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，點(diǎn)D在直線BC上，將線段AD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AE，過(guò)點(diǎn)E作EF∥BC，交直線AB于點(diǎn)F．在AB邊上截取AM＝EF，連接DM．如圖1，

∴∠B＝90°﹣∠BAC＝90°﹣30°＝60°．

∵EF∥BC，

∴∠EFB＝∠B＝60°．

又∵∠EAD＝60°，

∴∠EFB＝∠EAD．

又∵∠BAD＝∠EAD﹣∠EAF，∠AEF＝∠EFB﹣∠EAF，

∴∠BAD＝∠AEF．

又∵AD＝AE，AM＝EF，

∴△DAM≌△AEF（SAS）．

∴AF＝DM．

∴∠AMD＝∠EFA＝180°﹣∠EFB＝180°﹣60°＝120°．

∴∠BMD＝180°﹣∠AMD＝180°﹣120°＝60°．

∵∠B＝60°，

∴∠BMD＝∠B＝∠BDM．

∴△BMD是等邊三角形．

∴BD＝BM＝DM，

∵AB＝AM+BM，

∴AB＝EF+BD；

（2）解：圖②：AB＝BD﹣EF，證明如下：

如圖2.1所示，在BD上取點(diǎn)H，使BH＝AB，連接AH并延長(zhǎng)到點(diǎn)G使AG＝AF，連接DG，

∵∠ABC＝60°，

∴△ABH是等邊三角形，

∴∠BAH＝60°，

∵線段AD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AE，

∴∠DAE＝60°，AE＝AD，

∴∠BAH＝∠DAE，

∴∠BAH﹣∠EAH＝∠DAE﹣∠EAH，即∠BAE＝∠HAD，

又∵AG＝AF，

∴△FAE≌△GAD（SAS），

∴EF＝DG，∠AFE＝∠G，

∵BD∥EF，

∴∠ABC＝∠F＝∠G＝60°，

∵∠DHG＝∠AHB＝60°，

∴△DHG是等邊三角形，

∴DH＝DG＝EF，

∴AB＝BH＝BD﹣DH＝BD﹣EF；

圖③：AB＝EF﹣BD，證明如下：

如圖2.2所示，在EF上取點(diǎn)H使AH＝AF，

∵EF∥BC，

∴∠F＝∠ABC＝60°，

∵AH＝AF，

∴△AHF是等邊三角形，

∴∠AHF＝∠HAF＝60°，

∴∠AHE＝120°，

∵將線段AD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AE，

∴AD＝AE，∠DAE＝60°，

∴∠DAB+∠EAH＝180°﹣∠EAD﹣∠HAF＝60°，

∵∠D+∠DAB＝∠ABC＝60°，

∴∠D＝∠EAH，

∵∠DBA＝180°﹣∠ABC＝120°＝∠EHA，

又∵AD＝AE，

∴△EAH≌△ADB（AAS），

∴BD＝AH，AB＝EH，

∵AH＝FH，

∴BD＝HF，

∴AB＝EH＝EF﹣FH＝EF﹣BD；

（3）解：如圖3.1所示，

∵∠BAC＝30°，∠C＝90°，

∴AB＝2BC，AB2＝BC2+AC2，

∴，

∴BC＝6，

∴AB＝2BC＝12，

∵CD＝2BD，BC＝BD+CD，

∴，

由（1）可知，BD+EF＝AB，

∴EF＝AB﹣BD＝12﹣2＝10；

如圖3.2所示，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，

∵CD＜BD，與CD＝2BD矛盾，

∴不符合題意；

如圖3.3所示，當(dāng)點(diǎn)D在線段CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，

∵CD＝2BD＝BD+BC，BC＝6，

∴BD＝BC＝6，

由（2）可知，AB＝EF﹣BD，

∵AB＝2BC＝12，

∴EF＝AB+BD＝12+6＝18．

綜上所述，EF＝10或18，

故答案為：10或18．

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)和判定，含30°角直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識(shí)點(diǎn)．

26．牡丹江某縣市作為猴頭菇生產(chǎn)的“黃金地帶”，年總產(chǎn)量占全國(guó)總產(chǎn)量的50%以上，黑龍江省發(fā)布的“九珍十八品”名錄將猴頭菇列為首位．某商店準(zhǔn)備在該地購(gòu)進(jìn)特級(jí)鮮品、特級(jí)干品兩種猴頭菇，購(gòu)進(jìn)鮮品猴頭菇3箱、干品猴頭菇2箱需420元，購(gòu)進(jìn)鮮品猴頭菇4箱、干品猴頭菇5箱需910元．請(qǐng)解答下列問(wèn)題：

（1）特級(jí)鮮品猴頭菇和特級(jí)干品猴頭菇每箱的進(jìn)價(jià)各是多少元？

（2）某商店計(jì)劃同時(shí)購(gòu)進(jìn)特級(jí)鮮品猴頭菇和特級(jí)干品猴頭菇共80箱，特級(jí)鮮品猴頭菇每箱售價(jià)定為50元，特級(jí)干品猴頭菇每箱售價(jià)定為180元，全部銷售后，獲利不少于1560元，其中干品猴頭菇不多于40箱，該商店有哪幾種進(jìn)貨方案？

（3）在（2）的條件下，購(gòu)進(jìn)猴頭菇全部售出，其中兩種猴頭菇各有1箱樣品打a（a為正整數(shù)）折售出，最終獲利1577元，請(qǐng)直接寫出商店的進(jìn)貨方案．

【分析】（1）設(shè)特級(jí)鮮品猴頭菇和特級(jí)干品猴頭菇每箱的進(jìn)價(jià)分別是x元和y元，根據(jù)“購(gòu)進(jìn)鮮品猴頭菇3箱、干品猴頭菇2箱需420元，購(gòu)進(jìn)鮮品猴頭菇4箱、干品猴頭菇5箱需910元”，列出方程組求解即可；

（2）設(shè)商店計(jì)劃購(gòu)進(jìn)特級(jí)鮮品猴頭菇m箱，則購(gòu)進(jìn)特級(jí)干品猴頭菇（80﹣m）箱，根據(jù)“獲利不少于1560元，其中干品猴頭菇不多于40箱，”分別列出不等式求解即可；

（3）分別根據(jù)（2）中三種方案分別求解即可．