2020年上海新高一新教材數(shù)學(xué)講義-20 反函數(shù)

專題20反函數(shù)

(反函數(shù)的概念，反函數(shù)的圖像)

知識(shí)梳理

反函數(shù)

1、反函數(shù)定義

一般地，對(duì)于函數(shù)y=f(x),設(shè)它的定義域?yàn)镈,值域?yàn)锳,如果對(duì)A中任意一個(gè)值y,在D中總有唯

一確定的x值與它對(duì)應(yīng)，使y=f(x),這樣得到的x=/T(y)。在習(xí)慣上，自變量用x表示，而函數(shù)用y表示，

所以把它改寫為y=『(x)(xeA)

2、關(guān)于反函數(shù)的結(jié)論

(1)關(guān)于反函數(shù)的定義域與值域分別是其原函數(shù)的值域和定義域，

⑵互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)y=f(x)與y=尸(%)圖像關(guān)于直線y=x對(duì)稱；若點(diǎn)M(a,b)在y=f(x)

的圖像上，則點(diǎn)”(b,a)必在y=廣'(X)圖像上；

(3)一般地，偶函數(shù)不存在反函數(shù)(y=c,xe{0}除外，其中c為常數(shù))，奇函數(shù)不一定有反函數(shù)，若有

反函數(shù)，則反函數(shù)也是奇函數(shù)；

(4)原函數(shù)與其反函數(shù)的單調(diào)性相同，但單調(diào)區(qū)間不一定相同，單調(diào)函數(shù)必有反函數(shù)，有反函數(shù)的函

數(shù)不一定是單調(diào)的，比如、

X

(5)y=f(x)與y=/T(X)互為反函數(shù)，設(shè)f(x)定義域?yàn)镈,值域?yàn)锳,則有仃尸(％)]=x(xeA),

尸[/(x)]=

(6)如果函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于直線y=x對(duì)稱，那么它存在反函數(shù)，并且其反函數(shù)就是它本身；

(7)反函數(shù)存在條件：函數(shù)的定義域與值域之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系一一對(duì)應(yīng);

(8)x=f(y),丁=廣1(%),%=廣1(7)與函數(shù)丫=1'(*)的比較；

函數(shù)自變量圖像

x=f(y)y是自變量與y=f(x)的圖像關(guān)于y=x對(duì)稱

戶尸⑴y是自變量和y=f(x)的圖像相同

是自變量和y=f(x)的圖像關(guān)于直線y=x對(duì)稱

y=L(x)X

(9)y=f(x)與y=fl(x)圖像若有公共點(diǎn)，并非一定在y=x上,例如:f(x)=?⑺

有兩個(gè)公共點(diǎn)(1/2,1/4)與(1/4,1/2)關(guān)于y=x對(duì)稱

3、求反函數(shù)的步驟

(1)求反函數(shù)y=(x)的值域(若值域顯然，解題時(shí)常略去不寫)；

(2)反解：由y=(x)解出x=/T(y)；

(3)改寫：在1=尸(丁)中，將x,y互換得到丁=尸(力；

(4)標(biāo)明反函數(shù)的定義域，即(1)中求出的值域。

一、反函數(shù)的概念與存在條件

【例1】y=^2x-x~(l<x<2)反函數(shù)是()

A.y=l+^l-x2(-1<%<1)B.y=l+^l-x~(0<%<l)

C.y=l-^l-x2(-1<X<1)D.y=l-yll-x2(0<x<l)

【難度】★★

【答案】B

【例2】以下函數(shù)中，不存在反函數(shù)的序號(hào)是____________.

①>>=x2-1(x<-2)；②y=x2-1(x>-2)；(3)y=x(2—x)［x2；］；④y=

【難度】★★

【答案】②③④

【例3】已知函數(shù)丁==」L的圖像關(guān)于直線y=x對(duì)稱，求實(shí)數(shù)m的值.

【難度】★★

【答案】"I

【例4】若函數(shù)y=/(x)存在反函數(shù)，則方程，(x)=2c(c為常數(shù))

A.有且只有一個(gè)實(shí)根;B.至少有一個(gè)實(shí)根;

C.至多有一個(gè)實(shí)根;。.沒有實(shí)根.

【難度】★★

【答案】c

【例5】若函數(shù)/(X)的圖像經(jīng)過點(diǎn)(0,—1),則函數(shù)/(x+4)的反函數(shù)圖像必經(jīng)過.

【難度】★★

【答案】(-4,-1)

【例6】函數(shù)f(x)=公_2ax-3在區(qū)間［1,2］上存在反函數(shù)的重要條件是()

A、ae(^o,1]B、ae[2,+co)

C、ae(fo,l］D、ae［1,2］

【難度】★★

【答案】解題策略：［1,2］應(yīng)在函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間內(nèi)。

解:函數(shù)對(duì)稱軸為x=a。依題意2Ka或aW1故選C

【例7】若函數(shù)y=f(x)存在反函數(shù)，則下列命題不正確的是()

A、函數(shù)y=f(x)與函數(shù)x=f(y)的圖像關(guān)于直線y=x對(duì)稱

B、若y=f(x)是奇函數(shù)，則y=*(x)也是奇函數(shù)

C、若y=f(x)在其定義域［a,句上是增函數(shù)，則丫=戶欣)在［a,句上也是增函數(shù)

D、函數(shù)y=f(x)與函數(shù)x=廣(y)的圖像重合

【難度】★★

【答案】C

【例8】下列命題正確的有

(1)偶函數(shù)一定沒有反函數(shù)；(2)奇函數(shù)一定有反函數(shù)；

(3)單調(diào)函數(shù)一定存在反函數(shù)；(4)存在反函數(shù)的函數(shù)一定是單調(diào)函數(shù)；

【難度】★★

【答案】(1)(3)

2x+1

【例9】f(x)=-一,此函數(shù)有反函數(shù)，則a的取值范圍

x+a

【難度】★★【答案】-2

【例10］已知函數(shù)/(%)=x2+2左X—2,/(幻在(1,2］u［6,8)存在反函數(shù)，則左的取值范圍。

強(qiáng)調(diào)：反函數(shù)存在的條件；

【難度】★★

【答案】左?—1或上W—8

【鞏固訓(xùn)練】

Z7—Y

1.已知/(%)=---------，且—1)的圖像的對(duì)稱中心是(0,3),則。=

X-(tz+1)

【難度】★★

【答案】2

2.求函數(shù)丫=必+2(尤之0)的反函數(shù)定義域。

【難度】★★

【答案】解：當(dāng)xNO時(shí)y=/+222,即丫=爐+2的值域是［2,+8),

y=/+2(%>0)的反函數(shù)的定義域?yàn)椋?,+8)。

注意：反函數(shù)的定義域?yàn)樵瘮?shù)的值域。

3.已知尸,x+in和y=nx-,互為相反數(shù)，求m,n的值。

23

解題策略：求其中一個(gè)函數(shù)的反函數(shù)，與另一個(gè)函數(shù)對(duì)應(yīng)項(xiàng)相同

【難度】★★

［答案］解：由y=Lx+m得x=2y-2m,

2

Ay=—x+m的反函數(shù)是y=2x-2m（xeR）.

由題設(shè)y=2x-2m與y=nx--表示同一函數(shù),

2—n1

m——

從而有＜C1得＜6

—2m=——

3n—2

注意：一個(gè)函數(shù)的反函數(shù)是唯一確定的。

4.點(diǎn)（1,2）即在圖像上，又在其反函數(shù)的圖像上，求a與b的值。

解題策略：（2,1）點(diǎn)也在函數(shù)圖像上，待定系數(shù)法求a,b

【難度】★★

【答案】解：點(diǎn)（1,2）在反函數(shù)圖像上，則點(diǎn)（2,1）在原函數(shù)丫=疝與上，又點(diǎn)（1,2）也在丫=疝萬

y/a+b=2d——3

上，有＜解得I

s]2a+b=1

注意：點(diǎn)（a,b）在y=L（X）圖像上，貝!］（b,a）一定在y=f（x）圖像上

6.已知f（x）=%2-1（%w一2）,求廣（4）。

【難度】★★

【答案】解題策略：廣（4）中的“4”應(yīng)為f（x）的一個(gè)函數(shù)值，（4）就是對(duì)應(yīng)的自變量值

解：令f(x)=/T=4得/=5又xW—2

得x=—6，r(4)=-V5

注意:先求/T(x),再求/T(4)也可，但不如利用互為反函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則之間的關(guān)系簡(jiǎn)單。

二、求函數(shù)反函數(shù)的問題

尤+5

【例11］求函數(shù)y=-----的反函數(shù)

“2x-l

【難度】★★

【答案】解題策略：按求反函數(shù)的常規(guī)步驟求解。

1-1

14

--+

21oyeR且y豐-

X

-2-

由y=x+50(2xT)y=x+5=>(2y-l)x=5+y=>%==>原函數(shù)反函數(shù)為丁=/"(%)二

2x-l2y-l

三且xwg］注意：要養(yǎng)成標(biāo)明反函數(shù)定義域習(xí)慣：仿本例做法如y=￡，(cwO)的函數(shù)值

域?yàn)椴?y/e氏1。

【例12］求函數(shù)y=/-8x+13(xW4)的反函數(shù)

【難度】★★

【答案】解題策略：按求反函數(shù)的常規(guī)步驟求解。

解：由y=x2-8x+13ny=(x-4)~-3Xx<4=>y>-3

由y=(x-4y-3=>(x-4y=y+<4=>x-4=-Jy+3=^>x=4-Jy+3n

原函數(shù)的反函數(shù)為y=—JU+4(x2—3)

注意：又y=f(x)解出x=/T(y)時(shí)遇到開平方，要根據(jù)x的范圍確定取“+”號(hào)還是取號(hào)。

x2-1(%>0)

【例13】求函數(shù)f(x)=〈〉:的反函數(shù)

2x-l(x<0)

【難度】★★

【答案】解題策略：按分段函數(shù)的反函數(shù)分段來求。

解：⑴由y=x2—l(x20)=>yAi,

由=y+l=>九=Jy+1y=X20)的反函數(shù)是

y=Jx+1(尤N-1)

(2)由y=2x-l(x<0)=>y<T,

由y=2xTnx=ny=2x-l(x>0)的反函數(shù)為

y=；(x+i)(x<—i)

Jx+1(xN-1)

由⑴(2)知，原函數(shù)的反函數(shù)為廣i(x)=h

5(x+l)(x<T)

注意：分段函數(shù)的反函數(shù)要寫成分段函數(shù)形式。

2

【例14】已知函數(shù)f(x-l)=%-2x+3(xWO),求廣'(X)

【難度】★★

【答案】先求f(x),再求/T(x)

解：f(xT)=(x-l)一+2(x—1<-1)=>于(x)=x1+2(x<-1)=>f(x)e(3,+oo)

又由y=必+2=>%2=y-2=>x=-Jy-2=>

原函數(shù)的反函數(shù)為y=->Jx-2(x>3)

注意：外函數(shù)定義域?yàn)閮?nèi)函數(shù)值域。

【例15】已知公)=在3,求廣《)

【難度】★★

【答案】首先求f(x),在求尸⑺，最后求廣(；)

2Y+331

解：/(-)=------=2+—,???/(%)=2+—(%w0)彳秀(尤)w2

3xxx

令,=2+工得x=4,.?.尸(x)=」("2)二"[f[===?(”.)?

%y-2x-2—2

注意：,=尸上(切不是,=/［8(切的反函數(shù)，函數(shù)y=7-［g(X)］表示將函數(shù)丁=尸(耳中用

g(x)來代替x而得到的解析式，因此求1rlg(x)］時(shí)，應(yīng)先求出/-(九)，再將其中的x用g(x)代替。

X-1C

【例16］已知函數(shù)f(x)=(——)2(x>l)

X+1

(1)求丫=「1/)的表達(dá)式

設(shè)g(x)=—^―+6+2,求g(x)的最小值及相應(yīng)的尤值

(2)

t(X)

(3)若不等式(l-?)/T(x)>a(a-?)對(duì)區(qū)間x恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍

【難度】★★★

【答案】(1)/-1(%)=-^^(0<x<l)

l-yjx

⑵當(dāng)尤=3—20時(shí)，g(x)1111n=20

3

(3)ClG(―1,—)

2

【鞏固訓(xùn)練】

1.函數(shù)y=J：(xWO)的反函數(shù)是()

(A)>=—(x>0)(B)>=—_?(x>0)

(C)y=f(x<0)(D)>=--(x<0)

【難度】★★

【答案】B本題考查反函數(shù)概念及求法，由原函數(shù)xWO可知AC錯(cuò),原函數(shù)yNO可知D錯(cuò)，選B.

2.若函數(shù)y=/(x)是函數(shù)y="(a〉O,且awl)的反函數(shù)，且/(2)=1,則/(x)=()。

A.log2^B.—c.陛產(chǎn)D.2>2

2*2

【難度】★★

【答案】A函數(shù)丁=優(yōu)(?！?,且awl)的反函數(shù)是/(x)=log,x,又/⑵=1,即log02=l,

所以，a=2,故/(x)=log2X,選A.

3.若函數(shù)y=/(x)是函數(shù)y=a%a〉O,且awl)的反函數(shù)，其圖像經(jīng)過點(diǎn)(、后,。)，則/(x)=()。

A.log,xB.logl%C.—D.x2

22X

【難度】★★

【答案】B/(x)=logfl%,代入(G,a),解得a=[,所以/(x)=l°gj_x,選B.

22

4.已知函數(shù)/(x)的反函數(shù)為g(x)=l+21gx(x>0),則/⑴+g(l)=()o

(A)0(B)1(C)2(D)4

【難度】★★

【答案】由題令l+21gx=l得x=l,即=又g(l)=l,所以f(l)+g(l)=2,故選擇C。

5.設(shè)a為非零實(shí)數(shù)，函數(shù)y=匕竺(xeR,且xH-工)的反函數(shù)是()。

\+axa

A、y=-一竺(%￡氏且B、y=巨■竺(尤￡R,且xw一工)

1+axa1—axa

C、(二I—%(%]7?,且%上1)D、y=~~~~—(XG7?,5Lx^-1)

a(\-x)a(l+%)

【難度】★★

【答案】D

由原函數(shù)是yn12左(xe凡且XW—工)，從中解得彳=:一y、(yeR,且y#_l)即原函數(shù)的反函數(shù)是

1+axa。(1+>)

x=」(yeR,且"-1),故選擇D

a(l+y)

6.函數(shù)y=Jx-l+1(x》l)的反函數(shù)是

A.y=x2—2x+2(x<l)B.y=x2—2x+2(x21)

C.y=x2—2x(x<l)D.y=x2—2x(x21)

【難度】★★

【答案】By-y/x-i+1(xNl)=>y'l,反解x=>x=(y—1)2+1=>x=y2—2y+2x、y互換n

y=x2—2x+2(x》l).

三、反函數(shù)的性質(zhì)及綜合應(yīng)用

【例17］設(shè)函數(shù)y=/(x)存在反函數(shù)y=/T(x),且函數(shù)y=x—/(x)的圖象過點(diǎn)(1,2),則函數(shù)

y=/T(x)-x的圖象一定過點(diǎn).

【難度】★★

【答案】(-1,2)

【例18】函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)(1,2)對(duì)稱，且存在反函數(shù)/T(x),/(4)=0,則廣1(4)=

【難度】★★

【答案】2

【例19］己知a是方程%3+*+2=0的根，夕是方程爐+x+2=0的根，/(%)=(%+?)(%+/?),判

斷/(0)J⑴,/(2)的大小。

【難度】★★

【答案】/(1)</(0)=/(2)

【例20］/(1)=4、+2^+1的反函數(shù)為/T(%),貝iJ/T(x)<0的解集

【難度】★★

【答案】⑶7)

【例21】設(shè)f(x)是定義在R上的任意一個(gè)增函數(shù)，F(xiàn)(x)=f(x)-f(-x),那么尸1尤)必為()

(A)增函數(shù)且奇函數(shù)(B)增函數(shù)且偶函數(shù)

(C)減函數(shù)且奇函數(shù)(D)減函數(shù)且偶函數(shù)

【難度】★★

【答案】解題策略：利用反函數(shù)和原函數(shù)單調(diào)性，奇偶性一致來解

解：任意xdR,：F(-X)=f(-x)-f(x)=-F(x),

；.F(x)是奇函數(shù)，

f(x)為R上增函數(shù),-f(-x)也是R上增函數(shù)。

；.F(x)為R上增函數(shù)。

???尸乂尤)是奇函數(shù)，且是增函數(shù)，故選(A)

注意：由函數(shù)單調(diào)性知f(-x)為R上減函數(shù)，故-f(-x)也是R上增函數(shù)。

【例22］已知f(x)=2;I丫

(1)求f(x)的反函數(shù)；-Fx

(2)若f(x)=y1(X),求a的值。

(3)如何作出滿足(2)中條件的丁=尸(力的圖像

【難度】★★

【答案】解題策略：按常規(guī)思路解題。

2尤+1

解：（1）由丫=-----得X：

y-2

，f（x）的反函數(shù)為廣1（尤）=匕竺（xW2）

x—2

/\_1/\口r2%+11-CLX.

(2)右f(x)=fr(%),即-----=------，得々=—2。

x+ax-2

2x+12(%-2)+55

（3）當(dāng)〃二一2時(shí)，y=f（x）=廣（%）=-------=---------------=2-1------

只需要將反比例函數(shù)y=*圖像向右平移2個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位，即得y=/T（x）圖像。

X

/JY+卜

注意：畫形如函數(shù)y=------（cwO）的圖像常采用分離常數(shù)法將其變形為

bdbe-ad

XH-------F

a2

ac=]+』r’然后利用反比例函數(shù)圖像平移變換得至u。

【例23】設(shè)點(diǎn)M（1,2）即在函數(shù)f（x）=ax2+b（x?0）的圖像上，又在它的反函數(shù)廣（X）的圖像上。

⑴求尸（X）

（2）證明廣|（九）在其定義域上是減函數(shù)

【難度】★★

【答案】解題策略：（1）利用待定系數(shù)法（2）利用單調(diào)性定義

解：（1）依題意（2,1）點(diǎn)也在f（x）=a—+b上，

a+b=2217

解得「?于(x)=-§元2+§(冗2o)

4〃+Z?=1

i77

由丫=%20）得y〈耳及x?=7—3y

x=j7-3y于是尸（x）=,7—3y[x＜

（2）證明：任意對(duì)々e「co,g，且為＜々，

則尸（當(dāng)尸尸?。?47-3%-47-3x2=-r2^一—〉0

ii

廣（為）＞r（%2）即r（%）在定義域上是減函數(shù)。

注意：?jiǎn)握{(diào)性證明要用定義。

【例24】給實(shí)數(shù)&（awO,awl）,設(shè)函數(shù)y=工^1%6R,且xw，],

ax-11aJ

（1）證明：這個(gè)函數(shù)的圖像關(guān)于直線y=x成軸對(duì)稱圖形

（2）若函數(shù)圖像與直線y=x無公共點(diǎn)，求口的取值范圍

【難度】★★★

【答案】解題策略：（1）只需要證明f（x）=f-1（x）（2）運(yùn)用方程思想

X—11

解：（1）由丁=-----得yW—及（"一l）y=x—1,

ax-1a

得（ax-l）%=y-1,得九二――

ay-1

x-1(1)—-fx-1f1

即丁=----%w一的反函數(shù)仍為y=x豐一

ax-lya)ax-lya

由于y=f（x）與y=廣（x）圖像關(guān)于直線y=x對(duì)稱，所以函數(shù)

y=xeR,且xW4]的圖像關(guān)于直線y=x成軸對(duì)稱圖形。

ax-lyaJ

y=x

(2)依題意，方程組1x-1(無解，

，二—7九~

6ZX-1VCI)

JQ—]

即-----=x無解，也就是a/-2x+l=0無解，：aWO,

ax-v

...得△=4-4a<0即a>l為所求a的取值范圍。

注意：解題要善于轉(zhuǎn)化，找到解題突破點(diǎn)。

2x+3

【例25】設(shè)y=f(x)=-y=g(x)的圖像與y=L(%+1)的圖像關(guān)于直線y=x對(duì)稱，求g(3)的值。

X—1

【難度】★★

【答案】解題策略：丫=8&)為丫=/-(1+1)反函數(shù)，求/T(X+1)反函數(shù)，尋找y=g(x)與f(x)的關(guān)系。

7

解：由y=/T(X+1)得x+l=f(y).得x=f(y)T即y=g(x)=fg(3)=f(3)-1=—.

注意：靈活運(yùn)用反函數(shù)定義，找出原函數(shù)與反函數(shù)關(guān)系，使解題變的簡(jiǎn)單明了。

【例26】設(shè)定義域?yàn)镽的函數(shù)/(幻，g(x)都有反函數(shù)，并且函數(shù)/(X+D和gi(x-2)的圖像關(guān)于直線丁=工

對(duì)稱，若g(5)=2005,那么/(6)=

【難度】★★★

【答案】解：函數(shù)/(x+1)和gT(x-2)的圖像關(guān)于直線丫=》對(duì)稱，

這說明若點(diǎn)(a,b)在函數(shù)/(x+1)圖像上，即：6=/(a+l)；

那么點(diǎn)(b,a)在函數(shù)gi(x-2)的圖像上,即：a=g-\b-2).

現(xiàn)在g(5)=2005,即：g-1(2005)=5,a=5,6=2007,

所以b=/(a+l)即2007=/(5+1)。所以“6)=2007。

【例27】已知/(x)=l-五，求它與反函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)

強(qiáng)調(diào)：原函數(shù)與反函數(shù)有交點(diǎn)，則交點(diǎn)不一定都在y=x上。

【難度】★★

【答案】(1,0)或@1)

【例28]對(duì)區(qū)間I上有定義的函數(shù)g(x),記g(/)={y|y=g(x),xe/},已知定義域?yàn)閇0,3]的函數(shù)

y=/。)有反函數(shù)＞=/7(》)，且/T([0/))=[L2),/T((2,4])=[0,1),若方程/(x)—x=0有解%,則

xo=---

【難度】★★★

【答案】2

【鞏固訓(xùn)練】

1.記函數(shù)＞=1+3-*的反函數(shù)為y=g(x),則g(10)=()

(A)2(B)-2(C)168(D)192

【難度】★★

【答案】解：依題意可令1+3-”=10得3r=32

.\x=-2.'.選(B)

2.已知函數(shù)y=/(x)的反函數(shù)是y=/"(%),則y=/(2x-l)的反函數(shù)為

【難度】★★

-/-1(x)+l

【答案】y=Jy—

3.定義在R上的函數(shù)/(%)的最小正周期為T,若函數(shù)y=/(X),XG(0,7)時(shí)有反函數(shù)y=/-1(x),xeD,

則函數(shù)y=/(x),xe(T,2T)的反函數(shù)為()

A.y-eDB.y-f~x(x)+T,%eD

C.y-f~l(x+T),xeDD.y-/-1(x-T),xeD

【難度】★★

【答案】B

4.若函數(shù)y=Jx-工與其反函數(shù)的圖像有公共點(diǎn),求機(jī)的取值范圍。

【難度】★★

【答案】m<-

4

5./(x)=x2-x

(1)證明：函數(shù)/"(X)有反函數(shù)，并求出反函數(shù)

(2)反函數(shù)的圖像是否經(jīng)過點(diǎn)(0,1)?反函數(shù)的圖像與y=x有無交點(diǎn)？

(3)設(shè)反函數(shù)y=『(x),求不等式M(x)<0的解集

【難度】★★★

【答案】(1)/'(x)在(0,+00)上單調(diào)遞增，所以有反函數(shù)，廣⑴二+可+4+2(XGH)

1_2

(2)過(0,1),無交點(diǎn)(利用x2-%2=x無解)

(3)0

反思總結(jié)

1、函數(shù)反函數(shù)成立的條件：對(duì)值域A中任意一個(gè)y值，在定義域。中總有唯一確定的x值與它對(duì)應(yīng)，即x

與y必須---■對(duì)應(yīng)；

2、分段函數(shù)求反函數(shù)：把每一段的反函數(shù)分別求出來；

3、若點(diǎn)“①力)在y=/(x)圖像上，則y=/T(x)圖像上必有“’(仇。).

課后練習(xí)

1.函數(shù)y=J耳(x<0)的反函數(shù)是()

(A)>=_?(x>0)(B)>=-爐(x>0)

(C)y-x2(x<0)(D)y--x2(x<0)

【難度】★★

【答案】B

2.若函數(shù)y=/(x)是函數(shù)丁=優(yōu)(。〉0,且awl)的反函數(shù)，且/(2)=1,則/(x)=()。

logX

A.log2XB.—C.lD.2*-2

22

【難度】★★

【答案】A

【解析】函數(shù)y=a%a〉0,且aw1)的反函數(shù)是/(x)=log.%,又"2)=1,即log“2=1,

所以,a=2,故/(x)=log2x，選A.

3.若函數(shù)y=/(x)是函數(shù)y=/(a>0,且awl)的反函數(shù)，其圖像經(jīng)過點(diǎn)(々，①，則/(%)=()。

A.log"B,地產(chǎn)C.3D.x2

■22

【難度】★★

【答案】B

【解析】/(x)=log,x,代入(G,a),解得a=《，所以/(x)=l°g[X,選B.

22

4.已知函數(shù)/(x)的反函數(shù)為g(x)=l+21gx(x>0),則/⑴+g(l)=()。

(A)0(B)1(C)2(D)4

【難度】★★

【答案】C

【解析】由題令l+21gx=l得x=l,即=又g(l)=l,所以f(l)+g(l)=2,故選擇C。

無￡氏且九。-1)的反函數(shù)是()。

5.設(shè)a為非零實(shí)數(shù)，函數(shù)y—,(.

1+axa

\-axf1+ax,

A、yR,且尤w——)D>y—(AGR,月/w—)

1+axa1-axa

1+x/

C、y—GR,且%w1)D、y—(九￡尺且九。一1)

a(l+%)

【難度】★★

【答案】D

【解析】由原函數(shù)是y=F、(xeR,且XH—工)，從中解得兀=:一,(yeR,且yw—1)即原函數(shù)的反

i+axa

函數(shù)是x=、(yeR,且yw—l),故選擇D

a(l+y)

6.函數(shù)y=%2—2ax—3在區(qū)間[1,2]上存在反函數(shù)的充要條件是

A.ae(—8,i]B.ae[2,+°0)

C.aE[1,2]D.aE(-0°,1]U[2,+°0)

【難度】★★

【答案】D

【解析】存在反函數(shù)的充要條件是函數(shù)在[1,2]上是單調(diào)函數(shù)....aWl或a22.

7.函數(shù)〉=25+3。€夫)的反函數(shù)是()

12x—33—x12

A.y=log--B,=log——c.y=l1og——D.y=log--

2x-3222223-x

【難度】★★

【答案】A

2

【解析]由y=2一+3得1—x=log2(V—3),所以，反函數(shù)為y=l—log,(x—3),即為y=log,--

x-3

8.若函數(shù)"x)=log〃(P—2優(yōu)—2),則使/(x)v。成立的x的取值范圍是()

A.(—oo,0)B.(0,+oo)C.(-oo,loga3)D.(logfl3,+oo)

【難度】★★

【答案】C

【解析】由已知得產(chǎn)_2/—2>1，即⑷+1)(優(yōu)—3)〉0,優(yōu)〉3,所以，x<logfl3

9.已知集合A={x[k)g2XW2},B=(—8,a),若AUB,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

(c,+0°),其中c=.

【難度】★★

【答案】4

io.已知iog“5<1,那么。的取值范圍是.

【難度】★★

I

【答案】o<a<5或4>1

11.方程2*+x=2,Iog2x+x=2,2x=k>g2(—x)的根分別為。、b、c,則a、b、c的大小關(guān)系為.

【難度】★★

【答案】b>a>c

12.已知函數(shù)y=f(x)是奇函數(shù)，當(dāng)x》0時(shí)，f(x)=3X-1,設(shè)f(x)的反函數(shù)是y=g(x),貝建(—8)

【難度】★★★

【答案】-2

【解析】當(dāng)x>0時(shí)，一xVO,f(—x)=3—x—(x)是奇函數(shù)，.'.f(—x)=—f(x),即一f(x)

=3—x—L.*.f(x)=1—3—x.

fy-1fx>o,pog3(x+l)x>0,

..f(x)=<5..f—1(x)=5,c

-x

l-3[x<0.[-log3(l-x)x<0.

x

Af(-8)=g(-8)=-log3(1+8)=-log39=-2.

Y—5

13.已知函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱，求實(shí)數(shù)m.

2x+m

【難度】★★

【答案】：f(x)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱，

又點(diǎn)(5,0)在f(x)的圖象上，

...點(diǎn)(0,5)也在f(x)的圖象上，

即一9=5,得m=—1.

m

14.已知函數(shù)f(x)=a+bx^(b>0,bWl)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(1,3),函數(shù)fT(x+q)(a>0)的圖象經(jīng)過

點(diǎn)(4,2),試求函數(shù)/T(X)的表達(dá)式.

【難度】★★

【答案】?..函數(shù)f(x)(b>0,b#l)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(1,3),

."+6°=3,。=3—6°=3—1=2.又函數(shù)/t(x+a)(a>0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(4,2),

二y1(4+a)=2.

f(2)=4+a=4+2=6,即2+/?2T=6.，b=4.

故f(x)=2+4，T.再求其反函數(shù)即得/T(x)=bg4(x—2)+1(x>2).

15.已知函數(shù)f(x)=2)(。>0,且qWl).

2ax+1

（1）求函數(shù)y=f（x）的反函數(shù)y=/T（x）；

（2）判定/T（X）的奇偶性;

（3）解不等式/T（X）>L

【難度】★★★

ax-l1±2.i+y

【答案】（1）化簡(jiǎn)，得f（x）-----.設(shè)y=-——-，則q*1-y"xl°g“1-y.

a