2024屆高中數(shù)學(xué)必修第三冊課件7.4.1二項(xiàng)分布

7.4.1二項(xiàng)分布

教材分析

本節(jié)課選自《2019人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊》，第七章《隨機(jī)變量及其分布列》，

本節(jié)課主本節(jié)課主要學(xué)習(xí)二項(xiàng)分布

前面學(xué)生已經(jīng)掌握了有關(guān)概率的基礎(chǔ)知識等可能事件概率、互斥事件概率、條件概率和相互

獨(dú)立事件概率的求法、也學(xué)習(xí)了分布列的有關(guān)內(nèi)容。二項(xiàng)分布是一種應(yīng)用廣泛的概率模型，是對前

面所學(xué)知識的綜合應(yīng)用。節(jié)課是從實(shí)際出發(fā)，通過抽象思維，建立數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而認(rèn)知數(shù)學(xué)理論，

應(yīng)用于實(shí)際的過程。

軟學(xué)目標(biāo)與被心素監(jiān)

課程目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)

A.理解伯努利試驗(yàn)以及n重伯努利試驗(yàn)的1.數(shù)學(xué)抽象：n重伯努利試驗(yàn)的概念

概念,掌握隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布的有關(guān)2.邏輯推理：二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量的均值和方差

計算；3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：二項(xiàng)分布的有關(guān)計算

B.能夠解決隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布的實(shí)際4.數(shù)學(xué)建模：模型化思想

應(yīng)用問題，會求服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量

的均值和方差.

重豆難點(diǎn)

重點(diǎn)：n重伯努利實(shí)驗(yàn)，二項(xiàng)分布及其數(shù)字特征；

難點(diǎn)：在實(shí)際問題中抽象出模型的特征，識別二項(xiàng)分布.

課前發(fā)備

多媒體

敢學(xué)過程

教學(xué)過程教學(xué)設(shè)計意圖

核心素養(yǎng)目標(biāo)

一、問題導(dǎo)學(xué)

通過具體的問題

情境，引發(fā)學(xué)生思

考積極參與互動，

說出自己見解。從

而引入的n重伯努

利試驗(yàn)的概念，發(fā)

展學(xué)生邏輯推理、

數(shù)學(xué)IS算、數(shù)學(xué)抽

象和數(shù)學(xué)建模的核

心素養(yǎng)。

.中靶或脫靶，醫(yī)學(xué)檢驗(yàn)結(jié)果為陽性或陰性等.我們把只包含兩個可能結(jié)果的試驗(yàn)叫做伯努利試驗(yàn)(Bernoullitrials).我們將一個伯努利試驗(yàn)獨(dú)立地重復(fù)進(jìn)行n次所組成的隨機(jī)試驗(yàn)稱為n重

伯努利試驗(yàn)

o顯然，n重伯努利試驗(yàn)具有如下

共同特征

(

叵

箕

樹

量

)

"

盡

u

適

婀

解

禽

短

=

火

涿

瑪

<-—

叵

(

)一

.

旨通過問題分析，

意讓學(xué)生掌握二項(xiàng)分

聞

箕布的概念及其特

咪

生點(diǎn)。發(fā)展學(xué)生邏輯

2

推理，直觀想象、

幽

抵?jǐn)?shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)

日

期算的核心素養(yǎng)。

(

o

d

畬

G短

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口

腳

=

我

儂

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雷

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4型

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0

g

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強(qiáng)

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腳

一

長

的

瞰

搟

豪

宅

<

^

通過典例解析，

9

在具體的問題情境

呆

e中，深化對二項(xiàng)分

2郵布的理解。發(fā)展學(xué)

:

3生邏輯推理，直觀

癥想象、數(shù)學(xué)抽象和

.

X數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素

杷

.

廖養(yǎng)。

短

4季-

4

女

d

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瞰

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W

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與

—

*

隨機(jī)是否為n重伯伯努利試驗(yàn)重復(fù)試驗(yàn)

1試驗(yàn)努利試驗(yàn)0的次數(shù)

1是拋擲一枚質(zhì)地均勻0.510

的硬幣

2是某飛碟運(yùn)動員進(jìn)行0.83

射擊

3是從一批產(chǎn)品中隨機(jī)0.920

抽取一件5

二、探究新知

探究1：伯努利試驗(yàn)和n重伯努利試驗(yàn)有什么不同？

伯努利試驗(yàn)是一個“有兩個結(jié)果的試驗(yàn)”，只能關(guān)注某個事件發(fā)

生或不發(fā)生；n重伯努利試驗(yàn)是對一個“有兩個結(jié)果的試驗(yàn)”重復(fù)進(jìn)

行了n次，所以關(guān)注點(diǎn)是這n次重復(fù)試驗(yàn)中“發(fā)生”的次數(shù)X.進(jìn)一步

地，因?yàn)閄是一個離散型隨機(jī)變量，所以我們實(shí)際關(guān)心的是它的概

率分布列.

問題2：某飛碟運(yùn)動員每次射擊中靶的概率為0.8.連續(xù)3次射擊，中

靶次數(shù)X的概率分布列是怎樣的？

用A表示“第i次射擊中靶”(i=l,2,3),用如卜圖的樹狀圖表示試

I

驗(yàn)的可能結(jié)果:

試驗(yàn)結(jié)果X的值

A|A,A3-----------3

AJAJAJ2

A/2A32

A1A：A31

AiA2A32

——AiA2A31

_______AiA2A3]

—A.A2A3-----0

由分步乘法計數(shù)原理，3次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)共有23=8種可能結(jié)

果，它們兩兩互斥，每個結(jié)果都是3個相互獨(dú)立事件的積，由概率

的加法公式和乘法公式得

P(X=0)=哂向&)=0.23,

P(X=1)=「(4彳2彳3)+「(44力3)+2(4仙3)=3X0.8X0.22,

P(X=2)=PGM243)++PGM2A3)=3x0.82X0.2,

P(X=3)=PG4IA243)=0,83.

為了簡化表示，每次射擊用1表示中靶，用0表示脫靶，那么3次

射擊恰好2次中靶的所有可能結(jié)果可表示為011,11(),101,這三

2

個結(jié)果發(fā)生的概率都相等，均為(18x0.2,并且與哪兩次中靶無關(guān).

因此,3次射擊恰好2次中靶的概率為或x0.82x02同理可求中靶0

次,1次,3次的概率.

于是，中靶次數(shù)X的分布列為：

p(x=fc)=x0.8kx0.23-k,k=0,1,2,3

探究2：如果連續(xù)射擊4次，類比上面的分析，表示中靶次數(shù)X等

于2的結(jié)果有哪些？寫出中靶次數(shù)X的分布列.

(1)表示中靶次數(shù)X等于2的結(jié)果有：4A2A3A4,4A2A3

4IA，2A3A4,A142^3^4,414243A4,Ai人24384,共6個。

⑵中靶次數(shù)X的分布列為：p(x=/t)=c^xo.8kxo.24-k,k=

0,1,2,3,4

二項(xiàng)分布

一般地，在n重伯努利試驗(yàn)中，設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的

概率為p(0<p<l),用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，則X的分布列為

P(X=k)=片xpkx(1-p)n-k,k=0,1,

如果隨機(jī)變量X的分布列具有上式的形式，則稱隨機(jī)變量X服從二

項(xiàng)分布(binomialdistribution),記作X~B(〃,p).

?

X0一7?

1—1.knk.

dC：P°9c.pqC[pq-C：p"q。

?件7發(fā)嶇的?率

思考1：二項(xiàng)分布與兩點(diǎn)分布有何關(guān)系？

兩點(diǎn)分布是一種特殊的二項(xiàng)分布，即是n=l的二項(xiàng)分布；二項(xiàng)分布

可以看做兩點(diǎn)分布的一般形式.

思考2：對比二項(xiàng)分布和二項(xiàng)式定理，你能看出他們之間的聯(lián)系

嗎？

如果把p看成b,1-p看成a,則瑞xp"x(1-p)nf就是二項(xiàng)式

［(l-p)+p『的展開式的通項(xiàng)，由此才稱為二項(xiàng)分布。

即P(x=k)=Sk=oCXpkx(1-p)n-k=［p+(1-p)］n=1

三、典例解析

例1：將一枚質(zhì)地均勻的硬幣重復(fù)拋擲10次，求：

(1)恰好出現(xiàn)5次正面朝上的概率；

(2)正面朝上出現(xiàn)的頻率在［0.4,0.6］內(nèi)的概率.

分析:拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，出現(xiàn)“正面朝上'’和"反面朝上”兩種結(jié)

果且可能性相等，這是一個10重伯努利試驗(yàn)，因此，正面朝上的次數(shù)服

從二項(xiàng)分布。

解：設(shè)A="正面朝上”，則P(A)=0.5.用X表示事件A發(fā)生的次

數(shù)，X~B(10,0.5).

(1)恰好出現(xiàn)5次正面朝上等價于X=5,于是

P(X=5)=CfxO.510;

、701024256

(2)正面朝上出現(xiàn)的頻率在［0.4,0.6］內(nèi)等價于4SXW6,于是

672

P(4<X<6)=xO.510+武。xO.510+CfxO.510=——

01024

21

=32-

例2：如圖是一塊高爾頓板的示意圖.在一塊木板上釘著若干排相互

平行但相互錯開的圓柱形小木釘，小木釘之間留有適當(dāng)?shù)目障蹲鳛?/p>

通道，前面擋有一塊玻璃，將小球從頂端放入，小球下落的過程

中，每次碰到小木釘后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部

的格子中.格子從左到右分別編號為0,1，2，…，10,用X表示小

球最后落入格子的號碼，求X的分布列。

分析：小球落入哪個格子取決于在下落過程中與各小木釘碰撞的結(jié)

果，設(shè)試驗(yàn)為觀察小球碰到小木釘后下落的方向，有“向左下落''和"向

右下落”兩種可能結(jié)果，且概率都是05在下落的過程中，小球共碰撞

小木釘10次，且每次碰撞后下落方向不受上一次下落方向的影響，因

此這是一個10重伯努利試驗(yàn)，小球最后落入格子的號碼等于向右落

下的次數(shù)，因此X服從二項(xiàng)分布。

解：設(shè)A="向右下落”,則展“向左下落”,且P(A)=P(/)=0.5.因?yàn)樾?/p>

球最后落入格子的號碼X等于事件A發(fā)生的次數(shù)，而小球在下落的

過程中共碰撞小木釘10次，所以X?B(10,0.5).于是，X的分布

10

列為P(X=k)=C^oxO.5,k=0,1,

X的概率分布圖如下圖所示:

A

二項(xiàng)分布中需要注意的問題和關(guān)注點(diǎn)

(1)當(dāng)X服從二項(xiàng)分布時，應(yīng)弄清X?8(",P)中的試驗(yàn)次數(shù)〃與成

功概率p.

(2)解決二項(xiàng)分布問題的兩個關(guān)注點(diǎn)

①對于公式尸(X=A)=C+pk(l-p)")(%=(),1,2,〃)，必須

在滿足“獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)”時才能應(yīng)用，否則不能應(yīng)用該公式.

②判斷一個隨機(jī)變量是否服從二項(xiàng)分布，關(guān)鍵有兩點(diǎn)：一是對立性，

即一次試驗(yàn)中，事件發(fā)生與否兩者必有其一；二是重復(fù)性，即試驗(yàn)是

獨(dú)立重復(fù)地進(jìn)行了〃次.

例3：甲、乙兩選手進(jìn)行象棋比賽，如果每局比賽甲獲勝的概率為

0.6,乙獲勝的概率為0.4,那么采用3局2勝制還是采用5局3勝

制對甲更有利？

分析:判斷哪個賽制對甲有利，就是看在哪個賽制中甲最終獲勝的概率

大,可以把“甲最終獲勝”這個事件,按可能的比分情況表示為若干事件

的和，再利用各局比賽結(jié)果的獨(dú)立性逐個求概率;也可以假定賽完所有

n局，把n局比賽看成n重伯努利試驗(yàn)，利用二項(xiàng)分布求“甲最終獲勝”

的概率。

解法一：采用3局2勝制，甲最終獲勝有兩種可能的比分2：0或

2：1,前者是前兩局甲連勝，后者是前兩局甲、乙各勝一局且第3

局甲勝.因?yàn)槊烤直荣惖慕Y(jié)果是獨(dú)立的，甲最終獲勝的概率為Pi=

0.62+6x0.62x0.4=0.648.

類似地，采用5局3勝制，甲最終獲勝有3種比分3：0,3：1或

3：2因?yàn)槊烤直荣惖慕Y(jié)果是獨(dú)立的，所以甲最終獲勝的概率為P2=

0.63+C]x0.63x0.4+Cfx0.63x0.42=0.68256.

解法2：采用3局2勝制，不妨設(shè)賽滿3局，用X表示3局比賽中

甲勝的局?jǐn)?shù)，則X?B(3,0.6).甲最終獲勝的概率為

Pi=P(X=2)+P(X=3)=Cjx0.62X0.4+/x0.63=0.648.

采用5局3勝制，不妨設(shè)賽滿5局，用X表示5局比賽中甲勝的局

數(shù)，

則X?B(5,0.6).

甲最終獲勝的概率為P2=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)

=凄x0.63x0.42+C/x0.64x0.4+Cfx

0.65=0.68256

因?yàn)镻2>Pi，所以5局3勝制對甲有利.實(shí)際上，比賽局?jǐn)?shù)越多，對

實(shí)力較強(qiáng)者越有利.

探究3：假設(shè)隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布B(n,p),那么X的均值和

方差是什么？

(1)當(dāng)n=l時，X服從兩點(diǎn)分布，分布列為P(X=0)=1-

p,P(X=1)=p.均值和方差分別為E(X)=p;D(X)=p(l-

P).

(2)當(dāng)n=2時，X的分布列為P(X=0)

=(1-p)2,P(X=1)=2p(l-p),

P(X=2)=p2.均值和方差分別為E(X)

=0x(1-p)24-1x2p(1-p)4-2xp2

=2p.D(X)

=02x(1-p)2+l2x2p(1-p)+22xp2

—(2p)2=2p(1—p).

一般地，如果X~B(n,p),那么E(X)=np;D(X)=np(Lp).

kkn-k

證明：-：P(X=k)=Cpq

n

kk-l

(VkC=nC)

nn-1

kkn-kk-lk-1n-k

，kP(X=2)=kCpq=npCpq

nn-1

00n11n-l22n-2kkn-k

E(X)=OxCpq+IxCpq+2xCpq+…+AxCpq+…+

nnnn

nn0

〃xCpq

n

00n-111n-2k-1k-l(n-l)-(k-I)n-1n-

=np(Cpq+Cpq+...+Cpq+...+Cp

n-1n-1n-1n-1

10n-1

q)=np(p+q)=np

例4.一次數(shù)學(xué)測驗(yàn)由25道選擇題構(gòu)成，每道選擇題有4個選項(xiàng)，其

中有且僅有一個選項(xiàng)是正確的，每道題選擇正確得4分，不作出選擇

或選錯不得分，滿分100分，某學(xué)生選對任一題的概率均為0.6,求

此學(xué)生在這一次測驗(yàn)中的成績的數(shù)學(xué)期望和方差.

解析：設(shè)該學(xué)生在這次數(shù)學(xué)測驗(yàn)中選對答案的題目的個數(shù)為0所得

的分?jǐn)?shù)為口，

由題意知，旦=隹，且自?B(25,0.6),

則E(9=25X0.6=15,D(^)=25XO.6X(1-0.6)=6.

故E(i])=E(49=4EC)=60,D(i])=D(4c)=42xD(^)-96.

所以該學(xué)生在這一次測驗(yàn)中的成績的數(shù)學(xué)期望與方差分別是

60和96.

三、達(dá)標(biāo)檢測

1.某射擊選手每次射擊擊中目標(biāo)的概率是0.8,這名選手在10次射擊通過練習(xí)鞏固

中，恰有8次擊中目標(biāo)的概率為()

8282本節(jié)所學(xué)知識，通過

A.Cf0X0.8X0.2B.0.8X0.2

C.CjoX0.28X0.82D.0.28X0.82學(xué)生解決問題，發(fā)展

解析：設(shè)X為擊中目標(biāo)的次數(shù)，則X?B(10,0.8),

這名選手在10次射擊中，恰有8次擊中目標(biāo)的概率為P(X=8)=學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏

日oXO.88X(1-O.8)2=C^X0.88X0.22.故選A.

O輯推理、直觀想象、

答案：4

數(shù)學(xué)建模的核心素

2.已知X是一個隨機(jī)變量，若X?8(6,￡),則P(X=2)等于()

養(yǎng)。

A—R———8⑷0

A?16243J243D.

解析：由題意知n=6,p=|,

24

故或?

P(X=2)=x(J)2x(]-§62XX

.故選D.

答案：D

3.已知X?B(〃，p),E(X)=8,D(X)=1.6,則“=,p=

解析：因?yàn)殡S機(jī)變量X?B(n,p),所以E(X)=np=8,D(X)=np(l-

p)=1.6,解得p=0.8,n=10.

4.甲、乙兩隊(duì)參加世博會知識競賽，每隊(duì)3人，每人回答一個問題，

答對者為本隊(duì)扁得一分，答錯者得零分.假設(shè)甲隊(duì)中每人答對的概率

均為|,乙隊(duì)中每人答對的概率分別為|,1|,且各人答對正確

與否相互之間沒有影響.用q表示甲隊(duì)的總得分.

(1)求隨機(jī)變量。的分布列.

(2)用A表示“甲、乙兩個隊(duì)總得分之和等于3”這一事件，用B表示

“甲隊(duì)總得分大于乙隊(duì)總得分”這一事件，求尸(A3).

解析：(1)由已知，甲隊(duì)中3人回答問題相當(dāng)于3次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn),

所以匕?B(3,§.

/2、3?

P6=0)=或X(l—?=27'

2(2、22

PC=1)=C3Xg=g,

24

--

39

P&=3)=6xg)=卷，

所以&的分布列為

g0123

1248

p

279927

⑵用C表示“甲得2分乙得1分”這一事件，用D表示“甲得3分乙得

0分”這一事件，AB=CUD,C,D互斥.

P?=6xg)2x(l-1)X(HX2+3X3X2+3X3X2)'

P(D)4(1-|)X(L￡)=擊.

10434

所以P(AB)=P(C)+P(D)=?+巒=243.

5.一出租車司機(jī)從某飯店到火車站途中有6個交通崗，假設(shè)他在各交

通崗遇到紅燈這一事件是相互獨(dú)立的，并且概率是(.

(1)求這位司機(jī)遇到紅燈數(shù)。的期望與方差.

(2)若遇上紅燈，則需等待30秒，求司機(jī)總共等待時間〃的期望與

方差.

解析：(1)易知司機(jī)遇上紅燈次數(shù)自服從二項(xiàng)分布，

且《?B(6,g),所以E《)=6x；=2,

D?=6x|x(l-g)=1.

(2)由已知n=30]所以E(i])=30E(9=60,D(n)=900D(