2023北師大版新教材高中數學選擇性必修第一冊同步練習-第六章 概率

2023北師大版新教材高中數學選擇性必修第一冊

第六章概率

（全卷滿分150分,考試用時120分鐘）

一、單項選擇題（本題共8小題,每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一

項是符合題目要求的）

1.若隨機變量X的分布列如下表所示:

X-1012

p0.2ab0.3

且EX=0.8,則a,b的值分別是（）

A.0.4,0.1B.0.1,0.4C.0.3,0.2D.0.2,0.3

2.從一副不含大小王的52張撲克牌（即A,2,3,10,J,Q,K不同花色的各4張）

中任意抽出5張，恰有3張A的概率是（）

A鬣8BA：8QD

篇2^52^52A微2

3.某盞吊燈上并聯(lián)著4個燈泡,如果在某段時間內每個燈泡能正常照明的概率都

是0.8,那么在這段時間內，該吊燈上的燈泡至少有兩個能正常照明的概率是

（）

A.0.8192B.0.9728C.0.9744D.0.9984

4.已知隨機變量X服從正態(tài)分布N（3,1）,且己2VXW4）亡0.6826,則

P（X>4）x（）

A.0.1588B.0.1587C.0.1586D.0.1585

5.排球比賽的規(guī)則是5局3勝制(5局比賽中，優(yōu)先取得3局勝利的一方,獲得最

終勝利,無平局)，在某次排球比賽中，甲隊在每局比賽中獲勝的概率都相等，均為

:，前2局中乙隊以2：0領先，則最后乙隊獲勝的概率是()

4

A.—91B.—9sC.-D.—37

1627864

6.設隨機變量CB(2,P),n~B(4,p),若PQNI),則P(n,l)=()

9

A.—B.—C.—D.—

81818181

7.現(xiàn)有4個人通過擲一枚質地均勻的骰子來決定去參加籃球或乒乓球的體育活

動,擲出點數為1或2的人去參加籃球活動,擲出點數大于2的人去參加乒乓球

活動.用X,Y分別表示這4個人中去參加籃球和乒乓球活動的人數,記W=|X-Y,

則隨機變量C的數學期望E1為()

.128口134八140148

A.--D.--C.--D.--

81818181

8.在東京奧運會乒乓球男子單打決賽中，中國選手馬龍戰(zhàn)勝隊友樊振東,奪得冠

軍.乒乓球決賽采用7局4勝制,在決勝局的比賽中，先得11分的運動員為勝方,

但打到10平以后,先多得2分者為勝方.在10：10平后,雙方實行輪換發(fā)球法，

每人每次只發(fā)1個球.若在決勝局比賽中，馬龍發(fā)球時馬龍得分的概率為|,樊振

東發(fā)球時馬龍得分的概率為各球的結果相互獨立,在雙方10：10平后,馬龍先

發(fā)球，則馬龍以13：11贏下決勝局的概率為()

A.-B.-C.-D.-

25257575

二、多項選擇題(本題共4小題,每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中,有多項符合

題目要求.全部選對的得5分,有選錯的得0分,部分選對的得2分)

9.設A,B為兩個隨機事件,則以下命題正確的為()

A.若A,B是互斥事件,P(A)=|,P(B)4則P(AUB)4

3Z6

B.若A,B是對立事件,則P(AUB)=1

C.若A,B是相互獨立事件,P(A)三,P(B)=|,則P(AB)三

D.若P(彳)=|,P(耳)=3P(IB)=：,則A,B是相互獨立事件

344

10.若隨機變量CN(0,1),6(x)=P(1Wx),其中x>0,則下列等式成立的有

()

A.A(-x)=l-(x)B.A(2x)=2。(x)

C.P(|口Wx)=26(x)-lD.P(|C|>x)=2-4)(x)

11.某射手射擊1次,擊中目標的概率是0.9,該射手連續(xù)射擊4次,且各次射擊是

否擊中目標相互之間沒有影響，則下列四個選項中，正確的是()

A.該射手第3次射擊擊中目標的概率是0.9

B.該射手恰好擊中目標3次的概率是0.93X0.1

C.該射手至少擊中目標1次的概率是1-0.14

D.該射手恰好連續(xù)2次擊中目標的概率為3X0.93X0.1

12.隨機變量W的分布列為

012

bb

Pa

22

其中abWO,則下列說法正確的是()

A.a+b=lB.EC=—

2

C.DC隨b的增大而減小D.DW有最大值

三、填空題(本題共4小題,每小題5分，共20分)

13.已知甲、乙兩球落入盒子的概率分別為杯畤.假定兩球是否落入盒子互不影

響，則甲、乙兩球至少有一個落入盒子的概率為.

14.甲、乙、丙、丁四名同學報名參加淮南文明城市創(chuàng)建志愿服務活動,服務活

動共有“走進社區(qū)”“環(huán)境監(jiān)測”“愛心義演”“交通宣傳”四個項目，每人限

報其中一項,記事件A為“4名同學所報項目各不相同”，事件B為“只有甲同學

一人報‘走進社區(qū)'項目”，則P(A|B)的值為.

15.假設某球隊在某賽季的任一場比賽中輸球的概率都等于p,其中0<p<l,且各

場比賽互不影響.令X表示連續(xù)9場比賽中出現(xiàn)輸球的場數,且令

p"k=O,1,2,…,9)代表9場比賽中恰有k場出現(xiàn)輸球的概率P(X=k).已知

p4+p5=^p6,則該球隊在這連續(xù)9場比賽中出現(xiàn)輸球場數的期望為.

16.“學習強國”新開通一項“爭上游答題”欄目，其規(guī)則如下：比賽兩局，首局

勝利積3分,第二局勝利積2分,失敗均積1分,某人每局比賽勝利的概率均為：，

設他參加一次答題活動得分為W,則E己=.

四、解答題(本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)

17.(本小題滿分10分)某中學在教工活動中心舉辦了一場臺球比賽，為了節(jié)約時間,

比賽采取3局2勝制.現(xiàn)有甲、乙兩人參賽,已知每局甲勝的概率為0.6,乙勝的

概率為0.4.求：

⑴這場比賽甲獲勝的概率；

(2)這場比賽在甲獲得比賽勝利的條件下，乙有一局獲勝的概率.

18.（本小題滿分12分）甲、乙兩人進行乒乓球比賽，規(guī)定比賽進行到有一人比另一

人多贏2局或打滿6局時比賽結束.設甲、乙在每局比賽中獲勝的概率均為玄各

局比賽相互獨立,用X表示比賽結束時的比賽局數.

⑴求比賽結束時甲只獲勝一局的概率；

⑵求X的分布列和數學期望.

19.(本小題滿分12分)某大學生命科學學院為激發(fā)學生重視和積極參與科學探索

的熱情和興趣,提高學生生物學實驗動手能力,舉行生物學實驗技能大賽.大賽先

根據理論筆試和實驗操作兩部分進行初試，初試部分考試成績只記“合格”與

“不合格”，只有理論筆試和實驗操作兩部分考試都“合格”者才能進入下一輪

的比賽.在初試部分，甲、乙、丙三人在理論考試中“合格”的概率依次為

在實驗操作考試中“合格”的概率依次為|,*去所有考試是否合格相互之間沒有

影響.

⑴假設甲、乙、丙三人同時進行理論筆試與實驗操作考試，誰進入下一輪比賽

的可能性最大？

(2)這三人進行理論筆試與實驗操作考試后,求恰有兩人進入下一輪比賽的概率.

20.（本小題滿分12分）“鍵盤俠”是指部分在現(xiàn)實生活中膽小怕事,而在網上占據

道德制高點發(fā)表“個人正義感”和“個人評論”的人群.某調查組織在某廣場上

邀請了10名男士和10名女士,并請他們談一下對“鍵盤俠”的認識,結果10名

男士中有的勺人認為“鍵盤俠”的出現(xiàn)是“社會進步的表現(xiàn)”，10名女士中有的勺

人也這樣認為，其他人都認為“鍵盤俠”的出現(xiàn)是“社會冷漠的表現(xiàn)”.

⑴從這些男士和女士中各抽取一人，求至少有一人認為“鍵盤俠”的出現(xiàn)是

“社會進步的表現(xiàn)”的概率；

⑵從這些男士和女士中各抽取兩人，求至少有兩人認為“鍵盤俠”的出現(xiàn)是

“社會進步的表現(xiàn)”的概率.

21.（本小題滿分12分）根據歷史資料顯示,某種慢性疾病患者的自然痊愈率為5%.

為試驗一種新藥,在有關部門批準后,醫(yī)院將此藥給10位病人服用，試驗方案為:

若這10人中至少有2人痊愈,則認為該藥有效,提高了治愈率;否則,認為該藥無

效.

⑴如果在該次試驗中有5人痊愈，院方欲從參加該次試驗的10人中隨機選2人

了解服藥期間的感受,記抽到痊愈的人的個數為X,求X的分布列及數學期望；

⑵如果新藥有效,將治愈率提高到了50%,求通過試驗卻認定新藥無效的概率p,

并根據P的值解釋該試驗方案的合理性.

（參考結論:通常認為發(fā)生概率小于5%的事件為小概率事件）

22.（本小題滿分12分）2020年國慶節(jié)期間，我國高速公路繼續(xù)執(zhí)行“節(jié)假日高速

公路免費政策”.某路橋公司為掌握國慶節(jié)期間車輛出行的高峰情況,在某高速

公路收費站點記錄了3日上午9:20~10:40這一時間段內通過的車輛數,統(tǒng)計發(fā)

現(xiàn)這一時間段內共有600輛車通過該收費站點,它們通過該收費站點的時刻的頻

率分布直方圖如下圖所示,其中時間段9:20?9:40記作［20,40),9:40*10:00記作

［40,60),10:00^10:20記作［60,80),10:20~10:40記作［80,100).例如：10點04

分,記作時刻64.

(1)估計這600輛車在9:20~10:40時間段內通過該收費站點的時刻的平均值(同

一組中的數據用該組區(qū)間的中點值作代表)；

⑵為了對數據進行分析,現(xiàn)采用分層抽樣的方法從這600輛車中抽取10輛,再

從這10輛車隨機抽取4輛,設抽到的4輛車中,在9:20~10:00之間通過的車輛

數為X,求X的分布列；

⑶根據大數據分析,車輛在每天通過該收費站點的時刻T服從正態(tài)分布

N(u,。,)，其中11可用3日數據中的600輛車在9:20?10:40之間通過該收費站

點的時刻的平均值近似代替，。2用樣本的方差近似代替.假如4日全天共有1

000輛車通過該收費站點，估計在9:46?10:40之間通過的車輛數(結果保留整數).

附:若隨機變量T服從正態(tài)分布N(u,。2),則P(p-。〈TwP+。)心0.682

6,P(n-2o<T<u+2o)^0.9544,P(□-3o〈TWn+3o)^0.9974.

答案與解析

1.B由隨機變量X的分布列，得0.2+a+b+0.3=1,所以a+b=0.5.

又因為EX=-1XO.2+0Xa+lXb+2X0.3=0.8,所以b=0.4,

所以a=O1,故選B.

2.C設X為抽出的5張牌中A的張數,可知X服從超幾何分布，

則P(X=3)二室逐.故選C.

C52

3.B4個都不亮的概率為(1-0.8尸=0.0016,

只有1個亮的概率為4X0.8X(1-0.8)=0.0256,

所以至少有兩個能正常照明的概率是「0.0016-0.0256=0.9728,

故選B.

4.B隨機變量X服從正態(tài)分布N(3,1),其圖象的對稱軸為直線x=3.

所以P(3〈XW4)七搟X0.6826=0.3413,

所以P(X>4)=0.5—P(3VXW4)=0.5—0.3413=0.1587.故選B.

5.D由題意可知，事件“最后乙隊獲勝”的對立事件為“最后3局均為甲隊獲

勝”，記此事件為A,

由獨立事件的概率公式可得P(A)=(，磊，

因止匕,最后乙隊獲勝的概率是「P(A)言.

64

故選D.

6.A因為隨機變量之?B(2,p),P(W21)=也

所以P(CNl)=l—P(W=0)4貝ljP(C=0)

99

因為P(W=0)=C卻。(l-p)2,即C卻。(1-p)2],所以(l-p)2=1,

因為隨機變量n~B(4,機,

所以P(n21)=1-P(n=0)=9。(1-p)Y，故選A.

\9/81

7.D依題意,這4個人中,每個人去參加籃球活動的概率均為號去參加乒乓球活

動的概率均為a

設“這4個人中恰有i人去參加籃球活動”為事件&(i=0,1,2,3,4),

貝IP(AJ=C：(|)1(i=0,1,2,3,4).

C的所有可能取值為0,2,4,

且P(昌=0)=P(A2)二,P(W=2)=P(A)+P(A3)=^,P(€=4)=P(AO)+P(Aj

278181

所以w的分布列為

024

84017

P

27近81

隨機變量W的數學期望EnOX^+2X?+4X富^.

8.C記甲為馬龍，乙為樊振東，在比分為10：10后甲先發(fā)球的情況下，甲以

13:n贏下此局的結果分兩種：

①后四球勝方依次為甲乙甲甲,其概率PlWXIX|X9今

②后四球勝方依次為乙甲甲甲,其概率P=|x|xfx|=^,

2JDJO/O

所以所求事件的概率P=Pl+P2=a?J.

257575

9.BCD若A,B是互斥事件,P(A)4,P(B)則P(AUB)故A錯誤;若A,B

32326

是對立事件,則P(AUB)=P(A)+P(B)=1,故B正確;若A,B是相互獨立事

件,P(A)=|,P(B)=|,則A,萬也是相互獨立事件,又P(B)=l-P(B)三,所以

P(A萬)=P(A)P位)JX故C正確;若P(才)="P(萬)三,則P(B)4又

339344

P(雇)44x7=p㈤P⑻，則4B是相互獨立事件,故A,B也是相互獨立事件,故D

正確.故選BCD.

10.AC?.?隨機變量N(0,1),.?.正態(tài)曲線關于直線x=0對稱.

???6(x)=P(WWx),x>0,.?.根據曲線的對稱性可得：

A.A(-x)=P(C2x)=1-6(x),.'.A選項正確;

B.6(2x)=P(『W2x),26(x)=2P(T<x),6(2x)W26(x),，B選項錯誤；

C.P(W|<x)=P(-x<W<x)=l-26(-x)=l-2[l-6(x)]=26(x)-l,/.C選項正確;

D.P(g|〉x)=P(W>x或W<-x)=l-6(x)+6(-x)=1-6(x)+1-6(x)-2-

26(x),JD選項錯誤.

故選AC.

11.AC該射手射擊1次擊中目標的概率是0.9,Z.該射手第3次射擊擊中目標

的概率是0.9,.IA正確；

???連續(xù)射擊4次,且各次射擊是否擊中目標相互之間沒有影響，.?.此次射擊可以

看作是一個獨立重復試驗,根據獨立重復試驗的公式得到恰好擊中目標3次的概

率是由X0.9々0.1,，B不正確；易知C正確；

???恰好有連續(xù)2次擊中目標的概率為3X0.92X0.I2,AD不正確.

故選AC.

12.ABD由題意可知a+甥=1,即a+b=l,所以A正確；

￡昌=。?2+1?”?次泉所以8正確;

D€=a(0-y)(1-y)+1(2-3)=爭號,be(0,1),

所以在(O,§上函數是增函數,在(I，1)上函數是減函數，

所以DW先增大后減小,有最大值，當b］時取得最大值,所以C錯誤;D正確.

故選ABD.

13.答案|

解析由題意可知，甲、乙兩球都沒有落入盒子的概率為(1_1

32

由對立事件的概率公式可知，甲、乙兩球至少有一個落入盒子的概率為

14.答案f

解析根據題意得P(B)恁P(AB)=去急

4"2564"256

所以P(A⑻二瑞福

15.答案y

解析由題意知P(X=k)=C，pk(dk=0,1,2,…，9),

因為P4+P5=_^P6,

o

所以C如4(1-p)5+Cgp5(1-P)4嗜Cfp6(1-p)3,

o

化簡得15p2+4p-4=0,解得P=|或p=-1(舍),從而EX=np=y.

11

16.答案-

4

解析依題意可知W的可能取值為2,3,4,5,

且P(W=5)工P(W=4)

44164416

P(W=3)=NW，P「2)*W，

所以EW=5X—+4X—+3X—+2X

16161616164

17.解析(1)因為每局甲勝的概率為0.6,乙勝的概率為0.4,

所以這場比賽甲勝的概率為0.62+CjX0.4X0.6=0.648.（5分）

⑵設事件人="甲獲得比賽勝利”，事件13="乙獲勝一局”.

則P（A）=0.648,

P（AB）=禺X0.4X0.6=0.288.（7分）

所以P⑻人）=需9

所以在甲獲得比賽勝利的條件下，乙有一局獲勝的概率為巳（10分）

9

18.解析（1）因為比賽結束時甲只獲勝一局,所以一共進行了4局比賽，且甲在第

1局或第2局獲勝.

若甲在第1局獲勝,則乙在后面3局都獲勝,此事件的概率為二白（2分）

若甲在第2局獲勝,則乙在第1,3,4局獲勝，此事件的概率為打打（3W，（4分）

記“比賽結束時甲只獲勝一局”為事件A,則p（A）=Jx2q.（5分）

168

⑵根據條件可知X的可能取值為2,4,6,（6分）

當X=2時，有2種情況：｛甲,甲｝,｛乙，乙｝;

當X=4時，有4種情況：｛甲,乙，乙，乙｝,｛乙，甲，乙，乙｝,｛乙，甲，甲,甲｝,｛甲,乙,

甲，甲｝（花括號中,按順序為各局的獲勝者）.

P(X=6)=1-P(X=2)-P(X=4)」，(9分)

4

所以X的分布列為

X246

111

P

244

所以EX=2X14X[+6X*.(12分)

19.解析（1）設“甲進入下一輪比賽”為事件A,“乙進入下一輪比賽”為事件

B,“丙進入下一輪比賽”為事件C,則事件A,B,C以及甲、乙、丙的每兩次考試

之間彼此相互獨立.

P（A）=|X|=|,P（B）=|XP（C）X5=|.（3分）

6Dy342525

因為P（A）>P（B）>P（C）,所以甲進入下一輪比賽的可能性最大.（4分）

（2）設“三人考試后恰有兩人進入下一輪比賽”為事件D,則D=ABe+A豆C+彳BC.（6

分）

PaBC)=(l-1)xix|=±(9分)

貝ljP(D)=P(AB—C+A—BC+—ZBC)氣11+4?1?1

即這三人進行理論筆試與實驗操作考試后，恰有兩人進入下一輪比賽的概率為

得（12分）

20.解析⑴由題意,可知10名男士中有4人認為“鍵盤俠”的出現(xiàn)是“社會進

步的表現(xiàn)”，10名女士中有5人也這樣認為.（2分）

設“從這些男士和女士中各抽取一人，至少有一人認為'鍵盤俠'的出現(xiàn)是‘社

會進步的表現(xiàn)'”為事件A,

貝ljP（A）=1-瓷-=1-網=（6分）

的0cM10010

⑵設“從這些男士和女士中各抽取兩人，至少有兩人認為'鍵盤俠’的出現(xiàn)是

'社會進步的表現(xiàn)'”為事件B,

貝11P⑻=1一等一普喀1%一“&竺.（12分）

第0篇0第0《02713545

21.解析（1）由題意知X的可能取值為0,1,2,

p（x=o）蜷qp（x=i）=萼p（x=2）=叁q（3分）

5。95o9Jo9

AX的分布列為

X012

252

P