2021-2022學(xué)年福建省三明市永安三中高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設(shè)分別是雙線的左、右焦點，為坐標(biāo)原點，以為直徑的圓與該雙曲線的兩條漸近線分別交于兩點（位于軸右側(cè)），且四邊形為菱形，則該雙曲線的漸近線方程為（）A． B． C． D．2．設(shè)且，則下列不等式成立的是（）A． B． C． D．3．已知實數(shù)滿足，則的最小值為（）A． B． C． D．4．某人用隨機(jī)模擬的方法估計無理數(shù)的值，做法如下：首先在平面直角坐標(biāo)系中，過點作軸的垂線與曲線相交于點，過作軸的垂線與軸相交于點（如圖），然后向矩形內(nèi)投入粒豆子，并統(tǒng)計出這些豆子在曲線上方的有粒，則無理數(shù)的估計值是（）A． B． C． D．5．已知復(fù)數(shù)z滿足，則z的虛部為（）A． B．i C．–1 D．16．已知橢圓的焦點分別為，，其中焦點與拋物線的焦點重合，且橢圓與拋物線的兩個交點連線正好過點，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．7．對某兩名高三學(xué)生在連續(xù)9次數(shù)學(xué)測試中的成績（單位：分）進(jìn)行統(tǒng)計得到折線圖，下面是關(guān)于這兩位同學(xué)的數(shù)學(xué)成績分析．①甲同學(xué)的成績折線圖具有較好的對稱性，故平均成績?yōu)?30分；②根據(jù)甲同學(xué)成績折線圖提供的數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計，估計該同學(xué)平均成績在區(qū)間110,120內(nèi)；③乙同學(xué)的數(shù)學(xué)成績與測試次號具有比較明顯的線性相關(guān)性，且為正相關(guān)；④乙同學(xué)連續(xù)九次測驗成績每一次均有明顯進(jìn)步．其中正確的個數(shù)為（）A．4 B．3 C．2 D．18．直線與拋物線C：交于A，B兩點，直線，且l與C相切，切點為P，記的面積為S，則的最小值為A． B． C． D．9．如果，那么下列不等式成立的是（）A． B．C． D．10．已知函數(shù)是奇函數(shù)，則的值為（）A．－10 B．－9 C．－7 D．111．若函數(shù)的圖象向右平移個單位長度得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的最大值為（）．A． B． C． D．12．已知雙曲線的右焦點為為坐標(biāo)原點，以為直徑的圓與雙曲線的一條漸近線交于點及點，則雙曲線的方程為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．函數(shù)的值域為_________．14．已知函數(shù)的圖象在處的切線斜率為，則______．15．設(shè)全集，集合，，則集合______.16．在的展開式中，項的系數(shù)是__________（用數(shù)字作答）．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知，，動點滿足直線與直線的斜率之積為，設(shè)點的軌跡為曲線.（1）求曲線的方程；（2）若過點的直線與曲線交于，兩點，過點且與直線垂直的直線與相交于點，求的最小值及此時直線的方程.18．（12分）試求曲線y＝sinx在矩陣MN變換下的函數(shù)解析式，其中M，N．19．（12分）設(shè)橢圓的離心率為，左、右焦點分別為，點D在橢圓C上，的周長為.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過圓上任意一點P作圓E的切線l，若l與橢圓C交于A，B兩點，O為坐標(biāo)原點，求證：為定值.20．（12分）設(shè)數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，其前項和為，，若，，成等比數(shù)列．（1）求及；（2）設(shè)，設(shè)數(shù)列的前項和，證明：．21．（12分）已知函數(shù).（1）若，求不等式的解集；（2）已知，若對于任意恒成立，求的取值范圍.22．（10分）已知函數(shù)f(x)=x-2a-x-a（Ⅰ）若f(1)>1，求a的取值范圍；（Ⅱ）若a<0，對?x，y∈-∞,a，都有不等式f(x)≤(y+2020)+

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．B【解析】

由于四邊形為菱形，且，所以為等邊三角形，從而可得漸近線的傾斜角，求出其斜率.【詳解】如圖，因為四邊形為菱形，，所以為等邊三角形，，兩漸近線的斜率分別為和.故選：B【點睛】此題考查的是求雙曲線的漸近線方程，利用了數(shù)形結(jié)合的思想，屬于基礎(chǔ)題.2．A【解析】項，由得到，則，故項正確；項，當(dāng)時，該不等式不成立，故項錯誤；項，當(dāng)，時，，即不等式不成立，故項錯誤；項，當(dāng)，時，，即不等式不成立，故項錯誤．綜上所述，故選．3．A【解析】

所求的分母特征，利用變形構(gòu)造，再等價變形，利用基本不等式求最值.【詳解】解：因為滿足，則，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故選：．【點睛】本題考查通過拼湊法利用基本不等式求最值.拼湊法的實質(zhì)在于代數(shù)式的靈活變形，拼系數(shù)、湊常數(shù)是關(guān)鍵.(1)拼湊的技巧，以整式為基礎(chǔ)，注意利用系數(shù)的變化以及等式中常數(shù)的調(diào)整，做到等價變形;(2)代數(shù)式的變形以拼湊出和或積的定值為目標(biāo)(3)拆項、添項應(yīng)注意檢驗利用基本不等式的前提.4．D【解析】

利用定積分計算出矩形中位于曲線上方區(qū)域的面積，進(jìn)而利用幾何概型的概率公式得出關(guān)于的等式，解出的表達(dá)式即可.【詳解】在函數(shù)的解析式中，令，可得，則點，直線的方程為，矩形中位于曲線上方區(qū)域的面積為，矩形的面積為，由幾何概型的概率公式得，所以，.故選：D.【點睛】本題考查利用隨機(jī)模擬的思想估算的值，考查了幾何概型概率公式的應(yīng)用，同時也考查了利用定積分計算平面區(qū)域的面積，考查計算能力，屬于中等題.5．C【解析】

利用復(fù)數(shù)的四則運算可得，即可得答案.【詳解】∵，∴，∴，∴復(fù)數(shù)的虛部為.故選：C.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的四則運算、虛部概念，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.6．B【解析】

根據(jù)題意可得易知，且，解方程可得，再利用即可求解.【詳解】易知，且故有，則故選：B【點睛】本題考查了橢圓的幾何性質(zhì)、拋物線的幾何性質(zhì)，考查了學(xué)生的計算能力，屬于中檔題7．C【解析】

利用圖形，判斷折線圖平均分以及線性相關(guān)性，成績的比較，說明正誤即可．【詳解】①甲同學(xué)的成績折線圖具有較好的對稱性，最高130分，平均成績?yōu)榈陀?30分，①錯誤；②根據(jù)甲同學(xué)成績折線圖提供的數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計，估計該同學(xué)平均成績在區(qū)間[110,120]內(nèi)，②正確；③乙同學(xué)的數(shù)學(xué)成績與測試次號具有比較明顯的線性相關(guān)性，且為正相關(guān)，③正確；④乙同學(xué)在這連續(xù)九次測驗中第四次、第七次成績較上一次成績有退步，故④不正確．故選：C．【點睛】本題考查折線圖的應(yīng)用，線性相關(guān)以及平均分的求解，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力，屬于基礎(chǔ)題．8．D【解析】

設(shè)出坐標(biāo)，聯(lián)立直線方程與拋物線方程，利用弦長公式求得，再由點到直線的距離公式求得到的距離，得到的面積為，作差后利用導(dǎo)數(shù)求最值．【詳解】設(shè)，，聯(lián)立，得則，則由，得設(shè)，則，則點到直線的距離從而．令當(dāng)時，；當(dāng)時，故，即的最小值為本題正確選項：【點睛】本題考查直線與拋物線位置關(guān)系的應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)求最值的問題．解決圓錐曲線中的面積類最值問題，通常采用構(gòu)造函數(shù)關(guān)系的方式，然后結(jié)合導(dǎo)數(shù)或者利用函數(shù)值域的方法來求解最值.9．D【解析】

利用函數(shù)的單調(diào)性、不等式的基本性質(zhì)即可得出.【詳解】∵，∴，，，.故選：D.【點睛】本小題主要考查利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小，考查不等式的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.10．B【解析】

根據(jù)分段函數(shù)表達(dá)式，先求得的值，然后結(jié)合的奇偶性，求得的值.【詳解】因為函數(shù)是奇函數(shù)，所以，.故選：B【點睛】本題主要考查分段函數(shù)的解析式、分段函數(shù)求函數(shù)值，考查數(shù)形結(jié)合思想.意在考查學(xué)生的運算能力，分析問題、解決問題的能力.11．C【解析】

由題意利用函數(shù)的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的單調(diào)性，求出的最大值．【詳解】解：把函數(shù)的圖象向右平移個單位長度得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)在區(qū)間，上單調(diào)遞增，在區(qū)間，上，，，則當(dāng)最大時，，求得，故選：C．【點睛】本題主要考查函數(shù)的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．12．C【解析】

根據(jù)雙曲線方程求出漸近線方程：，再將點代入可得，連接，根據(jù)圓的性質(zhì)可得，從而可求出，再由即可求解.【詳解】由雙曲線，則漸近線方程：，，連接，則，解得，所以，解得.故雙曲線方程為.故選：C【點睛】本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì)，需掌握雙曲線的漸近線求法，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

利用換元法，得到，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性和最值，即可得到函數(shù)的值域，得到答案．【詳解】由題意，可得，令，，即，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，即在為增函數(shù)，在為減函數(shù)，又，，，故函數(shù)的值域為：．【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)的最值，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值，其中解答中合理利用換元法得到函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性與最值是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與預(yù)算能力，屬于基礎(chǔ)題．14．【解析】

先對函數(shù)f（x）求導(dǎo)，再根據(jù)圖象在（0，f（0））處切線的斜率為﹣4，得f′（0）＝﹣4，由此可求a的值.【詳解】由函數(shù)得，∵函數(shù)f（x）的圖象在（0，f（0））處切線的斜率為﹣4，，.故答案為4【點睛】本題考查了根據(jù)曲線上在某點切線方程的斜率求參數(shù)的問題，屬于基礎(chǔ)題．15．【解析】

分別解得集合A與集合B的補集，再由集合交集的運算法則計算求得答案.【詳解】由題可知，集合A中集合B的補集，則故答案為：【點睛】本題考查集合的交集與補集運算，屬于基礎(chǔ)題.16．【解析】的展開式的通項為：.令，得.答案為：-40.點睛：求二項展開式有關(guān)問題的常見類型及解題策略(1)求展開式中的特定項.可依據(jù)條件寫出第r＋1項，再由特定項的特點求出r值即可.(2)已知展開式的某項，求特定項的系數(shù).可由某項得出參數(shù)項，再由通項寫出第r＋1項，由特定項得出r值，最后求出其參數(shù).三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）（2）的最小值為1，此時直線：【解析】

（1）用直接法求軌跡方程，即設(shè)動點為，把已知用坐標(biāo)表示并整理即得．注意取值范圍；（2）設(shè)：，將其與曲線的方程聯(lián)立，消元并整理得，設(shè)，，則可得，，由求出，將直線方程與聯(lián)立，得，求得，計算，設(shè).顯然，構(gòu)造，由導(dǎo)數(shù)的知識求得其最小值，同時可得直線的方程.【詳解】（1）設(shè)，則，即整理得（2）設(shè)：，將其與曲線的方程聯(lián)立，得即設(shè)，，則，將直線：與聯(lián)立，得∴∴設(shè).顯然構(gòu)造在上恒成立所以在上單調(diào)遞增所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取“=”即的最小值為1，此時直線：.（注：1.如果按函數(shù)的性質(zhì)求最值可以不扣分；2.若直線方程按斜率是否存在討論，則可以根據(jù)步驟相應(yīng)給分.）【點睛】本題考查求軌跡方程，考查直線與橢圓相交中的最值．直線與橢圓相交問題中常采用“設(shè)而不求”的思想方法，即設(shè)交點坐標(biāo)為，設(shè)直線方程，直線方程與橢圓方程聯(lián)立并消元，然后用韋達(dá)定理得（或），把這個代入其他條件變形計算化簡得出結(jié)論，本題屬于難題，對學(xué)生的邏輯推理、運算求解能力有一定的要求．18．y＝2sin2x．【解析】

計算MN，計算得到函數(shù)表達(dá)式.【詳解】∵M(jìn)，N，∴MN，∴在矩陣MN變換下，→∴曲線y＝sinx在矩陣MN變換下的函數(shù)解析式為y＝2sin2x．【點睛】本題考查了矩陣變換，意在考查學(xué)生的計算能力.19．（1）（2）見解析【解析】

(1)由，周長,解得,即可求得標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)通過特殊情況的斜率不存在時,求得,再證明的斜率存在時,即可證得為定值.通過設(shè)直線的方程為與橢圓方程聯(lián)立,借助韋達(dá)定理求得,利用直線與圓相切,即,求得的關(guān)系代入,化簡即可證得即可證得結(jié)論.【詳解】（1）由題意得，周長，且.聯(lián)立解得，，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）①當(dāng)直線l的斜率不存在時，不妨設(shè)其方程為，則，所以，即.②當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)其方程為，并設(shè)，由，，，由直線l與圓E相切，得.所以.從而，即.綜合上述，得為定值.【點睛】本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,直線與橢圓的位置關(guān)系中定值問題,考查了學(xué)生計算求解能力,難度較難.20．（1），；（2）證明見解析.【解析】

（1）根據(jù)題中條件求出等差數(shù)列的首項和公差，然后根據(jù)首項和公差即可求出數(shù)列的通項和前項和；（2）根據(jù)裂項求和求出，根據(jù)的表達(dá)式即可證明.【詳解】（1）設(shè)的公差為，由題意有，且，所以，；（2）因為，所以，.【點睛】本題主要考查了等差數(shù)列基本量的求解，裂項求和法，屬于基礎(chǔ)題.21．（1）或；（2）.【解析】

（1）時，分類討論，去掉絕對值，分類討論解不等式.（2）時，分類討論去絕對值，得到解析式，由函數(shù)的單調(diào)性可得的最小值，通過恒成立問題，得到關(guān)于的不等式，得到的取值范圍.【詳解】（1）因為，所以，所以不等式等價于或或，解得或.所以不等式的解集為或.（2）因為，所以，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)的最小值為，因為恒成立，所以，解得.所以實數(shù)的取值范圍是.【點睛】本題考查分類討論去絕對值，分段函數(shù)求最值，不等式恒成立問題，屬于中檔題.