貴州省卓越聯(lián)盟2023-2024學年高二下學期期中考試數(shù)學試題（解析版）

貴州省學校卓越聯(lián)盟發(fā)展計劃項目2024年上半年期中考試高二數(shù)學注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的考生號、姓名、考點學校、考場號及座位號填寫在答題卡上.2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需要改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）1.若曲線在處的切線方程為，則（）A. B. C.1 D.2【答案】D【解析】【分析】運用導數(shù)幾何意義得答案.【詳解】曲線y=fx在處的切線方程為則運用導數(shù)幾何意義，知道.故選：D.2.高二某班級4名同學要參加足球、籃球、乒乓球比賽，每人限報一項，其中甲同學不能報名足球，乙、丙、丁三位同學所報項目都不相同，則不同的報名種數(shù)有（）A.54 B.12 C.8 D.81【答案】B【解析】【分析】直接由分步計數(shù)原理求解即可．【詳解】由甲同學不能報名足球，可得甲有2種報名方式，乙、丙、丁三位同學所報項目都不相同，可得乙有3種報名方式，丙有2種報名方式，丁只有1種報名方式，共分步計數(shù)原理可得共有種．故選：B．3.高爾頓（釘）板是在一塊豎起的木板上釘上一排排互相平行、水平間隔相等的圓柱形鐵釘，并且每一-排鐵釘數(shù)目都比上一排多一個，一排中各個鐵釘恰好對準上面一排兩相鄰鐵釘?shù)恼醒耄畯娜肟谔幏湃胍粋€直徑略小于兩顆鐵釘間隔的小球，當小球從兩釘之間的間隙下落時，由于碰到下一排鐵釘，它將以相等的可能性向左或向右落下，接著小球再通過兩鐵釘?shù)拈g隙，又碰到下一排鐵釘如此繼續(xù)下去，在最底層的5個出口處各放置一個容器接住小球．理論上，小球落入2號容器的概率是多少（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題意可知，若要小球落入2號容器，則需要在通過的四層中有三層向左，一層向右，再利用獨立事件的概率乘法公式求解．【詳解】設事件表示“小球落入2號容器”，若要小球落入2號容器，則需要在通過的四層中有三層向左，一層向右，所以．故選：B．4.在的展開式中含項的系數(shù)是（）A. B. C.240 D.60【答案】C【解析】【分析】運用二項式定理，結合組合數(shù)公式求解即可.【詳解】，要得到含項，只需要找出展開式，即可.二項式的展開式中含的項為，沒有含的項.故含項為，含項的系數(shù)是240.故選：C.5.由數(shù)字0，1，2，3，4，5可以組成多少個沒有重復數(shù)字，并且比400000大的偶數(shù)？（）A.120種 B.144種 C.48種 D.24種【答案】A【解析】【分析】分最高位是5和最高位是4兩種情況，結合排列組合知識求解．【詳解】若最高位是5，則個位可以是0或2或4，其它位任意排列，共有種，若最高位是4，則個位可以是0或2，其它位任意排列，共有種，所以比400000大的偶數(shù)的排列方法一共有種．故選：A．6.用半徑為1的圓形鐵皮剪出一個圓心角為的扇形，制成一個圓錐形容器，當容器的容積最大時，（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設圓錐的底面半徑為，高為，體積為，求出，表示出體積表達式，利用導數(shù)求出函數(shù)的最大值，得到結果．【詳解】設圓錐的底面半徑為，高為，體積為，那么，因此，可得．令，即，得，當時，；當時，，所以時，取得極大值，并且這個極大值是最大值，把代入，得，由，得．故選：B．7.乒乓球，被稱為中國的“國球”.某次比賽采用三局兩勝制，當參賽選手甲、乙兩位中有一位贏得兩局比賽時，就由該選手晉級而比賽結束.每局比賽都要分出勝負，且每局比賽的勝負不受之前比賽結果影響.假設甲在任一局贏球的概率為，有選手晉級所需要的比賽局數(shù)的期望值記為，則下列說法中正確的是（）A.打滿三局結束比賽的概率為 B.的常數(shù)項為4C.函數(shù)在上單調(diào)遞增 D.【答案】C【解析】【分析】設實際比賽局數(shù)為，先計算出可能取值的概率，即可判斷A選項；進而求出期望值，即可判斷BCD選項.【詳解】設實際比賽局數(shù)為，則的可能取值為，所以，，因此三局結束比賽的概率為，則A不正確；故，由知常數(shù)項為2，故B不正確；由，故D不正確；由二次函數(shù)的性質(zhì)可得函數(shù)在上單調(diào)遞增，而，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，C正確.故選：C.8.已知函數(shù)，若，則的最小值為（）A. B.3 C.2 D.【答案】A【解析】【分析】運用導數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，又可得，從而可得，代入式子，綜合基本不等式可解.【詳解】，求導f'(即在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，因為，若，則，則，所以.，當且僅當，即取等號.故選：A.二、多選題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分）9.2024年3月3日，由中國田徑協(xié)會技術認證，貴州省體育局、黔西南州人民政府共同主辦的“加油奔跑·興義真好”2024萬峰林馬拉松賽鳴槍開跑.近2萬名選手穿行城市間，奔跑峰林中，盡享“萬峰成林處、陽光黔西南”的山水畫卷.本次馬拉松共設置了4個服務站點（真實數(shù)據(jù)是16個，本題設置為4個），某參賽運動員在第1個服務點停留的概率為，在其他服務點停留的概率均為．用隨機變量X表示該運動員會停留的服務點的個數(shù)，則下列正確的是（）A. B.C.一次都不停留的概率為 D.至多停留一次的概率為【答案】BC【解析】【分析】運用相互獨立事件概率乘法公式，結合組合數(shù)公式逐個計算即可【詳解】的所有可能為.，，，.則選項中，錯誤，正確.故選：BC10.過點且與曲線相切的直線的方程為（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】運用導數(shù)幾何意義，結合導數(shù)運算，點斜式可解.【詳解】求導得，設切點為，則，切線方程為，又切線過點，所以，整理得，解得或.當時，，切線方程為.當時，，切線方程為.故選：BC.11.已知函數(shù)，，，則下列說法中正確的是（）A.函數(shù)只有1個零點，當時，函數(shù)只有1個零點．B.若關于x的方程有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)．C.，且，都有．D.，，使得成立，則實數(shù)．【答案】BD【解析】【分析】先分別求出函數(shù)和的單調(diào)性，對于A，直接解和時的最小值即可判斷得解；對于B，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性結合函數(shù)的最小值和值的正負分布情況即可得解；對于C，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可得解；對于D，先由條件得到，再根據(jù)單調(diào)性確定并求解即可得解.【詳解】由題意，故當時，，當時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；定義域為，，故當時，，當時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.對于A，令，故函數(shù)只有1個零點；當時，，故沒有零點，故A錯誤；對于B，，時，，時，，故有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)，故B正確；對于C，在上單調(diào)遞減，故C錯誤；對于D，，，成立，則，所以，即，故D正確.故選：BD.【點睛】思路點睛：恒成立和有解問題通常轉(zhuǎn)化成最值問題來求解，解決本題可先利用導數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性，從而可求出函數(shù)值正負分布情況和最值，進而可依次求解各選項.三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12.若，則______．【答案】【解析】【分析】運用導數(shù)的加法和乘法運算法則求解即可.【詳解】，故答案為：.13.每年農(nóng)歷五月初五為端午節(jié)，又稱端陽節(jié)；端午節(jié)是為了紀念楚國愛國詩人屈原而設立的傳統(tǒng)節(jié)日.端午節(jié)對于中華民族的文化傳承具有重要意義，也成為了中華文化與世界文化交流的窗口.更有吃粽子，賽龍舟，掛菖蒲?蒿草?艾葉，薰蒼術?白芷，喝雄黃酒的習俗.2023年6月22日是我國的傳統(tǒng)節(jié)日“端午節(jié)”.這天，楠楠的媽媽煮了9個粽子，其中4個臘肉餡，5個豆沙餡.楠楠想嘗下粽子的味道，第一次嘗了一個粽子覺得味道好吃，接著第二次又嘗了一個粽子，則楠楠第一次和第二次嘗的都是臘肉餡的概率為__________.【答案】【解析】【分析】直接由古典概型概率公式即可求解.【詳解】由古典概型概率計算公式可知，所求即為.故答案為：.14.2024年3月5日至11日，第十四屆全國人民代表大會第二次會議勝利召開.此次大會是高舉旗幟、真抓實干、團結奮進的大會，全國人大代表不負人民重托、認真履職盡責，凝聚起扎實推進中國式現(xiàn)代化的磅礴力量.某村小校黨支部包含甲、乙、丙、丁的10位黨員開展“學習貫徹2024年全國兩會精神”圓桌會議，根據(jù)會議要求：甲、乙必須相鄰，甲、丙、丁不能相鄰.則不同的座位安排有______種（用數(shù)字作答）.【答案】43200【解析】【分析】甲和乙必須相鄰，采用捆綁法，甲和丙不能相鄰，采用插空法，結合圓排列，再根據(jù)分步乘法原理計算即可.【詳解】甲和乙必須相鄰，采用捆綁法，將其看作一個整體，與除丙丁外其他6人排成一圈，共有種排列.甲和丙，丁不能相鄰，采用插空法，甲和乙與除了丙丁外的其他6人排成一圈后形成7個空，但甲與丙丁不能相鄰，故丙丁只有6個空位可選，有種選擇，根據(jù)分步乘法原理可知，不同的排法總數(shù)為.故答案為：43200.四、解答題（本大題共5小題，共77分）15.甲、乙、丙、丁、戊共5名同學進行勞動技術比賽，決出第1名到第5名的名次（無并列名次）．甲、乙兩名同學去詢問成績，請你根據(jù)下面老師的回答分析，分別求5人的名次排列可能有多少種不同情況？（1）老師對甲說：“很遺憾，你沒有得到第一名”，對乙說：“你當然不會是最差的．”（2）老師說：“你們都沒有得到第一名，你們也都不是最后一名，并且你們的名次相鄰．”【答案】（1）78（2）24【解析】【分析】（1）利用間接法，結合排列組合知識求解；（2）甲、乙兩人名次為2，3或3，4，，再用分步乘法計數(shù)原理求解.【小問1詳解】由題意得，甲的名次不是第一，乙的名次不是第五，所以5人的名次不同的排列情況有（種）．【小問2詳解】由題意得，甲、乙兩人名次為2，3或3，4，所以5人的名次不同的排列情況有（種）．16.已知（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）（2）729【解析】【分析】（1）先求出，再將改為后令即可得答案；（2）設，通過計算可得答案.【小問1詳解】令得，再將改為，則再令，得，所以；【小問2詳解】設，則.17.已知函數(shù)，．（1）當時，求函數(shù)的極值；（2），都有，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）極小值0；無極大值．（2）．【解析】【分析】（1）對求導，構建新函數(shù)gx=f'x，對求導，可判斷f'x單調(diào)性，根據(jù)題意知，可判斷（2）設新函數(shù)，可轉(zhuǎn)化為恒成立，即小于最小值，在構新的函數(shù)tx=x-lnxx>0，，對求導，即可判斷單調(diào)性，以及最小值點，即可求解【小問1詳解】當時，定義域．，．令gx=f所以f'x在又因．可知當時，f'x<0；時，f得時取極小值f1=0；無極大值．【小問2詳解】根據(jù)題意知當時，都有fx>0?，令，顯然hx在上單調(diào)遞增．則hx-所以，令txt'當時，，在上單調(diào)遞減，當時，，在上單調(diào)遞增，可得，所以，即a的取值范圍．18.設是不等式的解集，整數(shù)．（1）設“使得成立的有序數(shù)組”為事件，“使得成立的有序數(shù)組”為事件．寫出事件A包含的樣本點．（2）設，寫出隨機變量X的分布列，求．【答案】（1）答案見解析（2）分布列見解析，【解析】【分析】（1）由一元二次不等式求解，即可求解，（2）由古典概型概率公式求解概率，即可得分布列，進而求解.【小問1詳解】由，解得．故整數(shù)m，且A包含事件為，，，，．整數(shù)m，且B包含的事件為、、、、、．【小問2詳解】由于m的所有不同取值為，1，0，1，2，3故的所有不同取值為0，1，4，9．，，，．故X的分布列為：X0149P19.定義運算：，已知函數(shù)，．（1）若函數(shù)的最大值為0，求實數(shù)a的值；（2）若函數(shù)存在兩個極值點，，證明：；（3）證明：．【答案】（1）1（2）證明見解析（3）證明見解析【解析】【分析】（1）求導后，分類討論單調(diào)性，進而得到最值，求出a的值即可；（2）條件等價于有兩個不等的正根，結合判別式非負，以及韋達定理求出a的范圍，要證，即證，令求導確定函數(shù)φx的單調(diào)性，證明結論．（3）