中考數學二輪復習-專題12 三角函數實際問題 解析版

二輪復習2023-2024年中考數學重要考點名校模擬題分類匯編專題12——三角函數實際問題（重慶專用）1．（2023上·重慶渝中·九年級重慶巴蜀中學?？茧A段練習）在公園里，同一平面內的五處景點的道路分布如圖所示，經測量，點D、E均在點C的正北方向且CE=900米，點B在點C的正西方向，且BC=3003米，點B在點A的南偏東60°方向且AB=600米，點D在點A的東北方向．（參考數據：2(1)求道路AD的長度（結果保留根號）；(2)若甲從A點出發(fā)沿A?D?E的路徑去點E，與此同時乙從點B出發(fā)，沿B?A?E的路徑去點E，在兩人速度相同的情況下誰先到達點E？（結果精確到十分位）【答案】(1)道路AD的長度約為6006(2)乙先到達點E【分析】本題考查了解直角三角形的應用?方向角問題，勾股定理的應用，根據題目的已知條件并結合圖形添加適當的輔助線是解題的關鍵．（1）過點A作AF⊥CB，交CB的延長線于點F，過點A作AG⊥DC，垂足為G，根據題意可得：AF=CG，AG=CF，然后在Rt△AFB中，利用銳角三角函數的定義求出AF，BF的長，從而求出CF的長，再在Rt△ADG中，利用銳角三角函數的定義求出（2）利用（1）的結論可求出EG的長，再在Rt△AGE中，利用勾股定理可求出AE的長，然后在Rt△ADG中，利用銳角三角函數的定義求出【詳解】（1）解：過點A作AF⊥CB，交CB的延長線于點F，過點A作AG⊥DC，垂足為G，如圖所示：由題意得：AF=CG，AG=CF，在Rt△AFB中，∠BAF=60°，AB=600∴AF=AB?cos60°=600×1BF=AB?sin60°=600×3∴CG=AF=300米，∵BC=3003∴CF=BF+BC=3003+3003∴AG=CF=6003在Rt△ADG中，∠DAG=90°?45°=45°∴AD=AGcos45°∴道路AD的長度約為6006（2）解：∵CE=900米，CG=300米，∴EG=CE?CG=600（米)，在Rt△AGE中，AG=600∴AE=AG2在Rt△ADG中，∠DAG=45°∴DG=AG?tan45°=6003∴甲的路程=AD+DE=AD+DG?EG=6006乙的路程=AB+AE=600+1200=1800（米)，∵1908.6>1800，兩人速度相同，∴乙先到達點E．2．（2023上·重慶渝中·九年級重慶巴蜀中學?？计谀┰诠珗@里，同一平面內的五處景點的道路分布如圖所示，經測量，點D、E均在點C的正北方向且CE=600米，點B在點C的正西方向，且BC=2003米，點B在點A的南偏東60°方向且AB=400米，點D在點A的東北方向．(參考數據：2≈1.414，3≈1.732(1)求道路AD的長度(精確到個位)；(2)若甲從A點出發(fā)沿A—D—E的路徑去點E，與此同時乙從點B出發(fā)，沿B—A—E的路徑去點E，其速度為40米/分鐘．若兩人同時到達點E，請比較誰的速度更快？快多少？(精確到十分位)【答案】(1)980米；(2)甲的速度更快，快2.4米/分鐘．【分析】本題考查了解直角三角形的應用?方向角問題，勾股定理的應用；（1）過點A作AF⊥CB，交CB的延長線于點F，過點A作AG⊥DC，垂足為G，根據題意可得：AF=CG，AG=CF，然后在Rt△AFB中，利用銳角三角函數的定義求出AF，BF的長，從而求出CF的長，再在Rt△（2）利用（1）的結論可求出EG的長，再在Rt△AGE中，利用勾股定理可求出AE的長，然后在Rt△【詳解】（1）過點A作AF⊥CB，交CB的延長線于點F，過點A作AG⊥DC，垂足為G，由題意得：AF=CG，AG=CF，在Rt△AFB中，∠BAF=60°，AB=400∴AF=AB?cosBF=AB?sin∴CG=AF=200米，∵BC=2003∴CF=BF+BC=2003∴AG=CF=4003在Rt△ADG中，∠DAG=90°?45°=45°∴AD=AG∴道路AD的長度約為980米；（2）∵CE=600米，CG=200米，∴EG=CE?CG=400（米），在Rt△AGE中，AG=400∴AE=A在Rt△ADG中，∠DAG=45°∴DG=AG?tan∴甲的路程=AD+DE=AD+DG?EG=(4006乙的路程=AB+AE=400+800=1200（米），∵乙的速度為40米/分鐘，∴乙所用的時間=1200∴甲所用的時間也是30分鐘，∴甲的速度=4006+400∴42.4?40=2.4（米/分鐘），∴若兩人同時到達點E，甲的速度更快，快2.4米/分鐘．3．（2023上·重慶北碚·九年級西南大學附中?？计谀┤鐖D，甲、乙兩隊同時從A點出發(fā)，相約去河對面的公園D游玩．甲隊選擇的線路為A→B→C→D，其中在BC段劃船過河；乙隊選擇的線路為A→F→E→D，其中在FE段乘坐游船過河．已知四邊形BCEF為矩形，A、B、C三點在同一直線上，AB長為600米，∠AFB=37°，CD⊥DE，∠CED=30°．(1)求D到CE的距離；（結果精確到個位）(2)甲、乙兩隊在陸地上都是步行，且步行速度均為50m/min．已知甲隊劃船的速度為120m/min，乙隊游船的速度為360m/min，若BC長為1800米，請通過計算說明哪一隊先到達公園D？（參考數據：sin37°≈0.60，cos【答案】(1)346m(2)甲隊先到達公園D【分析】本題考查了矩形的性質，解直角三角形的應用，實數的混合運算，靈活運用銳角三角函數是解題關鍵．（1）過點D作DH⊥CE于點H，利用銳角三角函數，分別求得BF=CE=800m，DE=32CE=4003m，（2）由（1）可知AB=600m，AF=1000m，CD=400m【詳解】（1）解：如圖，過點D作DH⊥CE于點H，∵四邊形BCEF為矩形，∴∠CBF=90°，BF=CE，BC=FE，∴∠ABF=90°，∵∠AFB=37°，AB=600m∴BF=ABtan37°∴CE=800m∵CD⊥DE，∠CED=30°，∴DE=cos30°?CE=3∵DH⊥CE，∴DH=sin即D到CE的距離346m（2）解：BC=1800m∴FE=1800m由（1）可知，AB=600m，AF=1000m，CD=400m∵甲、乙兩隊在陸地上都是步行，且步行速度均為50m/min．甲隊劃船的速度為120m∴甲隊所用時間=600÷50+1800÷120+400÷50=35min乙隊所用時間=1000÷50+1800÷360+4003∵35<38.9，∴甲隊先到達公園D．4．（2023上·重慶沙坪壩·九年級重慶八中?？计谀┤鐖D，一貨船從港口A出發(fā)，以40海里/小時的速度向正北方向航行，經過1小時到達B處，測得小島C在B的東北方向，且在點A的北偏東30°方向．（參考數據：2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45，sin(1)求BC的距離（結果保留整數）；(2)由于貨船在B處突發(fā)故障，于是立即以30海里/小時的速度沿BC趕往小島C維修，同時向維修站D發(fā)出信號，在D處的維修船接到通知后立即準備維修材料，之后以50海里/小時的速度沿DC前往小島C，已知D在A的正東方向上，C在D的北偏西37°方向，通知時間和維修船準備材料時間一共6分鐘，請計算說明維修船能否在貨船之前到達小島C．【答案】(1)BC的距離為77海里(2)維修船能在貨船之前到達小島C【分析】（1）過C作CM⊥AB交AB延長線于M，由題意可得MC=MB，設MC=MB=x，則MA=x+40，通過勾股定理和三角函數進行列方程求解即可；（2）結合三角函數和平行線的性質進行求解并比較即可得到解答．【詳解】（1）過C作CM⊥AB交AB延長線于M，由題意得，AB=40×1=40海里，由題意得，在Rt△BCM中，∠CBM=45°∴MC=MB，設MC=MB=x，則MA=x+40，在Rt△ACM中，tan∴xx+40解得x=203∴MB=MC=20在Rt△MBC中，M∴BC=M（2）∵CM=20∴AH=CM=20∵AM∥∴∠1=∠CAM=30°，∴tan∠1=∴CH=3∵CH∥DN，∴∠2=∠NDC=37°，∴cos∠2=∴CD=CH貨船從B到C用時：77÷30=77∵6分鐘=1∴7730∴3715∵CD=75+253∴能在貨船之前到達小島C．【點睛】本題考查了三角函數的綜合、勾股定理的應用、分式方程的應用和平行線的性質，靈活運用所學知識求解是解決本題的關鍵．5．（2023上·重慶·九年級重慶一中?？计谥校榱朔奖闶忻癯鲂校ㄎ瘺Q定對某街道一條斜坡進行改造，計劃將原斜坡坡角為45°的BC改造為坡角為30°的AC，已知BC=102米，點A，B，C，D，E，F(xiàn)(1)求AB的距離；(結果保留根號)(2)一輛貨車沿斜坡從C處行駛到F處，貨車的高EF為3米，EF⊥AC，若CF=16米，求此時貨車頂端E到水平線CD的距離DE．(精確到0.1米，參考數據：2≈1.41，3【答案】(1)10(2)5.4米【分析】本題考查了解直角三角形的應用—坡度坡角問題；（1）過點C作CG⊥AB，交AB的延長線于點G，在Rt△BCG中，利用銳角三角函數的定義求出CG和BG的長，然后在Rt△ACG中，利用銳角三角函數的定義求出（2）延長DE交AC于點H，根據題意可得：DC∥AG，DE⊥CD，從而可得∠CDH=90°，∠A=∠DCA=30°，然后利用直角三角形的兩個銳角互余可得∠DHC=60°，再根據垂直定義可得∠EFA=90°，從而在Rt△EFH中，利用銳角三角函數的定義求出FH和EH的長，進而求出CH的長，最后在Rt△CDH中，利用含30度角的直角三角形的性質求出【詳解】（1）解：過點C作CG⊥AB，交AB的延長線于點G，在Rt△BCG中，BC=102米，∠CBG=45°∴CG=BC?sin45°=102×22=10(BG=BC?cos45°=102×22=10(在Rt△ACG中，∠CAG=30°∴AG=3CG=103(米)，∴AB=AG?BG=(103?10)米，∴AB的距離為(103?10)米；（2）延長DE交AC于點H，由題意得：DC∥AG，∴∠CDH=90°，∵DC∥AG，∴∠A=∠DCA=30°，∴∠DHC=90°?∠DCA=60°，∵EF⊥AC，∴∠EFA=90°，在Rt△EFH中，EF=3∴FH=EFtan60°=33EH=EFsin60°=33∵CF=16米，∴CH=CF+FH=(16+3)米，在Rt△CDH中，∠DCA=30°∴DH=12∴DE=DH?EH=8+32?23=8?3∴此時貨車頂端E到水平線CD的距離DE約為5.4米．6．（2023上·重慶北碚·九年級西南大學附中?？计谥校┤鐖D為挖掘機某工作時刻的示意圖，挖掘機的底座高AB=1米，大臂由BC和CD兩部分構成，其中BC=3米，CD=4米，BC與CD的固定夾角，∠BCD=140°，此時測得大臂的前部BC與AB的夾角∠ABC=140°，小臂DE與地面AM的夾角∠DEA=45°．（參考數據：sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，sin40°≈0.64(1)求點C到地面AM的距離．（結果精確到0.1米）(2)已知挖掘機A正前方10米外為禁止施工路段，請通過計算說明此時控掘機挖掘的地方是否為禁止施工路段？（結果精確到0.1米）【答案】(1)3.3米(2)不是【分析】（1）本題考查解直角三角形的應用，過點C，D分別作CF⊥AE，DM⊥AE，F(xiàn)，M分別為垂足，再過點B，C分別作BN⊥CF，CH⊥DM，N，H為垂足，根據平行線得到∠BCF=40°，結合三角函數求解即可得到答案（2）本題考查解直角三角形的應用與等腰三角形的判定與性質，根據正余弦得到DH、CH，再證出△DMC為等腰直角三角形即可得到答案；【詳解】（1）解：過點C，D分別作CF⊥AE，DM⊥AE，F(xiàn)，M分別為垂足，再過點B，C分別作BN⊥CF，CH⊥DM，N，H為垂足，如圖所示：∵AB⊥AE，CF⊥AE，∴AB∥CF，∴∠ABC+∠BCF=180°，∵∠ABC=140°，∴∠BCF=40°，在Rt△BCN中，cos∠BCF=CN∴BN=BC?sinCN=BC?cos∴CF=CN+NF=CN+AB≈2.31+1≈3.3（米），∴點C到地面AM的距離3.3米；（2）解：∵CF⊥AE，DM⊥AE，CH⊥DM，∴CF=MH，CH=FM，CH∥FM，∵∠BCD=140°，∠BCF=40°，∠FCH=90°，∴∠DCH=10°，在Rt△CHD中，CD=4sin∠DCH=DHCD∴CH=CD?cosDH=CD?sin∴DM=DH+HM=DH+CF≈0.68+3.3=3.98（米），∵∠DEA=45°，DM⊥AE，∴△DMC為等腰直角三角形，∴EM=DM≈3.98（米），∴AE=AF+FM+ME=BN+CH+DM≈1.92+3.92+3.98=9.82≈9.8（米），∵9.8<10，∴控掘機挖掘的地方不是禁止施工路段．7．（2023上·重慶·九年級重慶南開中學?？计谥校┬c期間，小南同學從天津到北關中學瞻仰張伯苓校長的雕塑，聆聽學校的辦校故事．他從沙坪壩火車站出站后，導航給出兩條線路，如圖：①A﹣E﹣D﹣M；②A﹣B﹣C﹣M．經勘測，點E在點A的北偏西45°方向4002米處，點D在點E的正北方向200米處，點M在點D的正東方向250米處，點B在點E的正東方向，且在點A的北偏東30°方向，點C在點D的正東方向，且在點B的北偏西37°

(1)求EB的長度；（結果保留根號）(2)由于時間原因，小南決定選擇一條較短路線到達張伯苓校長的雕塑前，請計算說明他應該選擇線路①還是線路②？（參考數據2≈1.41，3≈1.73，sin37°≈0.6，cos【答案】(1)400(2)應該選擇線路②，理由見解析【分析】本題主要考查解直角三角形的應用．(1)過點C做CH⊥BH交于點H，做AG⊥BE交于點G，然后利用等腰直角三角形的性質以及銳角三角函數解題即可．(2)利用解直角三角形和線段之間的關系解題即可．【詳解】（1）解：過點C作CH⊥BH交于點H，做AG⊥BE交于點G，如下圖：

∵在等腰Rt△AEG中，AE=400∴EG=AG=A∵在Rt△ABG中，AG=400∴BG=AG?tan∴BE=BG+EG=400（2）根據題1的詳解，則AB=AG在Rt△BHC中，BH=DE=200∴CH=BH?∴BC=C∴MC=DH?DM?CH=400+400線路①：AE+DE+DM=4002線路②：AB+BC+CM=800故線路②距離較短．8．（2023上·重慶沙坪壩·九年級重慶市第七中學校校考期中）如圖，在河流兩邊有甲、乙兩座山，現(xiàn)在從甲山A處的位置向乙山B處拉電線．已知甲山上A點到CD的垂直高度AC=120米；乙山BD的坡比為4:3，乙山上B點到河邊D的距離BD=650米，從B處看A處的俯角為25°．（A、B、C、D在同一平面內，參考值：sin25°≈0.423,(1)求乙山B處到河邊CD的垂直距離；(2)求河CD的寬度（結果保留整數）．【答案】(1)乙山B處到河邊CD的垂直距離為520米(2)河CD的寬度約為468米【分析】本題考查了解直角三角形的應用-仰角俯角問題，坡度坡角問題．（1）過點B作BE⊥CD，垂足為E，根據已知可設BE=4k米，則DE=3k米，然后在Rt△BDE（2）過點A作AF⊥BE，垂足為F，根據題意可得：AF=CE，AC=EF=120米，BG∥AF，從而可得∠ABG=∠BAF=25°，再利用（1）的結論可得BF=400米，然后在Rt△ABF【詳解】（1）過點B作BE⊥CD，垂足為E，∵乙山BD的坡比為4：∴BEDE∴設BE=4k米，則DE=3k米，在Rt△BDE中，BD=∵BD=650米，∴5k=650，∴k=130，∴BE=520米，DE=390米，∴乙山B處到河邊CD的垂直距離為520米；（2）如圖：過點A作AF⊥BE，垂足為F，由題意得：AF=CE，AC=EF=120米，∴∠ABG=∠BAF=25°，∵BE=520米，∴BF=BE?EF=520?120=400（米），在Rt△ABF中，AF=∴CE=AF=858.4米，∴CD=CE?DE=858.4?390≈468（米），∴河CD的寬度約為468米．9．（2023上·重慶萬州·九年級重慶市萬州第二高級中學?？计谥校┲苣∶骱托〖t相約爬山到山頂點C處觀景（山腳處的點A、B在同一水平線上），小明在A點處測得山頂點C的仰角為37°，他從點A出發(fā)，沿AC爬山到達山頂C．小紅從點B出發(fā)，先爬長為260米的山坡BD到達點D，BD的坡度為2.4：1，然后沿水平觀景步道DE走了450米到達點E，此時山頂C正好在點E距離900米且仰角30°處，最后爬山坡EC到達山頂C（點A、(1)求山頂C到AB的距離；(2)若小明和小紅分別從點A、點B同時出發(fā)，小明的爬山速度為50米/分，小紅的爬山速度為58米/分（小紅在山坡BD、山坡EC段的速度相同），小紅的平路速度為90米/分，請問誰先到達山頂C處？請通過計算說明理由．【答案】(1)山頂C到AB的距離為450(2)小紅先到山頂，理由見詳解【分析】本題主要考查仰俯角、勾股定理與行程問題，三角函數的計算的綜合，掌握仰俯角求路程，勾股定理的運用，三角函數的計算方法是解題的關鍵．（1）如圖所示，過點D作DF⊥AB于點F，過點E作MG⊥AB于點G，過點C作CH⊥AB于點H，過點E作EN⊥CH于點N，由坡比可算出DF,EG,NH的值，在Rt△AEN中，根據含30°角的直角三角形的性質可求出CN（2）根據行程問題的數量關系分別算出小明，小紅的時間，進行比較即可．【詳解】（1）解：如圖所示，過點D作DF⊥AB于點F，過點E作MG⊥AB于點G，過點C作CH⊥AB于點H，過點E作EN⊥CH于點N，根據題意可得，BD=260m，且BD的坡度為2.4：1∴在Rt△BDF中，B∴BF解得，BF=100m∴DF=2.4BF=240m根據題意可得，DF=EG=NH=240m∵點E的仰角為30°，即∠CEM=30°，∴∠CEN=60°，CE=900m∴在Rt△AEN中，∠ECN=30°∴EN=12CE=∴CH=CN+NH=450∴山頂C到AB的距離為4503（2）解：小紅先到山頂，理由如下，根據題意可得，在Rt△ACH中，∠A=37°∴sin37°=∴AC=CH∵小明的爬山速度為50米/分，∴小明在A點處測得山頂點C的時間為：1675÷50=33.5（分鐘），根據題意，BD+EC=260+900=1160m，小紅的爬山速度為58∴小紅上坡的時間為：1160÷58=20（分鐘），∵DE=450m，小紅的平路速度為90∴小紅平路的時間為：450÷90=5（分鐘），∴小紅從B→C的時間為：20+5=25（分鐘），∵25<33.5，∴小紅先到山頂．10．（2023上·重慶九龍坡·九年級重慶市楊家坪中學校考期中）如圖，海面上有A，B兩個小島，A在B的正東方向．有一艘漁船在點P處，從A處測得漁船在北偏西60°的方向，從B處測得漁船在其東北方向，且測得B，P兩點之間的距離為30海里．(1)求小島A，B之間的距離（結果保留根號）；(2)漁船在P處發(fā)生故障，在原地等待救援．一艘救援船以每小時45海里的速度從A地出發(fā)先沿正西方向前往B點去取修理的材料（取材料的時間忽略不計），再沿射線BP方向以相同的速度前往P點進行救援．救援船從A點出發(fā)的同時，一艘補給船從C點出發(fā)，以每小時30海里的速度沿射線CP方向前往P點，已知A，P，C三點在同一直線上，從B測得C在B的北偏西15°方向．請通過計算說明救援船能否在補給船到達P點后的40分鐘之內趕到P點．（參考數據：2≈1.41，3≈1.73，【答案】(1)(152(2)不能，理由見解析【分析】（1）過點P作PD⊥AB于D點，可得∠BDP=∠ADP=90°，然后在Rt△PBD中，利用銳角三角函數的定義求出BD，DP的長，再在Rt△PAD中，利用銳角三角函數的定義求出（2）過點B作BF⊥AC，垂足為F，利用含30度的直角三角形的性質求出BF，證明△BCF是等腰直角三角形，求出CF，利用勾股定理求出PF，得到CP，再分別算出兩艘船分別到達點P的時間，根據差值判斷即可．【詳解】（1）解：過點P作PD⊥AB于D點，∴∠BDP=∠ADP=90°，在Rt△PBD中，∠PBD=45°，BP=30∴DP=BP?sinBD=BP?cos在Rt△PAD中，∠PAD=90°?60°=30°∴AD=DP∴AB=BD+AD=(152∴小島A，B之間的距離為(152（2）不能，理由是：過點B作BF⊥AC，垂足為F，∴∠AFB=∠CFB=90°，由題意得：∠ABC=90°+15°=105°，∠PAD=90°?60°=30°，∴∠C=180°?∠ABC?∠PAD=45°，∴△BCF是等腰直角三角形，在Rt△ABF中，∠BAF=30°∴BF=12AB=(∴CF=BF=15∴PF=B∴PC=CF+PF=156∴補給船到達P點所用時間為：CP30=救援船到達P點所用時間為：AB+BP45∵1.95?1.23×60=43.2∴救援船不能在補給船到達P點后的40分鐘之內趕到P點．【點睛】本題考查了解直角三角形的應用?方向角問題，根據題目的已知條件并結合圖形添加適當的輔助線是解題的關鍵．11．（2023上·重慶沙坪壩·九年級重慶市鳳鳴山中學校聯(lián)考期中）如圖，某校無人機興趣小組為測量教學樓的高度，在操場上展開活動．此時無人機在離地面30m的D處，操控者從A處觀測無人機D的仰角為30°，無人機D測得教學樓BC頂端點C處的俯角為37°，又經過人工測量測得操控者A和教學樓BC之間的距離AB為60m，點A，B，C，(1)求此時無人機D與教學樓BC之間的水平距離BE的長度（結果保留根號）；(2)求教學樓BC的高度（結果取整數）．（參考數據：3≈1.73，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80【答案】(1)60?30(2)24【分析】本題考查三角函數的實際應用．根據題意建立直角三角形是解題關鍵．（1）過點C作CF⊥DE，在Rt△ADE（2）在Rt△DCF中求出DF【詳解】（1）解：過點C作CF⊥DE，如圖所示：由題意得：CF=BE，BC=EF，AB=60m，DE=30m，∠DAE=30°，在Rt△ADE中，∠DAE=30°，DE=30∴AE=DE∴CF=BE=AB?AE=故：無人機D與教學樓BC之間的水平距離BE的長度是60?303（2）解：在Rt△DCF中，∠DCF=37°∴DF=CF×tan∴BC=EF=DE?DF=30?45?故：教學樓BC的高度為24m12．（2023上·重慶沙坪壩·九年級重慶南開中學校考階段練習）（1）如圖1，AB表示一個窗戶的高，AM和BN表示射入室內的光線，窗戶的下端到地面的距離BC=1m，已知某一時刻BC在地面的影長CN=1.5m，AC在地面的影長（2）如圖2，小明欲測量一座古塔的高度，他拿出一根竹桿豎直插在地面上，然后自己退后，使眼睛通過竹桿的頂端剛好看到塔頂，若小明眼睛離地面1.6m，竹桿頂端離地面2.4m，小明到竹桿的距離DF=2m

【答案】（1）窗戶的高度AB為2m；（2）古塔的高度是15.6【分析】（1）由題意可得BN∥AM，根據平行線分線段成比例列式求出AC，然后可得窗戶（2）證明四邊形EFDG和四邊形GDBH是矩形，可得BH=DG=EF=1.6m，EG=DF=2m，GH=DB=33m，然后證明△EGC∽△EHA【詳解】（1）解：由題意可得BN∥根據平行線分線段成比例可得：CNCM=CB∴AC=3m∴AB=AC?BC=3?1=2m答：窗戶的高度AB為2m（2）如圖，CD與EH交于點G，

∵小明、竹竿、古塔均與地面垂直，EH∥∴∠EFD=∠FDG=∠DGE=∠HGD=∠GDB=∠DBH=90°，∴四邊形EFDG和四邊形GDBH是矩形，∴BH=DG=EF=1.6m，EG=DF=2m，∵竹桿頂端離地面2.4m，即CD=2.4∴CG=CD?DG=0.8m∵CD∥∴△EGC∽∴EGEH=CG解得AH=14m∴AB=AH+BH=14+1.6=15.6m答：古塔的高度是15.6米．【點睛】此題考查了平行線分線段成比例，相似三角形的應用，熟練掌握平行線分線段成比例定理以及相似三角形的判定和性質是解題的關鍵．13．（2023上·重慶·九年級字水中學?？计谥校?月份，長江重慶段開始進入枯水期，有些航道狹窄的水域通航壓力開始慢慢增加．為及時掌握轄區(qū)通航環(huán)境實時情況，嚴防船舶擱淺、觸礁等險情事故發(fā)生，沿江海事執(zhí)法人員持續(xù)開展巡航檢查，確保近七百公里的長江干線通航安全．如圖，巡航船在一段自西向東的航道上的A處發(fā)現(xiàn)，航標B在A處的北偏東45°方向200米處，以航標B為圓心，150米長為半徑的圓形區(qū)域內有淺灘，會使過往船舶有危險．(1)由于水位下降，巡航船還發(fā)現(xiàn)在A處北偏西15°方向300米的C處，露出一片礁石，求B、C兩地的距離；（精確到1米）(2)為保證航道暢通，航道維護項目部會組織挖泥船對該條航道被淺灘影響的航段進行保航施工．請判斷該條航道是否被這片淺灘區(qū)域影響？如果有被影響，請求出被影響的航道長度為多少米？如果沒有被影響，請說明理由．（參考數據：2≈1.414，7【答案】(1)265米(2)會影響，長度為100米，理由見解析【分析】（1）過點B作BD⊥AD,BE⊥AC，垂足分別為D,E，根據方位角求得∠BAC=60°，解Rt△ABE,（2）根據題意，設BF=150，勾股定理求得FD，即可求解．【詳解】（1）如圖，過點B作BD⊥AD,BE⊥AC，垂足分別為D,E，根據題意可得∠BPA=45°,∠PAC=15°，∴∠BAE=60°，Rt△ABE中，AB=200∴BE=AB?sin60°=200×3∵AC=300米，∴EC=AC?AE=200米，Rt△BCE中，BC=（2）會影響，長度為100米，理由如下，∵AB=200米，Rt△ABD中，BD=AB?∵141<150，∴該條航道被這片淺灘區(qū)域影響，根據題意，150米長為半徑的圓形區(qū)域內有淺灘，設BF=150米，Rt△BFD中，F(xiàn)D=根據對稱性，可得被影響的航道長度為100米．【點睛】本題考查了勾股定理的應用，解直角三角形的應用，理解題意構造直角三角形是解題的關鍵．14．（2023上·重慶沙坪壩·九年級重慶一中?？计谥校┤鐖D，光明中學一教學樓頂上豎有一塊高為AB的宣傳牌，點E和點D分別是教學樓底部和外墻上的一點（A，B，D，E在同一直線上），小紅同學在距E點9米的C處測得宣傳牌底部點B的仰角為67°，同時測得教學樓外墻外點D的仰角為30°，從點C沿坡度為1:3的斜坡向上走到點F時，DF正好與水平線CE(1)求點F到直線CE的距離（結果保留根號）；(2)若在點F處測得宣傳牌頂部A的仰角為45°，求出宣傳牌AB的高度（結果精確到0.01）．（注：sin67°≈0.92,【答案】(1)33(2)1.95米【分析】（1）過點F作FH⊥CE于H，可得四邊形FHED是矩形，從而得到FH=DE，在Rt△CDE（2）根據CF的坡度為1:3，可得CH=3FH=9（米），從而得到EH=DF=18（米），在Rt【詳解】（1）解：過點F作FH⊥CE于H，∵FD∥CE，∵FH∥DE,DF∥HE,∠FHE=90°，∴∠FHE=∠DEH=∠FDE=90°，∴四邊形FHED是矩形，∴FH=DE，在Rt△CDE中，DE=CE?∴FH=DE=33答：點F到CE的距離為33（2）解：∵CF的坡度為1:3∴在Rt△FCH中，CH=在Rt△DCE中，∠DCE=30°∴CE=DE∴EH=DF=18（米），∵∠AFD=45°，∴△ADF是等腰直角三角形，∴AD=DF=18米，在Rt△BCE中，BE=CE?∴AB=AD+DE?BE=18+33答：宣傳牌AB的高度約為1.95米．【點睛】本題主要考查了解直角三角形的實際應用，明確題意，準確構造直角三角形是解題的關鍵．15．（2023上·重慶沙坪壩·九年級重慶一中?？计谥校┤鐖D，某工廠準備開發(fā)一塊四邊形ABCD的空地，點C在點D的南偏東45°方向上，點A在點D的北偏東60°方向上，點B在點A的正東方向，點C在點B的正南方向．已知AB=2千米，CD=52千米．（參考數據：2≈1.414，

(1)如果要在空地四周建立防護欄，需要多少千米的防護欄？（精確到0.1千米）(2)該工廠計劃用380萬元改造該地塊，如果每平方千米的改造費用為20萬元，通過計算，判斷改造費用是否充足？【答案】(1)需要19.3千米的防護欄(2)改造費用充足，計算見詳解【分析】（1）過點D作BC的垂線段，交BC于點F，過點A作DF的垂線段，交DF于點E，根據題意可得∠FDC=45°,∠ADE=90°?60°=30°，解直角三角形求出AD,BC的值，即可解答；（2）根據（1）求得數據，求出四邊形ABCD的面積，即可解答．【詳解】（1）解：如圖，過點D作BC的垂線段，交BC于點F，過點A作DF的垂線段，交DF于點E，

據題意可得∠FDC=45°,∠ADE=90°?60°=30°，∴sin∴FC=DF=2∵∠AEF=∠EFB=∠B=90°，∴四邊形AEFB為矩形，∴EF=AB=2千米，∴DE=DF?EF=3千米，∴cos∴AD=DE∴BF=AE=1∴四邊形ABCD的周長=AB+BF+FC+CD+DA=7+52答：需要19.3千米的防護欄；（2）解：四邊形ABCD的面積=S∵18.562×20=371.24<380，∴判斷改造費用充足．【點睛】本題考查了解直角三角形，熟練畫出正確的輔助線是解題的關鍵．16．（2023上·重慶北碚·九年級西南大學附中?？计谥校┤鐖D，筆直的海岸線l上有A、B兩個觀測站，A在B的正東方向．有一艘漁船在點P處，從A處測得漁船在北偏西60°的方向，從B處測得漁船在其東北方向，且測得B、P兩點之間的距離為20海里．(1)求觀測站A、B之間的距離（結果保留根號）；(2)漁船從點P處沿射線AP的方向航行一段時間后，到點C處等待補給，此時，從B測得漁船在北偏西15°的方向．在漁船到達C處的同時，一艘補給船從點B出發(fā)，以每小時20海里的速度前往C處，請問補給船能否在83分鐘之內到達C處？（參考數據：3≈1.73【答案】(1)觀測站A、B之間的距離為102(2)補給船能在83分鐘之內到達C處，理由見解析．【分析】（1）過點P作PD⊥AB于D點，可得∠BDP=∠ADP=90°，然后在Rt△PBD中，利用銳角三角函數的定義求出BD，DP的長，再在Rt△PAD中，利用銳角三角函數的定義求出（2）過點B作BF⊥AC，垂足為F，根據題意得：∠ABC=105°，∠PAD=30°，從而求出∠C=45°，然后在Rt△ABF中，利用銳角三角函數的定義求出BF的長，再在Rt△BCF中，利用銳角三角函數的定義求出【詳解】（1）解：過點P作PD⊥AB于D點，∴∠BDP=∠ADP=90°，在Rt△PBD中，∠PBD=90°?45°=45°，BP=20∴DP=BP·sin45°=102在Rt△PAD中，∠PAD=90°?60°=30°∴AD=DP∴AB=BD+AD=10∴觀測站A，B之間的距離為102（2）補給船能在82分鐘之內到達C處，理由：過點B作BF⊥AC，垂足為F，∴∠AFB=∠CFB=90°，由題意得：∠ABC=90°+15°=105°，∠PAD=90°?60°=30°，∴∠C=180°?∠ABC?∠PAD=45°，在Rt△ABF中，∠BAF=30°∴BF=1在Rt△BCF中，∠C=45°∴BC=BF∴補給船從B到C處的航行時間=10+10320∴補給船能在83分鐘之內到達C處．【點睛】本題考查了解直角三角形的應用-方向角問題，根據題目的已知條件并結合圖形添加適當的輔助線是解題的關鍵．17．（2023上·重慶江北·九年級重慶十八中校考期中）甲、乙兩旅游愛好者從點B出發(fā)到點D，甲沿B?C?D的路線，乙沿B?A?D的路線．經測量，點C在點B的正北方向，點D在點C的北偏西60°，點A在點B的正西方向，點D在點A的北偏東45°，AB=7000米，CD=20003

(1)求點D到直線BC的距離；(2)為方便聯(lián)系，甲、乙兩人各攜帶一部對講機，對講機信號覆蓋半徑是6000米，當甲在點D，乙在點A時，乙能否收到甲的呼叫信號？請說明理由．（參考數據：2≈1.414，3【答案】(1)3000米(2)乙能收到甲的呼叫信號，理由見解析．【分析】（1）過點D作DE⊥BC，交BC的延長線于點E，在Rt△CDE中，利用銳角三角函數的定義求出DE（2）過點D作DF⊥AB于點F，在等腰直角三角形ADF中利用銳角三角函數或者勾股定理即可求出AD的長，比較即可解答．【詳解】（1）如圖，過點D作DE⊥BC的延長線于點E，

在Rt△CDE∵∠DCE=60°，CD=20003∴sin即sin60°=解得：DE=3000米∴點D到BC的距離為3000米；（2）乙能收到甲的呼叫信號，理由如下：過點D作DF⊥AB于點F，

∵四邊形BEDF是矩形，∴BF=DE=3000米，∴AF=AB?BF=7000?3000=4000米，∵∠DAF=45°，∴在等腰直角△DAF中，AF=DF=4000米，sin∠DAF=即sin45°=解得：AD=20002∵5656<6000，5656<6000，∴乙能收到甲的呼叫信號．【點睛】本題考查了解直角三角形的應用中的方位角問題，根據題目的已知條件并結合圖形添加適當的輔助線是解題的關鍵．18．（2023上·重慶·九年級重慶八中?？计谥校┤鐖D，在河流EF兩邊有甲、乙兩座山，現(xiàn)在從甲山A處的位置向乙山B處拉電線，已知甲山AF與地面CD的夾角∠AFC=60°，乙山BE的坡比為1:1，甲山上A點的高度AC=600米，從A處看B處的俯角為15°．（參考數據：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，2≈1.414，(1)若AB之間電線的長度為900米，求河寬EF的長度：（結果精確到1米）(2)若在河邊點F處有一個信號接收站，信號站附近480米內有電流會影響信號接收，請問電線安裝完成后，是否會影響信號接收站的正常工作，并說明理由．【答案】(1)161米(2)不會影響信號接收站的正常工作，理由見解析【分析】（1）根據三角函數及矩形的性質得出CF=2003，DH=600，確定BH=234，AH=873，再由坡度確定DE=BD=366（2）過F作FG⊥AB于點E，連接FB，利用三角形等面積法求解即可．【詳解】（1）：根據題意得四邊形ACDH為矩形，∵∠AFC=60°，AC=600，∴CF=ACtan60°∵AB=900，∠HAB=15°，∴BH=sin15°?AB=234，∴BD=600?234=366，CD=AH=873，∵乙山BE的坡比為1:1，∴DE=BD=366，∴EF=873?366?2003（2）解：過F作FG⊥AB于點E，∵AH∥BC，∠AFC=60°，∴∠FAH=∠AFC=60°．∵∠BAH=15°，∴∠BAF=∠FAH?∠BAH=45°．在Rt△ACF中，tan∴CF=AC∴AF=2CF=4003在Rt△AGF中，sin∴FG=AFsin45°=4003×2∴不會影響信號接收站的正常工作．【點睛】本題考查了解直角三角形的應用—坡度坡角問題，熟練掌握銳角三角函數定義，正確作出輔助線構造直角三角形是解題的關鍵．19．（2023上·重慶北碚·九年級西南大學附中?？计谥校┤鐖D，一條自西向東的道路上有兩個公交站點，分別是B和C，在B的北偏東60°方向上有另一公交站點A．經測量，A在C的北偏西30°方向上，一輛公交車從B出發(fā)，沿BC行駛15003?1500米到達D處，此時D在A的西南方向．（參考數據：2≈1.414(1)求CD的距離；（結果保留根號）(2)該公交車原計劃由D→C行駛，其平均速度為400米/分，但當行駛到D點時，接到通知，DC段道路正在維修，需要沿D→A→C繞道行駛，為了盡快到達C站點，繞道時其平均速度提升到500米/分．那么原計劃所用時間和實際所用時間相比，哪個更少？請說明理由．（結果保留1位小數）【答案】(1)1500+5003(2)原計劃所用時間較少，理由見解析【分析】（1）過點A，作AE⊥BC于點E，根據題意可得∠DAE=45°,∠ABE=30°,∠ACE=60°，求得BD=3?1AE，進而得出AE=1500（2）根據題意，求得AD+AC，然后根據路程除以速度，比較兩段時間，即可求解．【詳解】（1）解：如圖所示，過點A，作AE⊥BC于點E，根據題意可得∠DAE=45°,∠ABE=30°,∠ACE=60°，在Rt△ABE中，BE=在Rt△ADE中，AE=DE在Rt△AEC中，EC=∵BD=BE?DE=33?1∴AE=1500，∴CD=DE+EC=AE+3（2）解：DA+AC=2=15002D→C行駛所需時間為：1500+5003沿D→A→C繞道行駛所需時間為：15002∵7.7>5.9，∴原計劃所用時間較少．【點睛】本題考查了解直角三角形的應用，方位角問題，構造直角三角形是解題的關鍵．20．（2022上·重慶沙坪壩·九年級重慶八中校考期中）為了充分利用教室里的書架，培養(yǎng)同學們養(yǎng)成收集和整理的好習慣，張老師為每個學習小組購買了同一規(guī)格的矩形資料盒．如圖所示，右邊10個資料盒沿書架內側依次豎直放置，最左邊一個資料盒自然斜放，A、D、E分別是資料盒與書架內側、書架底面、另一資料盒側面的接觸點（A、B、C、D，E，F(xiàn)、H在同一平面內）．已知書架內側長BC=90cm，資料盒AD=EF=18

(1)求△ABD的周長；（結果精確到十分位）(2)若每4人組成一個學習小組，張老師班上共有56人，請問該書架能放下全班的資料盒嗎？【答案】(1)73.8(2)該書架能放下全班的資料盒【分析】（1）由含30°角的直角三角形的性質可得AB=12AD=9（2）設每個資料盒厚xcm，則DE=xcm，證出∠DEH=∠ADB=30°，由含30°角的直角三角形的性質可得DH=12DE=【詳解】（1）解：在Rt△ABD中，∠BDA=30°，AD=18∴AB=12AD=9∴△ABD的周長=AB+AD+BD=93（2）解：設每個資料盒厚xcm，則DE=x∵∠EDH+∠DEH=90°，∠EDH+∠ADB=90°，∴∠DEH=∠ADB=30°，∴DH=1由圖可得：BD+DH+CH=BC，∴27+1解得：x=6，∴每個資料盒厚6cm∵56÷4=14，∴14×6=84<90，∴該書架能放下全班的資料盒．【點睛】本題主要考查了含30°角的直角三角形的性質、勾股定理、一元一次方程的應用，熟練掌握以上知識點是解此題的關鍵．21．（2023上·重慶沙坪壩·九年級重慶一中?？茧A段練習）周末，小明和小紅相約爬山到山頂點C處觀景（山腳處的點A、B在同一水平線上）．小明在A點處測得山頂點C的仰角為30°，他從點A出發(fā)，沿AC爬山到達山頂C．小紅從點B出發(fā)，先爬長為4003米的山坡BD到達點D，BD的坡度為3:1，然后沿水平觀景步道DE走了900米到達點E，此時山頂C正好在點E的東北方向1800米處，最后爬山坡EC到達山頂C（點A、B、C、D、E在同一平面內，小明、小紅的身高忽略不計）．（參考數據：2≈1.414(1)求山頂C到AB的距離（結果保留整數）；(2)若小明和小紅分別從點A、點B同時出發(fā)，小明的爬山速度為70米/分，小紅的爬山速度為60米/分（小紅在山坡BD、山坡EC段的速度相同），小紅的平路速度為90米/分，請問誰先到達山頂C處？請通過計算說明理由．【答案】(1)山頂C到AB的距離約為1873米(2)小紅先到達山頂C處，理由見解析【分析】（1）過點D作DH⊥AB于點H，過點C作CM⊥AB于點M，交DE延長線于點K．由BD的坡度為3:1，得到∠B=60°，在Rt△DBH和Rt△ECK中，利用特殊三角函數值分別求出DH（2）在Rt△ACM中，∠CAM=30°，得到AC=2CM=1200+1800【詳解】（1）解：過點D作DH⊥AB于點H，過點C作CM⊥AB于點M，交DE延長線于點K．由題意得，DH=KM，CK⊥EK，∵BD的坡度為3:1∴∠B=60在Rt△DBH中，sinB=DH∴DH=BD?sin在Rt△ECK中，∠CEK=45°，EC=1800∴CK=sin∴CM=KM+CK=DH+CK=600+9002答：山頂C到AB的距離約為1873米．（2）解：小紅先到達山頂C處，理由如下：由題意得，在Rt△ACM中，∠CAM=30°∴AC=2CM=1200+18002∴小明到達山頂所需時間為：1200+1800270≈53.5∵53.5>51.5，∴小紅先到達山頂C處．【點睛】本題考查了解直角三角形的應用，熟練掌握銳角三角函數的定義是解題的關鍵．22．（2023上·重慶九龍坡·九年級重慶市育才中學?？茧A段練習）某城區(qū)正在創(chuàng)建文明城市，政府在一塊形如Rt△ABC的草坪旁邊修建一條四邊形人行跑道BCED．如圖，點A、B、D在同一直線上，∠BAC=90°，點C在點A的正東方向200米處，點E在點C的正北方向，BD長為180米，點B在點C的北偏西45°方向，點D在點E

(1)求跑道DE的長度；(2)點D處有一個自動售貨機，小才從點C出發(fā)沿人行跑道去自動售貨機買水，可以經點B到達點D，也可以經點E到達點D，請通過計算說明小才走哪條路較近．（結果精確到個位）（參考數據：sin53°≈0.80,【答案】(1)300米(2)見解析【分析】（1）由三角函數求出DE即可．（2）由點B在點C的北偏西45°方向，可得到Rt△ABC是等腰三角形，即可求出BC的值，可求出總路程，由（1）可知DE【詳解】（1）解：由題意知BE=AC=200，∵點D在點E的北偏西53°方向，∴∠BDE=53°，cos53°=解得DE=300．（2）解：∵點B在點C的北偏西45°方向，∴Rt△ABC∴AC=AB=200，∴BC=A∵2∴BC=282，故從點C出發(fā)沿人行跑道去自動售貨機買水，可以經點B到達點D的路程=BC+DB=462，經點E到達點D的路程=EC+ED=200+300=500，∵462<500，故從點C出發(fā)沿人行跑道去自動售貨機買水，可以經點B到達點D比較近．【點睛】本題主要考查解直角三角形的應用，熟練掌握解直角三角形的應用中的方向角問題是解題的關鍵．23．（2023上·重慶渝中·九年級重慶巴蜀中學?？茧A段練習）五一假期期間，小育和小才約定一同去某公園游玩，如圖，該公園有A、B兩個門．經測量，東門A在西門B的正東方向，AB＝400米．小育自公園東門A處出發(fā)，沿北偏西45°方向前往游樂場D處；小才自西門B處出發(fā)，沿正北方向行走一段距離到達C處后，然后沿北偏東60°方向行走200米到達游樂場

(1)求公園東門A與游樂場D之間的距離（結果保留根號）；(2)若小育和小才兩人分別從A，B兩門同時出發(fā)，假設兩人前往游樂場D的速度相同．請計算說明小育和小才誰先到達游樂場D？（參考數據：2≈1.4，3【答案】(1)4002(2)小育先到達游樂場，理由見解析；【分析】（1）根據矩形的性質及銳角三角函數即可解答；（2）根據等腰直角三角形及矩形的性質即可解答．【詳解】（1）解：過點D作DH⊥AB于點H，過點C作CE⊥DH于點E，∵∠CBH=90°，∴四邊形CEHB是矩形，∵CD=200米，∠DCE=30°，∠DAH=45°，∴CE=cos∠DCE?CD=1003∴CE=BH=1003∵AB=400米，∴AH=AB?BH=400?1003∴AD=AH即公園東門A與游樂場D之間的距離4002（2）解：∵∠DAH=45°，AH=AB?BH=400?100∴AH=DH=400?100∴BC=HE=DH?DE=400?1003∴BC+CD=300?1003∵AD=4002∴AD<BC+CD，∴小育先到達游樂場，【點睛】本題考查了矩形的判定與性質，銳角三角函數，掌握銳角三角形函數是解題的關鍵．24．（2023上·重慶沙坪壩·九年級重慶八中校考階段練習）某長500米的水庫大壩的橫截面是的四邊形ABCD，壩頂CD與壩底BA平行，已知壩高24米，背水坡AD的坡度i=1:0.5．為提高大壩防洪能力，現(xiàn)需要在大壩的背水坡填筑土石方加固，加固后壩頂加寬6米（即DF=6米），∠AEF=60°．（參考數據：3≈1.732

(1)求壩底加寬的寬度AE；（保留根號）(2)據相關部門統(tǒng)計，現(xiàn)有填筑土石方83130立方米，請問是否足夠加固大壩所需？【答案】(1)8(2)現(xiàn)有填筑土石方83130立方米，不夠加固大壩所需【分析】（1）過點F作FH∥DA交BE于點H，過點F作FG⊥AB于點G，則FG=24m，證明四邊形DAHF是平行四邊形，可得DF=AH=6m，∠FHA=∠DAB，從而可得tan∠FHA=tan∠DAB=2，由題意可得，tan（2）過點D作DM⊥AB于點M，由題意可得，DM=24m，tan∠DAB=2，解直角三角形求得AM=12m，從而求得ME=83+6m【詳解】（1）解：過點F作FH∥DA交BE于點H，過點F作FG⊥AB于點則FG=24m∵FH∥DA，∴四邊形DAHF是平行四邊形，∴DF=AH=6m，∠FHA=∠DAB由題意可得，tan∠FHA=tan∠DAB=在Rt△FGH中，tan∠FHA=FG∴GH=12m在Rt△FGE中，tan∴GE=83∴HE=GE?GH=8∴AE=AH+HE=6+83

（2）解：過點D作DM⊥AB于點M，由題意可得，DM=24m，tan在Rt△DMA中，tan∴AM=12m∴ME=AM+AE=12+83∴S四邊形∴加固大壩的體積為963答：現(xiàn)有填筑土石方83130立方米，不夠加固大壩所需．

【點睛】本題考查解直角三角形、平行四邊形的判定與性質，理解題意，正確構造直角三角形是解題的關鍵．25．（2023·重慶沙坪壩·重慶一中?？级＃┠硠游飯@熊貓基地D新誕生了一只小熊貓，吸引了大批游客前往觀看．由于A、B之間的道路正在進行維護，暫時不能通行．游客由入口A進入園區(qū)之后可步行到達點C，然后可以選擇乘坐空中纜車從C→D，也可選擇乘坐觀光車從C→B→D．已知點C在點A的北偏東45°方向上，點D在點C的正東方向，點B在點A的正東方向300米處，點D在點B的北偏東60°方向上，且BD=400米．（參考數據：2≈1.414，3≈1.732，

(1)求CD的長度（精確到個位）；(2)已知空中纜車的速度是每分鐘200米，觀光車的速度是每分鐘320米，若游客想盡快到達熊貓基地D，應選擇乘坐空中纜車還是觀光車？【答案】(1)CD≈446米；(2)應選擇乘坐觀光車．【分析】（1）作CM⊥AB于M，BN⊥CD于N，推出四邊形MBNC是矩形，得到CM=BN，CN=MB，求出BN=12BD=12×400=200（米），由銳角的正切定義求出（2）分別求出乘坐空中纜車，觀光車所用的時間，即可判斷．【詳解】（1）解：作CM⊥AB于M，BN⊥CD于N，

∵AB∥∴四邊形MBNC是矩形，∴CM=BN，∵∠DBN=60°，∴BN=1∵tan∠NBD=∴DN=2003∵∠CAM=45°，∴△AMC是等腰直角三角形，∴AM=CM=200（米），∴MB=AB?AM=100（米），∴CD=CN+ND=100+2003（2）解：由勾股定理得到BC=M∴BC+BD=400+1005∴乘坐觀光車的時間是623.6÷320≈1.95（分鐘），乘坐空中纜車的時間是446÷200=2.23（分鐘），∴應選擇乘坐觀光車．【點睛】本題考查解直角三角形的應用—方向角問題，勾股定理，關鍵是通過作輔助線構造直角三角形，應用三角函數定義來解決問題．26．（2023下·重慶沙坪壩·九年級重慶八中校考階段練習）如圖，海中有一個小島A，該島四周10海里內有暗礁．一艘貨輪由西向東航行，開始在A島西偏南30.96°的B處，即∠ABD＝30.96°，往東行駛10海里后到達該島西南方向的C處，即∠ACD＝45°．貨輪繼續(xù)向東航行是否有觸礁的危險？（參考數據：sin30.96≈0.51，cos30.96°≈0.86，【答案】沒有觸礁危險【分析】設AD＝x海里，通過解直角三角形求出BD、CD，再根據BC＝BD－CD，得到53x－x＝10，解方程即可求出AD【詳解】解：設AD＝x海里．在Rt△ABD中，BD＝ADtan∠ABD＝xtan30.96在Rt△ACD中，CD＝ADtan∠ACD＝xtan∵BC＝BD－CD，∴53x－x＝10．解得，x∴AD=15＞10．答：貨輪繼續(xù)向東航行沒有觸礁的危險．【點睛】本題考查了解直角三角形的應用，明確題意得到方程53x－x27．（重慶市云陽縣第一初級中學教育集團2022-2023學年九年級下學期期中數學試題）在公園里，同一平面內的五處景點的道路分布如圖所示，經測量，點D、E均在點C的正北方向且CE=600米，點B在點C的正西方向，且BC=2003米，點B在點A的南偏東60°方向且AB=400米，點D在點A的東北方向．（參考數據：2≈1.414，3≈1.732(1)求道路AD的長度（精確到個位）；(2)若甲從A點出發(fā)沿A?D?E的路徑去點E，與此同時乙從點B出發(fā)，沿B?A?E的路徑去點E，其速度為40米/分鐘．若兩人同時到達點E，請比較誰的速度更快？快多少？（精確到十分位）【答案】(1)AD的長度為980米(2)甲比乙快，快2.4米/分鐘【分析】（1）過點A作AF⊥CB，交CB的延長線于點F，過點A作AG⊥DC，垂足為G，根據題意可得：AF=CG，AG=CF，然后在Rt△AFB中，利用銳角三角函數的定義求出AF，BF的長，從而求出CF的長，再在Rt△（2）利用（1）的結論可求出EG的長，再在Rt△AGE中，利用勾股定理可求出AE的長，然后在Rt△【詳解】（1）過點A作AF⊥CB，交CB的延長線于點F，過點A作AG⊥DC，垂足為G，由題意得：AF=CG，AG=CF，在Rt△AFB中，∠BAF=60°，∴AF=AB?cos60°=400×1BF=AB?sin60°=400×3∴CG=AF=200米，∵BC=2003∴CF=BF+BC=2003+2003∴AG=CF=4003在Rt△ADG中，∴AD=AGcos45°∴道路AD的長度約為980米；（2）∵CE=600米，CG=200米，∴EG=CE?CG=400（米)，在Rt△AGE中，∴AE=AG2在Rt△ADG中，∴DG=AG?tan45°=4003∴甲的路程=AD+DE=AD+DG?EG=(4006乙的路程=AB+AE=400+800=1200（米)，∵乙的速度為40米/分鐘，∴乙所用的時間=1200∴甲所用的時間也是30分鐘，∴甲的速度=4006+400∴42.4?40=2.4（米/分鐘），∴若兩人同時到達點E，甲的速度更快，快2.4米/分鐘．【點睛】本題考查了解直角三角形的應用?方向角問題，勾股定理的應用，根據題目的已知條件并結合圖形添加適當的輔助線是解題的關鍵．28．（2023下·重慶沙坪壩·九年級重慶一中?？计谥校┬∶魅ヂ糜?，在某地有A，B，C，D，4個景點．如圖，C在A的東北方向，C和D分別在B的北偏東30°和北偏東75°處，C在D的西北方向，B在A的正東方向600米處．

(1)求BC的長度（結果保留根號）；(2)由于參觀D處的人較少，景點負責人決定分別從C、B處修建一條筆直的小路，為人們參觀D提供方便．現(xiàn)有甲乙兩個工程隊，已知甲工程隊的工作效率為50米/天，甲修建好CD的同時，乙工程隊剛好修建好BD，請求出乙工程隊的工作效率．（結果精確到個位）（參考數據：3=1.732【答案】(1)BC的長度為(6003(2)乙工程隊的工作效率約為68米/天【分析】（1）過點C作CE⊥AB交AB的延長線于點E，設BE=x，表示出CE，BC，AE，根據AB=600求出x，即可得到BC；（2）過點C作CF⊥BD，交BD于點F，設DF=a，表示出相應線段，根據BC=6003+600求出a值，得到CD，【詳解】（1）解：過點C作CE⊥AB交AB的延長線于點E，由題知：∠CAB=45°，∠CBE=60°，設BE=x，在Rt△BCE中，∠CBE=60°∴CE=3BE=3在Rt△ACE中，∠CAB=45°∴AE=CE=3∴AB=AE?BE=3∴x=3003∴BC=2x=6003答：BC的長度為(6003（2）過點C作CF⊥BD，交BD于點F，由題知：∠CBD=45°，∠CDB=60°，設DF=a，在Rt△CDF中，∠CDF=60°∴CF=3DF=3在Rt△BCF中，∠CBF=45°∴BF=CF=3a，∴a=3002∴DC=2a=6002+2006∵甲修CD，乙修BD，且同時修好，∴DCv甲=∴v乙答：乙工程隊的工作效率約為68米/天．【點睛】本題考查了等腰直角三角形的判定和性質，含30度的直角三角形的性質，勾股定理，解題的關鍵是仔細分析，將角的度數轉化為特殊三角形的性質．29．（2023年重慶市第一中學中考三模數學試題）五一節(jié)日到來，重慶又一次成為全國火熱城市，小明和小亮兩人相約去觀賞洪崖洞夜景，小明從A地出發(fā)，小亮從B地出發(fā)，相約到C地觀景．在A處測得C在A的北偏東45°方向上，在B處測得C在B的正北方向上，且B在A的北偏東75°方向上．小明小亮同時分別從A、B兩地出發(fā)，他們約定先在AC上的D處匯合，小明沿著AC方向慢跑，小亮沿著北偏西60°以150m/min的速度跑了2分鐘到達D（參考數據：3≈1.73，

(1)求AB的長度（結果保留根號）；(2)他們在D處匯合的時間恰好為18：58，若他們匯合之后立即沿DC方向同行的速度為200m/min（匯合時間忽略不計）則他們能在19：00【答案】(1)1502+150(2)能，理由見解析【分析】（1）如圖所示，過點A作AE⊥BC交CB的延長線于點E，過點D作DF⊥AB于點F，根據題意得出∠CAE=45°,∠DAB=75°?45°=30°，∠BAE=90°?75°=15°，∠DBF=45°，得出BF=DF=22DB=1502m，在Rt△DAF（2）如圖所示，過點D作DG⊥CE于點G，得出CD=2DG，Rt△BDG中，得出DG=1503，進而求得CD的長，依題意，【詳解】（1）解：如圖所示，過點A作AE⊥BC交CB的延長線于點E，過點D作DF⊥AB于點F，

∵在A的北偏東45°方向上，在B處測得C在B的正北方向上，且B在A的北偏東75°方向上．∴∠CAE=45°,∠DAB=75°?45°=30°，∠BAE=90°?75°=15°，在Rt△ABE中，∠ABE=90°?∠BAE=90°?15°=75°∵小亮從B地出發(fā)，小亮沿著北偏西60°以150m/min的速度跑了∴BD=150×2=300m，∠CBD=60°，∴∠DBF=45°，∴BF=DF=22DB=150在Rt△DAF中，AF=∴AB=AF+FB=1502+150（2）解：如圖所示，過點D作DG⊥CE于點G，

∵∠EAC=45°，∠E=90°，∴∠C=45°，∴CD=2∵Rt△BDG中，∴CD=2DG=1506∵200×2=400>367.5，∴他們能在19：00之前到達C地．【點睛】本題考查了解直角三角形的應用，方向角問題，熟練掌握三角函數的定義是解題的關鍵．30．（2023年重慶市渝中區(qū)巴蜀中學校中考三模數學試題）如圖為某體育公園部分示意圖，C為公園大門，A、B、D分別為公園廣場、健身器材區(qū)域、兒童樂園．經測量：A、B、C在同一直線上，且A、B在C的正北方向，AB=240米，點D在點B的南偏東75°方向，在點A的東南方向．

(1)求B、D兩地的距離；（結果精確到0.1m(2)大門C在兒童樂園D的南偏西60°方向，由于安全需要，現(xiàn)準備從兒童樂園D牽一條筆直的數據線到大門C的控制室，請通過計算說明公園管理部門采購的380米數據線是否夠用（接頭忽略不計）．（參考數據：2≈1.414,【答案】(1)B、D兩地的距離為339.4(2)公園管理部門采購的380米數據線夠用【分析】（1）過點B作BP⊥AD于點P，在Rt△ABP中，解直角三角形求出BP，根據含30度直角三角形的性質即可求出BD（2）過點B作BM⊥CD于點M，在Rt△BDN和Rt△BCM中，根據三角函數的定義求出BD，BM，DM，CM，繼而求出【詳解】（1）解：過點B作BP⊥AD于點P，

由題意知∠BAD=45°，∠CBD=75°，∴∠ADB=30°，∠ABP=45°=∠A，∴BD=2BP，AP=BP，在Rt△ABP中，AB=240∴AP=BP=AB∴BD=2BP=2402答：B、D兩地的距離約為339.4m；（2）解：過點B作BM⊥CD于點M，

由（1）得BD=2BP=2402∵∠CDB=180°?60°?75°=45°，∠CBD=75°，∠DCB=60°，∴∠DBM=45°=∠CDB，∴BM=DM，在Rt△BDN中，BD=2402，∴BM=DM=BD?sin在Rt△BCM中，∠CBM=75°?45°=30°∴CM=BM?tan∴DC=DM+CM=240+803∵380>378.56，答：公園管理部門采購的380米數據線夠用．【點睛】本題考查了解直角三角形的應用?方向角問題，根據題目的已知條件并結合圖形添加適當的輔助線是解題的關鍵．31．（2023年重慶實驗外國語學校中考三模數學試題）五一假期，不少人選擇乘坐飛機出游．媽媽和小明從航站樓入口點B處前往登機口點A處登機．已知點A位于點B東北方向且AB=100米．點B的正東方向有另一入口點C，商店D位于點C的正北方向，同時位于點A的南偏東60°，AD=40米．

(1)求兩個入口BC的距離；（結果保留根號）(2)媽媽和小明到達航站樓時間為上午9：00，登機時間為9：30.媽媽見時間尚早，決定和小明一起先去商店D處逛逛，他們沿B→C→D→A路線行走，步行速度為60米/分，在商店D處逗留25分鐘，請計算說明媽媽和小明是否能準時登機？（參考數據：2≈1.41，3【答案】(1)502(2)能【分析】（1）過點A作AE⊥BC于點E，過點D作DF⊥AE于點F，則四邊形CDFE是矩形，CE=DF，解Rt△AEB、Rt△AFD求得BE、（2）通過解Rt△AEB，Rt△AFD求得AE、AF，進而求得CD，根據“時間=路程【詳解】（1）解：如圖，過點A作AE⊥BC于點E，過點D作DF⊥AE于點F，

∴四邊形CDFE是矩形，∴CE=DF，∵在Rt△AEB中，AB=100，∠ABE=45°∴BE=cos∵在Rt△AFD中，AD=40，∠FAD=60°∴DF=sin∴BC=BE+CE=502答：兩個入口BC的距離為502（2）解：∵在Rt△AFD中，AD=40，∠FAD=60°∴AF=cos∵在Rt△AEB中，AB=100，∠ABE=45°∴AE=sin∵四邊形CDFE是矩形，∴CD=EF=AE?EF=70.5?20=50.5（米），∴BC+CD+DA=502∵195.6÷60+25=28.26<30，∴媽媽和小明可以能準時登機．【點睛】本題考查了解直角三角形的應用-方位角問題，根據題目的已知條件并結合圖形添加適當的輔助線是解題的關鍵．32．（2023年重慶市南開中學校中考二模數學試題）想了一百種初夏的文案，也不及一場露營的美好，歡歡和樂樂兩家人周末自駕去草原營地C露營，如圖，兩家人同時從點A出發(fā)，歡歡駕駛燃油車自西向東行駛到點B，再沿北偏東60°方向行駛到營地C．由于樂樂駕駛電動汽車，需先到位于點A東北方向的充電站D充電，充電時間為30分鐘，完成充電后立即從點D出發(fā)，前往位于點D正東方向的營地C．已知AD=60千米，CD=90千米．（參考數據：2≈1.41,

(1)求BC的長度（結果保留根號）；(2)歡歡到達營地C后立即開始搭帳篷，搭建過程需1個小時．已知歡歡駕駛燃油車的速度為90千米/時，樂樂駕駛電動汽車的速度為75千米/時，請計算說明歡歡能否在樂樂到達營地C前搭完帳篷．【答案】(1)BC的長度為602(2)歡歡不能在樂樂到達營地C時搭完帳篷【分析】（1）過D作DN⊥AB于點N，作BM⊥CD于點M，解Rt△ADN求出DN=302千米，再證明四邊形DNBM為矩形，得出BM=DN=302（2）分別求出兩人所需時間，再進行比較即可得出結論．【詳解】（1）過D作DN⊥AB于點N，作BM⊥CD于點M，如圖，

由題得：∠DAN=45°,∠CBM=60°,AD=60千米，在Rt△ADN中，∠DNA=90°∴DN=ADsin∵∠DNB=∠NBM=∠BMD=90°，∴四邊形DNBM為矩形，∴BM=DN=302在Rt△CBM中，∠BMC=90°,BC=答：BC的長度為602（2）在Rt△CBM中，∠BMC=90°CM=BCsin∵CD=90千米，∴DM=CD?CM=90?30∵四邊形DNBM是矩形，∴BN=DM=90?30在Rt△ADN中，∠DNA=90°∴AN=ADcos∴AB=AN+BN=90?30∴AB+BC=90?30∴t歡∵AD+CD=60+90=150千米∴t樂∴t∴歡歡不能在樂樂到達營地C時搭完帳篷．【點睛】本題考查了解直角三角形的應用—方向角問題，從題目中提取數學模型是解題關鍵．33．（2023年重慶市育才中學教育集團中考二模數學試題）“輕軌飛梭幻影重，上天入地駛樓中”，8D魔幻城市重慶吸引了全國各她的游客，而李子壩的“輕軌穿樓”成了游客們爭相打卡的熱門景點．如圖，已知斜坡CD底端C距離輕軌所穿樓棟AB底端A處30米遠，斜坡CD長為42米，坡角為30°，DE⊥CE，為了方便游客拍照，現(xiàn)需在距斜坡底端C處12米的M處挖去部分坡體修建一個平行于水平線CE的觀景平臺MN和一條新的坡角為45°的斜坡DN．

(1)求觀景平臺MN的長；（結果保留根號）(2)小青在N處測得輕軌所穿樓棟AB頂端B的仰角為30°，點A、B、C、D、E在同一個平面內，點A、C、E在同一條直線上，且AB⊥AE，求輕軌所穿樓棟AB的高度．（結果精確到0.1米，2≈1.414，3【答案】(1)觀景臺MN的長為153(2)輕軌所穿樓棟AB的高度為35.7米【分析】（1）由題意可得：∠ECD=30°，∠DNF=45°，CM=12，CD=42，則DM=CD?CM=30，延長MN交DE于點F，在（2）過點M作MH⊥AE于點H，MG⊥AB于點G，則四邊形AGMH為矩形，從而可得到AG=MH=6，MG=AH=AC+CH=30+63，則NG=MG+MN，在Rt△BNG中，【詳解】（1）解：由題意可得：∠ECD=30°，∴DM=CD?CM=30，延長MN交DE于點F，

，∵MN∥CE，∴∠DMF=30°，在Rt△DMF中，∠DMF=30°∴DF=1在Rt△DNF中，∠DNF=45°∴FN=DF=15，∴MN=FM?FN=153答：觀景臺MN的長為153（2）解：在Rt△MCH中，∠MCH=30°∴MH=12CM=6過點M作MH⊥AE于點H，MG⊥AB于點G，如圖所示，

，則四邊形AGMH為矩形，∴AG=MH=6，∴NG=MG+MN=30+63在Rt△BNG中，∠BNG=30°∴BG=NG?tan∴AB=BG+AG=53答：輕軌所穿樓棟AB的高度為35.7米．【點睛】本題主要考查了解直角三角形的應用，添加適當的輔助線，正確的進行計算是解題的關鍵．34．（2023年重慶市巴蜀中學校中考二模數學試題）五一節(jié)期間，小墩和小融相約去動物園A游玩，小融家C在小墩家B正北方向，動物園A在小墩家B的北偏西30°方向上、在小融家C的北偏西75°方向上，已知小墩家B與小融家C距離為1600米．

(1)求動物園A與小墩家B距離為多少米？（結果保留根號）(2)在小墩家的正西方向有一個路口D恰好位于AB的中點M的正南方向，出發(fā)當天路段BM因施工無法通行，小墩到動物園A可以走路線1：B→C→A，也可以走路線2；B→D→M→A，請經過計算說明他走哪一條路線較近？（參考數據：3=1.73，2【答案】(1)800+8003(2)走路線2：B→D→M→A較近【分析】（1）過點C作CN⊥AB于N，根據三角形外角的性質得∠A=45°，則AN=CN，在Rt△BNC中求出CN和BN（2）根據AB的值確定BN的值，解直角三角形求出BD、DM，分別求出路線B→C→A，路線B→D→M→A，比較即可得出答案．【詳解】（1）過點C作CN⊥AB于N，

∵∠ABC=30°∴∠A=75°?30°=45°∴CN=BC·BN=BC?∵∠A=45°，CN⊥AB∴AN=CN=800m，∴AB=AN+BN=800+800答：動物園A與小融家C距離為800+8003（2）∵M為AB的中點∴AM=BM=400+400∵BC∴∠BMD=∠ABC=30°∵∠D=90°∴BD=DM=∵AN=CN=800m，∴AC=∴路線1：B→C→A為BC+AC=800路線2：B→D→M→A為BD+DM+AM=1200+800∵2584<2728∴走路線2：B→D→M→A較近．【點睛】本題考查了解直角三角形的應用-方向角問題，等腰直角三角形的判定和三角形的外角性質，解決本題的關鍵是掌握方向角定義．35．