圓有關(guān)綜合題（燕尾模型與半角模型、三角形的存在性）與模擬題訓(xùn)練-中考數(shù)學(xué)考前30天迅速提分復(fù)習(xí)方案（上海專用）

題型一：垂徑定理背景下燕尾模型與半角模型1．（2018·上海中考真題）已知⊙O的直徑AB=2，弦AC與弦BD交于點E．且OD⊥AC，垂足為點F．（1）如圖1，如果AC=BD，求弦AC的長；（2）如圖2，如果E為弦BD的中點，求∠ABD的余切值；（3）聯(lián)結(jié)BC、CD、DA，如果BC是⊙O的內(nèi)接正n邊形的一邊，CD是⊙O的內(nèi)接正（n+4）邊形的一邊，求△ACD的面積．【答案】（1）AC=；（2）cot∠ABD=；（3）S△ACD=．【分析】（1）由AC=BD知，得，根據(jù)OD⊥AC知，從而得，即可知∠AOD=∠DOC=∠BOC=60°，利用AF=AOsin∠AOF可得答案；（2）連接BC，設(shè)OF=t，證OF為△ABC中位線及△DEF≌△BEC得BC=DF=2t，由DF=1﹣t可得t=，即可知BC=DF=，繼而求得EF=AC=，由余切函數(shù)定義可得答案；（3）先求出BC、CD、AD所對圓心角度數(shù)，從而求得BC=AD=、OF=，從而根據(jù)三角形面積公式計算可得．【詳解】（1）∵OD⊥AC，∴，∠AFO=90°，又∵AC=BD，∴，即，∴，∴，∴∠AOD=∠DOC=∠BOC=60°，∵AB=2，∴AO=BO=1，∴AF=AOsin∠AOF=1×=，則AC=2AF=；（2）如圖1，連接BC，∵AB為直徑，OD⊥AC，∴∠AFO=∠C=90°，∴OD∥BC，∴∠D=∠EBC，∵DE=BE、∠DEF=∠BEC，∴△DEF≌△BEC（ASA），∴BC=DF、EC=EF，又∵AO=OB，∴OF是△ABC的中位線，設(shè)OF=t，則BC=DF=2t，∵DF=DO﹣OF=1﹣t，∴1﹣t=2t，解得：t=，則DF=BC=、AC==，∴EF=FC=AC=，∵OB=OD，∴∠ABD=∠D，則cot∠ABD=cot∠D=；（3）如圖2，∵BC是⊙O的內(nèi)接正n邊形的一邊，CD是⊙O的內(nèi)接正（n+4）邊形的一邊，∴∠BOC=、∠AOD=∠COD=，則+2×=180，解得：n=4，∴∠BOC=90°、∠AOD=∠COD=45°，∴BC=AC=，∵∠AFO=90°，∴OF=AOcos∠AOF=，則DF=OD﹣OF=1﹣，∴S△ACD=AC?DF=××（1﹣）=．【點睛】本題考查了圓的綜合題、解直角三角形的應(yīng)用等，綜合性較強，有一定的難度，熟練掌握和靈活應(yīng)用垂徑定理、正弦三角函數(shù)、余弦三角函數(shù)、余切三角函數(shù)、全等三角形的判定與性質(zhì)、正多邊形與圓等知識是解題的關(guān)鍵.2．（2020·上海中考真題）如圖，△ABC中，AB=AC，⊙O是△ABC的外接圓，BO的延長交邊AC于點D．（1）求證：∠BAC=2∠ABD；（2）當(dāng)△BCD是等腰三角形時，求∠BCD的大??；（3）當(dāng)AD=2，CD=3時，求邊BC的長．【答案】（1）證明見解析；（2）∠BCD的值為67.5°或72°；（3）．【分析】(1)連接OA．利用垂徑定理以及等腰三角形的性質(zhì)解決問題即可．(2)分三種情形：①若BD=CB，則∠C=∠BDC=∠ABD+∠BAC=3∠ABD．②若CD=CB，則∠CBD=∠CDB=3∠ABD．③若DB=DC，則D與A重合，這種情形不存在．分別利用三角形內(nèi)角和定理構(gòu)建方程求解即可．(3)如圖3中，作AEBC交BD的延長線于E．則，進(jìn)而得到，設(shè)OB=OA=4a，OH=3a，根據(jù)BH2=AB2-AH2=OB2-OH2，構(gòu)建方程求出a即可解決問題．【詳解】解：(1)連接OA，如下圖1所示：∵AB=AC，∴=，∴OA⊥BC，∴∠BAO=∠CAO．∵OA=OB，∴∠ABD=∠BAO，∴∠BAC=2∠ABD．(2)如圖2中，延長AO交BC于H．①若BD=CB，則∠C=∠BDC=∠ABD+∠BAC=3∠ABD．∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∴∠DBC=2∠ABD．∵∠DBC+∠C+∠BDC=180°，∴8∠ABD=180°，∴∠C=3∠ABD=67.5°．②若CD=CB，則∠CBD=∠CDB=3∠ABD，∴∠C=4∠ABD．∵∠DBC+∠C+∠CDB=180°，∴10∠ABD=180°，∴∠BCD=4∠ABD=72°．③若DB=DC，則D與A重合，這種情形不存在．綜上所述：∠C的值為67.5°或72°．(3)如圖3中，過A點作AEBC交BD的延長線于E．則==，且BC=2BH，∴==，設(shè)OB=OA=4a，OH=3a．則在Rt△ABH和Rt△OBH中，∵BH2=AB2﹣AH2=OB2﹣OH2，∴25-49a2=16a2﹣9a2，∴a2=，∴BH=，∴BC=2BH=．故答案為：．【點睛】本題屬于圓的綜合題，考查了垂徑定理，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理解直角三角形，平行線分線段成比例定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造平行線解決問題，學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，屬于中考?？碱}型．題型二：圓中的分類討論問題（三角形的存在性）1．（2015·上海中考真題）（本題滿分14分，第（1）小題滿分4分，第（2）小題滿分5分，第（3）小題滿分5分）已知：如圖，是半圓的直徑，弦，動點、分別在線段、上，且，的延長線與射線相交于點、與弦相交于點（點與點、不重合），，．設(shè)，的面積為．（1）求證：；（2）求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并寫出它的定義域；（3）當(dāng)是直角三角形時，求線段的長．【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）【分析】（1）證明線段相等的方法之一是證明三角形全等，通過分析已知條件，，聯(lián)結(jié)后還有，再結(jié)合要證明的結(jié)論，則可肯定需證明三角形全等，尋找已知對應(yīng)邊的夾角，即即可；（2）根據(jù)∽，將面積轉(zhuǎn)化為相似三角形對應(yīng)邊之比的平方來求；（3）分成三種情況討論，充分利用已知條件、以及（1）（2）中已證的結(jié)論，注意要對不符合（2）中定義域的答案舍去．【詳解】（1）聯(lián)結(jié)，∵，∴，∵，∴，∴．在和中，，∴≌，∴；（2）作，交于，∵，∴，，∴．∵，∴∽，∴，∴，當(dāng)與點重合時，∵，∴，解得，∴；（3）①當(dāng)時，，∴；②當(dāng)時，，∴，∵，∴（舍去）；③當(dāng)時，∵，∴，∵≌，∴，∴，∴，此時弦不存在，故這種情況不符合題意，舍去；綜上，線段的長為．【模擬題訓(xùn)練】1.【2021靜安二模25】（本題滿分14分，其中第（1）小題5分，第（2）小題5分，第（3）小題4分）如圖，已知半圓O的直徑AB=4，點P在線段OA上，半圓P與半圓O相切于點A，點C在半圓P上，CO⊥AB，AC的延長線與半圓O相交于點D，OD與BC相交于點E．求證：AD?AP=OD?AC；設(shè)半圓P的半徑為x，線段CD的長為y，求y與x之間的函數(shù)解析式，并寫出定義域；當(dāng)點E在半圓P上時，求半圓P的半徑．【答案】25．解：（1）聯(lián)結(jié)PC，在半圓P與半圓O中，∵PC=PA，OD=OA，∴∠PCA=∠A=∠D． （2分）∴PC//OD． （1分）∴． （1分）∴AD?AP=OD?AC． （1分）（2）在Rt△OPC中，OP=，. （1分）在Rt△OAC中，AC=. （1分）∵PC//OD，∴， （1分）∴，∴. （1分）定義域為1<x<2. （1分）（3）∵CO⊥AB，AO=BO=2，∴BC=AC=,∵PC//OD，∴，∴，∴． （1分）過點P作PH⊥CE，垂足為H．∴，∴． （1分）∵．∴BH·CB=OB·BP,∴， （1分），，．其中不符合題意，所以半圓P的半徑為． （1分）2.【2021虹口二模25】（本題滿分14分，第（1）小題4分，第（2）小題5分，第（3）小題5分）在Rt△ABC中，∠ABC=90°，tanA=,AC=5，點M是射線AB上一點，以MC為半徑的⊙M交直線AC于點D．（1）如圖9，當(dāng)MC=AC時，求CD的長；（2）當(dāng)點D在線段AC的延長線上時，設(shè)BM=x，四邊形CBMD的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域；（3）如果直線MD與射線BC相交于點E，且△ECD與△EMC相似，求線段BM的長．解：（1）過點M作MH⊥CD，垂足為點H．在Rt△ABC中，易得．………（1分）∵M(jìn)C=AC，∠ABC=90°∴AM=2AB=8∴在Rt△AMH中，．………（1分）∴……………（1分）∴由垂徑定理，得．………（1分）（2）過點M作MH⊥CD，垂足為點H．在Rt△AMH中，……………（1分）．∴,．…………（1分）∴．…（1分）又．∴，即．…………（1分）定義域為．………………（1分）（3）①當(dāng)點M在AB的延長線上時（如圖9），∵△ECD與△EMC相似，∠EDC>∠EMC，∴∠EDC=∠ECM．………（1分）∴∠CDM=∠BCM．而由MC=MD可得，∠MCD=∠CDM，∴∠BCM=∠MCD．可證得△CBM≌△CHM，∴CB=CH．…………………（1分）∴．解得，即．…………………（1分）②當(dāng)點M在線段AB上時（如下圖），同①可得∠BCM=∠MCD，CB=CH，MB=MH．………（1分）∴,．在Rt△AMH中，，即．解得．…………………（1分）綜上所述，線段BM的長為6或．3.【2021長寧二?！恳阎雸AO的直徑AB=4，點C、D在半圓O上（點C與點D不重合），∠COB=∠DBO，弦BD與半徑OC相交于點E，CH⊥AB，垂足為點H，CH交弦BD于點F．（1）如圖1，當(dāng)點D是的中點時，求∠COB的度數(shù)；（2）如圖2，設(shè)OH=x，=y，求y關(guān)于x函數(shù)解析式，并寫出定義域；（3）聯(lián)結(jié)OD、OF，如果△DOF是等腰三角形，求線段OH長．【答案】（1）∠COB=36°．（2）．（3）OH的值為或．【分析】（1）連接BC，想辦法證明∠OCB=∠OBC=2∠COB，可得結(jié)論．（2）如圖2中，過點E作EJ⊥CF于J．首先證明EC=EF，再利用平行線分線段成比例定理解決問題即可．（3）分兩種情形：如圖3-1中，當(dāng)FD=FO時，證明FD=FO=EO=EB，設(shè)FD=FO=EO=EB=x，則EC=EF=2-x，BF=2x-2，BD=3x-2，證明△BOD∽△BEO，利用相似三角形的性質(zhì)求解．如圖3-2中，當(dāng)DO=DF時，證明△OCH是等腰直角三角形即可求解．【詳解】解：（1）如圖1中，連接BC．∵，∴∠ABD=∠DBC，∵∠COB=∠ABD，∴∠OBC=2∠COB，設(shè)∠COB=x，∵OB=OC，∴∠OCB=∠OBC=2x，∵∠COB+∠OCB+∠OBC=180°，∴x+2x+2x=180°，∴x=36°，∴∠COB=36°；（2）如圖2中，過點E作EJ⊥CF于J．∵CH⊥OB，∴∠CHO=∠CHB=90°，∵∠COB+∠C=90°，∠ABD+∠HFB=90°，∴∠C=∠HFB，∵∠HFB=∠CFE，∴∠C=∠CFE，∴EC=EF，∵EJ⊥CF，∴CJ=JF，∵OC=AB=2，OH=x，∴，∵EJ∥OH，∴，∴，∴，∴，∴；（3）如圖3﹣1中，當(dāng)FD=FO時，∵FD=FO，OD=OB，∴∠D=∠FOD=∠B，∵∠EOB=∠B，∴∠D=∠DOF=∠B=∠EOB，∴△FDO≌△EOB（ASA），∴FD=FO=EO=EB，設(shè)FD=FO=EO=EB=x，則EC=EF=2-x，BF=2x-2，BD=3x-2，∵△BOD∽△BEO，∴，∴，解得或（舍棄），經(jīng)檢驗是原方程的解，∵，∴，∴，∴；如圖3﹣2中，當(dāng)DO=DF時，∵OC=OD，∴DF=OC，∵EC=EF，∴DE=OE，∴∠D=∠DOE，∵OD=OB，∴∠D=∠EBO，∵∠COB=∠B，∴∠D=∠B=∠EOB=∠DOE=45°，∵CH⊥OB，∴△OCH是等腰直角三角形，∴，綜上所述，OH的值為或．【點睛】本題屬于圓綜合題，考查了圓周角定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形或相似三角形解決問題，需要利用參數(shù)解決問題，屬于中考壓軸題．4.【2021楊浦二?！咳鐖D，已知Q是∠BAC的邊AC上一點，AQ＝15，cot∠BAC＝，點P是射線AB上一點，聯(lián)結(jié)PQ，⊙O經(jīng)過點A且與QP相切于點P，與邊AC相交于另一點D．（1）當(dāng)圓心O在射線AB上時，求⊙O的半徑；（2）當(dāng)圓心O到直線AB的距離為時，求線段AP的長；（3）試討論以線段PQ長為半徑的⊙P與⊙O的位置關(guān)系，并寫出相應(yīng)的線段AP取值范圍．【答案】（1）；（2）3或；（3）當(dāng)⊙O與⊙P內(nèi)含時，0＜AP＜12．當(dāng)⊙O與⊙P內(nèi)切時，AP＝12．當(dāng)⊙O與⊙P相交時，12＜AP＜18【分析】（1）解直角三角形求出PA即可．（2）分兩種情形：如圖，當(dāng)點O在射線AB的上方時，，當(dāng)點O在射線AB的下方時，分別利用相似三角形的性質(zhì)求解即可．（3）求出兩圓內(nèi)切時AP的值，條件⊙O與AC相切于時A時，AP的值，即可判斷．詳解】解：（1）如圖，∵點O在PA上，PQ是⊙O的切線，∴PQ⊥AP，∵cot∠PAQ＝＝，∴可以假設(shè)PA＝3k，PQ＝4k，則AQ＝5k＝15，∴k＝3，∴PA＝9，PQ＝12，∴⊙O的半徑為．（2）如圖，當(dāng)點O在射線AB的上方時，過點Q作QK⊥AB于K，過點O作OH⊥AB于H．∵PQ是⊙O的切線，∴∠PHO＝∠OPQ＝∠PKQ＝90°，∴∠OPH+∠QPK＝90°，∠QPK+∠PQK＝90°，∴△PHO∽△QKP，∴設(shè)PA＝2m，則AH＝PH＝m，PK＝9﹣2m，∴解得，m＝或﹣3，經(jīng)檢驗，x＝是分式方程的解，且符合題意．∴AP＝3．如圖，當(dāng)點O在射線AB的下方時，同法可得AP＝．綜上所述，滿足條件的AP的值為3或．（3）如圖，當(dāng)⊙P與⊙O內(nèi)切時，由△PHO∽△QKP，可得,∵OH⊥AP，∴AH＝PH，∴AP＝2PH，QK＝2PH，∴PA＝QK＝12，如圖，當(dāng)⊙O與AC相切于點A時，∵∠OAQ＝∠OPQ＝90°，OQ＝OQ，OA＝OP，∴Rt△OAQ≌Rt△OPQ（HL），∴AQ＝PQ，∵OA＝OP，∴OQ垂直平分線段AP，∴AP＝2AH＝18，觀察圖像可知：當(dāng)⊙O與⊙P內(nèi)含時，0＜AP＜12．當(dāng)⊙O與⊙P內(nèi)切時，AP＝12．當(dāng)⊙O與⊙P相交時，12＜AP＜18．【點睛】本題相似三角形、全等三角形的判定、圓與圓的位置關(guān)系．分類討論思想是難點．靈活進(jìn)行角的轉(zhuǎn)換證明相似是重點．5.【2021嘉定二模25】已知：⊙O的半徑長是5，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦．分別過點A、B向直線CD作垂線，垂足分別為E、F．（1）如圖1，當(dāng)點A、B位于直線CD同側(cè)，求證：CF＝DE；（2）如圖2，當(dāng)點A、B位于直線CD兩側(cè)，∠BAE＝30°，且AE＝2BF，求弦CD的長；（3）設(shè)弦CD的長為l，線段AE的長為m，線段BF的長為n，探究l與m、n之間的數(shù)量關(guān)系，并用含m、n的代數(shù)式表示l．【答案】（1）證明見解析部分；（2）；（3）或．【分析】（1）如圖1中，連接OD，過點O作OH⊥EF于H．證明HF=HE，HD=HC，即可解決問題．

（2）連接OD，過點O作OH⊥CD于H，設(shè)AB交CD于J．利用相似三角形的性質(zhì)求出BJ，OJ，OH，再利用勾股定理，可得結(jié)論．

（3）分兩種情形：如圖1，當(dāng)點A、B位于直線CD同側(cè)時，如圖2中，如圖2，當(dāng)點A、B位于直線CD兩側(cè)時，利用勾股定理分別求解即可．【詳解】（1）證明：如圖1中，連接OD，過點O作OH⊥EF于H．

∵BF⊥EF，AE⊥EF，OH⊥EF，

∴BF∥OH∥AE，

∵OA=OB，

∴HF=HE，

∵OH⊥CD，

∴CH=DH，

∴CF=DE；

（2）連接OD，過點O作OH⊥CD于H，設(shè)AB交CD于J．

∵BF⊥CD，AE⊥CD，

∴∠BFJ=∠AEJ=90°，

∵∠BJF=∠AJE，

∴△BFJ∽△AEJ，∴，∴，∴OJ=OB-BJ=5-，∵OH∥AE，

∴∠JOH=∠BAE=30°，

∴OH=OJ?cos30°=，∵OH⊥CD，

∴DH=CH=∴；（3）如圖1，當(dāng)點A、B位于直線CD同側(cè)時，∵OH=（BF+AE）=（m+n），在Rt△ODH中，OD2=OH2+DH2，

∴52=（m+n）2+l2，∴（m+n）2+l2=100，∴，如圖2中，當(dāng)點A、B位于直線CD兩側(cè)時，OH=|m-n|，在Rt△ODH中，OD2=OH2+DH2，∴52=（m-n）2+l2，∴（m-n）2+l2=100，∴，綜上所述，或．【點睛】本題屬于圓綜合題，考查了垂徑定理，平行線等分線段定理，勾股定理，梯形的中位線定理等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識并能夠靈活應(yīng)用．6.【2021奉賢二?！咳鐖D，已知扇形AOB的半徑OA＝4，∠AOB＝90°，點C、D分別在半徑OA、OB上（點C不與點A重合），聯(lián)結(jié)CD．點P是弧AB上一點，PC＝PD．（1）當(dāng)cot∠ODC＝，以CD為半徑的圓D與圓O相切時，求CD的長；（2）當(dāng)點D與點B重合，點P為弧AB的中點時，求∠OCD的度數(shù)；（3）如果OC＝2，且四邊形ODPC是梯形，求的值．【答案】（1）；（2）67.5°；（3）或【分析】（1）由題意∠COD＝90°，cot∠ODC＝，可以假設(shè)OD＝3k，OC＝4k，則CD＝5k，證明AC＝OC＝4k＝2，推出k＝，可得結(jié)論．（2）如圖2中，連接OP，過點P作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．利用全等三角形的性質(zhì)證明△PCB是等腰直角三角形，可得結(jié)論．（3）分兩種情形：如圖3﹣1中，當(dāng)OC∥PD時，如圖3﹣2中，當(dāng)PC∥OD時，分別求解即可．【詳解】解：（1）如圖1中，∵∠COD＝90°，cot∠ODC＝，∴設(shè)OD＝3k，OC＝4k，則CD＝5k，∵以CD為半徑的圓D與圓O相切，∴CD＝DB＝5k，∴OB＝OA＝8k，∴AC＝OC＝4k＝2，∴k＝，∴CD＝．（2）如圖2中，連接OP，過點P作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．∵，∴∠AOP＝∠POB，∵PE⊥OA，PF⊥OB，∴PE＝PF，∵∠PEC＝∠PFB＝90°，PD＝PC，∴Rt△PEC≌Rt△PFB（HL），∴∠EPC＝∠FPB，∵∠PEO＝∠EOF＝∠OFP＝90°，∴∠EPF＝90°，∴∠EPF＝∠CPB＝90°，∴∠PCB＝∠PBC＝45°，∵OP＝OB，∠POB＝45°，∴∠OBP＝∠OPB＝67.5°，∴∠CBO＝67.5°﹣45°＝22.5°，∴∠OCD＝90°﹣22.5°＝67.5°．（3）如圖3﹣1中，當(dāng)OC∥PD時，∵OC∥PD，∴∠PDO＝∠AOD＝90°，∵CE⊥PD，∴∠CED＝90°，∴四邊形OCED矩形，∴OC＝DE＝2，CE＝OD，設(shè)PC＝PD＝x，EC＝OD＝y(tǒng)，則，解得x1＝2﹣2，x2＝－2﹣2（不合題意，舍去），∴PD＝2﹣2，∴，如圖3﹣2中，當(dāng)PC∥OD時，∵PC∥OD，∴∠COD＝∠OCE＝∠CED＝90°，∴四邊形OCED是矩形，∴OC＝DE＝2，CE＝OD，∵OP＝4，OC＝2，∴PC＝，∴PD＝PC＝，∴PE＝，∴EC＝OD＝，∴，綜上所述，的值為或．【點睛】本題屬于圓綜合題，考查了兩圓的位置關(guān)系，解直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)，梯形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造特殊四邊形解決問題，屬于中考壓軸題．7.【2021青浦二?！恳阎涸诎霃綖?的扇形AOB中，∠AOB＝m°（0＜m≤180），點C是上的一個動點，直線AC與直線OB相交于點D．（1）如圖1，當(dāng)0＜m＜90，△BCD是等腰三角形時，求∠D的大?。ㄓ煤琺的代數(shù)式表示）；（2）如圖2，當(dāng)m＝90點C是的中點時，聯(lián)結(jié)AB，求的值；（3）將沿AC所在的直線折疊，當(dāng)折疊后的圓弧與OB所在的直線相切于點E，且OE＝1時，求線段AD的長．【分析】（1）C在AB弧線上，所以∠OBC為銳角，∠CBD為鈍角，則△BCD是等腰三角形，僅有BC＝BD這一種情況，扇形AOB中，OA＝OC＝OB，BC＝BD，由邊相等得對應(yīng)角相等，三角形內(nèi)角和為180°，可得∠D＝；（2）過D作DM⊥AB的延長線于M，連接OC，C為中點，可知AC＝BC，∠AOC＝∠COB＝45°，AO＝CO＝BO，邊相等得對應(yīng)角相等，即可求得∠ACB＝135°，∠BCD＝45°，∠CBO為△BCD的外角，可得∠ABD＝∠D，∠CAB＝∠CBA，由角相等可推出AB＝BD，在Rt△AOB中，由勾股定理知BM＝2，在等腰直角△AOB中AN＝AB＝，由CN⊥AB，DM⊥AB′，得出△ANC∽△AMD，面積比等于相似比的平方可得結(jié)果；（3）E為弧AEC與OB切點，知A、E、C在半徑為2的另一個圓上，在Rt△O′EO中，由勾股定理知OO′＝，得四邊形AOCO′是菱形，由菱形對角線性質(zhì)，可以推出△O′OE∽△DOP，得OP＝，在Rt△APO′中，由勾股定理得AP＝，即可求出AD的長．【解答】解：（1）C在AB弧線上，∴∠OBC為銳角，∴∠CBD為鈍角，則△BCD是等腰三角形時，僅有BC＝BD這一種情況，∴∠D＝∠BCD，連接OC則OA＝OC＝OB，∴∠OAC＝∠OCA，∠OCD＝∠OBC，∴∠OBC＝∠D+∠BCD＝2∠D，在△OCD中，∠COD+2∠D+2∠D＝180°，∴∠AOC＝m°﹣∠COD＝m°+4∠D﹣180°，∴∠AOC＝×（180°﹣∠AOC）＝180°﹣﹣2∠D，在△AOD中，m°+∠OAC+∠D＝180°，∴180°+﹣∠D＝180°，∴∠D＝；（2）過D作DM⊥AB延長線于M，連接OC，∵C為中點，∴AC＝BC，∴∠BAC＝∠ABC且AO＝CO＝BO，∴∠OAC＝∠OCA＝∠OCB＝∠OBC，∴∠ACO+∠BCO＝×（360°﹣90°）＝135°，∴∠BCD＝45°，∴45°+∠ODA＝∠ABC+∠ABD＝45°+∠ABC，∴∠ABC＝∠ADO＝∠BAC，∴BD＝AB＝2（勾股定理），∴BM＝DM＝2（∠MBD＝∠OBA＝45°，∴BM＝DM），∴AM＝AB+BM＝2+2，∴AN＝AB＝，又∵CN⊥AB，DM⊥AB，∴△ANC∽△AMD，∴，∴＝＝6+4；（3）圖2如下：∵E為弧線AEC與OB切點，∴A、E、C在半徑為2的另一個圓上，∵O′E＝2，OE＝1，∴OO′＝（勾股定理），又∵OA＝OC＝2，O′A＝O′C＝2，∴四邊形AOCO′是菱形，∴AC⊥OO′且AC、OO′互相平分，且∠O′OE共角，∴△O′OE∽△DOP，∴＝且OP＝OO′＝，∴OP＝，∴AP＝＝（Rt△APO′的勾股定理）∴AD＝AP+PD＝．8.【2021年浦東新區(qū)二?！恳阎喊雸AO的直徑AB＝6，點C在半圓O上，且tan∠ABC＝2，點D為弧AC上一點，聯(lián)結(jié)DC（如圖）（1）求BC的長；（2）若射線DC交射線AB于點M，且△MBC與△MOC相似，求CD的長；（3）聯(lián)結(jié)OD，當(dāng)OD∥BC時，作∠DOB的平分線交線段DC于點N，求ON的長．【分析】（1）如圖1中，根據(jù)AB是直徑，得△ABC是直角三角形，利用勾股定理即可解決問題．（2）如圖2中，只要證明△OBC≌△OCD得BC＝CD，即可解決問題．（3）如圖3中，延長ON交BC的延長線于G，作GH⊥OB于H，先求出BG，根據(jù)tan∠HBG＝2，利用勾股定理求出線段HB、HG，再利用CG∥DO得，由此即可解決．【解答】解；（1）如圖1中，連接AC，∵AB是直徑，∴∠ACB＝90°，∵tan∠ABC＝2，∴可以假設(shè)AC＝2k，BC＝k，∵AB＝6，AB2＝AC2+BC2，∴36＝8k2+k2，∴k2＝4，∵k＞0，∴k＝2，BC＝2．（2）如圖2中，∵△MBC與△MOC相似，∴∠MBC＝∠MCO，∵∠MBC+∠OBC＝180°，∠MCO+∠OCD＝180°，∴∠OBC＝∠OCD，∵OB＝OC＝OD，∴∠OBC＝∠OCB＝∠OCD＝∠ODC，在△OBC和△OCD中，，∴△OBC≌△OCD，∴BC＝CD＝2．（3）如圖3中，延長ON交BC的延長線于