數(shù)學(xué)（必修3）課件623第1課時(shí)

第6章立體幾何初步6.2空間的直線與平面6.2.3垂直關(guān)系第1課時(shí)直線與平面的垂直1．了解直線與平面垂直的定義，兩異面直線垂直的定義．2．理解并掌握直線與平面垂直的判定定理，并會(huì)應(yīng)用之判斷直線與平面垂直．(重點(diǎn)、難點(diǎn))3．掌握并會(huì)應(yīng)用直線與平面垂直的性質(zhì)，理解平行與垂直之間的關(guān)系．(難點(diǎn))1．直線與平面垂直的概念如果一條直線與一個(gè)平面________，并且________于這個(gè)平面內(nèi)所有的直線，就稱這條直線與這個(gè)平面________，這條直線叫作這個(gè)平面的________，這個(gè)平面叫作這條直線的________，它們的交點(diǎn)叫做________．2．異面直線垂直的定義設(shè)a，b是異面直線，過(guò)a上任意一點(diǎn)A作c∥b，如果a⊥c，就稱a⊥b.相交垂直垂直垂線垂面垂足3．直線與平面垂直的判定定理(1)定理：如果一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線，那么這條直線就與這個(gè)平面垂直．(2)圖形表述：如圖所示．(3)符號(hào)語(yǔ)言：l⊥a，________，a?α，________且a∩b＝O?l⊥α.l⊥bb?α4．直線與平面垂直的性質(zhì)定理平行a∥b將一塊三角形紙片ABC沿折痕AD折起，將翻折后的紙片豎起放置在桌面上(BD，DC與桌面接觸)，觀察折痕AD與桌面的位置關(guān)系．1．折痕AD與桌面一定垂直嗎？提示：不一定．2．當(dāng)折痕AD滿足什么條件時(shí)，AD與桌面垂直？提示：當(dāng)AD⊥BD且AD⊥CD時(shí)，折痕AD與桌面垂直.

下列敘述中：①若直線垂直于平面內(nèi)的兩條直線，則這條直線與平面垂直；②若直線與平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，則這條直線與平面垂直；③若直線垂直于梯形的兩腰所在的直線，則這條直線垂直于兩底邊所在的直線；④若直線垂直于梯形的兩底邊所在的直線，則這條直線垂直于兩腰所在的直線，其中正確的有(

)A．1個(gè) B．2個(gè)C．3個(gè) D．4個(gè)直線和平面垂直的定義解析：①中若兩條直線為平行直線，則這條直線不一定與平面垂直，所以不正確；②由定義知正確；③中直線與梯形的兩腰所在直線垂直，則與梯形所在平面垂直，由定義知也與兩底邊所在直線垂直，所以正確；④中直線與梯形兩底邊所在直線垂直，則不一定與梯形所在平面垂直，故不一定與兩腰所在直線垂直，不正確．故選B．答案：B

1.直線和平面垂直的定義是描述性定義，對(duì)直線的任意性要注意理解，實(shí)際上，“任何一條”與“所有”表達(dá)相同的含義．當(dāng)直線與平面垂直時(shí)，該直線就垂直于這個(gè)平面內(nèi)的任何直線．由此可知，如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的一條直線不垂直，那么這條直線就一定不與這個(gè)平面垂直．2．由定義可得線面垂直?線線垂直，即若a⊥α，b?α，則a⊥b.1．有下列說(shuō)法：①如果一條直線和一個(gè)平面平行，那么它和這個(gè)平面內(nèi)的任意直線都不垂直．②如果一條直線垂直于平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線，那么這條直線和這個(gè)平面垂直．③過(guò)點(diǎn)A垂直于直線a的所有直線都在過(guò)點(diǎn)A且垂直于a的平面內(nèi)．其中錯(cuò)誤的是(

)A．①② B．①③C．②③ D．①②③解析：①直線與平面平行，過(guò)該直線任作平面與已知平面相交，則直線與交線平行，可知平面內(nèi)與交線垂直的所有直線都與已知直線垂直，①錯(cuò)誤；②如果平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線是平行的，那么就不能得到直線和平面垂直的結(jié)論，②錯(cuò)誤；③因?yàn)檫^(guò)一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知直線垂直，所以過(guò)點(diǎn)A與直線a垂直的直線都在過(guò)點(diǎn)A且與a垂直的平面內(nèi)，③正確．答案：A

如圖所示，已知PA垂直于⊙O所在的平面，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥PC于點(diǎn)E，求證：AE⊥平面PBC．線面垂直的判定思路點(diǎn)撥：只要證AE垂直于平面PBC內(nèi)兩相交直線即可．已知AE⊥PC，再證AE⊥BC，即轉(zhuǎn)證BC垂直于平面PAC即可．解：∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC．∴PA⊥BC．又∵AB是⊙O的直徑，∴BC⊥AC．而PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC．又∵AE?平面PAC，∴BC⊥AE.∵PC⊥AE，且PC∩BC＝C，∴AE⊥平面PBC．2．如圖，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是棱AB，BC的中點(diǎn)，O是底面ABCD的中心，求證：EF⊥平面BB1O.證明：∵ABCD為正方形，∴AC⊥BO.又∵BB1⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴AC⊥BB1，又∵BO∩BB1＝B，∴AC⊥平面BB1O，又EF是△ABC的中位線，∴EF∥AC，∴EF⊥平面BB1O.

如右圖所示，ABCD為正方形，SA⊥平面ABCD，過(guò)A且垂直于SC的平面分別交SB、SC、SD于點(diǎn)E、F、G.求證：AE⊥SB．線面垂直的應(yīng)用思路點(diǎn)撥：要證AE⊥SB，只要證AE⊥面SBC，∵SC⊥面AGFE，∴SC⊥AE，故只要證AE⊥BC，只要證BC⊥面SAB．∵BC⊥AB，SA⊥BC，顯然得證．解：∵SA⊥面ABCD，BC?平面ABCD，∴SA⊥BC．∵ABCD是正方形，∴AB⊥BC．∵SA∩AB＝A，∴BC⊥面SAB．∵AE?面SAB，∴BC⊥AE.∵SC⊥面AGFE，∴SC⊥AE.又∵BC∩SC＝C，∴AE⊥面SBC．而SB?面SBC，∴AE⊥SB．3.如圖，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，M、N分別是AB、PC的中點(diǎn)．(1)求證：MN⊥CD；(2)若∠PDA＝45°，求證：MN⊥平面PCD．因?yàn)镻A⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，所以PA⊥CD．又因?yàn)锳BCD為矩形，所以CD⊥AD．而AD∩PA＝A，所以CD⊥平面PAD，所以CD⊥AE，又AE∥MN，所以CD⊥MN.(2)由(1)知，CD⊥AE，MN∥AE.因?yàn)椤螾DA＝45°，在等腰直角三角形PAD中，E為PD的中點(diǎn)，所以AE⊥PD．又PD∩CD＝D，所以AE⊥平面PCD，而AE∥MN，所以MN⊥平面PCD．1．直線與平面垂直的判定方法：(1)利用定義；(2)利用判定