2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)2019單元復(fù)習(xí)試題單元復(fù)習(xí)13立體幾何初步提高題-1

單元復(fù)習(xí)13立體幾何初步

基礎(chǔ)綱3

一、單選題

1.下列說(shuō)法中正確的是()

A.直四棱柱是長(zhǎng)方體

B.圓柱的母線和它的軸可以不平行

C.正棱錐的側(cè)面是全等的等腰三角形

D.以直角三角形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體為

圓錐

【答案】C

【分析】根據(jù)相關(guān)立體幾何圖形的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可.

【解析】對(duì)于A：由直四棱柱的定義可知，長(zhǎng)方體是直四棱柱，

但當(dāng)?shù)酌娌皇情L(zhǎng)方形時(shí)，直四棱柱就不是長(zhǎng)方體，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B：根據(jù)圓柱母線的定義可知，圓柱的母線和它的軸平行，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C：由正棱錐的定義可知，正棱錐的側(cè)面是全等的等腰三角形，故C正確；

對(duì)于D：當(dāng)以斜邊為旋轉(zhuǎn)軸時(shí)，會(huì)得到兩個(gè)同底的圓錐組合體，故D錯(cuò)誤.

故選：C.

2.如圖正方形以8c邊長(zhǎng)為1cm,它是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，則原圖形的周長(zhǎng)

是多少cm?()

【答案】B

【分析】根據(jù)直觀圖與原圖形的關(guān)系可知原圖為平行四邊形，且也，利用勾股定理

計(jì)算出其邊長(zhǎng)即可求得結(jié)果.

【解析】根據(jù)直觀圖可畫出原圖形如下圖所示:

根據(jù)斜二測(cè)畫法可知，原圖四邊形。/eG為平行四邊形，且

易知?4=。/=1,O\B\=2OB=26.,

所以4g=J1+(2廚=3,

因此。。44G的周長(zhǎng)為2（。4+4片）=2（1+3）=8.

故選：B

3.設(shè)/,加是兩條不同的直線，a,p,y是三個(gè)不同的平面，下列說(shuō)法正確的是（）

A.若〃/a,mlla,則/〃加B.若〃/a,〃/4，則a//￡

C.若Ua,mla,則"/胴D.若aly,。Ly,則a〃尸

【答案】C

【分析】根據(jù)直線與直線的位置關(guān)系、直線與平面的位置關(guān)系和平面與平面的位置關(guān)系依

次判斷選項(xiàng)即可.

【解析】對(duì)選項(xiàng)A,若〃/a,〃?〃a,貝”與加的位置關(guān)系是平行，相交和異面，故A錯(cuò)誤.

對(duì)選項(xiàng)B,若〃/a,〃啰，則a與尸的位置關(guān)系是平行和相交，故我昔誤.

對(duì)選項(xiàng)C,若mla,則根據(jù)線面垂直的性質(zhì)得/與族的位置關(guān)系是平行，故C正確.

對(duì)選項(xiàng)D,若￡17,則a與夕的位置關(guān)系是平行和相交，故D錯(cuò)誤.

故選：C

4.四棱錐P-/8C。如圖所示，則直線和（)

A.與直線力。平行B.與直線/攤交

C.與直線劭平行D.與直線8〃是異面直線

【答案】D

【分析】根據(jù)異面直線的定義即可求解.

【解析】根據(jù)異面直線的定義，不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線叫做異面直線，可以判

斷直線PC與直線力以直線能是異面直線.

故選：D.

5.已知“8C是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，其頂點(diǎn)都在球族球面上，若球徽體積為等則

球心分U平面4成的距離為（）

A.也B,-C.1D.理

22

【答案】C

【分析】設(shè)的中心為。-求得。產(chǎn)=百，再根據(jù)球切J體積為等，求得半徑，然后

利用球的截面性質(zhì)求解.

【解析】解：如圖所示：

因?yàn)椤?C是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，且的中心為。一

所以。/=6，

又因?yàn)榍蚣由左w積為等，

所以P=4羊X）〃，

解得r=2,即OB=2,

22

所以oq=^OB-O{B=1,

即球心分U平面力比的距離為1,

故選：c

6.如圖，在正方體/8C。-4耳CQ中，也八分別為然，48的中點(diǎn)，則下列說(shuō)法中不氐確

A.MV//平面/

B.MN1AB

C.直線版修平面力物所成的角為60°

D.異面直線物與DD｝所成的角為45°

【答案】C

【分析】取棱力。，/4中點(diǎn)反產(chǎn)，利用線面平行的判定推理判斷A；利用線面垂直的性質(zhì)推理

判斷B；求出線面角、線線角判斷CD作答.

【解析】在正方體/BCD-44GA中，取棱4),44中點(diǎn)反尸，連接ME,EF,FN,

因?yàn)椤?，粉別為/c,48的中點(diǎn)，W\MEIICD//ABIINF,ME=LCD=；AB=NF,

因此四邊形MEFN為平行四邊形，則EF//MN,EFu平面4,

政Vu平面4044，所以MN//平面4DD|4,A正確；

因?yàn)?8/平面則所以B正確；

顯然X尸，平面48C。，則ZFEZ是EF與平面Z8CO所成的角，又AE=AF/EAF=90,

有NFE4=45",由于EF//MN,所以直線』你與平面力6a所成的角為45、C錯(cuò)誤；

因?yàn)獒?〃。2，EF//MN,則Z/也是異面直線明平與。A所成的角，顯然乙4FE=451D

正確.

故選:C

二、多選題

7.下列命題中正確的是（）

A.如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行

B.如果一個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行

C.分別在兩個(gè)平行平面內(nèi)的兩條直線互相平行

D.過(guò)平面外一點(diǎn)有且僅有一個(gè)平面與已知平面平行

【答案】BD

【分析】根據(jù)面面平行的判定定理及性質(zhì)定理，即可做出判斷.

【解析】對(duì)于A,一個(gè)平面內(nèi)兩條直線相交平行于另一個(gè)平面，這兩個(gè)平面平行，故錯(cuò)誤；

對(duì)于B,如果一個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線都平行于另一個(gè)平面，滿足有兩條相交直線與另一

個(gè)平面平行，那么這兩個(gè)平面平行，故正確；

對(duì)于C,分別在兩個(gè)平行平面內(nèi)的兩條直線，可能平行也可能異面，故錯(cuò)誤；

對(duì)于D,過(guò)平面外一點(diǎn)有且僅有一個(gè)平面與已知平面平行，正確，否則若有兩個(gè)平面與已知

平面平行，則重合.

故選：BD

8.圓柱的側(cè)面展開圖是長(zhǎng)4cm,寬2cm的矩形，則這個(gè)圓柱的體積可能是（）

A.8兀cirPB.-cm3

n

八16343

C.一cmD.-cm3

n兀

【答案】BD

【分析】由已知中圓柱的側(cè)面展開圖是長(zhǎng)4cm,寬2cm的矩形，我們可以分圓柱的底面周長(zhǎng)

為4cm,高為2cm的和圓柱的底面周長(zhǎng)為2cm,高為4cm,兩種情況分別由體積公式即可求解.

【解析】???側(cè)面展開圖是長(zhǎng)4cm,寬2cm的矩形,

7

若圓柱的底面周長(zhǎng)為4cm,則底面半徑R=-cm,h=2cm,

71

Q

此時(shí)圓柱的體積P=兀川〃=一cn?

7C

若圓柱的底面周長(zhǎng)為2cm,則底面半徑&=Lm,A=4cm,

7t

4

此時(shí)圓柱的體積V=nR2h=-cm5

71

故選:BD

9.如圖所示，四棱錐S-ABCD的底面為正方形，S￡>_L平面4BC。，則下列結(jié)論中正確的

是（）

S

A.ACVSB

B.43//平面SCQ

C.三棱錐S-N8。與三棱錐C-S8O表面積相同

D.AD與SC所成的角等于0c與陽(yáng)所成的角

【答案】ABCD

【分析】由線面垂直的判定定理證線面垂直后得證線線垂直判斷AD,由線面平行的判定定

理判斷B,由棱錐表面積的定義判斷C.

【解析】選項(xiàng)A,5￡），平面/8。。，/。匚平面/88,則S0_L/C,又正方形“8C￡>中，

AC1BD,

SDC\BD=D,SZ）,8Z）u平面S3。，所以4C_L平面S3。，而S8u平面S8。，所以NC_LS8,

A正確；

選項(xiàng)B,ABHCD,平面SCO,CDu平面SC。，所以ZB//平面SCO,B正確；

選項(xiàng)C,四棱錐S-48CD中，SA=SC（因?yàn)樯溆?，AB=BC=CD=DA,

三棱錐C-S8D即為三棱錐S-C8。，它與三棱錐5-/8。的底面全等："BD*CBD，三

個(gè)側(cè)面有三對(duì)全等：！"8』SC8,ASAD京SCD,ASA）是共用側(cè)面，所以表面積相等，C

正確；

選項(xiàng)D,SD1TLUABCD,ADcABCD,SZ）_LAD,又XZ）_LC。，SDCCD=D,CD,SDu

平面SCO,所以4)_L平面SCA,而SCu平面SCD,所以4)_LSC,即/。與SC所成

的角是90°,同理。C與SA所成的角也是90°,兩者相等，D正確.

故選：ABCD.

三、填空題

10.直三棱柱48C-/SG中，48c=90。，AB=BC=BB、=l,則曲與8G所成角大小為

【答案】60。

【分析】作出/耳與8G所成角，并判斷出角的大小.

【解析】設(shè)8608(=。，設(shè)E是/C的中點(diǎn)，連接

則DEHAB、,所以4/與BC｝所成角是NBDE或其補(bǔ)角.

根據(jù)直棱柱的性質(zhì)以及NABC=90?？芍狝Bt==4C=0,

所以DE=BD=BE=^,

2

所以三角形8DE是等邊三角形，所以N8CE=60。，

所以/片與8G所成角大小為60。.

故答案為：60°

11.用一個(gè)圓心角為120。，半徑為4的扇形做一個(gè)圓錐，則這個(gè)圓錐的底面周長(zhǎng)為.

Q

【答案】聲

【分析】根據(jù)圓錐的結(jié)構(gòu)特征結(jié)合扇形的弧長(zhǎng)公式即可得解.

【解析】解：由題意，圓錐的底面周長(zhǎng)為扇形的弧長(zhǎng)，

20°=—,

3

則圓錐的底面周長(zhǎng)為4x?=?.

33

故答案為：~~.

12.已知如圖邊長(zhǎng)為。的正方形Z8C。外有一點(diǎn)P且P4J.平面PA=a,二面角

P-BD-A的大小的正切值.

【答案】V2

【分析】由線面垂直的判定和性質(zhì)，結(jié)合二面角平面角定義可知所求角為/尸。4,根據(jù)長(zhǎng)

度關(guān)系可求得結(jié)果.

【解析】設(shè)/cn&)=o,連接P。，

平面Z5C￡>,8。,40匚平面48(7￡),:.PALAO,PAVBD,

??,四邊形為正方形，.?.8OJ.4。，

?：PAr\AO=A,4,/Ou平面尸/0,.?.8D_L平面尸/0,

又尸Ou平面PN。，，8D_LP0,:.NP04是二面角的平面角,

?歷,口tanAPOA=—=-^=

由4。=2“，P4=a得:AO&

2丁a

故答案為：

四、解答題

13.如圖，已知長(zhǎng)方體/8CZ)-43|Ca中，AB=AD=2,=1.E為4。的中點(diǎn)，平面C8,E

交棱。烏于點(diǎn)F.求證：B.CHEF.

【答案】證明見(jiàn)解析

【分析】由面面平行的性質(zhì)可得與c〃平面再由線面平行的性質(zhì)即可證結(jié)論.

【解析】由長(zhǎng)方體的性質(zhì)知：平面8CC圈〃平面力。。4,又8CU面8CG4，

.?.8。//面/。。4，又平面CB|Ec平面2。。4=即，且4Cu面C8,E,

:.B'C”EF.

14.如圖，在四棱錐P一力以力中，四邊形被力是菱形，琢陽(yáng)陰心的中點(diǎn).求證：

(1)PZ)〃平面力比；

(2)平面平面力初.

【答案】(D證明見(jiàn)解析

(2)證明見(jiàn)解析

【分析】(1)設(shè)4。口8。=。，連接E0,根據(jù)中位線可得PD〃E。，再根據(jù)線面平行的判定定

理即可證明；

⑵根據(jù)PA=PC可得ACVPO,根據(jù)四邊形ABCD為菱形,可得AC1BD,再根據(jù)線面垂直

的判斷定理可得/C_L平面P8D,再根據(jù)面面垂直的判定定理即可得出結(jié)果.

【解析】(1)設(shè)月Cn80=O,連接E0,如圖所示：

因?yàn)椤?，份另IJ為BO,P8的中點(diǎn)，所以尸?！‥。,

又因?yàn)镻￡)U平面NEC,EOu平面4EC,

所以P?！ㄆ矫?EC.

(2)連接PO,如圖所示：

因?yàn)镻/=PC,。為ZC的中點(diǎn)，所以ZCLPO,

又因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，所以/C工8。，

因?yàn)镻Ou平面尸3。，BOu平面PBD,且尸OC|8O=O,

所以/C_L平面PBD,又因?yàn)?Cu平面/EC,

所以平面/EC_L平面尸50.

15.在四棱錐力比力中，底面16(渥正方形，若/。=2,QD=QA=#,QC=3.

(1)證明：平面平面/BCD：

(2)求四棱錐。-Z8C。的體積與表面積.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

Q

(2)體積為表面積為6+26+26

【分析】（1）作出輔助線，由等腰三角形三線合一得到。求出各邊長(zhǎng)，由勾股定

理逆定理得到。OLOC,證明出線面垂直，得到面面垂直；

（2）在（1）的基礎(chǔ)上，得到。。為四棱錐的高，由體積公式求出四棱錐的體積，得到△力8

和△史嫄為直角三角形，△3圻口△仇功均為等腰三角形，求出四個(gè)三角形面積，求出表面

積.

【解析】（1）取力胸中點(diǎn)為0,連接。。，C0.

因?yàn)?4=0。，OA=OD,則。。1/。，

而4。=2,QA=45,故。O=7^T=2.

在正方形/故中，因?yàn)?。=2,故。0=1,故CO=JCQ2+OQ2=石,

因?yàn)?C=3,^LQC2=QO2+OC2,

故A0OC為直角三角形且QO1OC,

因?yàn)?。Cn/D=O,0。,/。＜=平面/88,故0O_L平面/8CO,

因?yàn)?0u平面Q4〃，故平面?平面力融力.

（2）取8C中點(diǎn)E,連接OE,0E,OB,OC,

由（1）可知。。為四棱錐。-彳BC。的高，且。0=2,

底面正方形/蹌的邊長(zhǎng)為2,

1Q

所以四棱錐0-/3。的體積心煩=鏟2?X2）,

由（1）可知平面，〃1平面

又因?yàn)?8J.4。，力6u平面45G9,平面平面/8。=力。，

所以48,平面。1〃，

又因?yàn)?Qu平面/。，"u平面Q1。，

所以48_L0/,ABLQD,故C。，。。

y.OB=OC=yl\2+22=V5>QB=QC=打+5=3，

故OE，8C,△團(tuán)蹄口△0。均為直角三角形，△如〃和△?；蚓鶠榈妊切?

其中°E="Q2+CE2=20,

四邊形的面積為2x2=4,三角形的面積為:4O-0O=；x2x2=2,

三角形28c的面積為:8C.=；x2x2&=2應(yīng)，S@D==92亞=亞,

所以棱錐。一N8CD的表面積為s=4+2+2岔+26=6+26+2方.

提升紙T

一、單選題

1.已知見(jiàn)”是兩條不重合的直線，a,夕是兩個(gè)不重合的平面，下列命題正確的是（）

A.若〃?〃a,加〃夕,,則a〃夕

B.若，〃_1_〃,陽(yáng)〃a,〃_1_/?,則a_L/?

C.若〃2_1〃,加<=。,〃（=4，則a_L4

D.若用〃〃，m_L_L/，則

【答案】D

【分析】在A中，a與尸相交或平行；在B中，a與4相交或平行；在C中，口與#相交或平

行；在D中，由線面垂直，線線平行的性質(zhì)得&//〃.

【解析】〃?，〃是兩條不重合的直線，。，尸是兩個(gè)不重合的平面，知：

在A中，若m”a,mllp,ntla,nllp,則a與夕相交或平行，故A錯(cuò)誤；

在B中，若mlla,np,則a與4相交或平行，故B錯(cuò)誤；

在C中，若mJ_〃，mua,〃up，則a與夕相交或平行，故C錯(cuò)誤；

在D中，若m〃”，nip,則由線面垂直，線線平行的性質(zhì)可得a///,故D正確.

故選:D.

2.如圖，菱形紙片/BCD中，=。為菱形N8CD的中心，將紙片沿對(duì)角線8。折起，

使得二面角4-8O-C為g,E,F分別為的中點(diǎn)，則折紙后cosNEOF=()

【答案】A

【分析】作出二面角/-8Q-C得平面角，設(shè)出菱形/BCD的邊長(zhǎng)，求出EF的長(zhǎng)，利用余

弦定理即可求得答案.

【解析】如圖，連接。4OC,則。4_L8￡>,OCC

故NCOA即為二面角N-8。-C得平面角，即ACOA=y,

設(shè)的中點(diǎn)為科，連接尸M,則尸M〃/C,

設(shè)菱形紙片中的邊長(zhǎng)為2,因?yàn)?/=方，則A/BRABOC為正三角形,

5PjOO=gBQ=l,OC=O/=6,

故為正三角形，故AC=&.MF=W，

又。八BDQCLBD,OAflOC=O,OA,OCcOAC,則8。，平面0/C,

NCu平面。4C,故8O_L/C,

又因?yàn)闉锳D,ZB的中點(diǎn)，所以所以

又ME=LBD=I,MF=6,故EFZME'MF?=昱

222

故在AOE尸中，OE=-AD=\,Of=-BC=\,

22

[17

故“。心空衛(wèi)上史上A

1，

2OEOF2x1x18

故選：A

3.在平面四邊形45CQ中，4B=BD=DA=4,BC=CD=?4i,現(xiàn)將△43。沿8。折起，連

接ZC,得到一個(gè)三棱錐，當(dāng)二面角。的大小為60。時(shí)，所得三棱錐的體積為

()

A.拽B.4C.473D.12

3

【答案】B

【分析】根據(jù)給定條件，作出二面角/-8O-C的平面角，借助面面垂直求出點(diǎn)A平面C8O

的距離作答.

【解析】因?yàn)?8=8Z)=O/=4,BC=CD=2五,則BC"+CD?=16=8D?,即4CD=9(T,

取8。的中點(diǎn)E,連接4E,CE,如圖，顯然4E，3aCEJ.8。，則/NEC是二面角4-8D-C

的平面角,即4￡C=60°,

而/EnCE=E,HE,CEu平面ZCE,于是8。2平面ZCE,而8Ou平面C5O,則平面4CE_L

平面CBD,

在平面NCE內(nèi)過(guò)A作NO_LCE于O,而平面/CEfl平面C8D=CE,因此NO_L平面C8。，

在正△48。中，AE=2^j3,AO=AEsinZAEC=2y/3sin60=3,S^CD=^BC-CD=4,

所以三棱錐Z-8C￡＞的體積為/=g久BS/。=3x4=4.

故選：B

4.如圖，在已知直四棱柱Z88-44GA中，四邊形N2C。為平行四邊形，E,M,N,P分

別是8c,8綜的中點(diǎn)，以下說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）

A.若SC=1,AAt=5/2,貝!]DPBC]

B.MNUCD

C.MN〃平面CjDE

D.若4B=BC,則平面44CC，平面48。

【答案】B

【分析】利用正切值相等可說(shuō)明444=4尸。，由此可得尸，結(jié)合平行關(guān)系可知

A正確；由CD//VP,=M可知B錯(cuò)誤；通過(guò)證明四邊形。EAW為平行四邊形可得

MN//DE,由線面平行判定可知C正確；根據(jù)BO_L4C,BD144,由線面垂直和面面垂

直的判定可知D正確.

【解析】對(duì)于A,連接“2，

趙=&tan49=有=a=C

tanZ.ADtAt=7

7T7T

/.ZAD.A,=AAPD,又NZA4+ZD/4=m，ZAPD+ZD}AA}=,即4Q|_LQP；

?:C、D\HCDHAB,C<Dl=CD=AB,.?.四邊形48GA為平行四邊形，BCJ/AD,,

：.DPVBCX,A正確；

對(duì)于B,連接MP,CM,

分別為88/4中點(diǎn)，又ABHCD,;.MPHCD,

,:MNcMP=M,.?.A/N與C。不平行，B錯(cuò)誤;

對(duì)于C,連接

分別為中點(diǎn)，EMHB.C,EM=^ByC-

■：A^Z/CD,A、B、=CD,，四邊形44co為平行四邊形，AXD=B,C,

QN為4。中點(diǎn)，:.ND="D,NDHEM,ND=EM,

.??四邊形。EM/V為平行四邊形，DE//MN,

又QEu平面CQE,九W<z平面CQE,；.MV〃平面G〃E，C正確;

對(duì)于D,連接43,

?：AB=BC,四邊形力BCD為平行四邊形，，四邊形Z8CQ為菱形，..BDL/C；

?.?A4_L平面/8CD,8。仁平面48。￡）,；.44_18。，

又44n/c=/i,/4，/Cu平面A4CC，二8。1平面44￡C,

Q8Ou平面48。，.?.平面44GCJ.平面48。，D正確.

故選：B.

7T1

5.如圖，在直角梯形P/3C中，AB//PC,ZC=-,AB=BC=-PC=\,媯PC邊中點(diǎn)，將

△P4D沿4D邊折到QD.連接08,℃得到四棱錐。-48。，記二面角。-4O-C的平面

角為。，下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（）

Q

A.若則四棱錐。一48co外接球表面積加

B.無(wú)論。為何值，在線段。8上都存在唯一一點(diǎn)用吏得。”=1

C.無(wú)論6為何值，平面。8C_L平面。C。

一

D.若。=J?T,則異面直線ZC,8。所成角的余弦值為:1

34

【答案】B

【分析】根據(jù)梯形的長(zhǎng)度和角度關(guān)系可知四邊形48CZ）為矩形，折疊后根據(jù)線面垂直的判

定定理可知平面0C。，根據(jù)二面角的定義可知二面角。-/D-C的平面角即為

ZQDC,根據(jù)。=],可將四棱錐。-48。放在長(zhǎng)方體18。-48￡。中，所以長(zhǎng)方體外

接球即為四棱錐外接球，求出長(zhǎng)方體外接球表面積后即可判斷A；根據(jù)。"=1=。?？芍?，

若B成立，則以。為圓心，1為半徑的圓與線段8。須有除0點(diǎn)外的另一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)8。與該

圓相切時(shí)不成立，即可判斷B；根據(jù)8c及面面垂直判定定理即可判斷C；根據(jù)，=g,

過(guò)點(diǎn)。做。8,垂足為尸分別取3。,。。中點(diǎn)。,￡,連接尸可知所求異面直線

所成角即為EO，/C所成角，根據(jù)線面垂直的判定定理及性質(zhì)定理可知。尸，3尸，根據(jù)長(zhǎng)度

和垂直關(guān)系可求得4E,E0,0N,再根據(jù)余弦定理即可求得cos4OE,即可判斷D.

【解析】解：由題知直角梯形P48C,且媯PC邊中點(diǎn)，AB=BC=；PC=l,

7T

所以/8=CD,由于45〃PC,ZC=p所以四邊形Z88為矩形，

所以。尸14?。，。>,即折疊后有。014。，

當(dāng)0=1時(shí)，即平面Q1。，平面力8c。，

因?yàn)槠矫?/Qc平面=D0u平面3。，

所以。0_L平面因?yàn)?QJ.C。，

所以四棱錐。-48C?？煽醋鏖L(zhǎng)方體28cz>-/4G。的一部分，如圖所示：

所以長(zhǎng)方體的外接球即為四棱錐。-48C。的外接球，

因?yàn)镹8=8C=；PC=0/)=1,

所以長(zhǎng)方體體對(duì)角線08=?+]2+[2=欄即為外接球直徑,

所以四棱錐。外接球半徑為3,

2

在△008中，DQ=l,DB=g,

TT

當(dāng)4008=］時(shí)，8。與以。為圓心，1為半徑的圓相切，

此時(shí)線段。B上不存在點(diǎn)砸得。〃=DQ=1,

所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

因?yàn)椤?J_/DMO_LCZ),DQC\CD=D,

且。0u平面。CD,COu平面。CO,

所以_L平面。8,因?yàn)樗倪呅螢榫匦危?/p>

所以8C1平面0C。，因?yàn)?Cu平面QBC,所以平面。8C_L平面0。,

故選項(xiàng)C正確；

因?yàn)?。。I/。,/。_Lc。，平面xoon平面

所以NQDC即為二面角0-/O-C的平面角，

因?yàn)椤?方，所以N0OC=1,

連接ZC,8O,交點(diǎn)為0,取。。中點(diǎn)E,連接/及OE,

過(guò)點(diǎn)。做。尸，CD,交CD于點(diǎn)F,連接8尸，如圖所示：

因?yàn)樗倪呅?8CL1為矩形，所以可得。為8。中點(diǎn)，由E為。。中點(diǎn)，

所以E?！?。，所以異面直線AC,BQ所成角即為EO,NC所成角，

因?yàn)槠矫妗?,0Fu平面0C。，所以工。，。尸，

因?yàn)椤?_LCQ,ADC\CD=D,4。u平面｛BCD,CZ)u平面力88,

所以0尸1平面488,因?yàn)锽Fu平面N8C。，所以0F_L8F,

因?yàn)椤?=1,NQDC二，所以。尸=!，QF=—，

因?yàn)椤?1,所以C尸=；,

因?yàn)?。。=三，BC=1,所以3尸=立，

22

因?yàn)?。尸?尸，所以。B=&,所以E0=也，

2

因?yàn)镋為。。中點(diǎn)，所以=因?yàn)樗訟E=

因?yàn)?8=3C=1,所以/C=0,即4。=也，

2

在△NEO中，由余弦定理得：

115

AO2+EO2-AE22^2~4

cosZ.AEO===

2AOEO--26宣4

所以直線E。,"。所成角的余弦值為:,

即異面直線ZC,8。所成角的余弦值為

4

故選項(xiàng)D正確.

故選：B

6.如圖，在棱長(zhǎng)為a的正方體/58-44GA中，必，N,P分別是44，Ca，CQ的中點(diǎn)，。

是線段。圈上的動(dòng)點(diǎn)，則下列命題：

①不存在點(diǎn)。，使尸。〃平面物M

②三棱錐B-CNQ的體積是定值；

③不存在點(diǎn)0,使用。，平面Q即；

④8,C,〃，物力五點(diǎn)在同一個(gè)球面上.

其中正確的是（）

C.①③D.②④

【答案】D

【分析】當(dāng)媯。4的中點(diǎn)時(shí)，證明尸。//用2判斷①，證明判斷③；利用等體積法

分析判斷②；構(gòu)造長(zhǎng)方體判斷④作答.

【解析】對(duì)于①，當(dāng)。為。4的中點(diǎn)時(shí)，連接尸24G，因?yàn)榈鶪A中點(diǎn)，則P?！?c-

而MA分別是44,CG的中點(diǎn)，有A,M/QN,A、M=CN,即四邊形4GM1是平行四邊形，

因此MN〃4￡//P0,MNu平面8MN,P。U平面BMN,所以「?！ㄆ矫?MN,①錯(cuò)誤;

AB

對(duì)于③，當(dāng)媯。d的中點(diǎn)時(shí)，連接M0,ZA，/(C,Br),因?yàn)?4_L平面/SCO,ZCu平面

ABCD,

則8月J_ZC,而8。L/C,8。n84=8,8。,Bqu平面瓦叫，于是/C_L平面8。耳，

又8Qu平面8。片，則片AC,同理用。J.4?！?yàn)镸NI/AC,MQ"AD、,

從而AW_L8Q,〃Q18Q,而仞7?！?=M,也,加0€：平面0的7,所以8QJ?平面QMN,

③錯(cuò)誤；

對(duì)于②，aBCN面積是定值，而點(diǎn)(?J平面5CW的距離為棱長(zhǎng)a,

三棱錐8-0V。的體積又一cm二^Q-BCN=ga￡scN為定值，②正確；

對(duì)于④，取陰,。2的中點(diǎn)E,F,連接EM,EN,FM,FN,則幾何體"8-MEN尸是長(zhǎng)方體,

所以6,C,。，機(jī)A五點(diǎn)在長(zhǎng)方體/3C0-A/ENF的外接球球面上，④正確，

所以正確命題的序號(hào)是②④.

故選：D

二、多選題

7.已知工8。是等腰直角三角形，AB=AC=2,用斜二測(cè)畫法畫出它的直觀圖^A'B'C,

則"C的長(zhǎng)可能是（）

A.272B.276C.75-2-72D.1

【答案】AC

【分析】通過(guò)斜二測(cè)畫法的定義可知比為￡軸時(shí)，"C'=2應(yīng)為最大值，以以為/軸，則

此時(shí)8，C=；BC=應(yīng)為最小值，故8C'的長(zhǎng)度范圍是［忘,2近］,C選項(xiàng)可以

以｛映x'軸進(jìn)行求解出，從而求出正確結(jié)果.

【解析】以6c為X，軸，畫出直觀圖，如圖2,此時(shí)8，C=8C="7I=27I，

A正確，

以比為_/軸，貝I］此時(shí)BC=；BC=6,

則8'C.的長(zhǎng)度范圍是［0,2到，

若以4堿力況刷，畫出直觀圖，如圖1,以防為V軸，則/'*=2,/仁=1,此時(shí)過(guò)點(diǎn)（7作仁。

■Lx'于點(diǎn)〃，則NCW8'=45。，

/7萬(wàn)

則=B'D=2-J,

22

由勾股定理得：-也］+?。?75-2/2,C正確；

B'

圖I

故選：AC

8.如圖所示，在直三棱柱N8C-4AG中，底面是以/N8C為直角的等腰直角三角形，

AC=2a,BB、=3a,。是4G的中點(diǎn)，點(diǎn)E在棱44上，要使CE_L平面為DE,則4E的值

可能是()

A.aB.—aC.2aD.—a

22

【答案】AC

【分析】利用已知條件判斷8Q1平面4CCd，然后說(shuō)明CE_LDE,設(shè)/E=x(0<x<3a),

然后可得。爐=*2+402,。爐=/+(%_》)2,又。2=“2+942=］0.2,然后可求出答案.

［解析］由已知得=瓦G,又〃是4G的中點(diǎn)，

所以耳。一4G，又側(cè)棱,底面四c,

可得側(cè)棱M-L平面44G,又B、Du平面，

所以

因?yàn)?4Ic4G=4,所以8Q1平面AA^C,

又CEu平面44CC，所以8QLCE,

故若CE平面B、DE,則必有CEJ.Z>E.

設(shè)4E=x(0<x<3a),則CE?=/十3？,。戶=/+(%-xp,

XCD2=a2+9a2=10?S

所以10/=x2+4a2+a2+(3a-x)2,

解得x=?；?a.

故選：AC

9.如圖，正方體/BCD-//?"的棱長(zhǎng)為1,線段8.上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E、F,且即=g,

則下列結(jié)論中正確的是()

B.EF〃平面ABCD

C.三棱錐4-5轉(zhuǎn)的體積為定值D.^AEF的面積與LBEF的面積相等

【答案】ABC

【分析】證明/C_L平面防QQ,可判斷A選項(xiàng)的正誤；利用面面平行的性質(zhì)可判斷B選項(xiàng)的

正誤；利用錐體的體積公式可判斷C選項(xiàng)的正誤；判斷A到線段EF的距離與B到線段E尸的

距離的關(guān)系，即可判斷D選項(xiàng)的正誤.

【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，連接ZC、BD,

因?yàn)樗倪呅?8。為正方形，則力。工8。，

_L平面/8CZ),/Cu平面Z8CZ),_L84，

BDPl=B,BD,BB\u平面BB、D、D,,

所以/CJ■平面B5QQ,

因?yàn)锽Eu平面BBQ。，因此ZCJ_8E,A選項(xiàng)正確；

對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)槠矫?4GR〃平面488,后F<=平面4及6。，

所以EFH平面ABCD,B選項(xiàng)正確；

對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)槭拿娣e為二不后/14=w,

點(diǎn)A到平面8E尸的距離為定值，故三棱錐4-BEF的體積為定值，C選項(xiàng)正確;

對(duì)于D選項(xiàng)，設(shè)力Cn8O=。，取BQ的中點(diǎn)M,連接?！啊M,

由A選項(xiàng)可知，/C_L平面B8Q。，即ZO_L平面88QD,

QBRu平面BB,D,D,則AO15,01,

因?yàn)樵?84=。口，故四邊形B8QQ為平行四邊形，

則BD//BR且BD=BR,

因?yàn)?、。分別為8Q、8。的中點(diǎn)，故。0//D附且￡>。=。附，

所以四邊形。為平行四邊形，

QJL平面/BCD,OOu平面/BCD,所以。。1。O,

故四邊形。2M。為矩形，所以。M1BR,

AOHOM=O,AO,OMu平面/。加，所以8QJ平面NOW,

22

vAMu平面AOM,AAM1BR,AM=^AO+OM>DD}=BBX,

所以S“￡F=gEF.AM>；EFBBi=S△詆，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：ABC.

10.在直三棱柱/8C-/圈G中，AAl=AB=BC=2,=，.雇48的中點(diǎn)，隈4G的

中點(diǎn)，點(diǎn)/在線段與N上，點(diǎn)理線段CM上靠近，卿）三等分點(diǎn)，/凝線段4G的中點(diǎn)，箱PR//

B.仍與N的中點(diǎn)

748

C.三棱錐尸-8cM的體積為:D.三棱錐尸-/8C的外接球表面積為丁兀

O1

【答案】ACD

【分析】由線面平行的判定定理得線線平行，從而判斷A,并利用平面幾何知識(shí)證明判斷B,

證明三棱錐P-8cM的體積等于三棱錐8-的體積，由體積公式計(jì)算體積后判斷C,

確定三棱錐P-N8C的外接球球心。在NS上（如圖），求出球半徑后得球表面積判斷D.

【解析】對(duì)于選項(xiàng)AB,連接8。并延長(zhǎng)交C4于S,連接NS,

由平面幾何知識(shí)可得：S是。的中點(diǎn)，且從R,S三點(diǎn)共線，。是“8C重心，

因?yàn)槭琑〃面4CN,PRu平面&NSB,平面々NSBD平面8cM=與。，所以尸R〃4。，

作SK//B◎交BN于K,由直棱柱性質(zhì)有與N//8S,因此瓦KS。是平行四邊形，

B、K=SQ=；BS=：B\N,

又由平面幾何知識(shí)知出是NS中點(diǎn)，因此P是詆中點(diǎn)，

從而===即P為與N上靠近A的三等分點(diǎn)，所以A正確，B錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)C,B,P=BQ="S,因此與尸。8是平行四邊形，所以3P與四?；ハ嗥椒郑瑥亩鳳

與8點(diǎn)到平面與CN的距離相等，三棱錐尸-8cM的體積等于三棱錐8-與。河的體積，

11?

XX

而％-B1cM=%「BCM=--2xlx2=-,所以C正確;

對(duì)于選項(xiàng)D,MiBC的外心是S,由NS//CC,得NS1_L平面ABC,

：.三棱錐P-N8C的外接球球心一定在直線NS上,

設(shè)三棱錐尸。的外接球球心為0,半徑為此OS=h,

則R1=OA2=SA2+SO2=（扃+h2=2+后

R2=OP2=NP2+ON2=f—+（2-A）2=—4i+h2,

：.2+h2=--4h+h2解得：h=-R2=2+—=—

9f9f8181

744

球表面積為5=4兀叱=等兀，所以D正確.

o1

故選：ACD.

三、填空題

11.如圖，正四面體力版的頂點(diǎn)C在平面a內(nèi)，且直線式與平面a所成角為30。，頂點(diǎn)旅平

面a上的射影為點(diǎn)0,當(dāng)頂點(diǎn)與點(diǎn)Q的距離最大時(shí)，直線切與平面”所成角的正弦值為

【分析】分析可得當(dāng)四邊形480c為平面四邊形時(shí)，點(diǎn)A到點(diǎn)。的距離最大，。作。Nq平

面48OC,垂足為N,點(diǎn)。作。用工平面a,垂足為則可求。V,進(jìn)而可求解.

【解析】取43中點(diǎn)P,連接CP,

當(dāng)四邊形ABOC為平面四邊形時(shí)，點(diǎn)A到點(diǎn)。的距離最大,

此時(shí)，因?yàn)?。1平面a,80u平面Z8OC,

所以平面N8OC1平面a,

過(guò)。作￡W/平面N8OC,垂足為N,

則N為正三角形Z8C的重心，

設(shè)正四面體的邊長(zhǎng)為i,則CN=2CP=XI,

33

因?yàn)橹本€8C與平面a所成角為30。即Z,BCO=30,且NBCN=30,

所以NOCN=60',

所以點(diǎn)N到平面a的距離等于d=CNsin60'=；,

過(guò)點(diǎn)。作。平面a,垂足為

則。M=d=；,

所以直線切與平面a所成角的正弦值為翳=；,

故答案為：y.

12.如圖，在三棱錐。-48C中，平面//8O_L平面N8C,N8_L8C,/8=8C=2,Z）8=1,D4=7L

點(diǎn)尸是線段/C上一動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），若點(diǎn)尸到平面D8C的距離為貝IJ

2

AP

~AC~-----------

【答案】y##0.5

【分析】由題意證明8CL8O,求得繼而求得匕5CD，根據(jù)三棱錐的等體積法求得

S&BPC，即得由此可求得答案.

【解析】過(guò)點(diǎn)。作于點(diǎn)〃，連接尸8,

?;AB=2,BD=1,DA=6貝IJ/32=6Q2+OT,

ADDB

??.NADB=90。DH==立,

AB2

???平面ABD±平面ABC,平面ABDc平面ABC=AB,BCu平面ABC,

BC_LAB,BC_L平面ABD,,;BDu平面ABDBC1BD,

BC—2,BD—1,SRe=L2x1=1

■,^DCU2*

又點(diǎn)P到平面DBC的距離為近,左=k1x3=3，

2326

Vp-BCD=^D-BCP=[S出cPDH,即曰=:S.PX~~'

3632

,-,SaBCP=1,又ABLBC,4B=BC=2,則$*/比=；x/3xBC=2,

即S&BCP=3stiABC，

Ap1

故協(xié)4c中點(diǎn)，即笠=

AC2

故答案為：y

13.長(zhǎng)方體4BCL>-44CQ中，AB=BC=l9AA^29平面力8。與直線的交點(diǎn)為M,

現(xiàn)將AMC與繞C片旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，動(dòng)直線CW與底面44GA內(nèi)任一直線所成最

小角記為a，則sina的最大值是.

【答案】

2525

【分析】根據(jù)題設(shè)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求直線CM與面Z8C。夾角最大值，利用平面的基本性質(zhì)

找到M點(diǎn)位置，并確定其軌跡為圓錐底面圓周，進(jìn)而確定圓錐軸線與面428的夾角、CW

與圓錐軸線的夾角，利用和差角正余弦公式求它們的差、和正余弦值，即可確定sina的最

值.

【解析】由題意，0為動(dòng)直線CM與底面所成角，只需求旋轉(zhuǎn)過(guò)程中直線CM與面

44GA所成角的最大角即可，

又面/面ABCD,只需求直線CM與面ABCD最大夾角正弦值,

過(guò)c作CN//4S，交。6延長(zhǎng)線于“，連接用M,顯然圈二△cqw,

所以CA/=44,故N印l/C為平行四邊形，則CW=0,B、M=五,B、C=后,

所以△C"4為等腰三角形，過(guò)〃作于”，則//必在線段CB,上，

綜上，AMC,繞CB,旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，M點(diǎn)軌跡是以“為圓心，為半徑的圓上，

設(shè)BR=x,則C//=右一x,故CA/2一c，2=8m2-8戶2,

所以5-（百一X）2=2-X"解得B]H=x=容則C”=苧，乎，

AMC與繞CB,旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，CN是C8,為軸，圓H為底面的圓錐的母線，

所以ZMCB1為圓錐軸截面頂角的一半，且恒定不變，又sinNMM=M票H=：3,cosZMC5,=4：,

CM55

而直線CB,與面ABCD夾角為ZBCB[,且sinZBCB,=—,cosZBCB.=—,

'5'5

令B=NMCB?BCB\,則sinQ=3x拽+。、3=辿，而

555525

.4>/532^52布八

555525

令y=|NA/CBI-NBCBj,則siny==,而cosy=3x^^+』x2占=21>。

5555555555

綜上，y4a4兀故sina的最大值是辿.