直線的方程9題型分類

一、直線的點斜式方程直線的點斜式方程和斜截式方程：類別點斜式斜截式適用范圍斜率存在已知條件點P(x0，y0)和斜率k斜率k和在y軸上的截距b圖示方程y－y0＝k(x－x0)y＝kx＋b截距直線與y軸交點(0,b)的縱坐標b叫做直線在y軸上的截距二、直線的兩點式方程直線的兩點式方程和截距式方程：名稱兩點式截距式條件兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2，y1≠y2)在x，y軸上的截距分別為a，b(a≠0，b≠0)示意圖方程eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1適用范圍斜率存在且不為0斜率存在且不為0，不過原點三、直線的一般式方程1．直線的一般式方程：關于x和y的二元一次方程都表示一條直線．我們把關于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同時為0)叫做直線的一般式方程，簡稱一般式．2．直線的五種形式的方程：形式方程局限點斜式y(tǒng)－y0＝k(x－x0)不能表示斜率不存在的直線斜截式y(tǒng)＝kx＋b不能表示斜率不存在的直線兩點式eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)x1≠x2，y1≠y2截距式eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1不能表示與坐標軸平行及過原點的直線一般式Ax＋By＋C＝0無3．直線各種形式方程的互化：（一）直線的點斜式方程1．直線的點斜式方程：過點P(x0，y0)且斜率為k的直線的方程：y－y0＝k(x－x0).2．兩種特殊的直線：(1)垂直于x軸的直線：如圖，過定點，傾斜角為90°，斜率不存在，沒有點斜式，其方程為或.(2)平行于x軸（或與x軸重合）的直線：如圖，過定點，傾斜角為0°，斜率為0，其點斜式方程為.3.求直線的點斜式方程的步驟及注意點(1)求直線的點斜式方程的步驟：定點(x0，y0)→定斜率k→寫出方程y－y0＝k(x－x0)．(2)點斜式方程y－y0＝k(x－x0)可表示過點P(x0，y0)的所有直線，但x＝x0除外．題型1：求直線的點斜式方程11．（2023·全國·高二課堂例題）已知直線l經過點P，且l的斜率為k，分別根據(jù)下列條件求直線l的方程：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）代入直線的點斜式方程可得答案；（2）代入直線的點斜式方程可得答案.【詳解】（1）根據(jù)已知可得直線l的點斜式方程為，化簡得；（2）根據(jù)已知可得直線l的點斜式方程為，化簡得.12．（2023秋·福建漳州·高二?？计谥校┮阎c，，則線段的垂直平分線所在的直線方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先求出線段的中點坐標及直線的斜率，再通過垂直求出其垂直平分線的斜率，最后利用點斜式即可求出方程.【詳解】線段的中點為，，則線段垂直平分線的斜率為，則線段垂直平分線方程為，即.故選：B.13．（2023秋·高二課時練習）已知過定點的直線m的一個方向向量是，則直線m的點斜式方程為．【答案】【分析】由直線的方向向量可求得直線的斜率，再根據(jù)點斜式方程即可求解.【詳解】因為直線的一個方向向量，所以直線的斜率為．又直線過點，所以直線的點斜式方程為．故答案為：14．（2023·全國·高二課堂例題）如圖，已知三角形的頂點為，，，求邊上的高所在直線的方程．

【答案】．【分析】求出直線的斜率，根據(jù)求得直線的斜率，根據(jù)直線的點斜式寫出直線的方程.【詳解】直線的斜率為．因為，所以．根據(jù)直線的點斜式方程，得直線的方程，即．15．（2023秋·甘肅武威·高二統(tǒng)考期中）已知直線的傾斜角是直線l的傾斜角的5倍，分別求滿足下列條件的直線l的方程.(1)過點，(2)在x軸上截距為；【答案】(1)；(2).【分析】（1）（2）求出直線的傾斜角及斜率，再利用直線的點斜式方程求解作答.【詳解】（1）直線的斜率為，其傾斜角為，依題意，直線的傾斜角為，斜率為，所以直線的方程為，即.（2）由（1）知，直線的斜率，顯然直線過點，所以直線的方程為，即.16．（2023秋·高二課時練習）已知直線上的兩點和．(1)求直線的斜率；(2)求直線的方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）直接由兩點的斜率公式計算可得；（2）利用點斜式計算可得.【詳解】（1）由直線過，兩點，所以直線的斜率．（2）經過點，斜率的直線的點斜式方程是，化簡得，即直線的方程為．17．（2023秋·陜西榆林·高二校考階段練習）已知點，直線過點且斜率為.(1)求直線的方程；(2)若直線過點，且傾斜角是直線的一半，求直線的方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用點斜式直接得解；（2）根據(jù)直線斜率確定的傾斜角，進而確定的傾斜角與斜率，進而確定直線方程.【詳解】（1）因為知點，直線過點且斜率為，所以由點斜式知直線的方程為，即；（2）設直線與的傾斜角分別為，，，所以，因為直線的斜率為，所以，解得，，所以，又直線經過點，所以由點斜式知直線的方程為，即.18．（2023秋·陜西延安·高一校考期末）若光線沿傾斜角為的直線射向軸上的點，經軸反射，則反射直線的點斜式方程是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意先寫出反射光線的傾斜角和斜率，再應用點斜式寫出直線的方程即可.【詳解】光線沿傾斜角為的直線射向軸上經軸反射，則反射直線的傾斜角為,反射光線斜率為,且反射光線過點,這反射光線所在直線方程為點斜式方程是.故選:B.（二）直線的斜截式方程1．直線的斜截式方程:斜率為k且在y軸上的截距為b的直線方程：y＝kx＋b.2．(1)直線的斜截式是直線點斜式的特例.(2)一條直線與軸的交點為的縱坐標叫做直線在軸上的截距.特別的，傾斜角為直角的直線沒有斜截式方程.3.求直線的斜截式方程的策略:(1)斜截式方程的應用前提是直線的斜率存在．(2)直線的斜截式方程y＝kx＋b中只有兩個參數(shù)，因此要確定直線方程只需兩個獨立條件即可．題型2：求直線的斜截式方程21．（2023秋·高二課時練習）直線的斜率為，在y軸上的截距為．【答案】32【分析】先求得斜率，然后求得傾斜角，根據(jù)縱截距的求法求得縱截距.【詳解】直線的斜率為，令，得到，所以縱截距為.故答案為：；22．（2023秋·高二課時練習）寫出滿足下列條件的直線的斜截式方程：(1)斜率是，在y軸上的截距是；(2)傾斜角是，在y軸上的截距是5．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)斜截式直接列出方程；（2）由傾斜角得出直線斜率，再列出斜截式方程.【詳解】（1）因為直線的斜率是，在軸上的截距是，所以該直線的斜截式方程為.（2）因為直線的傾斜角為，所以該直線的斜率為，又因為直線在軸上的截距為5，所以該直線的斜截式方程為.23．（2023春·山東濰坊·高二?？茧A段練習）直線l的斜率為方程的根，且在y軸上的截距為5，則直線l的方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】依題意，由點斜式寫出直線的方程.【詳解】由題意，方程的根為1，所以，直線l的方程為.故選：C.24．（2023秋·高二課時練習）如果直線l的斜率和在y軸上的截距分別為直線的斜率的一半和在y軸上截距的兩倍，那么直線l的方程是．【答案】【分析】確定直線l的斜率和在y軸上的截距，即可求得答案.【詳解】直線的斜率為，在y軸上的截距為2，則直線l的斜率為，在y軸上的截距為，故直線l的方程為，故答案為：25．（2023秋·高二課時練習）已知直線的傾斜角為，在y軸上的截距為，則此直線方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由題意，求出斜率，利用斜截式直接寫方程．【詳解】解析：直線的傾斜角為，則其斜率為，又在軸上的截距為，由直線的斜截式方程可得：.故選：A.26．（2023秋·高二課時練習）已知直線經過點,且與坐標軸圍成的三角形的面積為,求直線的斜截式方程.【答案】或【分析】由題意得直線的斜率存在且斜率不為,設其斜率為,則直線的方程為,分別令和得到直線在軸和軸上的截距,利用三角形面積公式,列方程求解即可.【詳解】由題意得直線與兩坐標軸不垂直,否則構不成三角形,設其斜率為,則直線的方程為,令,得;令,得,于是直線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為,即.若,則整理得,因為,所以方程無解.若,則整理得,解得或,所以直線的方程為或,即或.27．（2023秋·高二課時練習）直線的圖象可能是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】根據(jù)直線的斜截式方程的特征得到直線的斜率，直線在y軸上的截距為（），再逐一判斷各個選項即可求解.【詳解】由直線，得：，直線的斜率，直線在y軸上的截距為，當時，，則直線經過第一象限和第三象限，且與軸相交于軸下方；當時，，則直線經過第二象限和第四象限，且與軸相交于軸上方；只有B選項的圖象符合題意，故選：B.28．（2023·高一課時練習）方程和表示的直線可能是()A．B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，討論直線所過象限判斷參數(shù)符號依次分析選項，即可得答案．【詳解】若圖象經過第一、二、三象限，則，經過第一、二、三象限，A、B錯誤；C：若圖象經過第二、三、四象限，則，經過第二、三、四象限，錯誤；D：若圖象經過第一、三、四象限，則，經過第一、二、四象限，符合題意；故選：D（三）直線的兩點式方程1．直線的兩點式方程：過兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直線方程：eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1).2．(1)與坐標軸垂直的直線沒有兩點式方程.(2)兩點式變形為,其可以表示任何直線.3.利用兩點式求直線的方程：(1)首先要判斷是否滿足兩點式方程的適用條件，然后代入兩點式．(2)若滿足即可考慮用兩點式求方程．在斜率存在的情況下，也可以先應用斜率公式求出斜率，再用點斜式寫方程．題型3：求直線的兩點式方程31．（2023秋·高二課時練習）下列說法正確的是（

）A．直線與兩坐標軸圍成的三角形的面積是4B．直線的橫截距為1C．過，兩點的直線方程為D．若直線l沿x軸向左平移3個單位長度，再沿y軸向上平移2個單位長度后，回到原來的位置，則該直線l的斜率為【答案】D【分析】利用代入法，結合截距的意義、直線平移的特征、直線兩點式的特征逐一判斷即可.【詳解】對選項A，直線，當時，，當時，，所以與兩坐標軸圍成的三角形的面積，故A錯誤.對選項B，令，得，則橫截距為，故B錯誤.對選項C，當或時，直線方程無意義，故C錯誤.對選項D，由題知：直線方程斜率存在，設直線方程為，直線l沿x軸向左平移3個單位長度，再沿y軸向上平移2個單位長度后，回到原來的位置，則，所以，解得，故D正確.故選：D32．（2023秋·高二課時練習）經過點，的直線在軸上的截距為．【答案】27【分析】先求得經過兩點和的直線方程，然后求得橫截距.【詳解】經過兩點和的直線方程為，即，令，得.故答案為：27.33．（2023秋·高二課時練習）已知直線l經過兩點和，其中，求直線l的方程．【答案】【分析】已知直線所過的兩個點，直接代入直線的兩點式方程.【詳解】過，的兩點式方程為，即．34．（2023·全國·高二專題練習）已知的三個頂點分別為，M為AB的中點，則中線CM所在直線的方程為()A． B．C． D．【答案】D【分析】求得點M的坐標，由直線的兩點式方程求解.【詳解】點M的坐標為(2,1)，由直線的兩點式方程得，即.故選：D35．（2023秋·湖北恩施·高二巴東一中?？茧A段練習）已知三角形的三個頂點為，，，求：(1)BC所在直線的方程；(2)BC邊上的中垂線的方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用直線的兩點式方程即可得解；（2）先求出直線的斜率，進而可求得BC邊上的中垂線的斜率，求出線段的中點坐標，再根據(jù)點斜式即可得解.【詳解】（1）因為，，所以直線BC的方程為，化簡得；（2），則BC邊上的中垂線的斜率，線段的中點為，所以BC邊上的中垂線的方程為，即.（四）直線的截距式方程直線的截距式方程：在x，y軸上的截距分別為a，b（其中a≠0，b≠0）的直線方程：eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1.2．截距的概念：(1)橫截距：直線與x軸交點的橫坐標；在直線方程中，令y=0，解出x；(2)縱截距：直線與y軸交點的橫坐標；在直線方程中，令x=0，解出y.3.截距式方程應用的注意事項(1)如果問題中涉及直線與坐標軸相交，則可考慮選用截距式直線方程，用待定系數(shù)法確定其系數(shù)即可．(2)選用截距式直線方程時，必須首先考慮直線能否過原點以及能否與兩坐標軸垂直．(3)要注意截距式直線方程的逆向應用．題型4：求直線的截距式方程41．（2023·高二課時練習）過點，且在兩坐標軸上的截距相等的直線方程是（

）A． B．或C．或 D．或【答案】D【解析】分兩種情況討論：當直線過原點時，斜率為，由點斜式寫出直線的方程；當直線不過原點時，設直線的方程是：，把點代入方程求解即可.【詳解】當直線過原點時，斜率為，由點斜式求得直線的方程是．當直線不過原點時，設直線的方程是：，把點代入方程得，所以直線的方程是.綜上，所求直線的方程為或.故選：D．【點睛】本題主要考查直線的方程的求法，還考查了分類討論的思想方法，屬于基礎題.42．（2023秋·四川綿陽·高二鹽亭中學校考期中）已知直線?經過點且在兩坐標軸上的截距之和為零，求直線?的方程.【答案】?或?.【分析】分直線經過原點和直線不過原點兩種情況討論求解.【詳解】解：當直線經過原點時，直線在兩坐標軸上截距都為零，滿足條件，故直線的斜率為，故所求直線方程為:；當直線不過原點時，根據(jù)題意，設其方程為:，將代入有:，解得:，即.故所求直線的方程為:或.43．【多選】（2023秋·高二課時練習）已知直線過點，且直線在坐標軸上的截距的絕對值相等，則直線的方程為（

）A． B． C． D．【答案】ABC【分析】分直線過原點，直線截距相等，直線截距互為相反數(shù)三種情況設直線分別為，結合過點可得答案.【詳解】當直線過原點時，設直線方程為，因過點，則直線的方程為，即，故A正確；當直線截距相等時，設直線方程為，因過點，則，則直線的方程為，故C正確；當直線截距互為相反數(shù)時，設直線方程為，因過點，則，則直線的方程為，故B正確．故選：ABC．44．（2023秋·浙江寧波·高二校聯(lián)考期中）經過點，且在軸上的截距是在軸上的截距的2倍的直線的方程是.【答案】和；【分析】根據(jù)直線過原點和不經過原點兩種情況，即可由待定系數(shù)的方法求解.【詳解】若直線經過原點，則設直線方程為，將代入可得，若直線不經過原點，設直線方程為，將代入可得，所以直線方程為，即，故答案為：和；45．（2023·全國·高二專題練習）過點(5，0)，且在兩坐標軸上的截距之差為2的直線方程是.【答案】=1或=1【分析】設直線的方程為，根據(jù)條件先求a,再列方程求解即可.【詳解】設直線的方程為=1，點在直線上，∴.由得或，∴所求直線的方程為=1或=1.故答案為:或.46．（2023秋·寧夏銀川·高二?？茧A段練習）過點作直線l分別交的正半軸于兩點．

(1)求面積的最小值及相應的直線的方程；(2)當取最小值時，求直線的方程.【答案】(1)4，(2)【分析】（1）由題意可設直線的方程為，又點在直線上，所以，注意到，結合基本不等式進而求解.（2）由（1）中分析可知，且注意到，由乘“1”法結合基本不等式即可求解.【詳解】（1）顯然直線斜率存在且不過原點，由題意可設直線的方程為，又點在直線上，所以，由基本不等式可得，即，當且僅當時取等，注意到，所以，當且僅當時取等，此時相應的直線的方程為.（2）由（1）可知，又注意到，所以，對其利用基本不等式得，當且僅當時取等，此時相應的直線的方程為.47．（2023秋·河北保定·高二定州一中?？茧A段練習）直線l過點，且與x軸的正半軸、y軸的正半軸分別交于A，B兩點，O為坐標原點.(1)若，求直線l的方程；(2)當?shù)拿娣e為6時，求直線l的方程.【答案】(1)或(2)或【分析】（1）設直線的截距式，由題意列出方程組，求出截距即可得解；（2）利用截距表示出三角形面積，再聯(lián)立方程求出截距，即可得解.【詳解】（1）設直線l的方程為（，），（直線l與坐標軸的交點位于正半軸）由題意知，①.因為直線l過點，所以②.聯(lián)立①②，解得或，所以直線l的方程為或.（2）由題意知，即③，聯(lián)立②③，解得或，所以直線l的方程為或.48．【多選】（2023秋·高二課時練習）已知直線經過第一、二、三象限且斜率小于1，那么下列不等式中一定正確的是（

）A． B．C． D．【答案】AB【分析】根據(jù)題意，得到，結合絕對值的性質，冪函數(shù)的單調性，以及不等式的性質，逐項判定，即可求解.【詳解】因為直線經過第一、二、三象限，可得，，由直線的斜率小于1，可得，結合，可得，由絕對值的性質，可得，所以A正確；由冪函數(shù)的單調性，，所以B正確；由，所以，所以C錯誤；由，所以，所以D錯誤.故選：AB.49．（2023·高二課時練習）已知直角坐標系平面上的直線經過第一、第二和第四象限，則滿足（

）A． B．，C．， D．，【答案】A【分析】求出直線與坐標軸的交點，即可得出答案.【詳解】令，則；令，則所以在直線上因為直線經過第一、第二和第四象限所以故選：A【點睛】本題主要考查了由直線所過象限求參數(shù)范圍，屬于基礎題.（五）直線的一般式方程1.直線的一般式方程：關于x和y的二元一次方程都表示一條直線．我們把關于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同時為0)叫做直線的一般式方程，簡稱一般式．2.求直線一般式方程的策略在求直線方程時，設一般式方程有時并不簡單，常用的還是根據(jù)給定條件選出四種特殊形式之一求方程，然后轉化為一般式．3.含參直線方程的研究策略(1)若方程Ax＋By＋C＝0表示直線，則需滿足A，B不同時為0.(2)令x＝0可得在y軸上的截距．令y＝0可得在x軸上的截距．若確定直線斜率存在，可將一般式化為斜截式．(3)解分式方程要注意驗根．4.利用一般式解決直線平行與垂直問題的策略直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直線l2：A2x＋B2y＋C2＝0，(1)若l1∥l2?A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)．(2)若l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0.題型5：求直線的一般式方程51．（2023秋·高二課時練習）直線的傾斜角是（

）A．30° B．60° C．120° D．150°【答案】A【分析】求出直線的斜率，然后求解傾斜角．【詳解】直線的斜率為：，設傾斜角是，則，可得．故選：A．52．（2023秋·黑龍江哈爾濱·高二哈九中校考期末）直線的斜率是（

）A． B．3 C． D．【答案】A【分析】將直線寫為斜截式即可得斜率.【詳解】直線，即為，斜率為.故選：A.53．（2023秋·高二課時練習）根據(jù)下列條件分別寫出直線的方程，并化為一般式方程．(1)斜率為，且經過點；(2)過點，且垂直于軸；(3)斜率為4，在軸上的截距為；(4)在軸上的截距為3，且平行于軸；(5)經過點與直線垂直．【答案】(1)(2)(3)(4)(5)【分析】（1）利用點斜式可得直線方程；（2）根據(jù)直線所過點及與坐標軸的關系可得答案；（3）利用斜截式可得答案；（4）平行于軸可得斜率為0，利用斜截式可得答案；（5）利用方程求出所求直線的法向量，根據(jù)點法式求出方程.【詳解】（1）由點斜式方程得，整理得.（2）因為直線過點，且垂直于軸，所以其方程為，即.（3）因為斜率為4，在軸上的截距為，所以，即.（4）因為在軸上的截距為3，且平行于軸，所以，即.（5）由得，即該直線的斜率為，即一個方向向量為所求直線的一個法向量，故所求直線方程為，即.54．（2023·全國·高二隨堂練習）如果，，那么直線不通過（

）．A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】化簡直線方程為直線的斜截式方程，結合斜率和在軸上的截距，即可求解.【詳解】因為，且，所以均不為零，由直線方程，可化為，因為，且，可得，y軸截距，所以直線經過第一、三、四象限，所以不經過第二象限．故選：B.55．（2023秋·河南焦作·高二?？茧A段練習）若直線經過第一、二、三象限，則（

）A．，B．， C．， D．，【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，求出直線的橫縱截距并判斷正負即可.【詳解】依題意，直線不垂直于坐標軸，由，得，由，得，因為直線經過第一、二、三象限，則，且，即，且，有，因此，所以，.故選：D56．（2023秋·高二課時練習）將直線繞點按逆時針方向旋轉后所得直線方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先確定點為直線與軸的交點，結合題意，從而得到所求直線的傾斜角，從而得到斜率，由此求解直線方程即可．【詳解】點為直線與軸的交點，直線的斜率為，則直線的傾斜角為，則將直線繞點按逆時針方向旋轉后所得直線的傾斜角為，則所求直線的斜率為，所以所求直線的方程為，即．故選：A．57．（2023·高二課時練習）若直線不過第一象限，則實數(shù)取值范圍是．【答案】【分析】整理直線為,由題可得,進而求解即可【詳解】由題,整理直線為,因為直線不過第一象限,則,解得,故答案為：【點睛】本題考查直線方程的圖象性質,考查數(shù)形結合思想題型6：由一般式方程判斷直線的平行、垂直61．（2023秋·湖南邵陽·高二湖南省隆回縣第二中學?？计谥校┫铝兄本€中與直線平行的直線是（

）．A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)兩條直線存在斜率時，它們的斜率相等且在縱截距不相等，兩直線平行，逐一對四個選項進行判斷.【詳解】∵直線的斜率，縱截距為，對A：直線的斜率，縱截距為；對B：直線的斜率，縱截距為；對C：直線的斜率，縱截距為；對D：直線的斜率，縱截距為；若兩直線平行，由題意可知：斜率相等，縱截距不相等，只有C選項符合.故選：C.62．（2023·高二課時練習）討論直線：和：的位置關系．【答案】答案見詳解【分析】根據(jù)直線位置關系與系數(shù)之間的關系分類討論可得.【詳解】當，即且時，直線、相交；當，即時，直線，垂直；當，即時，直線、平行；當，即時，直線、重合．63．（2023秋·高二課時練習）若直線與直線平行，則m的值為（

）A．2 B． C．2或 D．或【答案】B【分析】根據(jù)直線的平行可列出方程，求得m的值，驗證直線是否重合，即得答案.【詳解】由題意知直線與直線平行，而直線的斜率為，則直線必有斜率，即，則，故，解得或，當時，直線與直線重合，不合題意；當時，直線與直線平行，符合題意，故，故選：B64．（2023·全國·高二專題練習）已知直線：與直線；相互平行，則實數(shù)的值是（

）A． B．1 C． D．或1【答案】A【分析】根據(jù)兩條直線平行，斜率相等求解即可.【詳解】因為直線：的斜率，斜率存在，且，所以直線；的斜率存在，且，化簡得：，解得或.當時，直線：，直線；，此時.當時，直線：，直線；，此時重合，舍去.所以.故選：A65．（2023秋·高二課時練習）已知直線，直線.若這兩條直線的傾斜角互補，求的值.【答案】【分析】根據(jù)題意分類討論斜率是否存在的情況，再根據(jù)斜率存在的情況下，斜率互為相反數(shù)求解即可.【詳解】若的斜率不存在，則，此時直線，斜率為，不符合題意，舍去.若的斜率不存在，則，此時直線，斜率為，不符合題意，舍去.當，的斜率都存在時，因為這兩條直線的傾斜角互補所以，即，解得或.當時，，的斜率都為0，不符合題意，舍去.綜上，66．（2023秋·上海浦東新·高二上海市洋涇中學?？茧A段練習）直線與直線垂直，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用直線垂直，得到斜率的積為，即可求解.，則有，解得.故選：A67．（2023秋·貴州黔西·高二?？计谥校┮阎本€和直線互相垂直，則實數(shù)的值為．【答案】或【分析】根據(jù)兩條直線垂直的充要條件列出方程即可得解.【詳解】因為直線和直線互相垂直，所以，解得或.故答案為：或68．（2023秋·全國·高二隨堂練習）若，為正實數(shù)，直線與直線互相垂直，則的最大值為.【答案】/【分析】根據(jù)直線垂直的充要條件可得a，b關系，然后由基本不等式可解.【詳解】因為直線與直線互相垂直，所以，即，由基本不等式可得，即，當且僅當時等號成立.所以的最大值為.故答案為：69．（2023·全國·高二專題練習）已知直線，.若，則實數(shù)a=，若，則實數(shù)a=．【答案】01【分析】根據(jù)直線垂直以及平行的充要條件，即可列出方程，解出即得.【詳解】因為，所以有，解得；因為，所以有，解得，當時，與重合，舍去；當時，，，與不重合，滿足條件，所以.故答案為：0；1.610．（2023·全國·高二專題練習）已知兩條直線，當m為何值時，與(1)相交；(2)平行；(3)重合．【答案】(1)且且(2)或(3)【分析】先考慮兩條直線方程中變量系數(shù)為零的情況；當系數(shù)均不為零時，根據(jù)平行的條件考查系數(shù)關系，進一步分析即可得到答案.【詳解】（1）當時，，所以當時，，此時與相交；當且時，由，得或由得故且且時，與相交；（2）由（1）知，或時，（3）由（1）知，時，與重合.611．【多選】（2023秋·福建廈門·高二福建省廈門第二中學校考階段練習）已知直線的傾斜角等于，且經過點，則下列結論中正確的有（

）A．的一個方向向量為B．直線與兩坐標軸圍成三角形的面積為C．與直線垂直D．與直線平行【答案】AC【分析】根據(jù)點斜式求得直線的方程，結合直線的方向向量、截距、垂直、平行（重合）等知識對選項進行分析，從而確定正確答案.【詳解】由題意直線的斜率為，直線方程為，即，它與直線重合，D錯誤；，因此是直線的一個方向向量，A正確；在直線方程中令得，令得，直線與兩坐標軸圍成三角形的面積為，B錯誤；由于，C正確故選：AC題型7：由兩條直線平行、垂直求直線方程71．（2023·全國·高二課堂例題）求過點，且與直線平行的直線的方程．【答案】【分析】利用兩直線平行與斜率的關系，結合點斜式寫出直線方程，再化為一般式方程.【詳解】已知直線的斜率是，因為所求直線與已知直線平行，所以所求直線的斜率也是．根據(jù)直線的點斜式方程，得所求直線的方程為，即．72．（2023秋·高二課前預習）過點且與直線平行的直線方程是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)平行線的斜率相同排除A、B；再由所過的點排除C，即可得答案.【詳解】由斜率為，而A、B中的直線斜率為，與該直線不平行，排除；C、D中直線斜率為，對于，顯然不過，而過已知點，所以C中直線不符合，D中直線符合要求.故選：D73．（2023秋·海南·高二?？计谥校┮阎本€，求:(1)求直線的斜率；(2)若直線與平行，且過點，求直線的方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）將直線的一般式轉化為斜截式即可得解；（2）根據(jù)直線的點斜式求解即可.【詳解】（1）直線，即的斜率為.（2）若直線與平行，則斜率為，又過點，故直線的方程為，即.74．【多選】（2023秋·遼寧朝陽·高二建平縣實驗中學校考期末）已知等腰直角的直角頂點為，若點，則過點且與邊所在直線平行的直線方程可能是（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】根據(jù)題意求出點B的坐標，再利用直線的平行關系結合直線的點斜式即可求得答案.【詳解】設點坐標為，根據(jù)題意知，即，解得或，當點的坐標是時，過點且與邊所在直線平行的直線方程是，即；當點的坐標是時，過點且與邊所在直線平行的直線方程是，即.故選：AC.75．（2023秋·高二課時練習）過點，且垂直于直線的直線方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)垂直求出直線斜率，再利用點斜式求得正確答案.【詳解】根據(jù)垂直關系得所求直線的斜率為，又過點，所以所求直線方程為，即.故選：A76．（2023秋·河南駐馬店·高二統(tǒng)考期末）已知直線過點，且與直線垂直，則直線的方程為．【答案】或【分析】由直線的垂直關系結合已知直線的斜率可得所求直線的斜率，由直線的點斜式方程結合已知條件即可求解.【詳解】由題意不妨設直線與直線的斜率分別為，所以由題意可知，，所以，因為所求直線過點，所以由直線的點斜式方程可知直線的方程為：，化簡并整理得或.故答案為：或.題型8：直線與坐標軸圍成三角形的面積問題81．（2023·全國·高二專題練習）在平面直角坐標系中，若點，，，則的面積為（

）A．3 B．2 C．1 D．【答案】A【分析】將三角形ABC拆分為三角形ABD和三角形ACD，由兩點式計算BC所在直線，計算直線與軸的交點，分別求出三角形的底和高，公式求面積即可.【詳解】解：因為，，所以所在直線為,即，設直線與軸的交點為D，過點C做軸的垂線，垂足為E，則，則故選：A82．（2023·全國·高二專題練習）經過點，且與兩坐標軸圍成的三角形的面積為5的直線方程是（

）A．或B．或C．或D．或【答案】D【分析】由題意設直線為，根據(jù)直線與坐標軸所圍成三角形的面積，應用三角形面積公式求參數(shù)k，即可確定直線方程.【詳解】由題意，直線斜率一定存在，設所求方程為，即.由，得或.故所求直線方程為或.故選：D83．（2023秋·河北邯鄲·高二校考階段練習）直線的傾斜角是直線傾斜角的一半，且直線與坐標軸所圍成的三角形的面積為，則直線的方程可能是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由斜率的幾何意義結合二倍角公式可以先求出所求直線的斜率，再結合已知條件即可求出直線方程.【詳解】由題意不妨設直線與直線的斜率分別為，傾斜角分別為，而，，又由二倍角公式，所以有，整理得，解得或（舍去），所以設直線的方程為，則直線與坐標軸分別交于，所以由題意直線與坐標軸所圍成的三角形的面積為，解得，所以設直線的方程為，當時，它可以變形為.故選：C.84．（2023秋·高二課時練習）已知直線的方程為．(1)求直線的斜率；(2)求直線與兩條坐標軸所圍成的三角形的面積．【答案】(1)(2)【分析】（1）將直線方程化為斜截式，即可確定直線斜率；（2）方法一：求出直線與坐標軸的交點坐標，進而得到三角形面積；方法二：將直線方程化為截距式，得到截距后可求得三角形面積.【詳解】（1）將直線的一般式方程化為斜截式得：，直線的斜率．（2）設直線交軸于點，交軸于點．

方法一：對于直線方程，令，得；令，得，，，.方法二：將直線的一般式方程化為截距式得：，，，.85．（2023·全國·高二專題練習）已知直線方程為．(1)若直線的傾斜角為，求的值；(2)若直線分別與軸、軸的負半軸交于、兩點，為坐標原點，求面積的最小值及此時直線的方程．【答案】(1)；(2)面積的最小值為，此時直線的方程為.【分析】（1）由直線的斜率和傾斜角的關系可求得的值；（2）求出點、的坐標，根據(jù)已知條件求出的取值范圍，求出的面積關于的表達式，利用基本不等式可求得面積的最小值，利用等號成立的條件可求得的值，即可得出直線的方程.【詳解】（1）解：由題意可得.（2）解：在直線的方程中，令可得，即點，令可得，即點，由已知可得，解得，所以，，當且僅當時，等號成立，此時直線的方程為，即.86．（2023秋·河南濮陽·高二濮陽一高?？茧A段練習）已知直線過點，且分別與軸的正半軸、軸的正半軸交于兩點，為原點，則面積最小值為．【答案】【分析】設直線的方程為，由題意可得，根據(jù)三角形的面積公式及基本不等式即可求解.【詳解】依題意，設直線在軸上的截距為，在軸上的截距為，則直線的方程為，直線過點，，，，，即，當且僅當，即時取等號，面積最小值為.故答案為：.87．（2023秋·高二課前預習）直線經過點,且通過第二、三、四象限，并與坐標軸圍成三角形面積為2的直線方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題可設直線與軸的交點坐標是，進而可得，即得.【詳解】∵直線經過點，且通過第二、三、四象限，∴直線的斜率小于0，設直線與軸的交點坐標是，且，∵直線與坐標軸圍成三角形面積為2∴，∴，∴直線的方程為，即，故選：B.88．（2023秋·高二課時練習）已知直線與兩坐標軸圍成一個等腰直角三角形，且此三角形的面積為，求直線的方程．【答案】或.【分析】由題意可得直線l在兩坐標軸上的截距的絕對值相等且不為0，設直線方程為，其中，根據(jù)三角形面積即可求解.【詳解】解：因為直線l與兩坐標軸圍成一個等腰直角三角形，所以直線l在兩坐標軸上的截距的絕對值相等且不為0.設直線方程為，則.因為，即，所以，所以時，，當時，，所以直線方程為或.故答案為:或.（六）直線過定點問題解決直線過定點問題的思路，把平面上過定點的直線的全體稱為中心直線系.定點的確定方法：把含參直線方程化為,求解，即可得出定點坐標.題型9：直線的恒過定點問題91．（2023·全國·高三專題練習）已知直線．求證：無論m為何實數(shù)，直線恒過一定點M．【答案】證明見解析【分析】根據(jù)方程的特征，通過解方程組法進行求解即可.【詳解】將直線的方程化為，解方程組解得故直線l1恒過定點．92．（2023·全國·高二專題練習）無論取何實數(shù)時，直線恒過定點，則定點的坐標為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】將直線方程可化為，再解方程組即可.【詳解】直線方程可化為，解方程組，得，即定點的坐標為.故選：A.93．（2023秋·高二課時練習）已知直線.(1)若直線的斜率，求實數(shù)的取值范圍；(2)證明：對任意實數(shù)，直線都經過一個確定的點.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）將直線方程轉化成斜截式，再利用條件建立不等關系，即可求出結果；（2）將直線方程變形成，再利用，得到，從而可證明直線過定點.【詳解】（1）因為，由題知，所以，所以，又因為，所以，即，即，由，得到或，由，得到或，所以或.（2）由，變形得到，令，得到，當，恒成立，所以，不論取何值，恒過定點，結論成立.94．（2023秋·福建廈門·高二廈門一中?？奸_學考試）已知點，，若直線與線段（含端點）相交，則k的取值范圍為．【答案】【分析】由題意利用直線的傾斜角和斜率，數(shù)形結合求得實數(shù)k的取值范圍．【詳解】由可得，可知直線為過定點，斜率為的直線，可得，若直線與線段（含端點）相交，則或，所以k的取值范圍為.故答案為：.

95．【多選】（2023秋·高二課時練習）已知直線，，，則下列結論正確的是（）A．直線l恒過定點 B．當時，直線l的斜率不存在C．當時，直線l的傾斜角為 D．當時，直線l與直線垂直【答案】CD【分析】利用直線過定點的求法，結合直線斜率公式逐項分析即可得解.【詳解】直線，故時，，故直線l恒過定點，故A錯誤；當時，直線，斜率，故B錯誤；當時，直線，斜率，故傾斜角為，故C正確；當時，直線，斜率，而，故，故直線與直線垂直，故D正確.故選：CD.96．【多選】（2023秋·山西晉城·高二晉城市第一中學校校考階段練習）已知直線，其中，則（

）A．當時，直線與直線垂直B．若直線與直線平行，則C．直線過定點D．當時，直線在兩坐標軸上的截距相等【答案】AC【分析】對于A，求出直線方程，根據(jù)斜率的關系判斷，對于B，由兩直線平行直接列方程求解判斷，對于C，由求出的值可得直線過的定點，對于D，當時，求出直線方程，然后求出直線在兩坐標軸上的截距進行判斷.【詳解】對于A，當時，直線的方程為，其斜率為1，而直線的斜率為－1，所以當時，直線與直線垂直，所以A正確；對于B，若直線與直線平行，則，解得或，所以B錯誤；對于C，當時，，與無關，故直線過定點，所以C正確；對于D，當時，直線的方程為，在兩坐標軸上的截距分別是－1，1，不相等，所以D錯誤，故選：AC．97．（2023·高一課時練習）已知直線恒過定點，若正實數(shù)a，b滿足，則的最小值為（

）A．9 B．8 C．7 D．6【答案】A【分析】先求出直線過定點坐標，再利用基本不等式求最值.【詳解】原式子可化為：令，可得，所以，，當且僅當，即等號成立故選：A【點睛】本題考查了直線過定點和基本不等式的應用，考查了運算求解能力和邏輯推理能力，屬于基礎題目.一、單選題1．（2023秋·寧夏銀川·高二靈武市第一中學?？茧A段練習）直線經過點，且傾斜角，則直線的方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用直線的點斜式方程求解.【詳解】因為直線的傾斜角，所以直線的斜率為1，又直線經過點，所以直線的方程為，即，故選：C2．（2023秋·福建寧德·高二統(tǒng)考期中）已知直線的一個法向量為，且經過點，則直線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】使用點法式求直線方程，然后化簡即可.【詳解】由題可知：使用點法式可得直線方程為，化簡得：.故選：A3．（2023秋·河北保定·高二定州一中?？茧A段練習）過點作直線，若經過點和，且均為正整數(shù)，則這樣的直線可以作出（

），A．條 B．條 C．條 D．無數(shù)條【答案】B【分析】假設直線截距式方程，代入已知點坐標可得之間關系，根據(jù)為正整數(shù)可分析得到結果.【詳解】均為正整數(shù)，可設直線，將代入直線方程得：，當時，，方程無解，，，，，或，或，即滿足題意的直線方程有條.故選：B.4．（2023秋·河北保定·高二定州一中校考階段練習）如果，那么直線不經過的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】將直線的一般式方程轉化為斜截式方程即可.【詳解】由可得，,所以直線的斜率縱截距，所以直線經過一、二、四象限，故選:C.5．（2023秋·海南·高二?？计谥校┰谳S、軸上的截距分別是、3的直線方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用直線的截距式方程即可求解.【詳解】因為直線在軸、軸上的截距分別是、3，所以直線方程是，即．故選：C．6．（2023秋·福建漳州·高二?？计谥校┰谥校?，，，則的角平分線所在直線的方程是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)角平分線的性質，結合直線的兩點式方程進行求解即可.【詳解】如圖所示：的角平分線所在直線與橫軸的交點為，由角平分線的性質可知：，所以的角平分線所在直線的方程是，故選：B7．（2023秋·福建莆田·高二?？计谥校┤魞芍本€與互相垂直，則實數(shù)的值為（

）A． B．3 C． D．【答案】A【分析】根據(jù)一般式直線方程垂直的公式，即可求解.【詳解】由題意可知，兩直線垂直，則，得.故選：A8．（2023秋·江蘇淮安·高二淮陰中學?？奸_學考試）直線：，：，則“或”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件【答案】C【分析】由充分條件和必要條件的定義【詳解】當時，直線：，：，兩直線傾斜角分別為和，；當時，直線的斜率為，的斜率為9，，.充分性成立，直線：，：，若，則有，解得或.必要性成立.所以“或”是“”的充要條件.故選：C9．（2023秋·河北邢臺·高二校聯(lián)考階段練習）直線過點，且方向向量為，則（

）A．直線的點斜式方程為 B．直線的斜截式方程為C．直線的截距式方程為 D．直線的一般式方程為【答案】D【分析】利用方向向量求得斜率，從而求得直線的點斜式，斜截式，截距式，一般式方程【詳解】因為直線的方向向量為，所以直線的斜率為2．因為直線過點，所以直線的點斜式方程為，其一般式為．故A錯誤，D正確；化為斜截式：，故B錯誤；化為截距式：，故C錯誤.故選：D二、多選題10．（2023秋·福建寧德·高二統(tǒng)考期中）過點且在兩坐標軸上截距相等的直線方程為（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】根據(jù)直線過原點和不過原點兩種情況討論，分別設出所求直線的方程，結合過點，即可求解.【詳解】當所求直線不過原點時，設所求直線的方程為，因為直線過點，代入可得，即；當所求直線過原點時，設直線方程為，因為直線過點，代入可得，即，綜上可得，所求直線的方程為或.故選：BC.11．（2023秋·吉林長春·高二長春吉大附中實驗學校校考階段練習）已知直線：，：，則（

）A．若，則的一個方向向量為 B．若，則或C．若，則 D．恒過定點【答案】AC【分析】將代入，根據(jù)方向向量定義即可判斷A，根據(jù)直線平行和垂直與斜率的關系即可判斷選項B、C；將化簡得，結合一次函數(shù)的性質可判斷D.【詳解】對于A，當，直線：，斜率為，則其一個方向向量為，故A正確；對于B，若，當時，顯然不符合題意，當時，即直線的斜率為，直線的斜率為，則有，所以，解得或；當時，直線：，：，顯然兩直線重合，故B錯誤；對于C，若，當時，顯然不符合題意；當時可得，解得，即C正確；對于D，將化簡得，可知當時，直線過，即不論為何值時，直線恒過定點，即D錯誤；故選：AC12．（2023秋·浙江嘉興·高二校考期中）已知直線，則下列說法正確的是（

）A．直線過點 B．直線的斜率為C．直線在上的截距為 D．直線在上的截距為【答案】BD【分析】根據(jù)直線，對各個選項分析判斷即可求出結果.【詳解】選項A，因為，即直線不過點，所以選項A不正確；又由，得到，所以直線斜率為，在上的截距為，所以選項BD正確，又由直線，令，得到，所以選項C錯誤，故選：BD.13．（2023秋·江蘇連云港·高二統(tǒng)考期中）設a為實數(shù)，直線：，：，則（

）A．恒過點 B．若，則C．若，則或0 D．當時，不經過第一象限【答案】BD【分析】對于A選項：將代入，即可判斷；對于B選項：根據(jù)兩直線的平行關系得到，再檢驗的值，即可求解；對于C選項：根據(jù)兩直線的平行關系得到，即可求解；對于D選項：討論和，將化成斜截式，從而得到關于不等式組，即可求解.【詳解】對于A選項：將代入得：，則點不在上，所以A選項錯誤；對于B選項：因為，則，解得：或，經檢驗時，不滿足題意，故，所以B選項正確；對于C選項：因為，所以，解得：或，經檢驗時，不滿足題意，故，所以C選項錯誤；對于D選項：當時，直線的方程為，不經過第一象限，滿足題意；當時，直線的方程可化為，不經過第一象限，所以或解得：，綜上：，所以D選項正確，故選：BD.三、填空題14．（2023秋·重慶南岸·高三重慶第二外國語學校?？茧A段練習）是直線上的第一象限內的一點，為定點，直線AB交x軸正半軸于點C，當面積最小時，點的坐標是.【答案】【分析】根據(jù)給定條件，設出點的坐標，并表示出點的橫坐標，再列出三角形面積的關系式，利用均值不等式求解作答.【詳解】依題意，設，，則，而，則有，顯然，于是，由點在x軸正半軸上，得，面積，當且僅當，即時取等號，所以當面積最小時，點的坐標是.故答案為：15．（2023秋·云南大理·高二云南省下關第一中學?？茧A段練習）若直線過點且與平行，則直線的一般方程為.【答案】【分析】依題知斜率和點，寫出點斜式方程，最后化為一般方程.【詳解】因為直線的斜率是：，且直線與平行，直線的斜率也為，故直線的方程是：，整理得.故答案為：16．（2023秋·河南濮陽·高二濮陽一高校考階段練習）過點且在軸上的截距為3的直線方程是．（請寫出一般式方程）【答案】.【分析】利用待定系數(shù)法即可求解.【詳解】依題意，直線的斜率存在，設直線方程為，因為直線過點，所以，解得，所以直線方程為，即.故答案為：.17．（20