直線(xiàn)的方程9題型分類(lèi)

一、直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程和斜截式方程：類(lèi)別點(diǎn)斜式斜截式適用范圍斜率存在已知條件點(diǎn)P(x0，y0)和斜率k斜率k和在y軸上的截距b圖示方程y－y0＝k(x－x0)y＝kx＋b截距直線(xiàn)與y軸交點(diǎn)(0,b)的縱坐標(biāo)b叫做直線(xiàn)在y軸上的截距二、直線(xiàn)的兩點(diǎn)式方程直線(xiàn)的兩點(diǎn)式方程和截距式方程：名稱(chēng)兩點(diǎn)式截距式條件兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2，y1≠y2)在x，y軸上的截距分別為a，b(a≠0，b≠0)示意圖方程eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1適用范圍斜率存在且不為0斜率存在且不為0，不過(guò)原點(diǎn)三、直線(xiàn)的一般式方程1．直線(xiàn)的一般式方程：關(guān)于x和y的二元一次方程都表示一條直線(xiàn)．我們把關(guān)于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同時(shí)為0)叫做直線(xiàn)的一般式方程，簡(jiǎn)稱(chēng)一般式．2．直線(xiàn)的五種形式的方程：形式方程局限點(diǎn)斜式y(tǒng)－y0＝k(x－x0)不能表示斜率不存在的直線(xiàn)斜截式y(tǒng)＝kx＋b不能表示斜率不存在的直線(xiàn)兩點(diǎn)式eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)x1≠x2，y1≠y2截距式eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1不能表示與坐標(biāo)軸平行及過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)一般式Ax＋By＋C＝0無(wú)3．直線(xiàn)各種形式方程的互化：（一）直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程1．直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程：過(guò)點(diǎn)P(x0，y0)且斜率為k的直線(xiàn)的方程：y－y0＝k(x－x0).2．兩種特殊的直線(xiàn)：(1)垂直于x軸的直線(xiàn)：如圖，過(guò)定點(diǎn)，傾斜角為90°，斜率不存在，沒(méi)有點(diǎn)斜式，其方程為或.(2)平行于x軸（或與x軸重合）的直線(xiàn)：如圖，過(guò)定點(diǎn)，傾斜角為0°，斜率為0，其點(diǎn)斜式方程為.3.求直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程的步驟及注意點(diǎn)(1)求直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程的步驟：定點(diǎn)(x0，y0)→定斜率k→寫(xiě)出方程y－y0＝k(x－x0)．(2)點(diǎn)斜式方程y－y0＝k(x－x0)可表示過(guò)點(diǎn)P(x0，y0)的所有直線(xiàn)，但x＝x0除外．題型1：求直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程11．（2023·全國(guó)·高二課堂例題）已知直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，且l的斜率為k，分別根據(jù)下列條件求直線(xiàn)l的方程：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）代入直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程可得答案；（2）代入直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程可得答案.【詳解】（1）根據(jù)已知可得直線(xiàn)l的點(diǎn)斜式方程為，化簡(jiǎn)得；（2）根據(jù)已知可得直線(xiàn)l的點(diǎn)斜式方程為，化簡(jiǎn)得.12．（2023秋·福建漳州·高二?？计谥校┮阎c(diǎn)，，則線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)所在的直線(xiàn)方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先求出線(xiàn)段的中點(diǎn)坐標(biāo)及直線(xiàn)的斜率，再通過(guò)垂直求出其垂直平分線(xiàn)的斜率，最后利用點(diǎn)斜式即可求出方程.【詳解】線(xiàn)段的中點(diǎn)為，，則線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的斜率為，則線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)方程為，即.故選：B.13．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知過(guò)定點(diǎn)的直線(xiàn)m的一個(gè)方向向量是，則直線(xiàn)m的點(diǎn)斜式方程為．【答案】【分析】由直線(xiàn)的方向向量可求得直線(xiàn)的斜率，再根據(jù)點(diǎn)斜式方程即可求解.【詳解】因?yàn)橹本€(xiàn)的一個(gè)方向向量，所以直線(xiàn)的斜率為．又直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，所以直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程為．故答案為：14．（2023·全國(guó)·高二課堂例題）如圖，已知三角形的頂點(diǎn)為，，，求邊上的高所在直線(xiàn)的方程．

【答案】．【分析】求出直線(xiàn)的斜率，根據(jù)求得直線(xiàn)的斜率，根據(jù)直線(xiàn)的點(diǎn)斜式寫(xiě)出直線(xiàn)的方程.【詳解】直線(xiàn)的斜率為．因?yàn)?，所以．根?jù)直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程，得直線(xiàn)的方程，即．15．（2023秋·甘肅武威·高二統(tǒng)考期中）已知直線(xiàn)的傾斜角是直線(xiàn)l的傾斜角的5倍，分別求滿(mǎn)足下列條件的直線(xiàn)l的方程.(1)過(guò)點(diǎn)，(2)在x軸上截距為；【答案】(1)；(2).【分析】（1）（2）求出直線(xiàn)的傾斜角及斜率，再利用直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程求解作答.【詳解】（1）直線(xiàn)的斜率為，其傾斜角為，依題意，直線(xiàn)的傾斜角為，斜率為，所以直線(xiàn)的方程為，即.（2）由（1）知，直線(xiàn)的斜率，顯然直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，所以直線(xiàn)的方程為，即.16．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線(xiàn)上的兩點(diǎn)和．(1)求直線(xiàn)的斜率；(2)求直線(xiàn)的方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）直接由兩點(diǎn)的斜率公式計(jì)算可得；（2）利用點(diǎn)斜式計(jì)算可得.【詳解】（1）由直線(xiàn)過(guò)，兩點(diǎn)，所以直線(xiàn)的斜率．（2）經(jīng)過(guò)點(diǎn)，斜率的直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程是，化簡(jiǎn)得，即直線(xiàn)的方程為．17．（2023秋·陜西榆林·高二校考階段練習(xí)）已知點(diǎn)，直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)且斜率為.(1)求直線(xiàn)的方程；(2)若直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，且傾斜角是直線(xiàn)的一半，求直線(xiàn)的方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用點(diǎn)斜式直接得解；（2）根據(jù)直線(xiàn)斜率確定的傾斜角，進(jìn)而確定的傾斜角與斜率，進(jìn)而確定直線(xiàn)方程.【詳解】（1）因?yàn)橹c(diǎn)，直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)且斜率為，所以由點(diǎn)斜式知直線(xiàn)的方程為，即；（2）設(shè)直線(xiàn)與的傾斜角分別為，，，所以，因?yàn)橹本€(xiàn)的斜率為，所以，解得，，所以，又直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以由點(diǎn)斜式知直線(xiàn)的方程為，即.18．（2023秋·陜西延安·高一校考期末）若光線(xiàn)沿傾斜角為的直線(xiàn)射向軸上的點(diǎn)，經(jīng)軸反射，則反射直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意先寫(xiě)出反射光線(xiàn)的傾斜角和斜率，再應(yīng)用點(diǎn)斜式寫(xiě)出直線(xiàn)的方程即可.【詳解】光線(xiàn)沿傾斜角為的直線(xiàn)射向軸上經(jīng)軸反射，則反射直線(xiàn)的傾斜角為,反射光線(xiàn)斜率為,且反射光線(xiàn)過(guò)點(diǎn),這反射光線(xiàn)所在直線(xiàn)方程為點(diǎn)斜式方程是.故選:B.（二）直線(xiàn)的斜截式方程1．直線(xiàn)的斜截式方程:斜率為k且在y軸上的截距為b的直線(xiàn)方程：y＝kx＋b.2．(1)直線(xiàn)的斜截式是直線(xiàn)點(diǎn)斜式的特例.(2)一條直線(xiàn)與軸的交點(diǎn)為的縱坐標(biāo)叫做直線(xiàn)在軸上的截距.特別的，傾斜角為直角的直線(xiàn)沒(méi)有斜截式方程.3.求直線(xiàn)的斜截式方程的策略:(1)斜截式方程的應(yīng)用前提是直線(xiàn)的斜率存在．(2)直線(xiàn)的斜截式方程y＝kx＋b中只有兩個(gè)參數(shù)，因此要確定直線(xiàn)方程只需兩個(gè)獨(dú)立條件即可．題型2：求直線(xiàn)的斜截式方程21．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）直線(xiàn)的斜率為，在y軸上的截距為．【答案】32【分析】先求得斜率，然后求得傾斜角，根據(jù)縱截距的求法求得縱截距.【詳解】直線(xiàn)的斜率為，令，得到，所以縱截距為.故答案為：；22．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）寫(xiě)出滿(mǎn)足下列條件的直線(xiàn)的斜截式方程：(1)斜率是，在y軸上的截距是；(2)傾斜角是，在y軸上的截距是5．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)斜截式直接列出方程；（2）由傾斜角得出直線(xiàn)斜率，再列出斜截式方程.【詳解】（1）因?yàn)橹本€(xiàn)的斜率是，在軸上的截距是，所以該直線(xiàn)的斜截式方程為.（2）因?yàn)橹本€(xiàn)的傾斜角為，所以該直線(xiàn)的斜率為，又因?yàn)橹本€(xiàn)在軸上的截距為5，所以該直線(xiàn)的斜截式方程為.23．（2023春·山東濰坊·高二?？茧A段練習(xí)）直線(xiàn)l的斜率為方程的根，且在y軸上的截距為5，則直線(xiàn)l的方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】依題意，由點(diǎn)斜式寫(xiě)出直線(xiàn)的方程.【詳解】由題意，方程的根為1，所以，直線(xiàn)l的方程為.故選：C.24．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）如果直線(xiàn)l的斜率和在y軸上的截距分別為直線(xiàn)的斜率的一半和在y軸上截距的兩倍，那么直線(xiàn)l的方程是．【答案】【分析】確定直線(xiàn)l的斜率和在y軸上的截距，即可求得答案.【詳解】直線(xiàn)的斜率為，在y軸上的截距為2，則直線(xiàn)l的斜率為，在y軸上的截距為，故直線(xiàn)l的方程為，故答案為：25．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線(xiàn)的傾斜角為，在y軸上的截距為，則此直線(xiàn)方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由題意，求出斜率，利用斜截式直接寫(xiě)方程．【詳解】解析：直線(xiàn)的傾斜角為，則其斜率為，又在軸上的截距為，由直線(xiàn)的斜截式方程可得：.故選：A.26．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn),且與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為,求直線(xiàn)的斜截式方程.【答案】或【分析】由題意得直線(xiàn)的斜率存在且斜率不為,設(shè)其斜率為,則直線(xiàn)的方程為,分別令和得到直線(xiàn)在軸和軸上的截距,利用三角形面積公式,列方程求解即可.【詳解】由題意得直線(xiàn)與兩坐標(biāo)軸不垂直,否則構(gòu)不成三角形,設(shè)其斜率為,則直線(xiàn)的方程為,令,得;令,得,于是直線(xiàn)與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為,即.若,則整理得,因?yàn)?所以方程無(wú)解.若,則整理得,解得或,所以直線(xiàn)的方程為或,即或.27．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）直線(xiàn)的圖象可能是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】根據(jù)直線(xiàn)的斜截式方程的特征得到直線(xiàn)的斜率，直線(xiàn)在y軸上的截距為（），再逐一判斷各個(gè)選項(xiàng)即可求解.【詳解】由直線(xiàn)，得：，直線(xiàn)的斜率，直線(xiàn)在y軸上的截距為，當(dāng)時(shí)，，則直線(xiàn)經(jīng)過(guò)第一象限和第三象限，且與軸相交于軸下方；當(dāng)時(shí)，，則直線(xiàn)經(jīng)過(guò)第二象限和第四象限，且與軸相交于軸上方；只有B選項(xiàng)的圖象符合題意，故選：B.28．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）方程和表示的直線(xiàn)可能是()A．B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，討論直線(xiàn)所過(guò)象限判斷參數(shù)符號(hào)依次分析選項(xiàng)，即可得答案．【詳解】若圖象經(jīng)過(guò)第一、二、三象限，則，經(jīng)過(guò)第一、二、三象限，A、B錯(cuò)誤；C：若圖象經(jīng)過(guò)第二、三、四象限，則，經(jīng)過(guò)第二、三、四象限，錯(cuò)誤；D：若圖象經(jīng)過(guò)第一、三、四象限，則，經(jīng)過(guò)第一、二、四象限，符合題意；故選：D（三）直線(xiàn)的兩點(diǎn)式方程1．直線(xiàn)的兩點(diǎn)式方程：過(guò)兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直線(xiàn)方程：eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1).2．(1)與坐標(biāo)軸垂直的直線(xiàn)沒(méi)有兩點(diǎn)式方程.(2)兩點(diǎn)式變形為,其可以表示任何直線(xiàn).3.利用兩點(diǎn)式求直線(xiàn)的方程：(1)首先要判斷是否滿(mǎn)足兩點(diǎn)式方程的適用條件，然后代入兩點(diǎn)式．(2)若滿(mǎn)足即可考慮用兩點(diǎn)式求方程．在斜率存在的情況下，也可以先應(yīng)用斜率公式求出斜率，再用點(diǎn)斜式寫(xiě)方程．題型3：求直線(xiàn)的兩點(diǎn)式方程31．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）下列說(shuō)法正確的是（

）A．直線(xiàn)與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是4B．直線(xiàn)的橫截距為1C．過(guò)，兩點(diǎn)的直線(xiàn)方程為D．若直線(xiàn)l沿x軸向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再沿y軸向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度后，回到原來(lái)的位置，則該直線(xiàn)l的斜率為【答案】D【分析】利用代入法，結(jié)合截距的意義、直線(xiàn)平移的特征、直線(xiàn)兩點(diǎn)式的特征逐一判斷即可.【詳解】對(duì)選項(xiàng)A，直線(xiàn)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積，故A錯(cuò)誤.對(duì)選項(xiàng)B，令，得，則橫截距為，故B錯(cuò)誤.對(duì)選項(xiàng)C，當(dāng)或時(shí)，直線(xiàn)方程無(wú)意義，故C錯(cuò)誤.對(duì)選項(xiàng)D，由題知：直線(xiàn)方程斜率存在，設(shè)直線(xiàn)方程為，直線(xiàn)l沿x軸向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再沿y軸向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度后，回到原來(lái)的位置，則，所以，解得，故D正確.故選：D32．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）經(jīng)過(guò)點(diǎn)，的直線(xiàn)在軸上的截距為．【答案】27【分析】先求得經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)和的直線(xiàn)方程，然后求得橫截距.【詳解】經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)和的直線(xiàn)方程為，即，令，得.故答案為：27.33．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)和，其中，求直線(xiàn)l的方程．【答案】【分析】已知直線(xiàn)所過(guò)的兩個(gè)點(diǎn)，直接代入直線(xiàn)的兩點(diǎn)式方程.【詳解】過(guò)，的兩點(diǎn)式方程為，即．34．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知的三個(gè)頂點(diǎn)分別為，M為AB的中點(diǎn)，則中線(xiàn)CM所在直線(xiàn)的方程為()A． B．C． D．【答案】D【分析】求得點(diǎn)M的坐標(biāo)，由直線(xiàn)的兩點(diǎn)式方程求解.【詳解】點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,1)，由直線(xiàn)的兩點(diǎn)式方程得，即.故選：D35．（2023秋·湖北恩施·高二巴東一中?？茧A段練習(xí)）已知三角形的三個(gè)頂點(diǎn)為，，，求：(1)BC所在直線(xiàn)的方程；(2)BC邊上的中垂線(xiàn)的方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用直線(xiàn)的兩點(diǎn)式方程即可得解；（2）先求出直線(xiàn)的斜率，進(jìn)而可求得BC邊上的中垂線(xiàn)的斜率，求出線(xiàn)段的中點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)斜式即可得解.【詳解】（1）因?yàn)椋?，所以直線(xiàn)BC的方程為，化簡(jiǎn)得；（2），則BC邊上的中垂線(xiàn)的斜率，線(xiàn)段的中點(diǎn)為，所以BC邊上的中垂線(xiàn)的方程為，即.（四）直線(xiàn)的截距式方程直線(xiàn)的截距式方程：在x，y軸上的截距分別為a，b（其中a≠0，b≠0）的直線(xiàn)方程：eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1.2．截距的概念：(1)橫截距：直線(xiàn)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；在直線(xiàn)方程中，令y=0，解出x；(2)縱截距：直線(xiàn)與y軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；在直線(xiàn)方程中，令x=0，解出y.3.截距式方程應(yīng)用的注意事項(xiàng)(1)如果問(wèn)題中涉及直線(xiàn)與坐標(biāo)軸相交，則可考慮選用截距式直線(xiàn)方程，用待定系數(shù)法確定其系數(shù)即可．(2)選用截距式直線(xiàn)方程時(shí)，必須首先考慮直線(xiàn)能否過(guò)原點(diǎn)以及能否與兩坐標(biāo)軸垂直．(3)要注意截距式直線(xiàn)方程的逆向應(yīng)用．題型4：求直線(xiàn)的截距式方程41．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）過(guò)點(diǎn)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線(xiàn)方程是（

）A． B．或C．或 D．或【答案】D【解析】分兩種情況討論：當(dāng)直線(xiàn)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，斜率為，由點(diǎn)斜式寫(xiě)出直線(xiàn)的方程；當(dāng)直線(xiàn)不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線(xiàn)的方程是：，把點(diǎn)代入方程求解即可.【詳解】當(dāng)直線(xiàn)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，斜率為，由點(diǎn)斜式求得直線(xiàn)的方程是．當(dāng)直線(xiàn)不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線(xiàn)的方程是：，把點(diǎn)代入方程得，所以直線(xiàn)的方程是.綜上，所求直線(xiàn)的方程為或.故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查直線(xiàn)的方程的求法，還考查了分類(lèi)討論的思想方法，屬于基礎(chǔ)題.42．（2023秋·四川綿陽(yáng)·高二鹽亭中學(xué)?？计谥校┮阎本€(xiàn)?經(jīng)過(guò)點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為零，求直線(xiàn)?的方程.【答案】?或?.【分析】分直線(xiàn)經(jīng)過(guò)原點(diǎn)和直線(xiàn)不過(guò)原點(diǎn)兩種情況討論求解.【詳解】解：當(dāng)直線(xiàn)經(jīng)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，直線(xiàn)在兩坐標(biāo)軸上截距都為零，滿(mǎn)足條件，故直線(xiàn)的斜率為，故所求直線(xiàn)方程為:；當(dāng)直線(xiàn)不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，根據(jù)題意，設(shè)其方程為:，將代入有:，解得:，即.故所求直線(xiàn)的方程為:或.43．【多選】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，且直線(xiàn)在坐標(biāo)軸上的截距的絕對(duì)值相等，則直線(xiàn)的方程為（

）A． B． C． D．【答案】ABC【分析】分直線(xiàn)過(guò)原點(diǎn)，直線(xiàn)截距相等，直線(xiàn)截距互為相反數(shù)三種情況設(shè)直線(xiàn)分別為，結(jié)合過(guò)點(diǎn)可得答案.【詳解】當(dāng)直線(xiàn)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線(xiàn)方程為，因過(guò)點(diǎn)，則直線(xiàn)的方程為，即，故A正確；當(dāng)直線(xiàn)截距相等時(shí)，設(shè)直線(xiàn)方程為，因過(guò)點(diǎn)，則，則直線(xiàn)的方程為，故C正確；當(dāng)直線(xiàn)截距互為相反數(shù)時(shí)，設(shè)直線(xiàn)方程為，因過(guò)點(diǎn)，則，則直線(xiàn)的方程為，故B正確．故選：ABC．44．（2023秋·浙江寧波·高二校聯(lián)考期中）經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且在軸上的截距是在軸上的截距的2倍的直線(xiàn)的方程是.【答案】和；【分析】根據(jù)直線(xiàn)過(guò)原點(diǎn)和不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)兩種情況，即可由待定系數(shù)的方法求解.【詳解】若直線(xiàn)經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，則設(shè)直線(xiàn)方程為，將代入可得，若直線(xiàn)不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，設(shè)直線(xiàn)方程為，將代入可得，所以直線(xiàn)方程為，即，故答案為：和；45．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）過(guò)點(diǎn)(5，0)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距之差為2的直線(xiàn)方程是.【答案】=1或=1【分析】設(shè)直線(xiàn)的方程為，根據(jù)條件先求a,再列方程求解即可.【詳解】設(shè)直線(xiàn)的方程為=1，點(diǎn)在直線(xiàn)上，∴.由得或，∴所求直線(xiàn)的方程為=1或=1.故答案為:或.46．（2023秋·寧夏銀川·高二?？茧A段練習(xí)）過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)l分別交的正半軸于兩點(diǎn)．

(1)求面積的最小值及相應(yīng)的直線(xiàn)的方程；(2)當(dāng)取最小值時(shí)，求直線(xiàn)的方程.【答案】(1)4，(2)【分析】（1）由題意可設(shè)直線(xiàn)的方程為，又點(diǎn)在直線(xiàn)上，所以，注意到，結(jié)合基本不等式進(jìn)而求解.（2）由（1）中分析可知，且注意到，由乘“1”法結(jié)合基本不等式即可求解.【詳解】（1）顯然直線(xiàn)斜率存在且不過(guò)原點(diǎn)，由題意可設(shè)直線(xiàn)的方程為，又點(diǎn)在直線(xiàn)上，所以，由基本不等式可得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，注意到，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，此時(shí)相應(yīng)的直線(xiàn)的方程為.（2）由（1）可知，又注意到，所以，對(duì)其利用基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，此時(shí)相應(yīng)的直線(xiàn)的方程為.47．（2023秋·河北保定·高二定州一中?？茧A段練習(xí)）直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)，且與x軸的正半軸、y軸的正半軸分別交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)若，求直線(xiàn)l的方程；(2)當(dāng)?shù)拿娣e為6時(shí)，求直線(xiàn)l的方程.【答案】(1)或(2)或【分析】（1）設(shè)直線(xiàn)的截距式，由題意列出方程組，求出截距即可得解；（2）利用截距表示出三角形面積，再聯(lián)立方程求出截距，即可得解.【詳解】（1）設(shè)直線(xiàn)l的方程為（，），（直線(xiàn)l與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)位于正半軸）由題意知，①.因?yàn)橹本€(xiàn)l過(guò)點(diǎn)，所以②.聯(lián)立①②，解得或，所以直線(xiàn)l的方程為或.（2）由題意知，即③，聯(lián)立②③，解得或，所以直線(xiàn)l的方程為或.48．【多選】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線(xiàn)經(jīng)過(guò)第一、二、三象限且斜率小于1，那么下列不等式中一定正確的是（

）A． B．C． D．【答案】AB【分析】根據(jù)題意，得到，結(jié)合絕對(duì)值的性質(zhì)，冪函數(shù)的單調(diào)性，以及不等式的性質(zhì)，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】因?yàn)橹本€(xiàn)經(jīng)過(guò)第一、二、三象限，可得，，由直線(xiàn)的斜率小于1，可得，結(jié)合，可得，由絕對(duì)值的性質(zhì)，可得，所以A正確；由冪函數(shù)的單調(diào)性，，所以B正確；由，所以，所以C錯(cuò)誤；由，所以，所以D錯(cuò)誤.故選：AB.49．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知直角坐標(biāo)系平面上的直線(xiàn)經(jīng)過(guò)第一、第二和第四象限，則滿(mǎn)足（

）A． B．，C．， D．，【答案】A【分析】求出直線(xiàn)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，即可得出答案.【詳解】令，則；令，則所以在直線(xiàn)上因?yàn)橹本€(xiàn)經(jīng)過(guò)第一、第二和第四象限所以故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了由直線(xiàn)所過(guò)象限求參數(shù)范圍，屬于基礎(chǔ)題.（五）直線(xiàn)的一般式方程1.直線(xiàn)的一般式方程：關(guān)于x和y的二元一次方程都表示一條直線(xiàn)．我們把關(guān)于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同時(shí)為0)叫做直線(xiàn)的一般式方程，簡(jiǎn)稱(chēng)一般式．2.求直線(xiàn)一般式方程的策略在求直線(xiàn)方程時(shí)，設(shè)一般式方程有時(shí)并不簡(jiǎn)單，常用的還是根據(jù)給定條件選出四種特殊形式之一求方程，然后轉(zhuǎn)化為一般式．3.含參直線(xiàn)方程的研究策略(1)若方程Ax＋By＋C＝0表示直線(xiàn)，則需滿(mǎn)足A，B不同時(shí)為0.(2)令x＝0可得在y軸上的截距．令y＝0可得在x軸上的截距．若確定直線(xiàn)斜率存在，可將一般式化為斜截式．(3)解分式方程要注意驗(yàn)根．4.利用一般式解決直線(xiàn)平行與垂直問(wèn)題的策略直線(xiàn)l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直線(xiàn)l2：A2x＋B2y＋C2＝0，(1)若l1∥l2?A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)．(2)若l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0.題型5：求直線(xiàn)的一般式方程51．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）直線(xiàn)的傾斜角是（

）A．30° B．60° C．120° D．150°【答案】A【分析】求出直線(xiàn)的斜率，然后求解傾斜角．【詳解】直線(xiàn)的斜率為：，設(shè)傾斜角是，則，可得．故選：A．52．（2023秋·黑龍江哈爾濱·高二哈九中?？计谀┲本€(xiàn)的斜率是（

）A． B．3 C． D．【答案】A【分析】將直線(xiàn)寫(xiě)為斜截式即可得斜率.【詳解】直線(xiàn)，即為，斜率為.故選：A.53．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）根據(jù)下列條件分別寫(xiě)出直線(xiàn)的方程，并化為一般式方程．(1)斜率為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)；(2)過(guò)點(diǎn)，且垂直于軸；(3)斜率為4，在軸上的截距為；(4)在軸上的截距為3，且平行于軸；(5)經(jīng)過(guò)點(diǎn)與直線(xiàn)垂直．【答案】(1)(2)(3)(4)(5)【分析】（1）利用點(diǎn)斜式可得直線(xiàn)方程；（2）根據(jù)直線(xiàn)所過(guò)點(diǎn)及與坐標(biāo)軸的關(guān)系可得答案；（3）利用斜截式可得答案；（4）平行于軸可得斜率為0，利用斜截式可得答案；（5）利用方程求出所求直線(xiàn)的法向量，根據(jù)點(diǎn)法式求出方程.【詳解】（1）由點(diǎn)斜式方程得，整理得.（2）因?yàn)橹本€(xiàn)過(guò)點(diǎn)，且垂直于軸，所以其方程為，即.（3）因?yàn)樾甭蕿?，在軸上的截距為，所以，即.（4）因?yàn)樵谳S上的截距為3，且平行于軸，所以，即.（5）由得，即該直線(xiàn)的斜率為，即一個(gè)方向向量為所求直線(xiàn)的一個(gè)法向量，故所求直線(xiàn)方程為，即.54．（2023·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）如果，，那么直線(xiàn)不通過(guò)（

）．A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】化簡(jiǎn)直線(xiàn)方程為直線(xiàn)的斜截式方程，結(jié)合斜率和在軸上的截距，即可求解.【詳解】因?yàn)椋?，所以均不為零，由直線(xiàn)方程，可化為，因?yàn)?，且，可得，y軸截距，所以直線(xiàn)經(jīng)過(guò)第一、三、四象限，所以不經(jīng)過(guò)第二象限．故選：B.55．（2023秋·河南焦作·高二?？茧A段練習(xí)）若直線(xiàn)經(jīng)過(guò)第一、二、三象限，則（

）A．，B．， C．， D．，【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，求出直線(xiàn)的橫縱截距并判斷正負(fù)即可.【詳解】依題意，直線(xiàn)不垂直于坐標(biāo)軸，由，得，由，得，因?yàn)橹本€(xiàn)經(jīng)過(guò)第一、二、三象限，則，且，即，且，有，因此，所以，.故選：D56．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）將直線(xiàn)繞點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)后所得直線(xiàn)方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先確定點(diǎn)為直線(xiàn)與軸的交點(diǎn)，結(jié)合題意，從而得到所求直線(xiàn)的傾斜角，從而得到斜率，由此求解直線(xiàn)方程即可．【詳解】點(diǎn)為直線(xiàn)與軸的交點(diǎn)，直線(xiàn)的斜率為，則直線(xiàn)的傾斜角為，則將直線(xiàn)繞點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)后所得直線(xiàn)的傾斜角為，則所求直線(xiàn)的斜率為，所以所求直線(xiàn)的方程為，即．故選：A．57．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）若直線(xiàn)不過(guò)第一象限，則實(shí)數(shù)取值范圍是．【答案】【分析】整理直線(xiàn)為,由題可得,進(jìn)而求解即可【詳解】由題,整理直線(xiàn)為,因?yàn)橹本€(xiàn)不過(guò)第一象限,則,解得,故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查直線(xiàn)方程的圖象性質(zhì),考查數(shù)形結(jié)合思想題型6：由一般式方程判斷直線(xiàn)的平行、垂直61．（2023秋·湖南邵陽(yáng)·高二湖南省隆回縣第二中學(xué)?？计谥校┫铝兄本€(xiàn)中與直線(xiàn)平行的直線(xiàn)是（

）．A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)兩條直線(xiàn)存在斜率時(shí)，它們的斜率相等且在縱截距不相等，兩直線(xiàn)平行，逐一對(duì)四個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷.【詳解】∵直線(xiàn)的斜率，縱截距為，對(duì)A：直線(xiàn)的斜率，縱截距為；對(duì)B：直線(xiàn)的斜率，縱截距為；對(duì)C：直線(xiàn)的斜率，縱截距為；對(duì)D：直線(xiàn)的斜率，縱截距為；若兩直線(xiàn)平行，由題意可知：斜率相等，縱截距不相等，只有C選項(xiàng)符合.故選：C.62．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）討論直線(xiàn)：和：的位置關(guān)系．【答案】答案見(jiàn)詳解【分析】根據(jù)直線(xiàn)位置關(guān)系與系數(shù)之間的關(guān)系分類(lèi)討論可得.【詳解】當(dāng)，即且時(shí)，直線(xiàn)、相交；當(dāng)，即時(shí)，直線(xiàn)，垂直；當(dāng)，即時(shí)，直線(xiàn)、平行；當(dāng)，即時(shí)，直線(xiàn)、重合．63．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）若直線(xiàn)與直線(xiàn)平行，則m的值為（

）A．2 B． C．2或 D．或【答案】B【分析】根據(jù)直線(xiàn)的平行可列出方程，求得m的值，驗(yàn)證直線(xiàn)是否重合，即得答案.【詳解】由題意知直線(xiàn)與直線(xiàn)平行，而直線(xiàn)的斜率為，則直線(xiàn)必有斜率，即，則，故，解得或，當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)與直線(xiàn)重合，不合題意；當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)與直線(xiàn)平行，符合題意，故，故選：B64．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知直線(xiàn)：與直線(xiàn)；相互平行，則實(shí)數(shù)的值是（

）A． B．1 C． D．或1【答案】A【分析】根據(jù)兩條直線(xiàn)平行，斜率相等求解即可.【詳解】因?yàn)橹本€(xiàn)：的斜率，斜率存在，且，所以直線(xiàn)；的斜率存在，且，化簡(jiǎn)得：，解得或.當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)：，直線(xiàn)；，此時(shí).當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)：，直線(xiàn)；，此時(shí)重合，舍去.所以.故選：A65．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線(xiàn)，直線(xiàn).若這兩條直線(xiàn)的傾斜角互補(bǔ)，求的值.【答案】【分析】根據(jù)題意分類(lèi)討論斜率是否存在的情況，再根據(jù)斜率存在的情況下，斜率互為相反數(shù)求解即可.【詳解】若的斜率不存在，則，此時(shí)直線(xiàn)，斜率為，不符合題意，舍去.若的斜率不存在，則，此時(shí)直線(xiàn)，斜率為，不符合題意，舍去.當(dāng)，的斜率都存在時(shí)，因?yàn)檫@兩條直線(xiàn)的傾斜角互補(bǔ)所以，即，解得或.當(dāng)時(shí)，，的斜率都為0，不符合題意，舍去.綜上，66．（2023秋·上海浦東新·高二上海市洋涇中學(xué)?？茧A段練習(xí)）直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用直線(xiàn)垂直，得到斜率的積為，即可求解.，則有，解得.故選：A67．（2023秋·貴州黔西·高二?？计谥校┮阎本€(xiàn)和直線(xiàn)互相垂直，則實(shí)數(shù)的值為．【答案】或【分析】根據(jù)兩條直線(xiàn)垂直的充要條件列出方程即可得解.【詳解】因?yàn)橹本€(xiàn)和直線(xiàn)互相垂直，所以，解得或.故答案為：或68．（2023秋·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）若，為正實(shí)數(shù)，直線(xiàn)與直線(xiàn)互相垂直，則的最大值為.【答案】/【分析】根據(jù)直線(xiàn)垂直的充要條件可得a，b關(guān)系，然后由基本不等式可解.【詳解】因?yàn)橹本€(xiàn)與直線(xiàn)互相垂直，所以，即，由基本不等式可得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.所以的最大值為.故答案為：69．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知直線(xiàn)，.若，則實(shí)數(shù)a=，若，則實(shí)數(shù)a=．【答案】01【分析】根據(jù)直線(xiàn)垂直以及平行的充要條件，即可列出方程，解出即得.【詳解】因?yàn)椋杂?，解得；因?yàn)椋杂?，解得，?dāng)時(shí)，與重合，舍去；當(dāng)時(shí)，，，與不重合，滿(mǎn)足條件，所以.故答案為：0；1.610．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知兩條直線(xiàn)，當(dāng)m為何值時(shí)，與(1)相交；(2)平行；(3)重合．【答案】(1)且且(2)或(3)【分析】先考慮兩條直線(xiàn)方程中變量系數(shù)為零的情況；當(dāng)系數(shù)均不為零時(shí)，根據(jù)平行的條件考查系數(shù)關(guān)系，進(jìn)一步分析即可得到答案.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，此時(shí)與相交；當(dāng)且時(shí)，由，得或由得故且且時(shí)，與相交；（2）由（1）知，或時(shí)，（3）由（1）知，時(shí)，與重合.611．【多選】（2023秋·福建廈門(mén)·高二福建省廈門(mén)第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知直線(xiàn)的傾斜角等于，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的有（

）A．的一個(gè)方向向量為B．直線(xiàn)與兩坐標(biāo)軸圍成三角形的面積為C．與直線(xiàn)垂直D．與直線(xiàn)平行【答案】AC【分析】根據(jù)點(diǎn)斜式求得直線(xiàn)的方程，結(jié)合直線(xiàn)的方向向量、截距、垂直、平行（重合）等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】由題意直線(xiàn)的斜率為，直線(xiàn)方程為，即，它與直線(xiàn)重合，D錯(cuò)誤；，因此是直線(xiàn)的一個(gè)方向向量，A正確；在直線(xiàn)方程中令得，令得，直線(xiàn)與兩坐標(biāo)軸圍成三角形的面積為，B錯(cuò)誤；由于，C正確故選：AC題型7：由兩條直線(xiàn)平行、垂直求直線(xiàn)方程71．（2023·全國(guó)·高二課堂例題）求過(guò)點(diǎn)，且與直線(xiàn)平行的直線(xiàn)的方程．【答案】【分析】利用兩直線(xiàn)平行與斜率的關(guān)系，結(jié)合點(diǎn)斜式寫(xiě)出直線(xiàn)方程，再化為一般式方程.【詳解】已知直線(xiàn)的斜率是，因?yàn)樗笾本€(xiàn)與已知直線(xiàn)平行，所以所求直線(xiàn)的斜率也是．根據(jù)直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程，得所求直線(xiàn)的方程為，即．72．（2023秋·高二課前預(yù)習(xí)）過(guò)點(diǎn)且與直線(xiàn)平行的直線(xiàn)方程是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)平行線(xiàn)的斜率相同排除A、B；再由所過(guò)的點(diǎn)排除C，即可得答案.【詳解】由斜率為，而A、B中的直線(xiàn)斜率為，與該直線(xiàn)不平行，排除；C、D中直線(xiàn)斜率為，對(duì)于，顯然不過(guò)，而過(guò)已知點(diǎn)，所以C中直線(xiàn)不符合，D中直線(xiàn)符合要求.故選：D73．（2023秋·海南·高二?？计谥校┮阎本€(xiàn)，求:(1)求直線(xiàn)的斜率；(2)若直線(xiàn)與平行，且過(guò)點(diǎn)，求直線(xiàn)的方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）將直線(xiàn)的一般式轉(zhuǎn)化為斜截式即可得解；（2）根據(jù)直線(xiàn)的點(diǎn)斜式求解即可.【詳解】（1）直線(xiàn)，即的斜率為.（2）若直線(xiàn)與平行，則斜率為，又過(guò)點(diǎn)，故直線(xiàn)的方程為，即.74．【多選】（2023秋·遼寧朝陽(yáng)·高二建平縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谀┮阎妊苯堑闹苯琼旤c(diǎn)為，若點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)且與邊所在直線(xiàn)平行的直線(xiàn)方程可能是（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】根據(jù)題意求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，再利用直線(xiàn)的平行關(guān)系結(jié)合直線(xiàn)的點(diǎn)斜式即可求得答案.【詳解】設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，根據(jù)題意知，即，解得或，當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)是時(shí)，過(guò)點(diǎn)且與邊所在直線(xiàn)平行的直線(xiàn)方程是，即；當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)是時(shí)，過(guò)點(diǎn)且與邊所在直線(xiàn)平行的直線(xiàn)方程是，即.故選：AC.75．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）過(guò)點(diǎn)，且垂直于直線(xiàn)的直線(xiàn)方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)垂直求出直線(xiàn)斜率，再利用點(diǎn)斜式求得正確答案.【詳解】根據(jù)垂直關(guān)系得所求直線(xiàn)的斜率為，又過(guò)點(diǎn)，所以所求直線(xiàn)方程為，即.故選：A76．（2023秋·河南駐馬店·高二統(tǒng)考期末）已知直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，且與直線(xiàn)垂直，則直線(xiàn)的方程為．【答案】或【分析】由直線(xiàn)的垂直關(guān)系結(jié)合已知直線(xiàn)的斜率可得所求直線(xiàn)的斜率，由直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程結(jié)合已知條件即可求解.【詳解】由題意不妨設(shè)直線(xiàn)與直線(xiàn)的斜率分別為，所以由題意可知，，所以，因?yàn)樗笾本€(xiàn)過(guò)點(diǎn)，所以由直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程可知直線(xiàn)的方程為：，化簡(jiǎn)并整理得或.故答案為：或.題型8：直線(xiàn)與坐標(biāo)軸圍成三角形的面積問(wèn)題81．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)，，，則的面積為（

）A．3 B．2 C．1 D．【答案】A【分析】將三角形ABC拆分為三角形ABD和三角形ACD，由兩點(diǎn)式計(jì)算BC所在直線(xiàn)，計(jì)算直線(xiàn)與軸的交點(diǎn)，分別求出三角形的底和高，公式求面積即可.【詳解】解：因?yàn)?，，所以所在直線(xiàn)為,即，設(shè)直線(xiàn)與軸的交點(diǎn)為D，過(guò)點(diǎn)C做軸的垂線(xiàn)，垂足為E，則，則故選：A82．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為5的直線(xiàn)方程是（

）A．或B．或C．或D．或【答案】D【分析】由題意設(shè)直線(xiàn)為，根據(jù)直線(xiàn)與坐標(biāo)軸所圍成三角形的面積，應(yīng)用三角形面積公式求參數(shù)k，即可確定直線(xiàn)方程.【詳解】由題意，直線(xiàn)斜率一定存在，設(shè)所求方程為，即.由，得或.故所求直線(xiàn)方程為或.故選：D83．（2023秋·河北邯鄲·高二?？茧A段練習(xí)）直線(xiàn)的傾斜角是直線(xiàn)傾斜角的一半，且直線(xiàn)與坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為，則直線(xiàn)的方程可能是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由斜率的幾何意義結(jié)合二倍角公式可以先求出所求直線(xiàn)的斜率，再結(jié)合已知條件即可求出直線(xiàn)方程.【詳解】由題意不妨設(shè)直線(xiàn)與直線(xiàn)的斜率分別為，傾斜角分別為，而，，又由二倍角公式，所以有，整理得，解得或（舍去），所以設(shè)直線(xiàn)的方程為，則直線(xiàn)與坐標(biāo)軸分別交于，所以由題意直線(xiàn)與坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為，解得，所以設(shè)直線(xiàn)的方程為，當(dāng)時(shí)，它可以變形為.故選：C.84．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線(xiàn)的方程為．(1)求直線(xiàn)的斜率；(2)求直線(xiàn)與兩條坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積．【答案】(1)(2)【分析】（1）將直線(xiàn)方程化為斜截式，即可確定直線(xiàn)斜率；（2）方法一：求出直線(xiàn)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得到三角形面積；方法二：將直線(xiàn)方程化為截距式，得到截距后可求得三角形面積.【詳解】（1）將直線(xiàn)的一般式方程化為斜截式得：，直線(xiàn)的斜率．（2）設(shè)直線(xiàn)交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．

方法一：對(duì)于直線(xiàn)方程，令，得；令，得，，，.方法二：將直線(xiàn)的一般式方程化為截距式得：，，，.85．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知直線(xiàn)方程為．(1)若直線(xiàn)的傾斜角為，求的值；(2)若直線(xiàn)分別與軸、軸的負(fù)半軸交于、兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，求面積的最小值及此時(shí)直線(xiàn)的方程．【答案】(1)；(2)面積的最小值為，此時(shí)直線(xiàn)的方程為.【分析】（1）由直線(xiàn)的斜率和傾斜角的關(guān)系可求得的值；（2）求出點(diǎn)、的坐標(biāo)，根據(jù)已知條件求出的取值范圍，求出的面積關(guān)于的表達(dá)式，利用基本不等式可求得面積的最小值，利用等號(hào)成立的條件可求得的值，即可得出直線(xiàn)的方程.【詳解】（1）解：由題意可得.（2）解：在直線(xiàn)的方程中，令可得，即點(diǎn)，令可得，即點(diǎn)，由已知可得，解得，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)直線(xiàn)的方程為，即.86．（2023秋·河南濮陽(yáng)·高二濮陽(yáng)一高校考階段練習(xí)）已知直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，且分別與軸的正半軸、軸的正半軸交于兩點(diǎn)，為原點(diǎn)，則面積最小值為．【答案】【分析】設(shè)直線(xiàn)的方程為，由題意可得，根據(jù)三角形的面積公式及基本不等式即可求解.【詳解】依題意，設(shè)直線(xiàn)在軸上的截距為，在軸上的截距為，則直線(xiàn)的方程為，直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，，，，，即，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，面積最小值為.故答案為：.87．（2023秋·高二課前預(yù)習(xí)）直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn),且通過(guò)第二、三、四象限，并與坐標(biāo)軸圍成三角形面積為2的直線(xiàn)方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題可設(shè)直線(xiàn)與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是，進(jìn)而可得，即得.【詳解】∵直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且通過(guò)第二、三、四象限，∴直線(xiàn)的斜率小于0，設(shè)直線(xiàn)與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是，且，∵直線(xiàn)與坐標(biāo)軸圍成三角形面積為2∴，∴，∴直線(xiàn)的方程為，即，故選：B.88．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線(xiàn)與兩坐標(biāo)軸圍成一個(gè)等腰直角三角形，且此三角形的面積為，求直線(xiàn)的方程．【答案】或.【分析】由題意可得直線(xiàn)l在兩坐標(biāo)軸上的截距的絕對(duì)值相等且不為0，設(shè)直線(xiàn)方程為，其中，根據(jù)三角形面積即可求解.【詳解】解：因?yàn)橹本€(xiàn)l與兩坐標(biāo)軸圍成一個(gè)等腰直角三角形，所以直線(xiàn)l在兩坐標(biāo)軸上的截距的絕對(duì)值相等且不為0.設(shè)直線(xiàn)方程為，則.因?yàn)?，即，所以，所以時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以直線(xiàn)方程為或.故答案為:或.（六）直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題解決直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題的思路，把平面上過(guò)定點(diǎn)的直線(xiàn)的全體稱(chēng)為中心直線(xiàn)系.定點(diǎn)的確定方法：把含參直線(xiàn)方程化為,求解，即可得出定點(diǎn)坐標(biāo).題型9：直線(xiàn)的恒過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題91．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知直線(xiàn)．求證：無(wú)論m為何實(shí)數(shù)，直線(xiàn)恒過(guò)一定點(diǎn)M．【答案】證明見(jiàn)解析【分析】根據(jù)方程的特征，通過(guò)解方程組法進(jìn)行求解即可.【詳解】將直線(xiàn)的方程化為，解方程組解得故直線(xiàn)l1恒過(guò)定點(diǎn)．92．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）無(wú)論取何實(shí)數(shù)時(shí)，直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)，則定點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】將直線(xiàn)方程可化為，再解方程組即可.【詳解】直線(xiàn)方程可化為，解方程組，得，即定點(diǎn)的坐標(biāo)為.故選：A.93．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線(xiàn).(1)若直線(xiàn)的斜率，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)證明：對(duì)任意實(shí)數(shù)，直線(xiàn)都經(jīng)過(guò)一個(gè)確定的點(diǎn).【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）將直線(xiàn)方程轉(zhuǎn)化成斜截式，再利用條件建立不等關(guān)系，即可求出結(jié)果；（2）將直線(xiàn)方程變形成，再利用，得到，從而可證明直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn).【詳解】（1）因?yàn)椋深}知，所以，所以，又因?yàn)椋?，即，即，由，得到或，由，得到或，所以?（2）由，變形得到，令，得到，當(dāng)，恒成立，所以，不論取何值，恒過(guò)定點(diǎn)，結(jié)論成立.94．（2023秋·福建廈門(mén)·高二廈門(mén)一中?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知點(diǎn)，，若直線(xiàn)與線(xiàn)段（含端點(diǎn)）相交，則k的取值范圍為．【答案】【分析】由題意利用直線(xiàn)的傾斜角和斜率，數(shù)形結(jié)合求得實(shí)數(shù)k的取值范圍．【詳解】由可得，可知直線(xiàn)為過(guò)定點(diǎn)，斜率為的直線(xiàn)，可得，若直線(xiàn)與線(xiàn)段（含端點(diǎn)）相交，則或，所以k的取值范圍為.故答案為：.

95．【多選】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線(xiàn)，，，則下列結(jié)論正確的是（）A．直線(xiàn)l恒過(guò)定點(diǎn) B．當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)l的斜率不存在C．當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)l的傾斜角為 D．當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)l與直線(xiàn)垂直【答案】CD【分析】利用直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)的求法，結(jié)合直線(xiàn)斜率公式逐項(xiàng)分析即可得解.【詳解】直線(xiàn)，故時(shí)，，故直線(xiàn)l恒過(guò)定點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)，斜率，故B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)，斜率，故傾斜角為，故C正確；當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)，斜率，而，故，故直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直，故D正確.故選：CD.96．【多選】（2023秋·山西晉城·高二晉城市第一中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知直線(xiàn)，其中，則（

）A．當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直B．若直線(xiàn)與直線(xiàn)平行，則C．直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)D．當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)在兩坐標(biāo)軸上的截距相等【答案】AC【分析】對(duì)于A，求出直線(xiàn)方程，根據(jù)斜率的關(guān)系判斷，對(duì)于B，由兩直線(xiàn)平行直接列方程求解判斷，對(duì)于C，由求出的值可得直線(xiàn)過(guò)的定點(diǎn)，對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，求出直線(xiàn)方程，然后求出直線(xiàn)在兩坐標(biāo)軸上的截距進(jìn)行判斷.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)的方程為，其斜率為1，而直線(xiàn)的斜率為－1，所以當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直，所以A正確；對(duì)于B，若直線(xiàn)與直線(xiàn)平行，則，解得或，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，與無(wú)關(guān)，故直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，所以C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)的方程為，在兩坐標(biāo)軸上的截距分別是－1，1，不相等，所以D錯(cuò)誤，故選：AC．97．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)，若正實(shí)數(shù)a，b滿(mǎn)足，則的最小值為（

）A．9 B．8 C．7 D．6【答案】A【分析】先求出直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)坐標(biāo)，再利用基本不等式求最值.【詳解】原式子可化為：令，可得，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)，即等號(hào)成立故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)和基本不等式的應(yīng)用，考查了運(yùn)算求解能力和邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題目.一、單選題1．（2023秋·寧夏銀川·高二靈武市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且傾斜角，則直線(xiàn)的方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程求解.【詳解】因?yàn)橹本€(xiàn)的傾斜角，所以直線(xiàn)的斜率為1，又直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以直線(xiàn)的方程為，即，故選：C2．（2023秋·福建寧德·高二統(tǒng)考期中）已知直線(xiàn)的一個(gè)法向量為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則直線(xiàn)的方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】使用點(diǎn)法式求直線(xiàn)方程，然后化簡(jiǎn)即可.【詳解】由題可知：使用點(diǎn)法式可得直線(xiàn)方程為，化簡(jiǎn)得：.故選：A3．（2023秋·河北保定·高二定州一中?？茧A段練習(xí)）過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)，若經(jīng)過(guò)點(diǎn)和，且均為正整數(shù)，則這樣的直線(xiàn)可以作出（

），A．條 B．條 C．條 D．無(wú)數(shù)條【答案】B【分析】假設(shè)直線(xiàn)截距式方程，代入已知點(diǎn)坐標(biāo)可得之間關(guān)系，根據(jù)為正整數(shù)可分析得到結(jié)果.【詳解】均為正整數(shù)，可設(shè)直線(xiàn)，將代入直線(xiàn)方程得：，當(dāng)時(shí)，，方程無(wú)解，，，，，或，或，即滿(mǎn)足題意的直線(xiàn)方程有條.故選：B.4．（2023秋·河北保定·高二定州一中?？茧A段練習(xí)）如果，那么直線(xiàn)不經(jīng)過(guò)的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】將直線(xiàn)的一般式方程轉(zhuǎn)化為斜截式方程即可.【詳解】由可得，,所以直線(xiàn)的斜率縱截距，所以直線(xiàn)經(jīng)過(guò)一、二、四象限，故選:C.5．（2023秋·海南·高二?？计谥校┰谳S、軸上的截距分別是、3的直線(xiàn)方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用直線(xiàn)的截距式方程即可求解.【詳解】因?yàn)橹本€(xiàn)在軸、軸上的截距分別是、3，所以直線(xiàn)方程是，即．故選：C．6．（2023秋·福建漳州·高二?？计谥校┰谥?，若，，，則的角平分線(xiàn)所在直線(xiàn)的方程是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)，結(jié)合直線(xiàn)的兩點(diǎn)式方程進(jìn)行求解即可.【詳解】如圖所示：的角平分線(xiàn)所在直線(xiàn)與橫軸的交點(diǎn)為，由角平分線(xiàn)的性質(zhì)可知：，所以的角平分線(xiàn)所在直線(xiàn)的方程是，故選：B7．（2023秋·福建莆田·高二?？计谥校┤魞芍本€(xiàn)與互相垂直，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B．3 C． D．【答案】A【分析】根據(jù)一般式直線(xiàn)方程垂直的公式，即可求解.【詳解】由題意可知，兩直線(xiàn)垂直，則，得.故選：A8．（2023秋·江蘇淮安·高二淮陰中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）直線(xiàn)：，：，則“或”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件【答案】C【分析】由充分條件和必要條件的定義【詳解】當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)：，：，兩直線(xiàn)傾斜角分別為和，；當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)的斜率為，的斜率為9，，.充分性成立，直線(xiàn)：，：，若，則有，解得或.必要性成立.所以“或”是“”的充要條件.故選：C9．（2023秋·河北邢臺(tái)·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，且方向向量為，則（

）A．直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程為 B．直線(xiàn)的斜截式方程為C．直線(xiàn)的截距式方程為 D．直線(xiàn)的一般式方程為【答案】D【分析】利用方向向量求得斜率，從而求得直線(xiàn)的點(diǎn)斜式，斜截式，截距式，一般式方程【詳解】因?yàn)橹本€(xiàn)的方向向量為，所以直線(xiàn)的斜率為2．因?yàn)橹本€(xiàn)過(guò)點(diǎn)，所以直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程為，其一般式為．故A錯(cuò)誤，D正確；化為斜截式：，故B錯(cuò)誤；化為截距式：，故C錯(cuò)誤.故選：D二、多選題10．（2023秋·福建寧德·高二統(tǒng)考期中）過(guò)點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線(xiàn)方程為（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】根據(jù)直線(xiàn)過(guò)原點(diǎn)和不過(guò)原點(diǎn)兩種情況討論，分別設(shè)出所求直線(xiàn)的方程，結(jié)合過(guò)點(diǎn)，即可求解.【詳解】當(dāng)所求直線(xiàn)不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)所求直線(xiàn)的方程為，因?yàn)橹本€(xiàn)過(guò)點(diǎn)，代入可得，即；當(dāng)所求直線(xiàn)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線(xiàn)方程為，因?yàn)橹本€(xiàn)過(guò)點(diǎn)，代入可得，即，綜上可得，所求直線(xiàn)的方程為或.故選：BC.11．（2023秋·吉林長(zhǎng)春·高二長(zhǎng)春吉大附中實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知直線(xiàn)：，：，則（

）A．若，則的一個(gè)方向向量為 B．若，則或C．若，則 D．恒過(guò)定點(diǎn)【答案】AC【分析】將代入，根據(jù)方向向量定義即可判斷A，根據(jù)直線(xiàn)平行和垂直與斜率的關(guān)系即可判斷選項(xiàng)B、C；將化簡(jiǎn)得，結(jié)合一次函數(shù)的性質(zhì)可判斷D.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)，直線(xiàn)：，斜率為，則其一個(gè)方向向量為，故A正確；對(duì)于B，若，當(dāng)時(shí)，顯然不符合題意，當(dāng)時(shí)，即直線(xiàn)的斜率為，直線(xiàn)的斜率為，則有，所以，解得或；當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)：，：，顯然兩直線(xiàn)重合，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若，當(dāng)時(shí)，顯然不符合題意；當(dāng)時(shí)可得，解得，即C正確；對(duì)于D，將化簡(jiǎn)得，可知當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)過(guò)，即不論為何值時(shí)，直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)，即D錯(cuò)誤；故選：AC12．（2023秋·浙江嘉興·高二?？计谥校┮阎本€(xiàn)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．直線(xiàn)過(guò)點(diǎn) B．直線(xiàn)的斜率為C．直線(xiàn)在上的截距為 D．直線(xiàn)在上的截距為【答案】BD【分析】根據(jù)直線(xiàn)，對(duì)各個(gè)選項(xiàng)分析判斷即可求出結(jié)果.【詳解】選項(xiàng)A，因?yàn)椋粗本€(xiàn)不過(guò)點(diǎn)，所以選項(xiàng)A不正確；又由，得到，所以直線(xiàn)斜率為，在上的截距為，所以選項(xiàng)BD正確，又由直線(xiàn)，令，得到，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤，故選：BD.13．（2023秋·江蘇連云港·高二統(tǒng)考期中）設(shè)a為實(shí)數(shù)，直線(xiàn)：，：，則（

）A．恒過(guò)點(diǎn) B．若，則C．若，則或0 D．當(dāng)時(shí)，不經(jīng)過(guò)第一象限【答案】BD【分析】對(duì)于A選項(xiàng)：將代入，即可判斷；對(duì)于B選項(xiàng)：根據(jù)兩直線(xiàn)的平行關(guān)系得到，再檢驗(yàn)的值，即可求解；對(duì)于C選項(xiàng)：根據(jù)兩直線(xiàn)的平行關(guān)系得到，即可求解；對(duì)于D選項(xiàng)：討論和，將化成斜截式，從而得到關(guān)于不等式組，即可求解.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)：將代入得：，則點(diǎn)不在上，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)：因?yàn)?，則，解得：或，經(jīng)檢驗(yàn)時(shí)，不滿(mǎn)足題意，故，所以B選項(xiàng)正確；對(duì)于C選項(xiàng)：因?yàn)?，所以，解得：或，?jīng)檢驗(yàn)時(shí)，不滿(mǎn)足題意，故，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)：當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)的方程為，不經(jīng)過(guò)第一象限，滿(mǎn)足題意；當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)的方程可化為，不經(jīng)過(guò)第一象限，所以或解得：，綜上：，所以D選項(xiàng)正確，故選：BD.三、填空題14．（2023秋·重慶南岸·高三重慶第二外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）是直線(xiàn)上的第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，為定點(diǎn)，直線(xiàn)AB交x軸正半軸于點(diǎn)C，當(dāng)面積最小時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)是.【答案】【分析】根據(jù)給定條件，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，并表示出點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再列出三角形面積的關(guān)系式，利用均值不等式求解作答.【詳解】依題意，設(shè)，，則，而，則有，顯然，于是，由點(diǎn)在x軸正半軸上，得，面積，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以當(dāng)面積最小時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)是.故答案為：15．（2023秋·云南大理·高二云南省下關(guān)第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)且與平行，則直線(xiàn)的一般方程為.【答案】【分析】依題知斜率和點(diǎn)，寫(xiě)出點(diǎn)斜式方程，最后化為一般方程.【詳解】因?yàn)橹本€(xiàn)的斜率是：，且直線(xiàn)與平行，直線(xiàn)的斜率也為，故直線(xiàn)的方程是：，整理得.故答案為：16．（2023秋·河南濮陽(yáng)·高二濮陽(yáng)一高?？茧A段練習(xí)）過(guò)點(diǎn)且在軸上的截距為3的直線(xiàn)方程是．（請(qǐng)寫(xiě)出一般式方程）【答案】.【分析】利用待定系數(shù)法即可求解.【詳解】依題意，直線(xiàn)的斜率存在，設(shè)直線(xiàn)方程為，因?yàn)橹本€(xiàn)過(guò)點(diǎn)，所以，解得，所以直線(xiàn)方程為，即.故答案為：.17．（20