河北省滄州市運東四校聯(lián)考2023-2024學年高二下學期4月期中考試數(shù)學試題【含答案解析】

2023~2024學年度第二學期高二年級期中考試試卷數(shù)學考生注意：1．本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時間120分鐘.2．答題前，考生務必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內項目填寫清楚.3．考生作答時，請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.4．本卷命題范圍：人教A版選擇性必修第三冊.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，從集合A中選一個元素作為點P的橫坐標，從集合B中選一個元素作為點P的縱坐標，若點P落在第三或第四象限，則滿足條件的點P有（）A.8個 B.10個 C.12個 D.16個【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，結合分步乘法計數(shù)原理，即可求解.【詳解】因為點P在第三或第四象限，所以縱坐標只能選集合B中的負數(shù)，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，橫坐標有4種選法，縱坐標有3種選法，則滿足條件的點P共有個．故選：C．2.根據(jù)3對數(shù)據(jù)，，繪制的散點圖知，樣本點呈直線趨勢，且線性回歸方程為，則（）A.10 B.9 C.8 D.7【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，由線性回歸方程過樣本中心點，代入計算，即可得到結果.【詳解】由已知，得，，又經過點，所以，解得．故選：A．3.已知離散型隨機變量X的分布列為（，2，3），則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用離散型隨機變量X的分布列的概率之和為1，代入計算即可.【詳解】因為，所以，所以．故選：B．4.從0，1，2，3，4，5，6，7，8，9這10個數(shù)字中不放回地依次取2個數(shù)，記“第一次取到的是偶數(shù)”為事件A，“第二次取到的是奇數(shù)”為事件B，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)實際情況縮小樣本空間，利用古典概型求概率公式得到條件概率【詳解】在事件A發(fā)生后，只有9個數(shù)字，其中有5個奇數(shù)，所以．故選：C．5.甲、乙兩人要在一排7個空座上就坐，若要求甲、乙兩人每人的兩旁都有空座，則不同的坐法有（）A.6種 B.12種 C.15種 D.30種【答案】B【解析】【分析】采用插空法即可得答案.【詳解】一排共有7個座位，現(xiàn)有兩人就坐，故有5個空座.要求每人左右均有空座，在5個空座的中間4個空中插入2個座位讓兩人就坐，即有種坐法.故選：B.6.已知隨機變量，若，，則（）A.15 B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由隨機變量的期望和方差公式解方程組計算即可.【詳解】因為，，所以，即，所以，所以．故選：A．7.在的展開式中，項的系數(shù)為（）A.252 B.210 C.126 D.120【答案】B【解析】【分析】根據(jù)二項式定理可得的展開式中項的系數(shù)為，再結合組合數(shù)的性質即可得解.【詳解】的展開式的通項為，則的展開式中項的系數(shù)為，所以的展開式中項的系數(shù)為．故選：B．8.將字母放入的表格中，每個格子各放一個字母，若共有行字母相同，則得分，則所得分數(shù)的均值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出隨機變量的可能取值，再結合排列、組合及古典摡型的概率求得各個值對應的概率，利用期望的公式，即可求解.【詳解】字母放入的表格中的不同結果有種，隨機變量的可能的取值為，可得，則，所以隨機變量的期望為.故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.兩個具有線性相關關系的變量的一組數(shù)據(jù)為，，，，則下列說法正確的是（）A.若相關系數(shù)，則兩個變量負相關B.相關系數(shù)r的值越小，成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關程度越弱C.決定系數(shù)越大，殘差平方和越小，模型的擬合效果越好D.決定系數(shù)越小，殘差平方和越小，模型的擬合效果越好【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)相關系數(shù)的概念可判定AB，根據(jù)決定系數(shù)的概念可判定CD.【詳解】對于A：因為r的符號反映相關關系的正負性，故A正確；對于B：根據(jù)相關系數(shù)越接近1，變量相關性越強，故B錯誤；對于C：決定系數(shù)越大，殘差平方和越小，效果越好，故C正確，D錯誤．故選：AC．10.隨機地向4個器皿內投放4種不同的食物給4只狗仔喂食，設所投放的食物均落在器皿內，隨機變量X為空器皿個數(shù)，則下列說法正確的是（）A.隨機變量X取值為1，2，3 B.C. D.【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)古典概型的概率公式，結合排列組合求解個數(shù)，即可求解分布列，進而結合選項即可逐一求解.【詳解】由題意得隨機變量X的可能取值為0，1，2，3，故A錯誤；則，，故B錯誤，C正確；又，，所以．故D正確．故選：CD．11.甲盒中裝有3個藍球、2個黃球，乙盒中裝有2個藍球、3個黃球，同時從甲、乙兩盒中取出個球交換，分別記交換后甲、乙兩個盒子中藍球個數(shù)的數(shù)學期望為，，則下列結論正確的是（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】【分析】按分別求出的分布列及期望，即可逐項判斷得解.【詳解】X表示交換后甲盒子中的藍球數(shù)，Y表示交換后乙盒子中的藍球數(shù)，當時，，，，則，，AB正確；當時，，，，，，因此，，C正確，D錯誤．故選：ABC三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.方程（且）的解為___________．【答案】2或4【解析】【分析】結合排列數(shù)與組合數(shù)運算即可得.【詳解】由題意，可知，則，所以或.故答案為：2或4.13.某工廠生產的袋裝食鹽的質量服從正態(tài)分布（質量單位：g）．檢驗員根據(jù)質量將產品分為合格品和不合格品，其中的食鹽為合格品，其他為不合格品，要使不合格率小于4.55%，則σ的最大值為______．（若，則【答案】2【解析】【分析】由正態(tài)分布的相關性質求解即可.【詳解】由正態(tài)分布性質可知，要使不合格率小于4.55%，則合格率不低于，由得，，由題意可知，解得，故的最大值為．故答案為：.14.“算兩次”是一種重要的數(shù)學方法，也稱做富比尼（G.Fubini）原理．“為了得到一個方程，我們必須把同一個量以兩種不同的方法表示出來”（波利亞著《數(shù)學的發(fā)現(xiàn)》第一卷），即將一個量“算兩次”．由等式，，，利用“算兩次”原理可得______．（結果用組合數(shù)表示）【答案】【解析】【分析】由二項式定理展開式的系數(shù)結合題意計算即可.【詳解】因為，因此是展開式中項的系數(shù)，而的展開式中項的系數(shù)為，所以．故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知二項式且為常數(shù)的展開式中第7項是常數(shù).（1）求的值；（2）若該二項式展開式中各項系數(shù)之和為，求展開式中的系數(shù).【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用題給條件列出關于的方程，解之即可求得的值；（2）先利用題給條件求得a的值，進而即可求得展開式中的系數(shù).【小問1詳解】二項式的展開式中第7項為，由題意得，解得.【小問2詳解】令，得，所以或，解得，或（舍去）.該二項式展開式通項為，令，解得，故展開式中的系數(shù)為.16.晚會上共有7個節(jié)目，其中有4個不同的歌唱節(jié)目，2個不同的舞蹈節(jié)目和1個相聲節(jié)目，分別按以下要求各可以排出多少種不同的節(jié)目單.（1）其中舞蹈節(jié)目第一個出場，相聲節(jié)目不能最后一個出場；（2）2個舞蹈節(jié)目不相鄰；（3）前3個節(jié)目中既要有歌唱節(jié)目又要有舞蹈節(jié)目.【答案】（1）1200（2）3600（3）3456【解析】【分析】（1）采用分步計數(shù)原理，特殊元素先排計算出結果即可；（2）采用分步計數(shù)原理，特殊元素先排，再用插空法即可；（3）先分三類，一種為1個歌唱節(jié)目，2個舞蹈節(jié)目；另外一種為2個歌唱節(jié)目，1個舞蹈節(jié)目；最后一種為歌唱節(jié)目，舞蹈節(jié)目?相聲節(jié)目各1個；再分步計算，最后求和即可.【小問1詳解】按特殊位置或特殊元素優(yōu)先安排的原則分3步：先排第1個節(jié)目，有種安排方法，再排最后一個節(jié)目，可以從余下的5個非相聲節(jié)目中選一個排在最后，有種排法，最后余下的節(jié)目隨便排，有種排法，由分步計數(shù)原理得共有種排法.【小問2詳解】先排非舞蹈節(jié)目，有種排法，將2個舞蹈節(jié)目插到6個空中，有種排法，故種排法.【小問3詳解】前3個節(jié)目共三種情況：一種為1個歌唱節(jié)目，2個舞蹈節(jié)目，有種排法，另外一種為2個歌唱節(jié)目，1個舞蹈節(jié)目，有種排法，最后一種歌唱節(jié)目，舞蹈節(jié)目?相聲節(jié)目各1個，有種排法，故共有種排法.17.某校對學生餐廳就餐環(huán)境、菜品種類與質量等方面進行了改造與提升，隨機抽取100名男生與100名女生對就餐滿意度進行問卷評分（滿分100分）調查，調查結果統(tǒng)計如下表：男生：評分分組70分以下人數(shù)3273832女生：評分分組70分以下頻數(shù)5353426學校規(guī)定：評分大于或等于80分為滿意，小于80分為不滿意．（1）由以上數(shù)據(jù)完成下面的列聯(lián)表，并根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，判斷學生的就餐滿意度與性別是否有關聯(lián)？滿意不滿意總計男生女生總計（2）從男生、女生中評分在70分以下的學生中任意選取3人座談調研，記X為3人中男生的人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學期望．附：，其中．α0.10.050.012.7063.8416.635【答案】（1）表格見解析，無關聯(lián)；（2）分布列見解析，．【解析】【分析】（1）根據(jù)題意得列聯(lián)表，計算，由獨立性檢驗可得結果；（2）依題意X服從超幾何分布，求出其概率得分布列，根據(jù)數(shù)學期望的定義可得結果.小問1詳解】由題意得列聯(lián)表為：滿意不滿意總計男生7030100女生6040100總計13070200零假設為：學生對就餐滿意與性別無關聯(lián)，，根據(jù)小概率的獨立性檢驗，沒有充分證據(jù)推斷不成立，故可以認為成立，即學生對就餐滿意度與性別無關聯(lián)．【小問2詳解】X的所有可能取值為0，1，2，3，X服從超幾何分布，則（，1，2，3）．即，，，，所以X的分布列為X0123P則．18.2023年全國競走大獎賽（第1站）暨世錦賽及亞運會選拔賽3月4日在安徽黃山開賽．重慶隊的賀相紅以2小時22分55秒的成績打破男子35公里競走亞洲紀錄．某田徑協(xié)會組織開展競走的步長和步頻之間的關系的課題研究，得到相應的試驗數(shù)據(jù)：步頻（單位：）0.280.290.300.310.32步長（單位：909599103117）（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，得到步頻和步長近似為線性相關關系，求出關于的回歸直線方程，并利用回歸方程預測，當步長為時，步頻約是多少？（2）記，其中為觀測值，為預測值，為對應的殘差，求（1）中步長的殘差的和，并探究這個結果是否對任意具有線性相關關系的兩個變量都成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．參考數(shù)據(jù)：，．參考公式：，．【答案】（1），0.27秒，；（2）成立，證明見解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件求得回歸方程的系數(shù)，即可得回歸方程，將代入回歸方程，即可得到答案；（2）結合題中數(shù)據(jù)進行計算，可求得步長的殘差和，從而可得結論，結合回歸方程系數(shù)的計算公式即可證明.?！拘?詳解】，，，，所以回歸直線方程為，將代入得，解得，所以當步長為時，步頻約是0.27秒．【小問2詳解】根據(jù)（1）得到，；，；，；，；，，所以，即步長殘差和為0．對任意具有線性相關關系的兩個變量都成立，證明如下：．19.我們學過二項分布，超幾何分布，正態(tài)分布等概率分布模型.概率論中還有一種離散概率分布，設一組獨立的伯努利試驗，每次試驗中事件發(fā)生的概率為，將試驗進行至事件發(fā)生次為止，用表示試驗次數(shù)，則服從負二項分布（也稱帕斯卡分布），記作.為改善人口結構，落實積極應對人口老齡化國家戰(zhàn)略，保持中國的人口資源優(yōu)勢，我國自2021年5月31日起實施三胎政策.政策實施以來，某市的人口出生率得到了一