2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第六章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用6.3利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問題課時素養(yǎng)檢測含解析新人教B版選擇性必修第三冊

PAGE二十利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問題(30分鐘50分)一、選擇題(每小題5分,共20分)1.把長為12cm的細(xì)鐵絲截成兩段,各自圍成一個正三角形,A.QUOTEcm2 B.4cm2C.3QUOTEcm2 D.2QUOTEcm2【解析】選D.設(shè)兩段長分別為xcm,(12-x)cm,這兩個正三角形的邊長分別為QUOTEcm,QUOTEcm,面積之和為S(x)=QUOTE=QUOTE.令S′(x)=QUOTE=0,解得x=6.則x=6是S(x)的微小值點(diǎn),也是最小值點(diǎn),所以S(x)min=S(6)=2QUOTEcm2.2.容積為108升的底面為正方形的長方體無蓋水箱,要運(yùn)用料最省,為 ()A.2分米B.3分米C.4分米D.6分米【解析】選B.設(shè)水箱的底面邊長為a分米,高為h分米,則V=a2h=108,即h=QUOTE.用料最省,即表面積最小.S表=S底+S側(cè)=a2+4ah=a2+4a×QUOTE=a2+QUOTE.S表′=2a-QUOTE,令S表′=2a-QUOTE=0,解得a=6,此時h=3分米.3.某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品,已知該產(chǎn)品每噸的價格P(元/噸)與產(chǎn)量x(噸)之間的關(guān)系式為P=24200-QUOTEx2,且生產(chǎn)x噸的成本為R=50000+200x(元),為使利潤最大,則產(chǎn)量應(yīng)為 ()A.200噸 B.20噸 C.150噸 D.100噸【解析】選A.利潤L=P·x-R=QUOTEx-50000-200x=-QUOTEx3+24000x-50000(x>0),L′=-QUOTEx2+24000,令L′=0,得x2=40000.所以x=200.經(jīng)檢驗(yàn),當(dāng)x=200時利潤最大.4.做一個容積為256升的方底無蓋水箱,那么用料最省時,為 ()A.5分米 B.6分米 C.7分米 D.8分米【解析】選D.設(shè)底面邊長為x分米,則高為h=QUOTE,其表面積S=x2+4·QUOTE·x=x2+QUOTE,S′=2x-QUOTE,令S′=0,則x=8.當(dāng)0<x<8時,S′<0;當(dāng)x>8時,S′>0,故x=8時S最小.二、填空題(每小題5分,共10分)5.電動自行車的耗電量y與速度x之間的關(guān)系為y=QUOTEx3-QUOTEx2-40x(x>0),為使耗電量最小,則其速度應(yīng)定為________.

【解析】由題設(shè)知y′=x2-39x-40,令y′>0,解得x>40或x<-1,故函數(shù)y=QUOTEx3-QUOTEx2-40x(x>0)在[40,+∞)上遞增,在(0,40]上遞減.所以當(dāng)x=40時,y取得最小值.由此得為使耗電量最小,則其速度應(yīng)定為40.答案:406.如圖所示,ABCD是邊長為30cm的正方形硬紙片,切去陰影部分所示的四個全等的等腰直角三角形,再沿虛線折起,使得A,B,C,D四個點(diǎn)重合于圖中的點(diǎn)P,正好形成一個底面是正方形的長方體包裝盒,若要包裝盒容積V(cm3)最大,則EF的長為【解析】設(shè)包裝盒的高為h(cm),BF=x(cm),底面邊長為a(cm),由已知得a=QUOTEx,h=QUOTE=QUOTE(15-x)(0<x<15),包裝盒容積V=a2h=2QUOTE(-x3+15x2),V′=6QUOTEx(10-x),由V′=0,得x=0(舍)或x=10,當(dāng)x∈(0,10)時,V′>0;當(dāng)x∈(10,15)時,V′<0,所以當(dāng)x=10時,V取得極大值,也是最大值.故EF=10答案:10三、解答題(每小題10分,共20分)7.要做一個圓錐形漏斗,其母線長為20,要使其體積最大,則高為多少?【解析】設(shè)圓錐的高為xQUOTE,則圓錐底面半徑r=QUOTE,所以圓錐體積:V=QUOTEπr2·x=QUOTEπQUOTEx=-QUOTEx3+QUOTEx,所以V′=-πx2+QUOTE,令V′=0,解得:x=QUOTE,當(dāng)x∈QUOTE時V′>0;當(dāng)x∈QUOTE時,V′<0,所以當(dāng)x=QUOTE時,V取得最大值,即體積最大時,圓錐的高為QUOTE.8.某工廠有100名工人接受了生產(chǎn)1000臺某產(chǎn)品的總?cè)蝿?wù),每臺產(chǎn)品由9個甲型裝置和3個乙型裝置配套組成,每個工人每小時能加工完成1個甲型裝置或3個乙型裝置.現(xiàn)將工人分成兩組分別加工甲型和乙型裝置.設(shè)加工甲型裝置的工人有x人,他們加工完甲型裝置所需時間為t1小時,其余工人加工完乙型裝置所需時間為t2小時.設(shè)f(x)=t1+t2.(1)求f(x)的解析式,并寫出其定義域;(2)當(dāng)x等于多少時,f(x)取得最小值.【解析】(1)因?yàn)閠1=QUOTE,t2=QUOTE=QUOTE,所以f(x)=t1+t2=QUOTE+QUOTE,定義域?yàn)閧x|1≤x≤99,x∈N*}.(2)因?yàn)閒(x)=QUOTE+QUOTE,所以f′(x)=-QUOTE+QUOTE令f′(x)=0得,x=75,x∈N*,當(dāng)x∈(0,75)時,f′(x)<0;當(dāng)x∈(75,100)時,f′(x)>0,故當(dāng)x=75時,f(x)取得最小值.(35分鐘50分)一、選擇題(每小題5分,共20分)1.若商品的年利潤y(萬元)與年產(chǎn)量x(萬件)的函數(shù)關(guān)系式為y=-x3+27x+123(x>0),則獲得最大利潤時的年產(chǎn)量為 ()A.1萬件 B.2萬件 C.3萬件 D.4萬件【解析】選C.因?yàn)閥=-x3+27x+123(x>0),所以y′=-3x2+27=-3(x+3)(x-3)(x>0),所以y=-x3+27x+123在(0,3)上是增函數(shù),在(3,+∞)上是減函數(shù);故當(dāng)x=3時,獲得最大利潤;故獲得最大利潤時的年產(chǎn)量為3萬件.2.以長為10的線段AB為直徑作半圓,則它的內(nèi)接矩形面積的最大值為 ()A.10 B.15 C.25 【解析】選C.設(shè)PN=x,PQ=2y則x2+y2=25,S=2xy,S2=4x2y2=4x2(25-x2)=100x2-4x4,設(shè)t=x2,則S2=100t-4t2,(S2)′=100-8t.知當(dāng)t=QUOTE時,S2的最大值=252,即S的最大值為25.3.用長為30cm的鋼條圍成一個長方體形態(tài)的框架(即12條棱長總和為30cm),A.24cm3 B.15cm3 C【解析】選B.設(shè)該長方體的寬是xcm,由題意知,其長是QUOTEcm,高是QUOTE=QUOTEcm,(0<x<3),則該長方體的體積V(x)=x·QUOTEx·QUOTE=-QUOTEx3+QUOTEx2,V′(x)=-QUOTEx2+QUOTEx,由V′(x)=0,得到x=2(x=0舍去),當(dāng)0<x<2時,V′(x)>0;當(dāng)2<x<3時,V′(x)<0,即體積函數(shù)V(x)在x=2處取得極大值VQUOTE=15,也是函數(shù)V(x)在定義域上的最大值.所以該長方體體積的最大值是15cm3.4.某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品,固定成本為20000元,每生產(chǎn)一單位的產(chǎn)品,成本增加100元,若總收入R與年產(chǎn)量x(0≤x≤390)的關(guān)系是R(x)=-QUOTE+400x,0≤x≤390,則當(dāng)總利潤最大時,每年生產(chǎn)的產(chǎn)品單位數(shù)是 ()A.150 B.200 C.250 【解析】選D.由題意可得總利潤P(x)=-QUOTE+300x-20000(0≤x≤390),由P′(x)=-QUOTE+300,得x=300.當(dāng)0≤x<300時,P′(x)>0;當(dāng)300<x≤390時,P′(x)<0,所以當(dāng)x=300時,P(x)最大.二、填空題(每小題5分,共10分)5.做一個無蓋的圓柱形水桶,若要使水桶的容積是27π,且用料最省,則水桶的底面半徑為________.

【解析】用料最省,即水桶的表面積最小.設(shè)圓柱形水桶的表面積為S,底面半徑為r(r>0),則πr2h=27π,即水桶的高為QUOTE,所以S=πr2+2πr×QUOTE=πr2+QUOTE(r>0).求導(dǎo)數(shù),得S′=2πr-QUOTE.令S′=0,解得r=3.當(dāng)0<r<3時,S′<0;當(dāng)r>3時,S′>0.所以當(dāng)r=3時,圓柱形水桶的表面積最小,即用料最省.答案:36.如圖,圓形紙片的圓心為O,半徑為5cm,該紙片上的等邊三角形ABC的中心為O.D,E,F為圓O上的點(diǎn),△DBC,△ECA,△FAB分別是以的等腰三角形.沿虛線剪開后,分別以BC,CA,AB為折痕折起△DBC,△ECA,△FAB,使得D,E,F重合,得到三棱錐.當(dāng)△ABC的邊長改變時,所得三棱錐體積(單位:cm3)的最大值為________.

【解析】連接OB,連接OD,交BC于點(diǎn)G,由題意得,OD⊥BC,OG=QUOTEBC,設(shè)OG=x,則BC=2QUOTEx,DG=5-x,三棱錐的高h(yuǎn)=QUOTE=QUOTE=QUOTE,S△ABC=2QUOTEx·3x·QUOTE=3QUOTEx2,則V=QUOTES△ABC·h=QUOTEx2·QUOTE=QUOTE·QUOTE,令f(x)=25x4-10x5,x∈QUOTE,f′(x)=100x3-50x4,令f′(x)>0,即x4-2x3<0,x<2,則f(x)≤fQUOTE=80,則V≤QUOTE×QUOTE=4QUOTE,所以體積最大值為4QUOTEcm答案:4QUOTE三、解答題(每小題10分,共20分)7.某地須要修建一條大型輸油管道,其通過120公里寬的沙漠地帶,該段輸油管道兩端的輸油站已建好,余下工程只須要在該段兩端已建好的輸油站之間鋪設(shè)輸油管道和等距離修建增壓站(又稱泵站).經(jīng)預(yù)算,修建一個增壓站的工程費(fèi)用為400萬元,鋪設(shè)距離為x公里的相鄰兩增壓站之間的輸油管道費(fèi)用為(x2+x)萬元.設(shè)余下工程的總費(fèi)用為y萬元.(1)試將y表示成關(guān)于x的函數(shù).(2)須要修建多少個增壓站才能使總費(fèi)用y最小?【解析】(1)依題意可知余下工程有QUOTE段管道,有QUOTE個增壓站,故余下工程的總費(fèi)用為y=(x2+x)·QUOTE+400·QUOTE=120x+QUOTE-280,所以將y表示成關(guān)于x的函數(shù)為y=120x+QUOTE-280(0<x<120).(2)由(1)知y=120x+QUOTE-280(0<x<120),有y′=120-QUOTE,令y′=0,解得x=20,y,y′隨x的改變狀況如表:x(0,20)20(20,120)y′-0+y↘微小值↗由表易知,函數(shù)y在x=20時取得最小值,此時QUOTE-1=5,故須要修建5個增壓站才能使總費(fèi)用y最小.8.如圖,城市A,城市B,城市C(均視為一個點(diǎn))恰好構(gòu)成一個邊長為200千米的等邊三角形,點(diǎn)D為BC段中點(diǎn).若國家規(guī)劃在AD段選取一點(diǎn)T新建一座城市,并確定修建連接新城市T的三條高速馬路AT,BT,CT,設(shè)∠DBT=θQUOTE.(1)試用θ表示出三段高速馬路的總長度y(千米)的解析式,并求y的最小值;(2)若BT段高速馬路的造價為4千萬/千米,AT段和CT段高速馬路的造價均為2千萬/千米,試用θ表示出三段高速馬路總造價z(千萬元)的解析式,并求z的最小值.【解析】BT=CT=QUOTE(千米),DT=100tanθ(千米),AT=100QUOTE-100tanθ(千米).(1)y=AT+BT+CT=QUOTE-100tanθ+100QUOTE.即y=100·QUOTE+100QUOTE(0<θ<QUOTE).y′=100·QUOTE,當(dāng)θ=QUOTE時,y′=0;當(dāng)0<θ<QUOTE時,y′<0,函數(shù)單調(diào)遞減;當(dāng)QUOTE<θ<QUOTE時,y′>0,函數(shù)單調(diào)遞增,所以當(dāng)θ=QUOTE時,y取得最小值200QUOTE