2021-2022學(xué)年數(shù)學(xué)蘇教版必修第二冊(cè)學(xué)案：第11章第2課時(shí) 余弦定理、正弦定理的綜合應(yīng)用

第2課時(shí)余弦定理、正弦定理的綜合應(yīng)用

》學(xué)情診斷?課時(shí)測(cè)評(píng)⑥

基礎(chǔ)全面練

一、單選題

1.瑞云塔是福清著名的歷史文化古跡.如圖，一研究小組同學(xué)為了

估測(cè)塔的高度，在塔底D和A,B(與塔底D同一水平面)處進(jìn)行測(cè)量,

在點(diǎn)A,B處測(cè)得塔頂C的仰角分別為45。，30。，且A,B兩點(diǎn)相距

91m,由點(diǎn)D看A,B的張角為150°,則瑞云塔的高度CD=()

A.91mB.13VHm

C.13smD.91小m

選C.設(shè)CD=h,因?yàn)樵邳c(diǎn)A,B處測(cè)得塔頂C的仰角分別為45。，30。,

所以BD=^/3h,AD=h,

因?yàn)锳B2=BD2+AD2-2BD-ADcos150°,所以912=7h2,BPh=13市

（負(fù)值舍去）.

2.如圖所示,為了測(cè)量A,B處島嶼的距離，小明在D處觀測(cè)，A,

B分別在D處的北偏西15。、北偏東45。方向，再往正東方向行駛40

海里至C處，觀測(cè)B在C處的正北方向，A在C處的北偏西60。方向，

則A,B兩處島嶼間的距離為（）

B

?

A.20A/6海里B.40乖海里

C.20（1+乖）海里D.40海里

選A.在4ACD中,ZADC=15°+90°=105°,ZACD=30°,所以NCAD

=45°,

一―………—CDAD

由正弦XE理可行：sinNCAD=sinZACD，

1

通,自CD-sinZACD40x2廠

解侍AD=sm/CAD飛=20^'

2

在RtADCB中，NBDC=45°,

所以BDfCD=4（h/i,

在aABD中,ZADB=45°+15°=60°,由余弦定理可得：AB2=AD2+

BD2-2AD-BDcosZADB=800+3200-2x20^2x40啦x|=2400,

解得AB=20^6海里.

3.如圖所示，從氣球A上測(cè)得正前方的河流的兩岸B,C的俯角分別

為75°,30°,此時(shí)氣球的高是60m,則河流的寬度BC等于（）

A.240m-1)mB.180(^2-1)m

C.120昨-1)mD.30電+1)m

選C.如圖,在^ACD中,ZCAD=90°-30°=60°,AD=60m,所

以CD=AD-tan60°=60^3以).在4ABD中,ZBAD=90°-75°=15°,

DB

所以BD=AD-tan15°=60（2-?。╩）,

所以BC=CD-BD=6Chj3-60（2-木）二

120（小-l）（m）.

4.臺(tái)風(fēng)中心從A地以20km/h的速度向東北方向移動(dòng)，離臺(tái)風(fēng)中心

30km內(nèi)的地區(qū)為危險(xiǎn)區(qū)，城市B在A的正東40km處，B城市處于

危險(xiǎn)區(qū)內(nèi)的時(shí)間為（）

A.0.5hB.1hC.1.5hD.2h

選B.設(shè)A地東北方向上點(diǎn)P到B的距離為

30km,AP=xkm.

在4ABP中，PB2=AP2+AB2-2AP-ABcosA,

即302=x2+402-2x-40cos45°,

化簡(jiǎn)得x2-40啦x+700=0.

設(shè)該方程的兩根為Xi,X2,

則IXi-X212=(xi+X2)2-4X1X2=400,|xi-Xz|=20km,

jPiP20

即nnPR=20km,故t=q-2=元=1(h).

二、填空題

5.甲、乙兩樓相距20米，從乙樓底望甲樓頂?shù)难鼋菫?0°,從甲樓

頂望乙樓頂?shù)母┙菫?0。，則甲、乙兩樓的高分別為米、

_______米■

如圖，過(guò)點(diǎn)C作CM_LAB,垂足為依題意有甲樓的高度為AB=20.tan

60°=2(^/3(米)，

又CM=DB=20米，NCAM=60°,

所以AM=CM-=當(dāng)?shù)祝?/p>

LdllOUD

故乙樓的高度為CD=2班:若回(米).

答案：20小

6.如圖，要測(cè)出山上石油鉆井的井架BC的高，從山腳A測(cè)得AC=

60m,井架頂B的仰角45。，井架底的仰角15°,則井架的高BC為

________m.

由題意彳導(dǎo)NBAC=45°-15°=30°,NABC=45°,且AC=60m.

,,.,__,_,BCACBC60

在AABC中,由正弦ZE理y信r$訪NBAC=sinBx即sin30。=sin45°1

解得BC=30啦.

答案：30啦

7.如圖，一棟建筑物AB高(30-10^/3)m,在該建筑物的正東方向

有一個(gè)通信塔CD在它們之間的地面M點(diǎn)(B,M,D三點(diǎn)共線)測(cè)得對(duì)

樓頂A、塔頂C的仰角分別是15。和60。，在樓頂A處測(cè)得對(duì)塔頂C

的仰角為30。，則通信塔CD的高為?

由題意可知NCAM=45。，NAMC=105°,由三角形內(nèi)角和定理可知

ZACM=30°.

ABAB

在中，

RtAABMsinNAMB=AM=>AM=sin15°

,,e—jAMCM

AACM=

^中,由正弦電里可知：sinZACMsinZCAM

AM-sin45°AB-sin45°

所以CM==

sin30°sin15°-sin30°,

一人CD

在Rt^DCM中，sinNCMD二的

ll、AB-sin45°

所以CD=CMSn6。。=sinl-sin30?！鰏in60°=60.

答案：60

8.如圖，為了測(cè)量山坡上燈塔CD的高度，某人從高為h=40的樓

AB的底部A處和樓頂B處分別測(cè)得仰角為B=60。，a=30。，若山坡

高為a=32,則燈塔的高度是

如圖，BN_LDC于N,DC延長(zhǎng)線交地面于M,

則DN=BNtanct,DM=AMtanB,而B(niǎo)N二AM,

所以BNtanB-BNtana=h,即BN(tan60°-tan30°)=40,BN=

40

=20小

tan60°-tan30°

所以DC=DM-CM=BNtan60°-32=20^3x小-32=28.

答案:28

三、解答題

9.為保障高考的公平性，高考時(shí)每個(gè)考點(diǎn)都要安裝手機(jī)屏蔽儀，要

求在考點(diǎn)周?chē)?千米處不能收到手機(jī)信號(hào)，檢查員抽查某市一考點(diǎn)，

在考點(diǎn)正西小千米有一條北偏東60。方向的公路，在此處檢查員用

手機(jī)接通電+話，以每小時(shí)12千米的速度沿公路行駛，問(wèn)最長(zhǎng)需要多

少分鐘檢查員開(kāi)始收不到信號(hào)，并至少持續(xù)多長(zhǎng)時(shí)間該考點(diǎn)才算合

格？

如圖所示，考點(diǎn)為A,檢查開(kāi)始處為B.

設(shè)檢查員行駛到公路上C,D兩點(diǎn)之間時(shí)收不到信號(hào)，即公路上C,D

兩點(diǎn)到考點(diǎn)的距離均為1千米.

在^ABC中,AB=^3千米,AC=1千米,ZABC=30°,

msin30°A/3

由正弦XE理得sinZACB=xAB=,

/AAvr?N9

所以NACB=120°（ZACB=60。不合題意）,

所以NBAC=30°,所以BC=AC=1千米.

在4ACD中，AC=AD=1千米,ZACD=60°,

所以4ACD為等邊三角形，所以CD=1千米.

因?yàn)槲鍃60=5,

所以在BC上需5分鐘，CD上需5分鐘.

所以最長(zhǎng)需要5分鐘檢查員開(kāi)始收不到信號(hào)，并持續(xù)至少5分鐘才算

合格.

10.根據(jù)國(guó)際海洋安全規(guī)定：兩國(guó)軍艦正常狀況下（聯(lián)合軍演除外），

在公海上的安全距離為20nmile（即距離不得小于20nmile）,否則違

反了國(guó)際海洋安全規(guī)定.如圖，在某公海區(qū)域有兩條相交成60。的直

航線XX"YY"交點(diǎn)是。，現(xiàn)有兩國(guó)的軍艦甲、乙分別在OX,OY±

的A,B處，起初OA=30nmile,OB=10nmile,后來(lái)軍艦甲沿XX，

的方向，乙軍艦沿Y'Y的方向，同時(shí)以40nmile/h的速度航行.

⑴起初兩軍艦的距離為多少？

⑵試判斷這兩艘軍艦是否會(huì)違反國(guó)際海洋安全規(guī)定？并說(shuō)明理由.

⑴連接AB,在△ABO中，由余弦定理得

AB=M100+900-2xl0x30xcos60°=1077.

所以起初兩軍艦的距離為10幣nmile.

3

⑵設(shè)t小時(shí)后，甲、乙兩軍艦分別運(yùn)動(dòng)到C,D,連接CD,當(dāng)0<t<4

時(shí)，CD=

(30-40t)2+(10+40t)2-2(30-40t)(10+40t)cos60°

=10弋48t2-24t+7,

3

當(dāng)t>4時(shí)，

CD=

(40t-30)2+(10+40t)2-2(40t-30)(10+40t)cos120°

=10^/48t2-24t+7,

所以經(jīng)過(guò)t小時(shí)后，甲、乙兩軍艦距離CD=48t2-24t+7(t>0),

因?yàn)镃D:10^48t2-24t+7

=loyj48^t-^2+4，因?yàn)閠>0,所以當(dāng)t=w時(shí)，甲、乙兩軍艦距

禺最小為

20nmile.

所以甲、乙這兩艘軍艦不會(huì)違法國(guó)際海洋安全規(guī)定.

綜合突破練

一、選擇題

1?小華想測(cè)出操場(chǎng)上旗桿0A的高度，在操場(chǎng)上選取了一條基線BC,

請(qǐng)從測(cè)得的數(shù)據(jù)①BC=12m,②B處的仰角為60。，③C處的仰角為

45°,④cosZBAC=^，⑤NBOC=30。中選取合適的，計(jì)算出旗

桿的高度為（）

A.lOyfimB.12m

C.12啦mD.12\[3m

選D.設(shè)旗桿的高度0A=h.選①②③⑤，

_,h

則0C=h,0B=1,

在^BOC中，由余弦定理得BC2=OB2+OC2-2OBOC-COSZBOC,

即122—+國(guó)2.2.喻.坐,

2

解得h=12下;選①②③④，則AB=1h,AC=gh,

在aBAC中,由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB-AC-cosZBAC,即

122=（網(wǎng)2+國(guó)2-2-^2喘莘,解得h=12小.

2.春秋以前中國(guó)已有"抱甕而出灌〃的原始提灌方式，使用提水吊桿

——桔椽，后發(fā)展成轆第.19世紀(jì)末，由于電動(dòng)機(jī)的發(fā)明，離心泵得

到了廣泛應(yīng)用，為發(fā)展機(jī)械提水灌溉提供了條件.如圖所示為灌溉抽

水管道在等高圖的上垂直投影，在A處測(cè)得B處的仰角為37度，在

A處測(cè)得C處的仰角為45度，在B處測(cè)得C處的仰角為53度，A點(diǎn)

所在等高線值為20米，若BC管道長(zhǎng)為50米，則B點(diǎn)所在等高線值

）（參考數(shù)據(jù)sin37。=|

為（

等高線：器初是地形圖上

海拔高度相等的相鄰各點(diǎn)

;所連成的封閉曲線

-----------SC：

20

A.30米B.50米C.60米D.70米

選B.由題意，作出示意圖如圖所示,

由已知，BC=50,ZCAE=45°,ZBAE=37°,ZCBF=53°.

BDBDcos37°4

設(shè)BD=x,則AD=X,

tan37°sin37°

4

CF=BCsin53°=50cos37°~50x-=40;

3

BF=BCcos53°=50sin37°=50x-=30,

所以由AE=CE,得gx+30=x+40,

解得x=30,

又A點(diǎn)所在等高線值為20米,

故B點(diǎn)所在等高線值為20+30=50米.

3.如圖，跳傘塔CD高h(yuǎn),在塔頂C測(cè)得地面上兩點(diǎn)A,B的俯角分

別是a,B,又測(cè)得NADB=v.已知h=50,a=45°,B=60°,v=30°,

則AB的長(zhǎng)為（）

A娃R蛀

A.3

D也1

-3u-3

選B.根據(jù)已知，CD=h,

因?yàn)樵赼ACD中，ZCAD=a=45°,所以AD=CD=h,

在ABCD中,ZCBD=|3=60°,

LL、CD

所以而=tan60°,

CDS

所以BD=百而二3h，

所以在ABDA中,由余弦定理得，AB?=AD2+BD2-2AD-BD-COSZADB

,1,Ml

=h2+h2-2xhx3hxcosy,

故AB2=1h2,故AB的長(zhǎng)為乎h=.

4.（多選）在aABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且△b：

c=4：5：6,則下列結(jié)論正確的是（）

A.sinA：sinB：sinC=4：5：6

B.△ABC是鈍角三角形

C.△ABC為直角三角形

D.若c=6,則4ABC外接圓半徑為呼

選AD.由a：b：c=4：5：6,

可設(shè)a=4m,b=5m,c=6m（m>0）,

根據(jù)正弦定理可知sinA：sinB：sinC=4：5：6,故A正確；

a2+b2-c216m2+25m2-36m2i

因?yàn)閏osC=2ab=一向?！?gt;0，故最大角C

為銳角，故BC錯(cuò)誤；

-rmc616^7

右c=6,可得2R=；^=/1=7'

3-百

所以4ABC外接圓半徑為弓一,故D正確.

二、填空題

5.《九章算術(shù)》中記載了一個(gè)“折竹抵地”問(wèn)題，今年超強(qiáng)臺(tái)風(fēng)“山竹”

登陸時(shí)再現(xiàn)了這一現(xiàn)象（如圖所示），不少大樹(shù)被大風(fēng)折斷.某路邊一

樹(shù)干被臺(tái)風(fēng)吹斷后（沒(méi)有完全斷開(kāi)），樹(shù)干與底面成75。角，折斷部分

與地面成45。角，樹(shù)干底部與樹(shù)尖著地處相距10米，則大樹(shù)原來(lái)的高

度是_____米（結(jié)果保留根號(hào)）.

如圖所示，設(shè)樹(shù)干底部為0,樹(shù)尖著地處為B,折斷點(diǎn)為A,則NAOB

AOAB

=75°,ZABO=45。，所以NOAB=60。.由正弦定理知京=京5*

JIII■0IIIZ

10

二sin60°，

10A/615啦+5A/6

所以。人=深函,AB=丫§（米），

所以O(shè)A+AB=5啦+5乖（米）.

A

人75。4T\

O10B

答案：（5啦+5加）

6.已知臺(tái)風(fēng)中心位于城市A東偏北a(a為銳角)度的150公里處，以

v公里/小時(shí)沿正西方向快速移動(dòng),2.5小時(shí)后到達(dá)距城市A西偏北B(B

3

為銳角)度的200公里處，若cosa=IcosB,則v=.

畫(huà)出圖象如圖所示，由余弦定理得(2.5v)2=2002+1502+2X200X

150cos(a+B)①，

由正弦定理得宗義=5^,sina=^sin[3.

QIII1^DIII

3

由sin2a+cos2a=1,解得sin0=g,

443

故cosB二二,sina=,cosa=,

故cos(a+B)=-j|=0,代入①解得v=100.

答案：[00

7.在某次軍事演習(xí)中，紅方為了準(zhǔn)確分析戰(zhàn)場(chǎng)形勢(shì)，在兩個(gè)相距為

號(hào)a的軍事基地C和D測(cè)得藍(lán)方兩支精銳部隊(duì)分別在A處和B處，

且NADB=30°,ZBDC=30°,ZDCA=60°,ZACB=45°,如圖所示,

求藍(lán)方這兩支精銳部隊(duì)之間的距離為.

A

B

\457

/6o\/

DC

方法一：因?yàn)镹ADC=ZADB+ZCDB=60°,

又NDCA=60°,所以NDAC=60°.

一下

所以AD=CD=AC=2a-

^△BCD中,ZDBC=45°,

BCCD

因?yàn)閟in30°=sin45。，

所以BC二乎a.

_33

在4ABC中，由余弦定理得AB?=AC2+BC2-2ACBC-cos45°=Ta2+o

4o

,必在啦3,心I必

22

a-2x2ax4ax2=ga,AB=4a.

所以藍(lán)方這兩支精銳部隊(duì)之間的距離為平a.

方法二：由題意可得4ADC為正三角形，且BD垂直平分AC,所以

3r1造

a

AC=CD=2a,AB=BC=42x/AC=4-

冬案?在a

口?4?

8.我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽在其《海島算經(jīng)》中給出了著名的望海島問(wèn)

題及二次測(cè)望方法：今有望海島，立兩表，齊高三丈，前后相去干步,

令后表與前表參相直.從前表卻行一百二十三步，人目著地取望島峰,

與表末參合.從后表卻行一百二十七步，人目著地取望島峰，亦與表

末參合?問(wèn)島高及去表各幾何？這一方法領(lǐng)先印度500多年，領(lǐng)先歐

洲1300多年.其大意為：測(cè)量望海島PQ的高度及海島離岸距離，

在海岸邊立兩根等高的標(biāo)桿AB,CD（PQ,AB,CD共面，均垂直于地

面，使目測(cè)點(diǎn)E與P,B共線，目測(cè)點(diǎn)F與P,D共線，測(cè)出AE,CF,

AC即可求出島高和距離（如圖）.若AB=CD=r,AE=a,CF=b,EF=d,

貝!]PQ=；EQ=.

rrPE

設(shè)NAEB=a,NCFD=B,貝[]tana=A,tanP=r，在^PEF中，;

dUDilip

EF

sin(a-P)'

EFsinBdsin0

所以PE=

sin(a-3)sin(a-P)

dsinasin0

所以PQ=PE-sina=

sin(a-P)

r2

cT—

dsinasinBdtanatariBabdr

,EQ=PE-cos

sinacos0-cosasin0tana-tanB-_-b-a

ab

dcosasin0dcosasin0dtan0b

a=====

sin(a-P)sinacos0-cosasinPtana-tanB-_-

ab

da

b-a

於案：w色

□b-ab-a

三、解答題

9.如圖，在△ABC中，NABC=90°,AB=,,BC=1,P為△ABC

內(nèi)一點(diǎn),ZBPC=90°.

1

⑴若PB=5，求PA;

⑵若NAPB=150。，求tanNPBA.

⑴由已知得，ZPBC=60°,所以NPBA=30°,

117

在^ABP中，由余弦定理得PA2=3+-2x3x2cos30°=4，所

以PA二乎(負(fù)值舍去).

⑵設(shè)NPBA=a,所以NPCB=a,PB=sina.

在4PBA中，由正弦定理得，、，化簡(jiǎn)得事

sin150sin(30°-a)

cosa=4sinct,所以tana二4,

即tanZPBA=.

10.如圖，某公園內(nèi)有兩條道路AB,AP,現(xiàn)計(jì)劃在AP上選擇一點(diǎn)C,

新建道路BC,并把△ABC所在區(qū)域改造成綠化區(qū)域，已知NBACS,

AB=2km.

⑴若綠化區(qū)域△ABC的面積為1km2,求道路BC的長(zhǎng)度；

⑵綠化區(qū)域4ABC每平方千米的改造費(fèi)用與新建道路BC每千米修建

費(fèi)用都是NACB的函數(shù)其中綠化區(qū)域4ABC改造費(fèi)用為yi=10sinZ

ACB（單位：萬(wàn)兀/平方千米）,新建道路BC新建費(fèi)用為丫2=5sin2N

<2疳

ACB（單位：萬(wàn)元/千米），設(shè)NABC=0^O<0<yj,某工程隊(duì)承包了該公

園的綠化區(qū)域改造與新道路修建，已知綠化區(qū)域改造費(fèi)與道路新建費(fèi)

用越高，則工程隊(duì)所獲利潤(rùn)也越高，試問(wèn)當(dāng)6為何值時(shí)，該工程隊(duì)獲

得最高利潤(rùn)？

⑴因?yàn)榫G化區(qū)域4ABC的面積為1km2,

-AC-AB-sinZBAC=1.

因?yàn)锳B=2,ZBAC=^,

所以之-AC-2-sin=1,得AC=2,

由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB?

ACcosNBAC=4+4-2x2x2x*=8