山東省聊城市2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題

2022—2023學(xué)年度第一學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量抽測(cè)高二數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．本試卷滿(mǎn)分150分，考試用時(shí)120分鐘.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫(xiě)在答題卡的相應(yīng)位置上.2．回答選擇題時(shí)，選出每小題的答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.3．考試結(jié)束后，只將答題卡交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求．1.直線的傾斜角為（）A.0 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用直線與軸垂直即可求得答案【詳解】因?yàn)橹本€與軸垂直，故直線的傾斜角為故選：C2.已知，分別是平面的法向量，若，則（）A. B. C.1 D.7【答案】B【解析】【分析】利用平面平行可得法向量平行，列出等式即可求解【詳解】因?yàn)?，分別是平面的法向量，且，所以，即，解得故選：B3.拋物線的準(zhǔn)線方程為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)拋物線的性質(zhì)得出準(zhǔn)線方程.【詳解】拋物線方程可化為，則，故拋物線的準(zhǔn)線方程為.故選：A4.數(shù)列滿(mǎn)足，若，則=（）A.1 B. C.1 D.2【答案】D【解析】【分析】由的值確定該數(shù)列為周期數(shù)列，進(jìn)而由周期性得出.【詳解】設(shè)，則，，.故數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列，則.故選：D.5.拋物線有一條重要性質(zhì)：從焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)過(guò)拋物線上的一點(diǎn)反射后，反射光線平行于拋物線的軸．已知拋物線C：，從點(diǎn)發(fā)出的一條平行于x軸的光線，經(jīng)過(guò)C上的點(diǎn)A反射后，與C交于另一點(diǎn)B，則點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出坐標(biāo)，進(jìn)而聯(lián)立直線和拋物線方程，由韋達(dá)定理得出點(diǎn)B的縱坐標(biāo).【詳解】拋物線C：的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)，，因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，所以，由題意可知，三點(diǎn)在一條直線上，直線的斜率為，即直線的方程為，聯(lián)立，可得，因?yàn)?故選：A6.已知圓：與圓：相內(nèi)切，則與的公切線方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由兩圓的位置關(guān)系得出，進(jìn)而聯(lián)立兩圓方程得出公切線方程.【詳解】圓：的圓心，圓：可化為，，則其圓心為，半徑為，因?yàn)閳A與圓相內(nèi)切，所以，即，故.由，可得，即與的公切線方程為.故選：D7.如圖，在四面體ABCD中，，，若，，，，則平面ABD與平面CBD的夾角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意可得，結(jié)合空間向量的數(shù)量積的定義及運(yùn)算律可求得，即可得結(jié)果.【詳解】設(shè)平面ABD與平面CBD的夾角為，由題意可得：，∵，則，即，解得，由，可得，故平面ABD與平面CBD的夾角為.故選：C.8.已知為橢圓C：的右焦點(diǎn)，P為C上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)F且垂直于x軸的直線與C交于M，N兩點(diǎn)，若等于的最小值的3倍，則C的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)橢圓的性質(zhì)以及通徑，可得，，再根據(jù)已知列式，結(jié)合橢圓的關(guān)系，求出離心率即可.【詳解】為橢圓C：的右焦點(diǎn)，P為C上的動(dòng)點(diǎn)，由橢圓的性質(zhì)，可得.過(guò)F且垂直于x軸直線與C交于M，N兩點(diǎn)，.等于的最小值的3倍，.橢圓中，，即，則.，，解得或（舍）.故選：B.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知曲線：，：，則（）A.的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4B.的漸近線方程為C.與的焦點(diǎn)坐標(biāo)相同D.與的離心率互為倒數(shù)【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)橢圓與雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合它們的幾何性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】曲線：整理得，則曲線是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，其中，所以，離心率為故曲線的長(zhǎng)軸長(zhǎng)，故A不正確；曲線：是焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，其中，所以，離心率為，故與曲線的焦點(diǎn)位置不同，故C不正確；：的漸近線方程為，故B正確；又，所以與的離心率互為倒數(shù)，故D正確.故選：BD.10.已知直線l：，則（）A.l不過(guò)第二象限B.l在y軸上的截距為1C.不存在k使l與直線平行D.存在k使l被圓截得的線段長(zhǎng)為2【答案】AC【解析】【分析】取得出恒成立，從而判斷A；由得出截距，從而判斷B；由反證法判斷C；由距離公式判斷D.【詳解】對(duì)于A：當(dāng)時(shí)，恒成立，即l不過(guò)第二象限，故A正確；對(duì)于B：令，即l在y軸上的截距為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：若直線和平行，則，且，與矛盾，即不存在k使l與直線平行，故C正確；對(duì)于D：若l被圓截得的線段長(zhǎng)為2，則直線到圓心的距離為，但是圓心到直線的距離，即不存在k使l被圓截得的線段長(zhǎng)為2，故D錯(cuò)誤；故選：AC11.記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，則（）A.B.C.有最大值1D.無(wú)最小值【答案】BC【解析】【分析】對(duì)于AB，注意到當(dāng)且為奇數(shù)時(shí)，，從而求得即可判斷；對(duì)于C，求得關(guān)于的表達(dá)式后，利用配方法即可判斷；對(duì)于D，求得關(guān)于的表達(dá)式后，利用作差法與臨界值0進(jìn)行比較即可判斷.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，?dāng)且為奇數(shù)時(shí)，，所以，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，，所以，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)榕c必然一奇一偶，所以，當(dāng)時(shí)，取得最大值，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)榕c必然同為奇數(shù)或同為偶數(shù)，所以，令，則，所以，令，得，又，即，此時(shí)，即，即，令，得或，又，即或，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，即，同時(shí)，當(dāng)時(shí)，，即，綜上：有最小值，即有最小值，故D錯(cuò)誤.故選：BC.12.在棱長(zhǎng)為的正方體中，M，N，P均為側(cè)面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且滿(mǎn)足，點(diǎn)N在線段上，點(diǎn)P到點(diǎn)的距離與到平面的距離相等，則（）A.B.平面平面C.直線AM與所成的角為定值D.MP的最小值為2【答案】ACD【解析】【分析】以為原點(diǎn)，分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，對(duì)于A，由點(diǎn)N在線段可得，可得到即可判斷；對(duì)于B，計(jì)算出平面與平面的法向量即可求解；對(duì)于C，由M為側(cè)面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)且可得，計(jì)算出即可；對(duì)于D，由C選項(xiàng)可得的軌跡是以為圓心，半徑為3的圓上（且在側(cè)面內(nèi)），在平面內(nèi)過(guò)P點(diǎn)作，垂足為，可得到點(diǎn)P的軌跡為以為焦點(diǎn)，準(zhǔn)線為直線的拋物線，通過(guò)圖形即可得到MP的最小值【詳解】以為原點(diǎn)，分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，所以，，，，，，對(duì)于A，因?yàn)辄c(diǎn)N在線段上，所以，所以，所以，所以，故，所以，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)辄c(diǎn)N在線段上，所以平面為平面，設(shè)面的一個(gè)法向量為，則，令，則，故，設(shè)面的一個(gè)法向量為，則，令，則，故，因?yàn)?，所以平面與平面不垂直，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)镸為側(cè)面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，，所以設(shè)，則，所以，所以直線AM與所成的角為定值，故C正確；對(duì)于D，由C選項(xiàng)可得即，所以的軌跡是以為圓心，半徑為3的圓上（且在側(cè)面內(nèi)），在平面內(nèi)過(guò)P點(diǎn)作，垂足為，易得平面，平面，所以，因?yàn)?，平面，所以平面，所以點(diǎn)P到平面的距離為的長(zhǎng)度，即到的距離，所以點(diǎn)P到點(diǎn)的距離與到平面的距離相等，等價(jià)于點(diǎn)P到點(diǎn)的距離與到的距離相等，滿(mǎn)足拋物線的定義，所以點(diǎn)P的軌跡為以為焦點(diǎn)，準(zhǔn)線為直線的拋物線，以線段四等分點(diǎn)（靠近）為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為軸的正方向進(jìn)行平面直角坐標(biāo)系，由可得，直線為，則點(diǎn)P的軌跡為，所以，由圖可得當(dāng)與點(diǎn)重合時(shí)，，故，故D正確，故選：ACD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：這道題的關(guān)鍵之處是D選項(xiàng)中能看出點(diǎn)P到平面的距離即到的距離，得到點(diǎn)P的軌跡為以為焦點(diǎn)，準(zhǔn)線為直線的拋物線，然后建立平面直角坐標(biāo)系進(jìn)行求解三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知四棱錐的底面是平行四邊形，若，則______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)空間向量的運(yùn)算及空間向量基本定理得答案.【詳解】因?yàn)樗睦忮F的底面是平行四邊形，所以，又，由空間向量基本定理可得，，故.故答案為：.14.記公差不為0的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則______．【答案】6【解析】【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和公式化簡(jiǎn)可得關(guān)于的方程，解之即可.【詳解】因?yàn)槭枪畈粸?的等差數(shù)列，設(shè)公差為，所以，，又，所以，即則，所以，又，所以，則．故答案為：615.如圖，長(zhǎng)方體中，若，則到平面的距離為_(kāi)_____．【答案】##【解析】【分析】求出面的法向量，利用向量法得出到平面的距離.【詳解】因?yàn)?，所以，，設(shè)平面的法向量為，由，可得，取，則，即到平面的距離為.故答案為：16.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，以為圓心，的虛半軸長(zhǎng)為半徑的圓與的右支恰有兩個(gè)交點(diǎn)，記為、，若四邊形的周長(zhǎng)為，則的焦距的取值范圍為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】易知點(diǎn)、關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，分析可得，且，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得的取值范圍，即可得解.【詳解】易知點(diǎn)、關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，且，由雙曲線的定義可得，由題意可得，可得，則，所以，，所以，，所以，.當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)，即此時(shí)以為圓心，的虛半軸長(zhǎng)為半徑的圓與的右支恰有兩個(gè)交點(diǎn)，合乎題意.因此，的焦距的取值范圍為.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17.已知的邊所在直線的方程分別為，，點(diǎn)在邊上．（1）若為直角三角形，求邊所在直線的方程；（2）若為的中點(diǎn)，求邊所在直線的方程．【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）先判斷角不是直角，在分別討論角或角為直角的情況，利用題意求解即可（2）由題意可設(shè)，再利用條件求出參數(shù)，然后求出邊所在直線的斜率，最后利用公式求解直線方程即可.【小問(wèn)1詳解】由的邊所在直線的方程分別為，,可知角不是直角，若角是直角，由點(diǎn)在邊上，得邊所在直線的方程為；若角是直角，由邊所在直線的方程為，得邊所在直線斜率為，又點(diǎn)在邊上，所以邊所在直線的方程為，即．【小問(wèn)2詳解】由題意可設(shè)，由為的中點(diǎn)，得，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入邊所在直線的方程，得，所以，解得，所以，得邊所在直線的斜率為，所以邊所在直線的方程為，即．18.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列滿(mǎn)足，．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）令，將數(shù)列與中的項(xiàng)合并在一起，按從小到大的順序重新排列構(gòu)成新數(shù)列，求的前50項(xiàng)的和．【答案】（1）（2）3181．【解析】【分析】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為q，然后根據(jù)題意列出等式，進(jìn)行聯(lián)立即可得到，，即可求解；（2）先得到的前50項(xiàng)是由的前5項(xiàng)與的前45項(xiàng)組成，然后利用分組求和法即可求解【小問(wèn)1詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為q，由題意得，因?yàn)榈缺葦?shù)列中，，所以，又，解得，所以，即的通項(xiàng)公式為．【小問(wèn)2詳解】由（1）知，因?yàn)?，，所以的?0項(xiàng)是由的前5項(xiàng)與的前45項(xiàng)組成，記的前50項(xiàng)的和為，則．所以前50項(xiàng)的和為3181．19.已知直線經(jīng)過(guò)拋物線C：的焦點(diǎn)F，且與C交于A，B兩點(diǎn)．（1）求C的方程；（2）求圓心在x軸上，且過(guò)A，B兩點(diǎn)的圓的方程．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，代入直線方程即可求解作答.（2）根據(jù)給定條件，求出線段AB的中垂線方程，再求出圓心坐標(biāo)及半徑作答.【小問(wèn)1詳解】依題意，拋物線C的焦點(diǎn)在直線上，則，解得，所以C的方程為．【小問(wèn)2詳解】由（1）知，拋物線C的準(zhǔn)線方程為，設(shè)，，AB的中點(diǎn)為，由消去y得，則，有，，即，因此線段AB的中垂線方程為，即，令，得，設(shè)所求圓的圓心為E，則，又AB過(guò)C的焦點(diǎn)F，則有，設(shè)所求圓的半徑為r，則，故所求圓的方程為．20.如圖，在直三棱柱中，，，．M是AB的中點(diǎn)，N是的中點(diǎn)，P是與的交點(diǎn)．（1）求直線與平面所成角的正弦值；（2）線段上是否存在點(diǎn)Q，使得平面？【答案】（1）（2）存在【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解線面角的正弦值；（2）設(shè)出，結(jié)合第一問(wèn)中求出的平面的法向量，需，從而，列出方程，求出的值，得到答案.【小問(wèn)1詳解】以A為原點(diǎn)，AC，AB，所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．因?yàn)椋珻，M的坐標(biāo)分別為，，，所以，．設(shè)是平面的法向量，則，即，所以，取，則，，所以是平面的一個(gè)法向量．P點(diǎn)坐標(biāo)為，所以．設(shè)與平面所成的角為θ，則．【小問(wèn)2詳解】由，N的坐標(biāo)分別為，，故，設(shè)，則，得，又P點(diǎn)坐標(biāo)為，所以直線PQ的一個(gè)方向向量，若平面，需，從而，即，解得，這樣的點(diǎn)P存在．所以線段上存在點(diǎn)Q，使得平面，此時(shí)，Q為線段上靠近點(diǎn)N的三等分點(diǎn)．21.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，是等差數(shù)列，且，，是，的等差中項(xiàng)．（1）求，的通項(xiàng)公式；（2）記，求證：．【答案】（1），（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）利用可得到時(shí)，，然后求出，即可求出的通項(xiàng)公式，設(shè)等差數(shù)列的公差為d，利用等差中項(xiàng)可得到，求出即可求解；（2）利用錯(cuò)位相減法求出，即可求證【小問(wèn)1詳解】因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，得，兩式作差得，當(dāng)時(shí)，，即時(shí)，．又，，得，解得，所以，所以是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，所以．設(shè)等差數(shù)列的公差為d，因?yàn)槭牵牡炔钪许?xiàng)，所以，又，所以，解得，所以，故，．【小問(wèn)2詳解】由（1）知，①，②①②，得．所以．所以，即．22.已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為，（），上頂點(diǎn)為A，，且到直線l：的距離為．（1）求C方程；（2）與l平行的一組直線與C相交時(shí)，證明：這些直線被C截得的線段的中點(diǎn)在同一條直線上；（3）P為C上的動(dòng)點(diǎn)，M，N為l上的動(dòng)點(diǎn)，且，求面積的取值范圍．【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析（3）．【解析】【分析】（1）由題意，根據(jù)橢圓的頂點(diǎn)坐標(biāo)以及點(diǎn)