新高考數(shù)學一輪復習講義第8章　§8.12　圓錐曲線中定點與定值問題（原卷版）

§8.12圓錐曲線中定點與定值問題題型一定點問題例1已知橢圓E的中心為坐標原點，對稱軸為x軸、y軸，且過A(0，－2)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，－1))兩點．(1)求E的方程；(2)設過點P(1，－2)的直線交E于M，N兩點，過M且平行于x軸的直線與線段AB交于點T，點H滿足eq\o(MT,\s\up6(→))＝eq\o(TH,\s\up6(→)).證明：直線HN過定點．思維升華求解直線或曲線過定點問題的基本思路(1)把直線或曲線方程中的變量x，y當作常數(shù)看待，把方程一端化為零，既然是過定點，那么這個方程就要對任意參數(shù)都成立，這時參數(shù)的系數(shù)就要全部等于零，這樣就得到一個關于x，y的方程組，這個方程組的解所確定的點就是直線或曲線所過的定點．(2)由直線方程確定其過定點時，若得到了直線方程的點斜式y(tǒng)－y0＝k(x－x0)，則直線必過定點(x0，y0)；若得到了直線方程的斜截式y(tǒng)＝kx＋m，則直線必過定點(0，m)．跟蹤訓練1已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的上頂點和兩焦點構成的三角形為等腰直角三角形，且面積為2，點M為橢圓C的右頂點．(1)求橢圓C的方程；(2)若經(jīng)過點P(t,0)的直線l與橢圓C交于A，B兩點，實數(shù)t取何值時以AB為直徑的圓恒過點M?題型二定值問題例2已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的虛軸長為4，直線2x－y＝0為雙曲線C的一條漸近線．(1)求雙曲線C的標準方程；(2)記雙曲線C的左、右頂點分別為A，B，過點T(2,0)的直線l交雙曲線C于點M，N(點M在第一象限)，記直線MA的斜率為k1，直線NB的斜率為k2，求證：eq\f(k1,k2)為定值．思維升華圓錐曲線中的定值問題的常見類型及解題策略(1)求代數(shù)式為定值．依題設條件，得出與代數(shù)式參數(shù)有關的等式，代入代數(shù)式，化簡即可得出定值．(2)求點到直線的距離為定值．利用點到直線的距離公式得出距離的解析式，再利用題設條件化簡、變形求得．(3)求某線段長度為定值．利用長度公式求得解析式，再依據(jù)條件對解析式進行化簡、變形即可求得．跟蹤訓練2已知點F(0,1)，直線l：y＝4，P為曲線C上的任意一點，且|PF|是P到l的距離的eq\f(1,2).(1)求曲線C的方程；(2)若經(jīng)過點F且斜率為k(k≠0)的直線交曲線C于M，N兩點，線段MN的垂直平分線交y軸于點H，求證：eq\f(|FH|,|MN|)為定值．課時精練1．已知拋物線C：x2＝2py(p>0)與圓O：x2＋y2＝12相交于A，B兩點，且點A的橫坐標為2eq\r(2).F是拋物線C的焦點，過焦點的直線l與拋物線C相交于不同的兩點M，N.(1)求拋物線C的方程；(2)過點M，N作拋物線C的切線l1，l2，P(x0，y0)是l1，l2的交點，求證：點P在定直線上．2．已知雙曲線C的漸近線方程為y＝±eq\f(\r(3),3)x，且過點P(3，eq\r(2))．(1)求C的方程；(2)設Q(1,0)，直線x＝t(t∈R)不經(jīng)過P點且與C相交于A，B兩點，若直線BQ與C交于另一點D，證明：直線AD過定點M.3．在平面直角坐標系Oxy中，已知點A(－eq\r(6)，0)，B(eq\r(6)，0)，動點E(x，y)滿足直線AE與BE的斜率之積為－eq\f(1,3)，記E的軌跡為曲線C.(1)求C的方程，并說明C是什么曲線；(2)過點D(2,0)的直線l交C于P，Q兩點，過點P作直線x＝3的垂線，垂足為G，過點O作OM⊥QG，垂足為M.證明：存在定點N，使得|MN|為定值．4.如圖，已知橢圓C1：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，橢圓C2：eq\f(y2,9)＋eq\f(x2,4)＝1，A(－2,0)，B(2,0)，P為橢圓C2上的動點且在第一象限，直線PA，PB分別交橢圓C1于E，F(xiàn)兩點，連接EF交x軸于Q點，過B點作BH交橢圓C