2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-9.3-隨機(jī)事件的概率與古典概型-專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練【含答案】

9.3-隨機(jī)事件的概率與古典概型-專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練1．為調(diào)查我校學(xué)生的用電情況，學(xué)校后勤部門(mén)抽取了100間學(xué)生宿舍在某月的用電量，發(fā)現(xiàn)每間宿舍的用電量都在50kW·h到350kW·h之間，將其分組為[50，100)，[100，150)，[150，200)，[200，250)，[250，300)，[300，350]，得到如圖所示的頻率分布直方圖．(1)為降低能源損耗，節(jié)約用電，規(guī)定：當(dāng)每間宿舍的月用電量不超過(guò)200kW·h時(shí)，按每度0.5元收取費(fèi)用；當(dāng)每間宿舍的月用電量超過(guò)200kW·h時(shí)，超過(guò)部分按每千瓦時(shí)1元收取費(fèi)用．用t(單位：kW·h)表示某宿舍的月用電量，用y(單位：元)表示該宿舍的月用電費(fèi)用，求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)在抽取的100間學(xué)生宿舍中，月用電量在區(qū)間[200，250)內(nèi)的學(xué)生宿舍有多少間？2．某學(xué)校為了了解老師對(duì)“民法典”知識(shí)的認(rèn)知程度，針對(duì)不同年齡的老師舉辦了一次“民法典”知識(shí)競(jìng)答，滿分100分(95分及以上為認(rèn)知程度高)，結(jié)果認(rèn)知程度高的有m人，按年齡分成5組，其中第一組：[20，25)，第二組：[25，30)，第三組：[30，35)，第四組：[35，40)，第五組：[40，45]，得到如圖所示的頻率分布直方圖，已知第一組有10人．(1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)這m人年齡的第75百分位數(shù)；(2)現(xiàn)從以上各組中用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取40人，擔(dān)任“民法典”知識(shí)的宣傳使者．①若有甲(年齡23)，乙(年齡43)2人已確定人選宣傳使者，現(xiàn)計(jì)劃從第一組和第五組被抽到的使者中，再隨機(jī)抽取2名作為組長(zhǎng)，求甲、乙兩人恰有一人被選上的概率；②若第四組宣傳使者的年齡的平均數(shù)與方差分別為36和1，第五組宣傳使者的年齡的平均數(shù)與方差分別為42和2，據(jù)此估計(jì)這m人中35～45歲所有人的年齡的方差．3．某校設(shè)置了籃球挑戰(zhàn)項(xiàng)目，現(xiàn)在從本校學(xué)生中隨機(jī)抽取了60名男生和40名女生共100人進(jìn)行調(diào)查，統(tǒng)計(jì)出愿意接受挑戰(zhàn)和不愿意接受挑戰(zhàn)的男女生比例情況，具體數(shù)據(jù)如圖表：(1)根據(jù)條件完成下列2×2列聯(lián)表：性別接受挑戰(zhàn)情況合計(jì)愿意不愿意男生女生合計(jì)(2)根據(jù)2×2列聯(lián)表，依據(jù)小概率值α＝0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析該校學(xué)生是否愿意接受挑戰(zhàn)與性別有關(guān)；(3)挑戰(zhàn)項(xiàng)目共有兩關(guān)，規(guī)定：挑戰(zhàn)過(guò)程依次進(jìn)行，每一關(guān)都有兩次機(jī)會(huì)挑戰(zhàn)，通過(guò)第一關(guān)后才有資格參與第二關(guān)的挑戰(zhàn)，若甲參加第一關(guān)的每一次挑戰(zhàn)通過(guò)的概率均為12，參加第二關(guān)的每一次挑戰(zhàn)通過(guò)的概率均為13，且每輪每次挑戰(zhàn)是否通過(guò)相互獨(dú)立．記甲通過(guò)的關(guān)數(shù)為X，求參考公式與數(shù)據(jù)：χ2＝nad?bc2a+bc+da+cb+d，n＝a＋α0.10.050.0100.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.8284．馬爾可夫鏈?zhǔn)且蚨韲?guó)數(shù)學(xué)家安德烈·馬爾可夫得名，其過(guò)程具備“無(wú)記憶”的性質(zhì)，即第n＋1次狀態(tài)的概率分布只跟第n次的狀態(tài)有關(guān)，與第n－1，n－2，n－3，…次狀態(tài)是“沒(méi)有任何關(guān)系的”．現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)盒子，盒子中都有大小、形狀、質(zhì)地相同的2個(gè)紅球和1個(gè)黑球．從兩個(gè)盒子中各任取一個(gè)球交換，重復(fù)進(jìn)行n(n∈N*)次操作后，記甲盒子中黑球個(gè)數(shù)為Xn，甲盒中恰有1個(gè)黑球的概率為an，恰有2個(gè)黑球的概率為bn.求：(1)X1的分布列；(2)數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(3)Xn的期望．5．為了檢測(cè)某種抗病毒疫苗的免疫效果，需要進(jìn)行動(dòng)物與人體試驗(yàn)．研究人員將疫苗注射到200只小白鼠體內(nèi)，一段時(shí)間后測(cè)量小白鼠的某項(xiàng)指標(biāo)值，按[0，20)，[20，40)，[40，60)，[60，80)，[80，100]分組，繪制頻率分布直方圖如圖所示，試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)小白鼠體內(nèi)產(chǎn)生抗體的共有160只，其中該項(xiàng)指標(biāo)值不小于60的有110只，假設(shè)小白鼠注射疫苗后是否產(chǎn)生抗體相互獨(dú)立．(1)填寫(xiě)下面的2×2列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表及α＝0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，判斷能否認(rèn)為注射疫苗后小白鼠產(chǎn)生抗體與指標(biāo)值不小于60有關(guān)．抗體指標(biāo)值合計(jì)小于60不小于60有抗體沒(méi)有抗體合計(jì)(2)為檢驗(yàn)疫苗二次接種的免疫抗體性，對(duì)第一次注射疫苗后沒(méi)有產(chǎn)生抗體的40只小白鼠進(jìn)行第二次注射疫苗，結(jié)果又有20只小白鼠產(chǎn)生抗體．①用頻率估計(jì)概率，求一只小白鼠注射2次疫苗后產(chǎn)生抗體的概率p；②以①中確定的概率p作為人體注射2次疫苗后產(chǎn)生抗體的概率，進(jìn)行人體接種試驗(yàn)，記n個(gè)人注射2次疫苗后產(chǎn)生抗體的數(shù)量為隨機(jī)變量X.試驗(yàn)后統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)顯示，當(dāng)X＝99時(shí)，P(X)取最大值，求參加人體接種試驗(yàn)的人數(shù)n.參考公式：χ2＝nad?bc2a+bc+da+cb+d，其中n＝a＋α0.0500.0100.001xα3.8416.63510.8286．為了拓展學(xué)生的知識(shí)面，提高學(xué)生對(duì)航空航天科技的興趣，培養(yǎng)學(xué)生良好的科學(xué)素養(yǎng)，某校組織學(xué)生參加航空航天科普知識(shí)答題競(jìng)賽，每位參賽學(xué)生答題若干次，答題賦分方法如下：第1次答題，答對(duì)得20分，答錯(cuò)得10分；從第2次答題開(kāi)始，答對(duì)則獲得上一次答題得分的兩倍，答錯(cuò)得10分．學(xué)生甲參加答題競(jìng)賽，每次答對(duì)的概率為34，各次答題(1)求甲前3次答題得分之和為40分的概率；(2)記甲第i次答題所得分?jǐn)?shù)Xi(i∈N*)的數(shù)學(xué)期望為E(Xi)．①寫(xiě)出E(Xi－1)與E(Xi)滿足的等量關(guān)系式；②若E(Xi)>100，求i的最小值．參考答案1．解：(1)根據(jù)題意，得當(dāng)50≤t≤200時(shí)，月用電費(fèi)用為y＝0.5t；當(dāng)t>200時(shí)，月用電費(fèi)用為y＝200×0.5＋(t－200)×1＝t－100.綜上，宿舍的月用電費(fèi)用為y＝0.5t，(2)因?yàn)樵掠秒娏吭赱200，250)內(nèi)的頻率為50x＝1－(0.0060＋0.0036＋0.0024＋0.0024＋0.0012)×50＝1－0.0156×50＝0.22，所以月用電量在[200，250)內(nèi)的宿舍有100×0.22＝22(間)．2．解：(1)不妨設(shè)第75百分位數(shù)為a，此時(shí)5×(0.01＋0.07＋0.06)＋(a－35)×0.04＝0.75，解得a＝36.25.(2)由條件可知，第一、二、三、四、五組應(yīng)分別抽取2人，14人，12人，8人，4人．①第一組應(yīng)抽取2人，記為A，甲，第五組抽取4人，記為B，C，D，乙，此時(shí)對(duì)應(yīng)的樣本空間為Ω＝{(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，甲)，(A，乙)，(B，C)，(B，D)，(B，甲)，(B，乙)，(C，甲)，(C，乙)，(C，D)，(D，甲)，(D，乙)，(甲，乙)}，共15個(gè)樣本點(diǎn)，記“甲、乙兩人恰有一人被選上”為事件M，此時(shí)M＝{(A，甲)，(A，乙)，(B，甲)，(B，乙)，(C，甲)，(C，乙)，(D，甲)，(D，乙)}，共8個(gè)樣本點(diǎn)，則甲、乙兩人恰有一人被選上的概率P(M)＝815②設(shè)第四組，第五組的宣傳使者的年齡的平均數(shù)分別為x，y，方差分別為s2，s′此時(shí)x＝36，y＝42，s2＝1，s′設(shè)第四組和第五組所有宣傳使者的年齡平均數(shù)為z，方差為s″2，此時(shí)z＝8x12+s″2＝8＝81+36?382故這m人中35～45歲所有人的年齡的方差為2833．解：(1)根據(jù)條件得2×2列聯(lián)表如表所示．性別接受挑戰(zhàn)情況合計(jì)愿意不愿意男生154560女生202040合計(jì)3565100(2)零假設(shè)為H0：該校學(xué)生是否愿意接受挑戰(zhàn)與性別無(wú)關(guān)，根據(jù)列聯(lián)表的數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得到χ2＝100×15×20?20×45235×65×60×40≈6.593<6.635＝依據(jù)小概率值α＝0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒(méi)有充分理由證據(jù)推斷H0不成立，因此可以認(rèn)為H0成立，即認(rèn)為該校學(xué)生是否愿意接受挑戰(zhàn)與性別無(wú)關(guān)．(3)記甲第i次通過(guò)第一關(guān)為Ai(i＝1，2)，第i次通過(guò)第二關(guān)為Bi(i＝1，2)，由題意得，X的可能取值為0，1，2，P(X＝0)＝P(A1A2)＝12×P(X＝1)＝P(A1B1B2)＋P(A1A2B1B2)＝12×23×23＋P(X＝2)＝P(A1B1)＋P(A1B1B2)＋P(A1A2B1)＋P(A1A2B＝12×13＋12×23×13＋12×12×13＋12故X的分布列為X012P115所以E(X)＝0×14＋1×13＋2×5124．解：(1)由題可知，X1的可能取值為0，1，2．由相互獨(dú)立事件概率乘法公式可知：P(X1＝0)＝13×23＝29，P(X1＝1)＝13×13+23故X1的分布列為X1012P252(2)由全概率公式可知：P(Xn＋1＝1)＝P(Xn＝1)·P(Xn＋1＝1|Xn＝1)＋P(Xn＝2)·P(Xn＋1＝1|Xn＝2)＋P(Xn＝0)·P(Xn＋1＝1Xn＝13×13+23×23P(Xn＝1)＋23＝59P(Xn＝1)＋23P(Xn＝2)＋23P(即an＋1＝59an＋23bn＋23(1－an－所以an＋1＝－19an＋2所以an＋1－35＝－1又a1＝P(X1＝1)＝59，a1－35＝－所以數(shù)列an?35為以－所以an－35＝－245·即an＝35(3)由全概率公式可得：P(Xn＋1＝2)＝P(Xn＝1)·P(Xn＋1＝2|Xn＝1)＋P(Xn＝2)·P(Xn＋1＝2|Xn＝2)＋P(Xn＝0)·P(Xn＋1＝2|Xn＝0)＝23×13·P(Xn＝1)＋13×1·P(Xn＝2)＋0×即bn＋1＝29an＋13b又an＝35所以bn＋1＝13bn＋2所以bn＋1－1＝13又b1＝P(X1＝2)＝29所以b1－15+1所以bn－15所以bn＝15所以E(Xn)＝an＋2bn＋0×(1－an－bn)＝an＋2bn＝1.5．解：(1)由頻率分布直方圖，知200只小白鼠按指標(biāo)值分布為：在[0，20)內(nèi)有0.0025×20×200＝10(只)；在[20，40)內(nèi)有0.00625×20×200＝25(只)；在[40，60)內(nèi)有0.00875×20×200＝35(只)；在[60，80)內(nèi)有0.025×20×200＝100(只)，在[80，100]內(nèi)有0.0075×20×200＝30(只)．由題意，有抗體且指標(biāo)值小于60的有50只，而指標(biāo)值小于60的小白鼠共有10＋25＋35＝70只，所以指標(biāo)值小于60且沒(méi)有抗體的小白鼠有20只，同理，指標(biāo)值不小于60且沒(méi)有抗體的小白鼠有20只，故列聯(lián)表如表所示．抗體指標(biāo)值合計(jì)小于60不小于60有抗體50110160沒(méi)有抗體202040合計(jì)70130200零假設(shè)為H0：注射疫苗后小白鼠產(chǎn)生抗體與指標(biāo)值不小于60無(wú)關(guān)聯(lián)．根據(jù)列聯(lián)表中數(shù)據(jù)，得χ2＝200×50×20?20×1102160×40×70×130≈4.945>3.841＝根據(jù)α＝0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷H0不成立，即認(rèn)為注射疫苗后小白鼠產(chǎn)生抗體與指標(biāo)值不小于60有關(guān)，以此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.05.(2)①令事件A＝“小白鼠第一次注射疫苗產(chǎn)生抗體”，事件B＝“小白鼠第二次注射疫苗產(chǎn)生抗體”，事件C＝“小白鼠注射2次疫苗后產(chǎn)生抗體”，記事件A，B，C發(fā)生的概率分別為P(A)，P(B)，P(C)，則P(A)＝160200＝0.8，P(B|A)＝20P(C)＝1－P(AB)＝1－所以一只小白鼠注射2次疫苗后產(chǎn)生抗體的概率p＝0.9.②由題意，知隨機(jī)變量X～B(n，0.9)，P(X＝k)＝Cnk×0.9k×0.1n－k(k＝0，1，2，…，因?yàn)镻(X＝99)最大，所以C解得109≤n≤11019因?yàn)閚是整數(shù)，所以n＝109或n＝110，所以接受接種試驗(yàn)的人數(shù)為109或110.6．解：(1)甲前3次答題得分之和為40分的事件A是：甲前3次答題中僅只答對(duì)一次的事件，所以甲前3次答題得分之和為40分的概率P(A)＝C31×(2)①甲第1次答題得20分，10分的概率分別為34，14，則E(X1)＝20×34＋10×1則E(X2)＝40×34×34＋20×14×34＋10×14＝1154，顯然E(X2)＝220×34當(dāng)i≥2，i∈N*時(shí)，甲第i－1次答題所得分?jǐn)?shù)Xi－1的數(shù)學(xué)期望為E(Xi－1)，因此第i次答對(duì)題所得分?jǐn)?shù)為2E(Xi－1)，答錯(cuò)題所得分?jǐn)?shù)為10分，其概率分別為34于是甲第i次答題所