橢圓中的三角形問題教學(xué)設(shè)計

橢圓中的三角形問題教學(xué)設(shè)計北京八一中學(xué)邵文武一.指導(dǎo)思想和理論依據(jù)在新課標(biāo)中明確指出,數(shù)學(xué)探究是高中數(shù)學(xué)課程中引入的一種新的學(xué)習(xí)方式,它強調(diào)“做中學(xué)”,力圖通過學(xué)生“做”的主動探究過程來培養(yǎng)他們的創(chuàng)新精神，動手能力，提出問題和解決問題的能力.而立足于課堂,深入鉆研教材,是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中實施探究性學(xué)習(xí)的基礎(chǔ).下面我就“橢圓中的三角形問題”來談?wù)勎沂侨绾我I(lǐng)學(xué)生進行探究性學(xué)習(xí)的.二.教學(xué)背景分析這節(jié)課是我到北京立新學(xué)校參加基本功大賽所做的課.相對于平時教學(xué)而言，我要面對的是一群陌生的學(xué)生(在正式上課的前一天,老師和學(xué)生有10分鐘的見面時間),因此對學(xué)生的了解無從談起:首先學(xué)生的總體情況不清楚,其次他們學(xué)校教師的教學(xué)方法和學(xué)生的接受能力不清楚,另外,就連具體的教學(xué)進度都不清楚,做課的難度可想而知.也正是如此,我才下定決心按照下面的方式設(shè)計這節(jié)課,向自我挑戰(zhàn).我想知道,在這樣的情況下,我是否能夠駕馭課堂,是否能夠調(diào)動學(xué)生的積極性,讓學(xué)生和我一起完成我的設(shè)想.三.本課教學(xué)目標(biāo)解決問題四.教學(xué)過程與教學(xué)資源設(shè)計(一.)設(shè)計這節(jié)課的初衷.1.從學(xué)生習(xí)中存在的問題角度出發(fā):在學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中,普遍存在兩個問題:一是不知如何提出具有研究價值的問題;二是不能把解決過的問題聯(lián)系在一起,從本質(zhì)上加以認識,進而去解決新的問題.之所以會產(chǎn)生這兩個問題,主要有兩方面原因:一方面是學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中比較被動,沒有發(fā)揮自身的主動性,課上只是聽老師講,而不是自己思考如何解決數(shù)學(xué)問題;另一方面,是教師在傳授知識的過程中,更多的是傳授解題方法或者是對知識本身的講授,而缺少這方面的訓(xùn)練,沒有充分挖掘、發(fā)揮學(xué)生自身的潛能.如果我們在教學(xué)中能夠有意識在這方面做些工作,不僅會使學(xué)生對所學(xué)的知識有較深層次的認識,更會提高學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力,從而為以后的學(xué)習(xí)打下良好的基礎(chǔ).2.從學(xué)生對知識的內(nèi)在關(guān)系認識的角度出發(fā):學(xué)生在學(xué)習(xí)解析幾何這部分知識時,對知識內(nèi)在關(guān)系的理解有兩個不好的地方:(1)把三種圓錐曲線分離開來,同樣的問題,當(dāng)所給曲線發(fā)生變化時,就認為是不同的問題,不能從整體上,本質(zhì)上把握這些問題;(2)教師在開始介紹解析幾何這門課時,會說這門課是從代數(shù)的角度來研究幾何問題,而學(xué)生卻不這樣認為,他們往往是把代數(shù)和幾何分離開來,不能把二者有機的結(jié)合在一起.本節(jié)課正是想在如何解決上述問題方面做一些嘗試.3.題目的確定:我之所以選定橢圓中的三角形問題,是基于以下的考慮:三角形是平面幾何中最基本、最常用的圖形，三角形的許多性質(zhì)是研究數(shù)學(xué)內(nèi)容的一個重要思想方法和工具,平面幾何中的很多問題都要歸結(jié)為三角形的問題,可以說三角形是平面幾何圖形的一個典型代表;而橢圓是三種圓錐曲線的代表,相對于雙曲線和拋物線而言,它是一個封閉圖形,因此研究起來,比較容易操作.而作為一種幾何圖形，橢圓既與平面幾何有關(guān),又與代數(shù)知識有關(guān).把三角形和橢圓結(jié)合在一起,即具有代表性,又能夠更好的從代數(shù)和幾何兩方面研究問題.(二.)教學(xué)過程1.研究課題的提出:首先我想借助橢圓第一定義中出現(xiàn)的圖形,提出研究課題.因此我先讓學(xué)生復(fù)習(xí)橢圓的基礎(chǔ)知識,給出了問題1:點M在橢圓(其中)上,請說出此時點M滿足的條件.課上學(xué)生很快答出:點M的坐標(biāo)應(yīng)該滿足橢圓方程.這時我引導(dǎo)學(xué)生說出這是從代數(shù)的角度,而從幾何的角度,應(yīng)該怎樣敘述呢?學(xué)生又答出:點M到兩個焦點的距離之和為2.這樣做的目的是讓學(xué)生在最開始就認識到我們可以從代數(shù)和幾何兩方面看問題,為下面的研究打下伏筆.為了突出所研究問題的必要性,我提出了問題2:點M,N是橢圓(其中)上不同的兩個點,求弦MN長度的取值范圍.同第一個問題,很快就有幾個學(xué)生得出了結(jié)論:MN的長度在0和2之間.我繼續(xù)提問,他們是如何得出結(jié)論的?學(xué)生回答說,是從圖上看出來的.首先我對他們的答案作了肯定,其次對他們得到答案的方法給與了高度評價:他們是從幾何直觀可以得出的結(jié)論,而這是考慮這類問題重要的方法之一.在此基礎(chǔ)之上,我讓學(xué)生進一步思考,如何證明他們得出的結(jié)論?這個問題提出后,學(xué)生們有了不同的反應(yīng),有的學(xué)生說,我都直接看出來了,還證明什么呀?而另一部分說,正因為是看出來的,才需要給出嚴格證明呢?我對后者作了肯定,并繼續(xù)引導(dǎo):要求的是MN的長度,表面上看是一個數(shù)量問題,即代數(shù)問題,而我們從代數(shù)的角度下手比較難,那我們能否從其他方面考慮問題呢?“從幾何的角度出發(fā)”,馬上有學(xué)生回應(yīng).“從幾何角度,我們該如何考慮呢?”過了一段時間,沒有人回答.我繼續(xù)提示:我們以前,在考慮與線段長度有關(guān)的問題時,可以借助于三角形,利用三角形的性質(zhì)解決問題,現(xiàn)在,我們這樣做行嗎.在上面的提示之下,過了一會兒,有學(xué)生說出:把線段MN放到和焦點有關(guān)的兩個三角形中去,利用不等關(guān)系,和等量關(guān)系,,就可以證明了.在此,我讓學(xué)生把剛才的解決過程回憶了一下:答案是從幾何直觀得到的,而問題的嚴格證明是利用三角形的性質(zhì).一個看起來很難的問題,我們利用三角形的性質(zhì),很容易解決了.那橢圓中還有和三角形有關(guān)的量嗎?“滿足勾股定理”.這時,我指出橢圓的第一定義是與三角形有關(guān)的,而三個不變量也和三角形有關(guān),這些都表明,橢圓與三角形有著密切關(guān)系,今天我們就一起來研究:“橢圓中的三角形問題”.指出課題之后,我又引領(lǐng)學(xué)生思考:課題中給出的研究范圍太廣了,我們很難下手研究,因此我們首先需要作的是把研究范圍縮小,那我們從哪開始研究呢?有學(xué)生說:“我們就先研究和兩個焦點有關(guān)的三角形唄”.這樣,就讓學(xué)生提出了第一步研究課題:與焦點三角形有關(guān)的問題.這個問題是想讓學(xué)體會在研究數(shù)學(xué)問題的過程中,往往是從較特殊的情形入手,然后逐步深入.研究課題一:與焦點三角形有關(guān)的問題.這里,我們?yōu)榱搜芯糠奖?把研究對象設(shè)為具體的橢圓.下面,我先給出了問題3:點P為橢圓上一個點,請同學(xué)說出圖中三角形中的已知量.在學(xué)生答出后,我提出了第一個具體的研究任務(wù):請同學(xué)根據(jù)圖形,自己給添加一個條件,然后編寫一道計算題.設(shè)計這個問題的目的是把學(xué)生推到前臺,讓他們自己成為課堂的主人,自己提問題,自己解決.任務(wù)提出后,同學(xué)們先是面面相覷,不知所措,稍后,便開始埋頭演算起來.經(jīng)過一段時間,有的同學(xué)寫出了自己的問題,而還有一部分同學(xué)不知道如何提問,這時我才給出提示:我們是在考慮與三角形有關(guān)的問題,那么我們都關(guān)心三角形中的哪些量呢?又如何求能夠得出得這些量呢?有了這個提示,大部分學(xué)生就知道如何添加一個具體的條件并提出問題了.我又讓學(xué)生總結(jié)如何從整體上把握添加條件的思路:從平面幾何的角度可以添加的條件有:邊長,角的大小,面積;從解析幾何的角度可以添加的條件有:點的坐標(biāo),直線方程,斜率等.在每個學(xué)生都提出問題后,為了鼓勵學(xué)生,我讓一名看起來動作慢一些的學(xué)生說出他所提的問題:然后讓全班同學(xué)都來解答這個問題.他給出的問題是:,求的面積.同學(xué)給出了幾種解法(這里只是給出思路,具體解答略):1.利用方程思想,求出的長度,進而求面積;2.利用方程思想,不求出的長度,而是采用整體求值的方法求出,從而求出的面積;3.求出點P的坐標(biāo),再求其面積.在解決這個問題的基礎(chǔ)之上,我問:如果我們把的面積作為已知值,又可以求出哪些量呢?“的長度,點P坐標(biāo),的大小……”.“和三角形有關(guān)的量都可以求出”,一個學(xué)生回答.聽到這個聲音,我非常高興,馬上讓學(xué)生思考問題4:為什么我們給添加一個條件后,就可以求出其它的量?設(shè)計這個問題的目的是對以上提出的各個問題從本質(zhì)上加以認識.“現(xiàn)在在有三個量,我們就可以求出其它量”,一個學(xué)生說.“對,非常好,這就是這些問題的本質(zhì)”,我說,“此時中有三個條件(兩個與邊有關(guān)的條件+添加條件),從而為一個可解三角形,因此我們可以求出其它量.下面,我又領(lǐng)著學(xué)生對剛才提出的問題和研究方法進行了小結(jié),并且對方法進行小結(jié)小結(jié):1.如何提出新的問題;2.在解決問題的過程中,我們既可以利用平面幾何的知識,也可以利用解析幾何的知識解決問題,這之中可以將數(shù)量關(guān)系與幾何關(guān)系相互轉(zhuǎn)化.以上是我們研究的是給定一個固定點P,也就是說我們剛才所作的是對靜態(tài)的焦點三角形作了研究,如果讓點P在橢圓上運動起來,又有哪些問題可以研究呢?提出我們的第二個研究任務(wù):對動態(tài)焦點三角形的研究有了上面的經(jīng)驗,同學(xué)們很快從運動的角度提出了自己的問題:1.最值問題:面積的最大值是多少?的最大值是多少?2.與點P有關(guān)的點的軌跡問題:線段的中點軌跡,的重心軌跡的等.課上我引領(lǐng)著同學(xué)求出的最大值,其余問題讓學(xué)生自己課下解決.做完這些之后,我讓學(xué)生思考,我們還可以作哪些研究?有了第一,第二步的研究經(jīng)驗,馬上有學(xué)生指出:“焦點三角形的相關(guān)問題我們提了很多,我們?yōu)槭裁床粚⒀芯繉ο蟾淖円幌履?如研究頂點三角形,或一個頂點在焦點處,另外兩個頂點在橢圓上等等”.此時的我,已經(jīng)開始為學(xué)生的變化感到驚喜,也為他們的進步感到自豪.這之后,我沒有讓學(xué)生再提出具體的問題,而是讓學(xué)生繼續(xù)思考,從大的方面,我們還可以對哪些方面的問題作研究?學(xué)生中很快就有人提出,“橢圓中有很多問題與三角形有關(guān),那雙曲線中也應(yīng)該有同樣的問題呀”.還有的學(xué)生提出,“我們還可以把我們研究的對象范圍擴大,如研究直線和橢圓的位置關(guān)系方面的問題”.至此,我想我的初衷已經(jīng)達到了.下面我讓學(xué)生對本節(jié)課進行了總結(jié):1.從知識層面:橢圓可以由研究一個動點和兩個定點之間距離的關(guān)系得到,當(dāng)然也可以理解為從研究動態(tài)的三角形中得到.在解決橢圓中有關(guān)三角形時,可以從代數(shù)的角度,也可以從平面幾何的角度思考.在這之中,還可以將二者進行有機的轉(zhuǎn)化.此外,注意對問題的本質(zhì)的認識.2.從研究方法:如何根據(jù)已有知