江蘇省連云港市東海高級(jí)中學(xué)2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期開(kāi)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題（解析版）

數(shù)學(xué)試題部分（本卷滿(mǎn)分150分共4頁(yè)考試時(shí)間120分鐘）一、單選題（本題共8小題每小題5分共40分）1.已知集合，，，則M、N、P的關(guān)系滿(mǎn)足（）．A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先將集合化簡(jiǎn)變形成統(tǒng)一形式，然后分析判斷即可.【詳解】因?yàn)?，所以．故選：B．2.已知集合，若集合有15個(gè)真子集，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)真子集的定義，推斷出集合含有4個(gè)元素，即不等式的解集中有且僅有4個(gè)整數(shù)解，由此進(jìn)行分類(lèi)討論，列式算出實(shí)數(shù)的取值范圍．【詳解】若集合有15個(gè)真子集，則中含有4個(gè)元素，結(jié)合，可知，即，且區(qū)間,中含有4個(gè)整數(shù)，①當(dāng)時(shí)，,的區(qū)間長(zhǎng)度，此時(shí),中不可能含有4個(gè)整數(shù)；②當(dāng)時(shí)，,,，其中含有4、5、6、7共4個(gè)整數(shù)，符合題意；③當(dāng)時(shí)，,的區(qū)間長(zhǎng)度大于3，若,的區(qū)間長(zhǎng)度，即．若是整數(shù)，則區(qū)間,中含有4個(gè)整數(shù)，根據(jù)，可知，，此時(shí),,，其中含有5、6、7、8共4個(gè)整數(shù)，符合題意．若不是整數(shù)，則區(qū)間,中含有5、6、7、8這4個(gè)整數(shù)，則必須且，解得；若時(shí)，,,，其中含有5、6、7、8、9共5個(gè)整數(shù)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，,的區(qū)間長(zhǎng)度，此時(shí),中只能含有6、7、8、9這4個(gè)整數(shù)，故，即，結(jié)合可得．綜上所述，或或，即實(shí)數(shù)的取值范圍是,,．故選：D．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：由真子集的個(gè)數(shù)可得，且區(qū)間,中含有4個(gè)整數(shù)，結(jié)合區(qū)間長(zhǎng)度，即可對(duì)討論求解.3.設(shè)集合，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用最小公倍數(shù)排除A，B，利用奇數(shù)和偶數(shù)排除C，求解即可.【詳解】易知集合，，則中前面的系數(shù)應(yīng)為的最小公倍數(shù)，故排除A，B，對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，集合為，而令，可得不為整數(shù)，故不含有7，可得中不含有7，故C錯(cuò)誤，故選：D4.已知命題“”為真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)命題是真命題的意思求解即可.【詳解】因?yàn)槊}“”為真命題，所以命題“”為真命題，所以時(shí)，.因，所以當(dāng)時(shí)，，此時(shí).所以時(shí)，，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C.5.如果對(duì)于任意實(shí)數(shù)，表示不超過(guò)的最大整數(shù).例如，.那么“”是“”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)所給定義以及充分條件與必要條件的定義推導(dǎo)即可.【詳解】如果，比如，則有，根據(jù)定義，，即“”不是“”的充分條件，如果，則有，，所以“”是“”的必要條件；故“”是“”的必要而不充分條件.故選：B.6.已知實(shí)數(shù)，且，則以下說(shuō)法正確的是（）A. B.的值為4或8 C. D.的值為【答案】B【解析】【分析】由，且可得或，后驗(yàn)證各選項(xiàng)即可得答案.【詳解】因，則，又，則或.則或，結(jié)合，得或.A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故B正確；C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故D錯(cuò)誤.故選：B7.“喊泉”是一種地下水的毛細(xì)現(xiàn)象.在合適的條件下，人們?cè)谌诤鸾谢虬l(fā)出其他聲響時(shí)，聲波傳入泉洞內(nèi)的儲(chǔ)水池，進(jìn)而產(chǎn)生一系列物理聲學(xué)作用.已知聲音越大，涌起的泉水越高，聲強(qiáng)與參考聲強(qiáng)之比的常用對(duì)數(shù)稱(chēng)作聲強(qiáng)的聲強(qiáng)級(jí)，記作（單位：分貝），即.若某處“喊泉”的聲強(qiáng)級(jí)（單位：分貝）與噴出的泉水高度（單位：分米）滿(mǎn)足關(guān)系式，兩人分別在這處“喊泉”大喊一聲，若“喊泉”噴出泉水的高度比“喊泉”噴出的泉水高度高5分米，則“喊泉”的聲強(qiáng)是“喊泉”聲強(qiáng)的（）A.5倍 B.10倍 C.20倍 D.100倍【答案】D【解析】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可求.【詳解】設(shè)的聲強(qiáng)分別為“喊泉”噴出泉水的高度分別為，則，即，從而，即，所以.故“喊泉”的聲強(qiáng)是“喊泉”聲強(qiáng)的100倍.故選：D8.已知，，且，則的最小值為（）A.1 B.2 C.4 D.8【答案】C【解析】分析】先得出，再利用基本不等式求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為.故選：C.二、多選題（本題共4小題每小題5分滿(mǎn)分20分）9.設(shè)，若，則實(shí)數(shù)a的值為（）A. B. C. D.0【答案】ABD【解析】【分析】分、兩種情況討論，分別確定集合，即可求出參數(shù)的值.【詳解】因?yàn)?，且，?dāng)時(shí)，，符合題意；當(dāng)時(shí)，，又，所以或，解得或，綜上，或或.故選：ABD10.當(dāng)兩個(gè)集合中一個(gè)集合為另一個(gè)集合的子集時(shí)，稱(chēng)這兩個(gè)集合構(gòu)成“全食”；當(dāng)兩個(gè)集合有公共元素，但互不為對(duì)方子集時(shí)，稱(chēng)這兩個(gè)集合成“偏食”.對(duì)于集合，，若與B構(gòu)成“全食”或“偏食”，則實(shí)數(shù)的取值可以是（）A.-2 B. C.0 D.1【答案】BCD【解析】【分析】考慮時(shí)，，時(shí)，，依次將各個(gè)選項(xiàng)中的數(shù)據(jù)帶入，計(jì)算集合，再判斷和之間的關(guān)系得到答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，對(duì)選項(xiàng)A：若，，此時(shí)，不滿(mǎn)足；對(duì)選項(xiàng)B：若，，此時(shí)，滿(mǎn)足；對(duì)選項(xiàng)C：若，，此時(shí)，滿(mǎn)足；對(duì)選項(xiàng)D：若，，此時(shí)，滿(mǎn)足；故選：BCD.11.下列說(shuō)法正確的有（）A.是的必要不充分條件B.“”是‘’成立的充分條件C.命題，則D.為無(wú)理數(shù)是為無(wú)理數(shù)的既不充分也不必要條件【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義判斷ABD，根據(jù)全稱(chēng)量詞命題的否定為特稱(chēng)量詞命題的否定判斷C.【詳解】對(duì)于A，若，則，但由不能推出，所以是的充分不必要條件，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，時(shí)，一定成立，所以是成立的充分條件，故B正確；對(duì)于C，命題，則，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，為無(wú)理數(shù)，所以為無(wú)理數(shù)是為無(wú)理數(shù)的既不充分也不必要條件，故D正確.故選：BD.12.，運(yùn)算“”為，則（）A. B.C. D.若，則【答案】ABCD【解析】【分析】由運(yùn)算“”的定義分別計(jì)算判斷A、B、C，用分析法分別從條件和結(jié)論出發(fā)證明得到D.【詳解】對(duì)于A，，故A正確；對(duì)于B，，故B正確；對(duì)于C，，，所以，故C正確；對(duì)于D，若，則，，要證，只需要證，即證，即證，即證，即證，因?yàn)椋?，所以上式成立，所以，故D正確.故選：ABCD.三、填空題（本題共4小題每小題5分滿(mǎn)分20分）13.設(shè)、是非空集合，定義且.已知，，則________.【答案】或【解析】【分析】先求出，再求出，從而可求?！驹斀狻俊?、是非空集合，且，而，，∴，，故或.故答案為：或.14.已知集合，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】可求出集合，然后根據(jù)，得到，從而求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】由，可得，由于，且，則，所以，則實(shí)數(shù)的取值范圍是，故答案：15.已知命題“：，”，若是假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________.【答案】【解析】【分析】由特稱(chēng)量詞與全稱(chēng)量詞得出命題的否定，再由一元二次不等式恒成立得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】若是假命題，則，，當(dāng)時(shí)，代入不等式得成立；當(dāng)時(shí)，，綜上可得實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：16.設(shè)正實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，且，則的最小值為_(kāi)_________.【答案】##【解析】【分析】化簡(jiǎn)，利用基本不等式得可得答案【詳解】，由于是正實(shí)數(shù)，且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，所以時(shí)等號(hào)成立，則的最小值為2，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，則最小值為.故答案為：.四、解答題（本題共6小題第17題10分第18-22題12分滿(mǎn)分70分）17.設(shè)為全集，集合，.（1）若，求，；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）先求出集合，，然后結(jié)合集合的交集及補(bǔ)集運(yùn)算即可求解；（2）由已知結(jié)合集合的包含關(guān)系對(duì)集合是否為空集進(jìn)行分類(lèi)討論即可求解.【小問(wèn)1詳解】（1）由題意可得，當(dāng)時(shí)，，所以，因?yàn)?，所以【小?wèn)2詳解】由(1)知，，若，即，解得，此時(shí)滿(mǎn)足；若，要使，則，解得，綜上，若，所求實(shí)數(shù)的取值范圍為18.已知集合，.（1）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若將題干中的集合改為，是否有可能使命題：“，都有”為真命題，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）（2）不可能，理由見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）直接根據(jù)列不等式求解；（2）先得到，再根據(jù)包含關(guān)系列不等式求解.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，所以或或，解得或或，所以；【小?wèn)2詳解】若，，對(duì)，都有，則，所以，該不等式組無(wú)解，故命題：“，都有”為真命題不可能.19.已知集合，.（1）若，求；（2）若存在正實(shí)數(shù)m，使得“”是“”成立的充分不必要條件，求正實(shí)數(shù)m的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）解指數(shù)不等式，一元二次不等式化簡(jiǎn)集合，然后由交集定義計(jì)算；（2）根據(jù)充分不必要條件的定義得不等式組求解；【小問(wèn)1詳解】因，則.當(dāng)時(shí)，，所以.【小問(wèn)2詳解】因“”是“”成立充分不必要條件，則A是B的真子集.所以，經(jīng)檢驗(yàn)“=”滿(mǎn)足.所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是.20.（1）計(jì)算：；（2）已知，求的值．【答案】（1）9；（2）1【解析】【分析】（1）根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)求解；（2）由求出，然后代入中化簡(jiǎn)計(jì)算即可.【詳解】（1）；（2）∵，∴，，∴．21.為了豐富學(xué)生的課余生活、給學(xué)生更好的校園生活體驗(yàn)，某高中決定擴(kuò)大學(xué)校規(guī)模，為學(xué)生打造一所花園式的校園．學(xué)校決定在原有的矩形花園的基礎(chǔ)上，拓展建成一個(gè)更大的矩形花園．為了方便施工，建造時(shí)要求點(diǎn)B在上，點(diǎn)D在上，且對(duì)角線(xiàn)過(guò)點(diǎn)C，如圖所示．已知．（1）當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度為多少時(shí)，矩形的面積最?。坎⑶蟪鲎钚∶娣e．（2）要使矩形的面積大于，則的長(zhǎng)應(yīng)在什么范圍內(nèi)？【答案】（1）時(shí)，矩形的面積最小，最小面積2400（2）【解析】【分析】（1）設(shè)出的長(zhǎng)為，則，表示出矩形面積的解析式，利用不等式求解；（2）化簡(jiǎn)矩形面積，利用基本不等式求解.【小問(wèn)1詳解】設(shè)出的長(zhǎng)為，則，，，，∴矩形的面積，由基本不等式得：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取“=”，當(dāng),即時(shí)，；【小問(wèn)2詳解】由（1）得，即，∴，∴或，的范圍在．22.已知整數(shù)，集合，，，滿(mǎn)足，對(duì)任意的，都有且.記.（1）若，寫(xiě)出兩組滿(mǎn)足條件的集合，并寫(xiě)出相應(yīng)的；（2）證明：；（3）求的所有可能取值.【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3）.【解析】【分析】（1）根據(jù)中的元素遞增，中元素遞減，即可列舉求解，（2）根據(jù)和兩種情況，結(jié)合中的元素遞增，中元素遞減，即可分類(lèi)求解，（3）根據(jù)，，可得，根據(jù)，可得，，…，是，…，的排列，即可由求解.【小問(wèn)1詳解】（共6組，任寫(xiě)2組即可），，.，，.，，.，，.，，.，，.【小問(wèn)2詳解】由題設(shè)可得，若，則，而，，，…，，所以，若，由于即，由于，故，由于，而需要有個(gè)不同的元素，故矛盾，因此，，結(jié)論成立.若，則由且，，…，互不相同的正整數(shù)，知，若，由于即，由于，故，由于，而需要有個(gè)不同的元素，故，而，故此時(shí)不符合要求，故，所以，結(jié)論成立.【小問(wèn)3詳解】設(shè)，則，，兩個(gè)中，其中一個(gè)取等號(hào)，另一個(gè)不取等號(hào)，所以比中至少個(gè)數(shù)大，因此，即，，…，，而，，…，兩兩不同，所以，，…，恰好是，