1.2命題及其關(guān)系充分條件與必要條件全國比賽一等獎(jiǎng)公開課一等獎(jiǎng)?wù)n件省賽課獲獎(jiǎng)?wù)n件

要點(diǎn)梳理1.命題的概念在數(shù)學(xué)中用語言、符號(hào)或式子體現(xiàn)的,能夠________的陳說句叫做命題.其中_________的語句叫真命題,__________的語句叫假命題.§1.2命題及其關(guān)系、充足條件與必要條件判斷真假判斷為真判斷為假基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí)2.四種命題及其關(guān)系（1）四種命題命題表述形式原命題若p，則q逆命題__________否命題___________逆否命題___________若q,則p（2）四種命題間的逆否關(guān)系逆命題逆否命題否命題(3)四種命題的真假關(guān)系①兩個(gè)命題互為逆否命題，它們有_____的真假性;②兩個(gè)命題互為逆命題或互為否命題，它們的真假性___________.3.充足條件與必要條件(1)如果pq,則p是q的________,q是p的________;(2)如果pq,qp,則p是q的__________.4.特別注意：命題的否命題是既否認(rèn)命題的條件,又否認(rèn)命題的結(jié)論；而命題的否認(rèn)是只否認(rèn)命題的結(jié)論.相似沒有關(guān)系充足條件必要條件充要條件基礎(chǔ)自測1.下列語句是命題的是（）①求證是無理數(shù)；②x2+4x+4≥0；③你是高一的學(xué)生嗎？④一種正數(shù)不是素?cái)?shù)就是合數(shù)；⑤若x∈R，則x2+4x+7>0.A.①②③B.②③④C.②④⑤D.③④⑤解析①③不是命題，①是祈使句，③是疑問句.而②④⑤是命題，其中④是假命題，如正數(shù)既不是素?cái)?shù)也不是合數(shù)，②⑤是真命題，x2+4x+4=(x+2)2≥0恒成立，x2+4x+7=(x+2)2+3>0恒成立.答案

C

2.命題“若x2>y2，則x>y”的逆否命題是（）A.“若x<y，則x2<y2”B.“若x>y,則x2>y2”C.“若x≤y，則x2≤y2”D.“若x≥y,則x2≥y2”C3.(2009·江西文,1)下列命題是真命題的為（）A.B.若x2=1,則x=1C.若x=y,則D.若x<y,則x2<y2解析得x=y,A對(duì)的，B、C、D錯(cuò)誤.A4.（2008·湖北理，2）若非空集合A、B、C滿足A∪B=C,且B不是A的子集，則（）A.“x∈C”是“x∈A”的充足條件但不是必要條件B.“x∈C”是“x∈A”的必要條件但不是充足條件C.“x∈C”是“x∈A”的充要條件D.“x∈C”既不是“x∈A”的充足條件也不是“x∈A”的必要條件解析由題意知，A、B、C的關(guān)系可用右圖來表達(dá).若x∈C，不一定有x∈A，而x∈A,則必有x∈C，∴“x∈C”是“x∈A”的必要條件但不是充足條件.B5.(2009·四川文,7)已知a,b,c,d為實(shí)數(shù),且c>d,則“a>b”是“a-c>b-d”的（）A.充足而不必要條件B.必要而不充足條件C.充要條件D.既不充足也不必要條件解析∵c>d,∴-c<-d,a>b,∴a-c與b-d的大小無法比較；當(dāng)a-c>b-d成立時(shí)，假設(shè)a≤b,-c<-d,∴a-c<b-d,與題設(shè)矛盾，∴a>b.綜上可知，“a>b”是“a-c>b-d”的必要不充足條件.B題型一命題的關(guān)系及命題真假的判斷【例1】分別寫出下列命題的逆命題、否命題、逆否命題，并判斷它們的真假.（1）面積相等的兩個(gè)三角形是全等三角形.（2）若q<1,則方程x2+2x+q=0有實(shí)根.（3）若x2+y2=0，則實(shí)數(shù)x、y全為零.→→寫成“若p，則q”的形式寫出逆命題、否命題、逆否命題判斷真假思維啟迪題型分類深度剖析解（1）逆命題：全等三角形的面積相等,真命題.否命題：面積不相等的兩個(gè)三角形不是全等三角形，真命題.逆否命題：兩個(gè)不全等的三角形的面積不相等，假命題.(2)逆命題：若方程x2+2x+q=0有實(shí)根,則q<1,假命題.否命題：若q≥1,則方程x2+2x+q=0無實(shí)根，假命題.逆否命題:若方程x2+2x+q=0無實(shí)根,則q≥1,真命題.(3)逆命題:若實(shí)數(shù)x,y全為零,則x2+y2=0,真命題.否命題:若x2+y2≠0,則實(shí)數(shù)x,y不全為零,真命題.逆否命題:若實(shí)數(shù)x,y不全為零,則x2+y2≠0,真命題.(1)在寫一種命題的逆命題、否命題、逆否命題時(shí)，首先要看這個(gè)命題與否有大前提.若有大前提，必須保存其大前提，大前提不能動(dòng).（2）原命題和其逆否命題等價(jià).探究提高知能遷移1寫出下列命題的逆命題、否命題和逆否命題，并判斷其真假.（1）若m,n都是奇數(shù)，則m+n是奇數(shù).（2）若x+y=5,則x=3且y=2.

解

（1）逆命題:若m+n是奇數(shù)，則m,n都是奇數(shù)，假命題.否命題：若m、n不都是奇數(shù),則m+n不是奇數(shù),假命題.逆否命題：若m+n不是奇數(shù),則m,n不都是奇數(shù),假命題.（2）逆命題：若x=3且y=2，則x+y=5,真命題.否命題：若x+y≠5，則x≠3或y≠2，真命題.逆否命題：若x≠3或y≠2，則x+y≠5,假命題.題型二充要條件的判斷【例2】指出下列命題中，p是q的什么條件（在“充分不必要條件”、“必要不充足條件”、“充要條件”、“既不充足也不必要條件”中選出一種作答).(1)在△ABC中，p：∠A=∠B，q：sinA=sinB;(2)對(duì)于實(shí)數(shù)x、y，p：x+y≠8,q:x≠2或y≠6;(3)非空集合A、B中，p：x∈A∪B，q：x∈B;(4)已知x、y∈R，p：(x-1)2+(y-2)2=0，q：(x-1)(y-2)=0.首先分清條件和結(jié)論，然后根據(jù)充要條件的定義進(jìn)行判斷.思維啟迪解（1）在△ABC中，∠A=∠BsinA=sinB，反之，若sinA=sinB，由于A與B不可能互補(bǔ)（由于三角形三個(gè)內(nèi)角和為180°),因此只有A=B.故p是q的充要條件.(2)易知,p:x+y=8,q:x=2且y=6,顯然qp,但pq,即q是p的充足不必要條件,根據(jù)原命題和逆否命題的等價(jià)性知,p是q的充足不必要條件.(3)顯然x∈A∪B不一定有x∈B,但x∈B一定有x∈A∪B,因此p是q的必要不充足條件.(4)條件p:x=1且y=2,條件q:x=1或y=2,因此pq但qp,故p是q的充足不必要條件.探究提高判斷p是q的什么條件，需要從兩方面分析:一是由條件p能否推得條件q,二是由條件q能否推得條件p.對(duì)于帶有否認(rèn)性的命題或比較難判斷的命題,除借助集合思想把抽象、復(fù)雜問題形象化、直觀化外，還可運(yùn)用原命題和逆否命題、逆命題和否命題的等價(jià)性，轉(zhuǎn)化為判斷它的等價(jià)命題.知能遷移2（2009·安徽理，4）下列選項(xiàng)中,p是q的必要不充足條件的是（）A.p:a+c>b+d,q:a>b且c>dB.p:a>1,b>1,q:f(x)=ax-b(a>0,且a≠1)的圖象但是第二象限C.p:x=1，q:x2=xD.p:a>1,q:f(x)=logax(a>0,且a≠1)在（0,+∞）上為增函數(shù)解析由于a>b,c>da+c>b+d，而a+c>b+d卻不一定推出a>b,c>d.故A中p是q的必要不充足條件.B中,當(dāng)a>1,b>1時(shí)，函數(shù)f(x)=ax-b但是第二象限,當(dāng)f(x)=ax-b但是第二象限時(shí)，有a>1,b≥1.故B中p是q的充足不必要條件.C中，由于x=1時(shí)有x2=x，但x2=x時(shí)不一定有x=1，故C中p是q的充足不必要條件.D中p是q的充要條件.答案A題型三充要條件的證明【例3】（12分）求證方程ax2+2x+1=0有且只有一種負(fù)數(shù)根的充要條件為a≤0或a=1.思維啟迪（1）注意討論a的不同取值狀況；（2）運(yùn)用根的鑒別式求a的取值范疇.證明充足性：當(dāng)a=0時(shí)，方程變?yōu)?x+1=0，其根為方程只有一負(fù)根.2分當(dāng)a=1時(shí)，方程為x2+2x+1=0，其根為x=-1,方程只有一負(fù)根.4分當(dāng)a<0時(shí),Δ=4(1-a)>0，方程有兩個(gè)不相等的根，且<0，方程有一正一負(fù)根.6分必要性：若方程ax2+2x+1=0有且僅有一負(fù)根.當(dāng)a=0時(shí)，適合條件.8分當(dāng)a≠0時(shí)，方程ax2+2x+1=0有實(shí)根，則Δ=4-4a≥0，∴a≤1，當(dāng)a=1時(shí)，方程有一負(fù)根x=-1.10分若方程有且僅有一負(fù)根，綜上方程ax2+2x+1=0有且僅有一負(fù)根的充要條件為a≤0或a=1.12分探究提高（1）條件已知證明結(jié)論成立是充足性.結(jié)論已知推出條件成立是必要性；（2）證明分為兩個(gè)環(huán)節(jié)，一是充足性;二是必要性.證明時(shí)，不要認(rèn)為它是推理過程的“雙向書寫”,而應(yīng)當(dāng)進(jìn)行由條件到結(jié)論，由結(jié)論到條件的兩次證明；（3）證明時(shí)易出現(xiàn)必要性與充足性混淆的情形，這就要分清哪是條件，哪是結(jié)論.知能遷移3求證方程x2+ax+1=0的兩實(shí)根的平方和大于3的必要條件是|a|>這個(gè)條件是其充足條件嗎？為什么？證明設(shè)x2+ax+1=0的兩實(shí)根為x1,x2,則平方和不不大于3的等價(jià)條件是∴|a|>這個(gè)條件是必要條件但不是充足條件.1.當(dāng)一種命題有大前提而要寫出其它三種命題時(shí),必須保存大前提，也就是大前提不動(dòng)；對(duì)于由多個(gè)并列條件構(gòu)成的命題，在寫其它三種命題時(shí)，應(yīng)把其中一種（或n個(gè)）作為大前提.2.數(shù)學(xué)中的定義、公理、公式、定理都是命題,但命題與定理是有區(qū)別的；命題有真假之分，而定理都是真的.辦法與技巧思想辦法感悟提高3.命題的充要關(guān)系的判斷辦法(1)定義法：直接判斷若p則q、若q則p的真假.(2)等價(jià)法：即運(yùn)用的等價(jià)關(guān)系，對(duì)于條件或結(jié)論與否認(rèn)式的命題,普通運(yùn)用等價(jià)法.(3)運(yùn)用集合間的包含關(guān)系判斷:若AB,則A是B的充足條件或B是A的必要條件;若A=B,則A是B的充要條件.

1.否命題是既否認(rèn)命題的條件，又否認(rèn)命題的結(jié)論，而命題的否認(rèn)是只否認(rèn)命題的結(jié)論.要注意區(qū)別.2.判斷p與q之間的關(guān)系時(shí),要注意p與q之間關(guān)系的方向性,充足條件與必要條件方向正好相反,不要混淆.失誤與防備

一、選擇題1.（2009·重慶文，2）命題“若一種數(shù)是負(fù)數(shù)，則它的平方是正數(shù)”的逆命題是（）A.“若一種數(shù)是負(fù)數(shù)，則它的平方不是正數(shù)”B.“若一種數(shù)的平方是正數(shù)，則它是負(fù)數(shù)”C.“若一種數(shù)不是負(fù)數(shù)，則它的平方不是正數(shù)”D.“若一種數(shù)的平方不是正數(shù)，則它不是負(fù)數(shù)”解析原命題的逆命題:若一種數(shù)的平方是正數(shù)，則它是負(fù)數(shù).B定時(shí)檢測2.（2009·浙江理，2）已知a,b是實(shí)數(shù)，則“a>0且b>0”是“a+b>0且ab>0”的（）A.充足而不必要條件B.必要而不充足條件C.充足必要條件D.既不充足也不必要條件解析當(dāng)a>0且b>0時(shí)，一定有a+b>0且ab>0.反之，當(dāng)a+b>0且ab>0時(shí)，一定有a>0,b>0.故“a>0且b>0”是“a+b>0且ab>0”的充要條件.C3.（2008·廣東文，8）命題“若函數(shù)f(x)=logax

(a>0,a≠1)在其定義域內(nèi)是減函數(shù)，則loga2<0”的逆否命題是()A.若loga2≥0，則函數(shù)f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定義域內(nèi)不是減函數(shù)B.若loga2<0，則函數(shù)f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定義域內(nèi)不是減函數(shù)C.若loga2≥0，則函數(shù)f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定義域內(nèi)是減函數(shù)D.若loga2<0,則函數(shù)f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定義域內(nèi)是減函數(shù)解析由互為逆否命題的關(guān)系可知,原命題的逆否命題為：若loga2≥0，則函數(shù)f（x）=logax(a>0,a≠1)在其定義域內(nèi)不是減函數(shù).答案

A4.已知A={x||x-1|≥1,x∈R},B={x|log2x>1,x∈R},則“x∈A”是“x∈B”的（）A.充足不必要條件B.必要不充足條件C.充足必要條件D.既不充足也不必要條件解析A={x|x≥2或x≤0}，B={x|x>2}，x∈Ax∈B，但x∈Bx∈A.B5.集合A={x||x|≤4,x∈R,},B={x|x<a},則“AB”是“a>5”的（）A.充足不必要條件B.必要不充足條件C.充要條件D.既不充足也不必要條件解析A={x|-4≤x≤4},若AB，則a>4,a>4a>5,但a>5a>4.故“AB”是“a>5”的必要不充足條件.B6.（2009·北京文，6）的（）A.充足而不必要條件B.必要而不充足條件C.充足必要條件D.既不充足也不必要條件解析這闡明外還能夠取其它的值.因此的充足而不必要條件.A二、填空題7.若“x∈[2,5]或x∈{x|x<1或x>4}”是假命題，則x的取值范疇是______.解析x［2，5］且x{x|x<1或x>4}是真命題.由得1≤x<2.[1,2)8.設(shè)p:|4x-3|≤1;q:(x-a)(x-a-1)≤0，若p是q的充分不必要條件,則實(shí)數(shù)a的取值范疇是________.解析p:≤x≤1,q：a≤x≤a+1,易知p是q的真子集，9.(2009·江蘇,12)設(shè)和為不重疊的兩個(gè)平面，給出下列命題：①若內(nèi)的兩條相交直線分別平行于內(nèi)的兩條直線，則平行于；②若外一條直線l與內(nèi)的一條直線平行，則l和平行；③設(shè)和相交于直線l，若內(nèi)有一條直線垂直于l，則和垂直；④直線l與垂直的充足必要條件是l與內(nèi)的兩條直線垂直.上面命題中，真命題的序