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文檔簡介
完全版
概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)習(xí)題答案第四版盛驟(浙江大學(xué))
浙大第四版(高等教育出版社)
第一章概率論的基本概念
1.[-]寫出下列隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間
(1)記錄一個(gè)小班一次數(shù)學(xué)考試的平均分?jǐn)?shù)(充以百分制記分)([-]1)
oln100S,,n表小班人數(shù)nnn
(3)生產(chǎn)產(chǎn)品直到得到10件正品,記錄生產(chǎn)產(chǎn)品的總件數(shù)。(M2)
S={10,11,12,n,
(4)對某工廠出廠的產(chǎn)品進(jìn)行檢查,合格的蓋上“正品”,不合格的蓋上“次品”,
如連續(xù)查出二個(gè)次品就停止檢查,或檢查4個(gè)產(chǎn)品就停止檢查,記錄檢查的結(jié)果。
查出合格品記為“1”,查出次品記為“0”,連續(xù)出現(xiàn)兩個(gè)“0”就停止檢查,或查滿
4次才停止檢查。([-](3))
S={00,100,0100,0101,1010,0110,1100,0111,1011,1101,1110,1111,}
2.[二]設(shè)A,B,C為三事件,用A,B,C的運(yùn)算關(guān)系表示下列事件。
(1)A發(fā)生,B與C不發(fā)生。
表示為:A或A—(AB+AC)或A—(BUC)
(2)A,B都發(fā)生,而C不發(fā)生。
1
表示為:AB或AB—ABC或AB-C
表示為:A+B+C(3)A,B,C中至少有一個(gè)發(fā)生
(4)A,B,C都發(fā)生,表示為:ABC
表示為:或S—(A+B+C)或ABC(5)A,B,C都不發(fā)生,(6)A,
B,C中不多于一個(gè)發(fā)生,即A,B,C中至少有兩個(gè)同時(shí)不發(fā)生相當(dāng)于,中至少
有一個(gè)發(fā)生。故表示為:
(7)A,B,C中不多于二個(gè)發(fā)生。相當(dāng)于:”中至少有一個(gè)發(fā)生。故表示
為:.或ABC
(8)A,B,C中至少有二個(gè)發(fā)生。
相當(dāng)于:AB,BC,AC中至少有一個(gè)發(fā)生。故表示為:AB+BC+AC
6.[三]設(shè)A,B是兩事件且P(A)=0.6,P(B)=0.7.問(1)在什么條件下P(AB)
取到最大值,最大值是多少?(2)在什么條件下P(AB)取到最小值,最小值是
多少?
解:由P(A)=0.6,P(B)=0.7即知AB和由否則AB=(p依互斥事件加法定理,
P(AUB)=P(A)+P(B)=0.6+0.7=1.3>l與P(AUB)S1矛盾).
從而由加法定理得
P(AB)=P(A)+P(B)-P(AUB)(*)
(1)從gP(AB)SP(A)知,當(dāng)AB=A,即AAB時(shí)P(AB)取到最大值,最大值為
P(AB)=P(A)=0.6,
(2)從(*)式知,當(dāng)AUB=S時(shí),P(AB)取最小值,最小值為
P(AB)=0.6+0.7-1=0.3o
7.㈣設(shè)A,B,C是三事件,且P(A)P(B)P(C)
P(AC)1.求A,B,C至少有一個(gè)發(fā)生的概率。81,P(AB)P(BC)0,4
2
解:P(A,B,C至少有一個(gè)發(fā)生尸P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)
-P(AC)+P(ABC)=3150488
8.[五]在一標(biāo)準(zhǔn)英語字典中具有55個(gè)由二個(gè)不相同的字母新組成的單詞,若
從26個(gè)英語字母中任取兩個(gè)字母予以排列,問能排成上述單詞的概率是多少?
記A表“能排成上述單詞”
2V從26個(gè)任選兩個(gè)來排列,排法有A26種。每種排法等可能。
字典中的二個(gè)不同字母組成的單詞:55個(gè)
P(A)55112130A26
9.在電話號碼薄中任取一個(gè)電話號碼,求后面四個(gè)數(shù)全不相同的概率。(設(shè)后
面4個(gè)數(shù)中的每一個(gè)數(shù)都是等可能性地取自0,1,2??9)
記A表”后四個(gè)數(shù)全不同”
后四個(gè)數(shù)的排法有104種,每種排法等可能。
4后四個(gè)數(shù)全不同的排法有A10
4A10P(A)0.50410
10.[六]在房間里有10人。分別佩代著從1號到10號的紀(jì)念章,任意選3人
記錄其紀(jì)念章的號碼。
(1)求最小的號碼為5的概率。
記“三人紀(jì)念章的最小號碼為5”為事件A
10???10人中任選3人為一組:選法有3種,且每種選法等可能。
5又事件A相當(dāng)于:有一人號碼為5,其余2人號碼大于5O這種組合的種數(shù)
有12
3
5121P(A)12103
(2)求最大的號碼為5的概率。
10記“三人中最大的號碼為5”為事件B,同上10人中任選3人,選法有3
種,且
4每種選法等可能,又事件B相當(dāng)于:有一人號碼為5,其余2人號碼小于5,
選法有12
種
4121P(B)20103
ll.[t]某油漆公司發(fā)出17桶油漆,其中白漆10桶、黑漆4桶,紅漆3桶。
在搬運(yùn)中所標(biāo)箋脫落,交貨人隨意將這些標(biāo)箋重新貼,問一個(gè)定貨4桶白漆,3
桶黑漆和2桶紅漆顧客,按所定的顏色如數(shù)得到定貨的概率是多少?
記所求事件為Ao
9在17桶中任取9桶的取法有C17種,且每種取法等可能。
432C4C3取得4白3黑2紅的取法有C10
故432CCC252P(A)62431C17
12.[八]在1500個(gè)產(chǎn)品中有400個(gè)次品,1100個(gè)正品,任意取200個(gè)。
(1)求恰有90個(gè)次品的概率。
記“恰有90個(gè)次品”為事件A
1500在1500個(gè)產(chǎn)品中任取200個(gè),取法有200種,每種取法等可
能。
4001100200個(gè)產(chǎn)品恰有90個(gè)次品,取法有90110種
4
,400110090110P(A)
1500200
(2)至少有2個(gè)次品的概率。
記:A表“至少有2個(gè)次品”
B0表“不含有次品”,B1表“只含有一個(gè)次品”,同上,200個(gè)產(chǎn)品不含次品,
取法11004001100有200種,200個(gè)產(chǎn)品含一個(gè)次品,取法有
1199種
AB0B1MBO,Bl互不相容。
二110040011001199200
P(A)1P()1[P(BQ)P(B1)]1.15001500200200
13.[九]從5雙不同鞋子中任取4只,4只鞋子中至少有2只配成一雙的概率
是多少?記A表“4只全中至少有兩支配成一對”則A表“4只人不配對”
10從10只中任取4只,取法有4種,每種取法等可能。
要4只都不配對,可在5雙中任取4雙,再在4雙中的每一雙里任取一只。取
法有5244
P()4C524
4C10821
8132121P(A)1P()1
15.[十一]將三個(gè)球隨機(jī)地放入4個(gè)杯子中去,問杯子中球的最大個(gè)數(shù)分別是
1,2,3,的概率各為多少?
記Ai表“杯中球的最大個(gè)數(shù)為i個(gè)“i=l,2,3,
三只球放入四只杯中,放法有43種,每種放法等可能
5
對A1:必須三球放入三杯中,每杯只放一球。放法43332種。
(選排列:好比3個(gè)球在4個(gè)位置做排列)
P(A1)43261643
243種。對A2:必須三球放入兩杯,一杯裝一球,一杯裝兩球。放法有
C3
2(從3個(gè)球中選2個(gè)球,選法有C3,再將此兩個(gè)球放入一個(gè)杯中,選法有4
種,最后將剩余的1球放入其余的一個(gè)杯中,選法有3種。
2C343P(A2)43916
對A3:必須三球都放入一杯中。放法有4種。(只需從4個(gè)杯中選1個(gè)杯子,
放入此
3個(gè)球,選法有4種)
P(A3)413164
16.[十二]50個(gè)鉀釘隨機(jī)地取來用在10個(gè)部件,其中有三個(gè)伽釘強(qiáng)度太弱,
每個(gè)部件用3只佛釘,若將三只強(qiáng)度太弱的鉀釘都裝在一個(gè)部件上,則這個(gè)部件
強(qiáng)度就太弱,問發(fā)生一個(gè)部件強(qiáng)度太弱的概率是多少?
記A表“10個(gè)部件中有一個(gè)部件強(qiáng)度太弱”。
法一:用古典概率作:
把隨機(jī)試驗(yàn)E看作是用三個(gè)釘一組,三個(gè)釘一組去釧完10個(gè)部件(在三個(gè)釘
的一組中不分先后次序。但10組釘鉀完10個(gè)部件要分先后次序)
3333C47C44C23對E:鉀法有C50種,每種裝法等可能
3333C47C44C23對A:三個(gè)次釘必須鉀在一個(gè)部件上。這種釧法有
(C3)xio
種
3333[C3C47C44C23]10
333C50C47C23P(A)10.000511960
法二:用古典概率作
6
把試驗(yàn)E看作是在50個(gè)釘中任選30個(gè)釘排成一列,順次釘下去,直到把部件
佛完。(怫釘要計(jì)先后次序)
3對E:硼法有A50種,每種鉀法等可能
對A:三支次釘必須鉀在“1,2,3”位置上或“4,5,6”位置上,,,或“28,29,
32732732732730”位置上。這種鉀法有A3種
A47A3A47.A3A4710A3A47
P(A)32710A3A47
30A5010.000511960
17.[十三]已知P()0.3,P(B)0.4,P(A)0.5,求P(B|A)。
解一:
P(A)1P()0.7,P()1P(B)0.6,AASA(B)ABA注意(AB)(A).
故有
P(AB)=P(A)-P(A)=0.7-0.5=0.2o
再由加法定理,
P(AU)=P(A)+P()-P(A)=0.7+0.6-0.5=0.8于是
P(B|A)P[B(A)]P(AB)0.20.250.8P(A)P(A)
解二:P(A)P(A)P(|A)由已知0507P(|A)
P(|A)0.5521P(B|A)故P(AB)P(A)P(B|A)0.7775
1
P(BAB)P(BA)P(B|A)定義0.25P(A)P(A)P()P(A)0.70.60.5
18.[十四]P(A)111,P(B|A),P(A|B),求P(AB)。432
7
11定義P(AB)P(A)P(B|A)由已知條件143P(B)1有解:
由P(A|B)P(B)P(B)2P(B)6
由乘法公式,得P(AB)P(A)P(B|A)112
111146123由加法公式,得P(AB)P(A)P(B>(AB)
19.[十五]擲兩顆骰子,已知兩顆骰子點(diǎn)數(shù)之和為7,求其中有一顆為1點(diǎn)的
概率(用兩種方法)。
解:(方法一)(在縮小的樣本空間SB中求P(A|B),即將事件B作為樣本空間,
求事件A發(fā)生的概率)。
擲兩顆骰子的試驗(yàn)結(jié)果為一有序數(shù)組(*,丫)(孤尸1,2,3,4,5,6)并且滿足x,+y=7,
則樣本空間為
S={(x,y)|(l,6),(6,1),(2,5),(5,2),(3,4),(4,3)}
每種結(jié)果(x,y)等可能。
A={擲二骰子,點(diǎn)數(shù)和為7時(shí),其中有一顆為1點(diǎn)。故P(A)21)63
方法二:(用公式P(A|B)P(AB)P(B)
S={(x,y)|x=1,2,3,4,5,6;y=1,2,3,4,5,6}}每種結(jié)果均可能
A="擲兩顆骰子,x,y中有一個(gè)為力“點(diǎn)",B="擲兩顆骰子,x,+y=7”。則
P(B)612,,P(AB)22666
2
2P(AB)21故P(A|B)P(B)163
6
20.[十六]據(jù)以往資料表明,某一3口之家,患某種傳染病的概率有以下規(guī)律:
P(A尸P{孩子得?。?0.6,P(B|A)=P{母親得病|孩子得?。?0.5,P(C|AB尸P{父親
得病|母親及孩子得病}=0.4。求母親及孩子得病但父親未得病的概率。
8
解:所求概率為P(AB)(注意:由于“母病”,“孩病”,“父病”都是隨機(jī)事件,
這里不是求P(|AB)
P(AB)=P(A尸P(B|A尸0.6x0.5=0.3,P(|AB)=1-P(C|AB)=1—0.4=06
從而P(AB)=P(AB)-P(|AB尸0.3x0.6=0.18.
21.[十七]已知10只晶體管中有2只次品,在其中取二次,每次隨機(jī)地取一
只,作不放回抽樣,求下列事件的概率。
(1)二只都是正品(記為事件A)
法一:用組合做在10只中任取兩只來組合,每一個(gè)組合看作一個(gè)基本結(jié)果,
每種取法等可能。
C8228P(A)20.62Cl045
法二:用排列做在10只中任取兩個(gè)來排列,每一個(gè)排列看作一個(gè)基本結(jié)果,
每個(gè)排列等可能。
2A8
2A10P(A)
2845
法三:用事件的運(yùn)算和概率計(jì)算法則來作。
記Al,A2分別表第一、二次取得正品。
P(A)P(A1A2)P(A)P(A2|A1)
(2)二只都是次品(記為事件B)872810945
法一:P(B)2C2
2C10145
法二:P(B)2A2
2A10145
法三:
P(B)P(12)P(1)P(2|1)211109459
(3)一只是正品,一只是次品(記為事件C)
11C8C2
2C10法…:P(C)1645
法二:P(C)112(C8C2)A2
2A101645
法三:P(C)P(A121A2)且A12與1A2互斥
P(A1)P(2|A1JP(1)P(A2|1)281682.10910945
(4)第二次取出的是次品(記為事件D)
法一:因?yàn)橐⒁獾谝弧⒌诙蔚捻樞?。不能用組合作,
法二:P(D)11A9A2
2A1015
法三:
P(D)P(A1212)且A12與1A2互斥
P(Al)P(2|AljP(l)P(2|l)822111091095
22.[十八]某人忘記了電話號碼的最后一個(gè)數(shù)字,因而隨機(jī)的撥號,求他撥號
不超過三次而接通所需的電話的概率是多少?如果已知最后一個(gè)數(shù)字是奇數(shù),那
么此概率是多少?
記H表撥號不超過三次而能接通。
Ai表第i次撥號能接通。
注意:第一次撥號不通,第二撥號就不再撥這個(gè)號碼。
HA11A212A3三種情況互斥
P(H)P(Al.)P(l)P(A2|1.)P(1)P(2|1)P(A3|12)
1919813.10109109810
10
如果已知最后一個(gè)數(shù)字是奇數(shù)(記為事件B)問題變?yōu)樵贐已發(fā)生的條件下,
求H再發(fā)生的概率。
P(H|B)PA1|B1A2|B12A3|B)
P(A1|B)P(1|B)P(A2|Bl.)P(1|B)P(2|B1)P(A3|B12)1414313.
5545435
24.[十九]設(shè)有甲、乙二袋,甲袋中裝有n只白球m只紅球,乙袋中裝有N
只白球M只紅球,今從甲袋中任取一球放入乙袋中,再從乙袋中任取一球,問
取到(即從乙袋中取到)白球的概率是多少?(此為第三版19題(1))
記Al,A2分別表“從甲袋中取得白球,紅球放入乙袋”
再記B表“再從乙袋中取得白球”。
二B=A1B+A2B且ALA2互斥P(B尸P(A1)P(B|Al)+P(A2)P(B|A2)
=nNlmN.nmNMlnmNMl
[十九](2)第一只盒子裝有5只紅球,4只白球;第二只盒子裝有4只紅球,5
只白球。先從第一盒子中任取2只球放入第二盒中去,然后從第二盒子中任取一
只球,求取到白球的概率。
記C1為“從第一盒子中取得2只紅球”。
C2為“從第一盒子中取得2只白球”。
C3為“從第一盒子中取得1只紅球,1只白球”,
D為“從第二盒子中取得白球”,顯然Cl,C2,C3兩兩互斥,C1UC2UC3=S,
由全概率公式,有
P(D)=P(C1)P(D|C1)+P(C2)P(D|C2)+P(C3)P(D|C3)
112C525C4C47C56532.221199C911C911C9
11
26.[二H'-一]已知男人中有5%是色盲患者,女人中有0.25%是色盲患者。今
從男女人數(shù)相等的人群中隨機(jī)地挑選一人,恰好是色盲患者,問此人是男性的概
率是多少?
解:Al={男人},A2={女人},B={色盲},顯然A1UA2=S,AlA2=(p由已知
條件知P(AI)P(A2)
由貝葉斯公式,有1P(B|A1)5%,P(B|A2)0.25%2
15P(A1B)P(A1)P(B|A1)202100P(A1|B)125P(B)P(A1)P(B|A1)P(A2)P(
B|A2)1521.2100210000
[二十二]一學(xué)生接連參加同一課程的兩次考試。第一次及格的概率為P,若
第一次
P及格則第二次及格的概率也為P;若第一次不及格則第二次及格的概率為(1)
若至少2
有一次及格則他能取得某種資格,求他取得該資格的概率。(2)若已知他第二
次已經(jīng)及格,求他第一次及格的概率。
解:Ai={他第i次及格},i=l,2
已知P(Al尸P(A21Al尸P,P(A2|1)(1)B={至少有一次及格}}12所以
{兩次均不及格
/.P(B)1P()1P(12)1P(1)P(2|1)
1[1P(A1)][1P(A2|A1)]
1(1P)(1P31)PP2222
(*)定義P(A1A2)(2)P(A1A2)P(A2)
由乘法公式,有P(AlA2)=P(Al)P(A2|Al)=P2由全概率公式,有
P(A2)P(A1)P(A2|A1.)P(1)P(A2|1)
12
PP(iP)
P2
P2P.22
將以上兩個(gè)結(jié)果代入(*)得P(A1|A2)P2
P2P222PP1
28.[二十五]某人下午5:00下班,他所積累的資料表明:
某日他拋一枚硬幣決定乘地鐵還是乘汽車,結(jié)果他是5:47到家的,試求他是乘
地鐵回家的概率。
解:設(shè)人="乘地鐵”,B=“乘汽車",C="5:45~5:49到家”,由題意,AB=(p,AUB=S
已知:P(A)=0.5,P(C|A)=0.45,P(C|B)=0.2,P(B)=0.5
由貝葉斯公式有P(A|C)P(C|A)P(A)P(C)0.50.450.4590.6923
110.6513P(C|A)P(C|B)22
29.[二十四]有兩箱同種類型的零件。第一箱裝5只,其中10只一等品;第
二箱30只,其中18只一等品。今從兩箱中任挑出一箱,然后從該箱中取零件兩
次,每次任取一只,作不放回抽樣。試求(1)第一次取到的零件是一等品的概
率。(2)第一次取到的零件是一等品的條件下,第二次取到的也是一等品的概率。
解:設(shè)Bi表示“第i次取到一等品"i=l,2
13
Aj表示“第j箱產(chǎn)品“j=l,2,顯然A1UA2=S
(1)P(B1)AlA2=(p1101182o,0.4(Bl=A1B+A2B由全概率公式
解)2502305
11O911817P(B1B2)(2)P(B2|B1)0.48572P(B1)
5
(先用條件概率定義,再求P(B1B2)時(shí),由全概率公式解)
32.[二十六(2)]如圖1,2,3,4,5
表示繼電器接點(diǎn),假設(shè)每一繼電器接點(diǎn)閉合
的概率為P,且設(shè)各繼電器閉合與否相互獨(dú)
立,求L和R是通路的概率。
記Ai表第i個(gè)接點(diǎn)接通
記A表從L到R是構(gòu)成通路的。
A=A1A2+A1A3A5+A4A5+A4A3A2四種情況不互斥
二P(A)=P(A1A2)+P(A1A3A5)+P(A4A5)+P(A4A3A2)-P(A1A2A3A5)
+P(A1A2A4A5)+P(A1A2A3A4)+P(AlA3A4A5)
+P(A1A2A3A4A5)P(A2A3A4A5)+P(A1A2A3A4A5)+P(A1A2A3A4A5)
+(A1A2A3A4A5)+P(A1A2A3A4A5)-P(A1A2A3A4A5)
又由于Al,A2,A3,A4,A5互相矗立。
故P(A)=p2+p3+p2+p3—[p4+p4+p4+p4+p5+p4]+[p5
+p5+p5+p5]—p5=2p2+3p3-5p4+2p5
[二十六(1)]設(shè)有4個(gè)獨(dú)立工作的元件1,2,3,4。它們的可靠性分別為P1,
P2,P3,P4,將它們按圖(1)的方式聯(lián)接,求系統(tǒng)的可靠性。
記Ai表示第i個(gè)元件正常工作,i=l,2,3,4,
A表示系統(tǒng)正常。14
,/A=A1A2A3+A1A4兩種情況不互斥
/.P(A)=P(A1A2A3)+P(A1A4)-P(A1A2A3A4)(加法公式)
=P(A1)P(A2)P(A3)+P(A1)P(A4)-P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)
=P1P2P3+P1P4-P1P2P3P4(A1,A2,A3,A4獨(dú)立)
34.[三十一]袋中裝有m只正品硬幣,n只次品硬幣,(次品硬幣的兩面均印
有國徽)。在袋中任取一只,將它投擲r次,已知每次都得到國徽。問這只硬幣
是正品的概率為多少?
解:設(shè)''出現(xiàn)r次國徽面”=Br"任取一只是正品”=A
由全概率公式,有
mlm()lr
mn2mn
mlr
()P(A)P(Br|A)mP(A|Br)mlmP(Br)mn2r0mn2mnP(Br)P(A)P(Br|A)P()
P(Br|)
(條件概率定義與乘法公式)
35.甲、乙、丙三人同時(shí)對飛機(jī)進(jìn)行射擊,三人擊中的概率分別為0.4,0.5,
0.7o飛機(jī)被一人擊中而被擊落的概率為0.2,被兩人擊中而被擊落的概率為0.6,
若三人都擊中,飛機(jī)必定被擊落。求飛機(jī)被擊落的概率。
解:高Hi表示飛機(jī)被i人擊中,i=l,2,3oBl,B2,B2分別表示甲、乙、
丙擊中飛機(jī)
?*?
HlB12312312B3,三種情況互斥。H2B1B23B12B31B2B3三種情況互斥
H3B2B2B3
又Bl,B2,B2獨(dú)立。
15
:.P(H1)P(B1)P(2)P(3)P(1)P(B2)P(3)
,P(1)P(2)P(B3)0.40.50.30.6
0.50.30.60.50.70.36
P(H2)P(B1)P(B2)P(3)P(B1)P(2)P(B3)
,P(1)P(B2)P(B3)0.40.50.3
+0.4x0.5x0.7+0.6x0.5x0.7=0.41
P(H3)=P(B1)P(B2)P(B3尸0.4=0.5x0.7=0.14
又因:A=H1A+H2A+H3A三種情況互斥
故由全概率公式,有
P(A)=P(H1)P(A|H1)+P(H2)P(A|H2)+P(H3)P(AH3)
=0.36x0.2+0.41x0.6+0.14x1=0.458
36.[三十三]設(shè)由以往記錄的數(shù)據(jù)分析。某船只運(yùn)輸某種物品損壞2%(這一事
件記為A1),10%(事件A2),90%(事件A3)的概率分別為P(A1)=0.8,P
(A2)=0.15,P(A2)=0.05,現(xiàn)從中隨機(jī)地獨(dú)立地取三件,發(fā)現(xiàn)這三件都是好的(這
一事件記為B),試分別求P(A1|B)P(A2|B),P(A3|B)(這里設(shè)物品件數(shù)很多,取
出第一件以后不影響取第二件的概率,所以取第一、第二、第三件是互相獨(dú)立地)
:B表取得三件好物品。
B=A1B+A2B+A3B三種情況互斥
由全概率公式,有
P(B尸P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)
=0.8x(0.98)3+0.15x(0.9)3+0.05x(0.1)3=0.8624
16
P(A1B)P(A1)P(B|A1)0.8(0.98)3
P(A1|B)0.8731P(B)P(B)O.8624
P(A2B)P(A2)P(B|A2)0.15(0.9)3
P(A2|B)0.1268P(B)P(B)0.8624
P(A3B)P(A3)P(B|A3)0.05(0.1)3
P(A3|B)0.0001P(B)P(B)0.8624
37.[三十四]將A,B,C三個(gè)字母之一輸入信道,輸出為原字母的概率為a,
而輸出為其它一字母的概率都是(l—a)/2。今將字母串AAAA,BBBB,CCCC
之一?輸入信道,輸入AAAA,BBBB,CCCC的概率分別為pl,p2,p3(pl
+p2+p3=l),已知輸出為ABCA,問輸入的是AAAA的概率是多少?(設(shè)信道傳
輸每個(gè)字母的工作是相互獨(dú)立的。)
解:設(shè)D表示輸出信號為ABCA,Bl、B2、B3分別表示輸入信號為AAAA,
BBBB,CCCC,則Bl、B2、B3為一完備事件組,且P(Bi)=Pi,i=l,2,3。
再設(shè)A發(fā)、A收分別表示發(fā)出、接收字母A,其余類推,依題意有
P(A收|A發(fā)尸P(B收|B發(fā)尸P(C收|C發(fā)尸a,
P(A收|B發(fā)尸P(A收|C發(fā)尸P(B收|A發(fā)尸P(B收|C發(fā)尸P(C收|A發(fā)尸P(C
收IB發(fā)尸ia2
又P(ABCA|AAAA)=P(D|B1)=P(A收|A發(fā))P(B收|A發(fā))P(C收|A發(fā))P(A
收|A發(fā))
=a2(la2),2
ia3)2同樣可得P(D|B2)=P(D|B3)=a(
于是由全概率公式,得
P(D)P(B)P(D|B)ii
i13
pla2(ia21a3)(P2P3)a()22
由Bayes公式,得
P(AAAA|ABCA)=P(B1|D)=P(B1)P(D|B1)P(D)
17
=2aPl2aPl(la)(P2P3)
[二十九]設(shè)第一只盒子裝有3只藍(lán)球,2只綠球,2只白球;第二只盒子裝有
2只藍(lán)球,3只綠球,4只白球。獨(dú)立地分別從兩只盒子各取一只球。(1)求至
少有一只藍(lán)球的概率,(2)求有一只藍(lán)球一只白球的概率,(3)已知至少有一只
藍(lán)球,求有一只藍(lán)球一只白球的概率。
解:記Al、A2、A3分別表示是從第一只盒子中取到一只藍(lán)球、綠球、白球,
BkB2、B3分別表示是從第二只盒子中取到一只藍(lán)球、綠球、白球。
(1)記?={至少有一只藍(lán)球}
C=A1B1+A1B2+A1B3+A2B1+A3B1,5種情況互斥
由概率有限可加性,得
P(C)P(A1Bl.)P(A1B2)P(A1B3)P(A2Bl.)P(A3B1)
獨(dú)立性P(A)P(B.)P(A)P(B.)P(A)P(B.)P(A)P(B.)P(A)P(B)
1112132131
32333422225....79797979799
(2)記口={有一只藍(lán)球,一只白球},而且知D=A1B3+A3B1兩種情況互斥
P(D)P(A1B3P(A3B1)P(A1)P(B3)P(A3)P(B1)
342216.797963
P(CD)P(D)16P(C)P(C)35(3)P(D|C)(注意到CDD)
[三十]A,B,C三人在同一辦公室工作,房間有三部電話,據(jù)統(tǒng)計(jì)知,打給
A,B,
221C的電話的概率分別為,。他們?nèi)顺R蚬ぷ魍獬?,A,B,C三人外出的
概,555111率分別為,,設(shè)三人的行動(dòng)相互獨(dú)立,求244
(1)無人接電話的概率;(2)被呼叫人在辦公室的概率;若某一時(shí)間斷打進(jìn)
了3個(gè)電話,求(3)這3個(gè)電話打給同一人的概率;(4)這3個(gè)電話打給不同
人的概率;(5)這3個(gè)電話都打給B,而B卻都不在的概率。
18
解:記Cl、C2、C3分別表示打給A,B,C的電話
Dl>D2、D3分別表示A,B,C外出
注意到CCC2、C3獨(dú)立,且P(C1)P(C2)
P(D1)21,P(C3)5511,P(D2)P(D3)24
(1)P(無人接電話)=P(D1D2D3)=P(D1)P(D2)P(D3)
=111124432
(2)記6=“被呼叫人在辦公室”,GC1D.1C2D2C3D3三種情況互斥,由有限
可加性與乘法公式
P(G)P(C1Dl.)P(C2D2)P(C3D3)由于某人外出與
P(C1)P(D1|Cl.)P(C2)P(D2|C2)P(C3)P(D3|C3)否和來電話無關(guān)故
P(D|C)P(D)21231313kkk..52545420
(3)H為“這3個(gè)電話打給同一個(gè)人”
P(H)22222211117..555555555125
(4)R為“這3個(gè)電話。給木同的人”
R由六種互斥情況組成,每種情況為打給A,B,C的三個(gè)電話,每種情況的
概率為2214555125
于是P(R)6424125125
(5)由于是知道每次打電話都給B,其概率是1,所以每一次打給B電話而B
不在1的概率為,且各次情況相互獨(dú)立4
11于是P(3個(gè)電話都打給B,B都不在的概率)=()3464
19
第二章隨機(jī)變量及其分布
1.[-]一袋中有5只乒乓球,編號為1、2、3、4、5,在其中同時(shí)取三只,以
X表示取出的三只球中的最大號碼,寫出隨機(jī)變量X的分布律
解:X可以取值3,4,5,分布律為
2
1C23C5
P(X3)P(一球?yàn)?號,兩球?yàn)?,2號)
110
2
1C33C5
P(X4)P(一球?yàn)?號,再在1,2,3中任取兩球)
310610
P(X5)P(一球?yàn)?號,再在1,2,3,4中任取兩球)
也可列為下表X:3,4,5P:
2
1C43C5
136
,,
101010
3.[三]設(shè)在15只同類型零件中有2只是次品,在其中取三次,每次任取一只,
作不放回抽樣,以X表示取出次品的只數(shù),(1)求X的分布律,(2)畫出分布
律的圖形。
解:任取三只,其中新含次品個(gè)數(shù)X可能為0,1,2個(gè)。
P(X0)
3
C133C15
22351235135
P(X1)
12C2C13
3
C1521C2C13
3
C15
P(X2)
再列為下表
X:0,1,2P:
22121
353535
20
4.[四]進(jìn)行重復(fù)獨(dú)立實(shí)驗(yàn),設(shè)每次成功的概率為p,失敗的概率為q=1-
p(0<p<l)
(I)將實(shí)驗(yàn)進(jìn)行到出現(xiàn)一次成功為止,以X表示所需的試驗(yàn)次數(shù),求X的分
布律。(此時(shí)稱X服從以p為參數(shù)的兒何分布。)
(2)將實(shí)驗(yàn)進(jìn)行到出現(xiàn)r次成功為止,以Y表示所需的試驗(yàn)次數(shù),求Y的分
布律。(此時(shí)稱Y服從以r,p為參數(shù)的巴斯卡分布。)
(3)一籃球運(yùn)動(dòng)員的投籃命中率為45%,以X表示他首次投中時(shí)累計(jì)已投籃
的次數(shù),寫出X的分布律,并計(jì)算X取偶數(shù)的概率。
解:(1)P(X=k)=qklp—k=l,2??,
(2)Y=Hn={最后一次實(shí)驗(yàn)前什n—1次有n次失敗,且最后一次成功}
P(Y,m)CrnnlqnprlpCrnnlqnpr,
(3)P(X=k)=(0.55)k-10.45
n0,1,2,,其中q=l—p,rlrkr,krjl,或記r+n=k,則
P{Y=k}=Cklp(ip)k=l,2...2klP(X取偶數(shù)尸P(X2k)(0.55)
kIk10.451131
6.[六]一大樓裝有5個(gè)同類型的供水設(shè)備,調(diào)查表明在任一時(shí)刻t每個(gè)設(shè)備使
用的概率為0.1,問在同一時(shí)刻
(1)恰有2個(gè)設(shè)備被使用的概率是多少?
22522P(X2)C5pqC5(0.1)2(0.9)30.0729
(2)至少有3個(gè)設(shè)備被使用的概率是多少?
345P(X3)C5(0.1)3(0.9)2C5(0.1)4(0.9)C5(0.1)50.00856
(3)至多有3個(gè)設(shè)備被使用的概率是多少?
01P(X3)C5(0.9)5C50.1(0.9)4C52(0.1)2(0.9)3
3C5(0.1)3(0.9)20.99954
(4)至少有一個(gè)設(shè)備被使用的概率是多少?
P(X1)1P(X0)10.590490.40951
[五]一房間有3扇同樣大小的窗子,其中只有一扇是打開的。有一只鳥自開
著的窗子飛入了房間,它只能從開著的窗子飛出去。鳥在房子里飛來飛去,試圖
飛出房間。假定鳥是沒有記憶的,鳥飛向各扇窗子是隨機(jī)的。
(1)以X表示鳥為了飛出房間試飛的次數(shù),求X的分布律。
(2)戶主聲稱,他養(yǎng)的一只鳥,是有記憶的,它飛向任一窗子的嘗試不多于
一次。21
以Y表示這只聰明的鳥為了飛出房間試飛的次數(shù),如戶主所說是確實(shí)的,試求
Y的分布律。
(3)求試飛次數(shù)X小于Y的概率;求試飛次數(shù)Y小于X的概率。
解:(1)X的可能取值為1,2,3,”,n,,,
P{X=n}=P{前n—1次飛向了另2扇窗子,第n次飛了出去}
=(2
3)nl1
3,n=l,2,
(2)Y的可能取值為1,2,3
P{Y=1}=P{第1次飛了出去}=1
3
P{Y=2}=P{第1次飛向另2扇窗子中的一扇,第2次飛了出去}
=2
311
23
P{Y=3}=P{第1,2次飛向了另2扇窗子,第3次飛了出去}
=2!
3!1
3
3
(3)P{XY}P{Yk}P{XY|Yk}
k1全概率公式并注意
3
P{Yk}P{XY|Yk}P{XY|Y1}0
k2
3
{Yk}P{Xk}注意到X,Y獨(dú)立即
Pk2
1P{XY|Yk
31
31}
3121333P{Xk}
同上,P{XY}3
P{Yk}P{XY|Yk}
k1
3
P{Yk}P{Xk}1
31121419
k133932781故P{YX}1P{XY}P{XY)38
81
8.[八]甲、乙二人投籃,投中的概率各為0.6,0.7,令各投三次。求
(1)二人投中次數(shù)相等的概率。
記X表甲三次投籃中投中的次數(shù)
Y表乙三次投籃中投中的次數(shù)
22到
由于甲、乙每次投籃獨(dú)立,且彼此投籃也獨(dú)立。
P(X=Y)=P(X=0,Y=0)+P(X=2,Y=2)+P(X=3,Y=3)
=P(X=0)P(Y=0)+P(X=1)P(Y=l)+P(X=2)P(Y=2)+P(X=3)P(Y=3)
11=(0.4)3x(0.3)3+[C30.6(0.4)2][C30.7(0.3)2]
22(0.6)20,4][C3(0.7)2.3J(0.6)3.[C3
(0.7)30.321
(2)甲比乙投中次數(shù)多的概率。
P(X>Y)=P(X=l,Y=0)+P(X=2,Y=0)+P(X=2,Y=l)+
P(X=3)P(Y=0)+P(X=3)P(Y=l)+P(X=3)P(Y=2)
=P(X=l)P(Y=0)+P(X=2,Y=0)+P(X=2,Y=l)+
P(X=3)P(Y=0)+P(X=3)P(Y=l)+P(X=3)P(Y=2)
120.6(0.4)2](0.3)3[C3(0.6)20.4](0.3)8=[C3
[C3(0.6)0,4][C30.7(0.3)J(0.6)
1(03)3(0.6)3[C30.7(0.3)2J(0.6)322123
[C3(0.7)0,3]0.243
9.[十]有甲、乙兩種味道和顏色極為相似的名酒各4杯。如果從中挑4杯,
能將甲種酒全部挑出來,算是試驗(yàn)成功」次。
(1)某人隨機(jī)地去猜,問他試驗(yàn)成功一次的概率是多少?
(2)某人聲稱他通過品嘗能區(qū)分兩種酒。他連續(xù)試驗(yàn)10次,成功3次。試問
他是猜對的,還是他確有區(qū)分的能力(設(shè)各次試驗(yàn)是相互獨(dú)立的。)
解:(1)P(一次成功尸2211470C8
3(2)P(連續(xù)試驗(yàn)10次,成功3次尸C10(136973c此概率太小,按
實(shí))()707010000
際推斷原理,就認(rèn)為他確有區(qū)分能力。
[九]有一大批產(chǎn)品,其驗(yàn)收方案如下,先做第一次檢驗(yàn):從中任取10件,經(jīng)
驗(yàn)收無次品接受這批產(chǎn)品,次品數(shù)大于2拒收;否則作第二次檢驗(yàn),其做法是從
中再任取5件,僅當(dāng)5件中無次品時(shí)接受這批產(chǎn)品,若產(chǎn)品的次品率為10%,求
(1)這批產(chǎn)品經(jīng)第一次檢驗(yàn)就能接受的概率
(2)需作第二次檢驗(yàn)的概率
23
(3)這批產(chǎn)品按第2次檢驗(yàn)的標(biāo)準(zhǔn)被接受的概率
(4)這批產(chǎn)品在第1次檢驗(yàn)未能做決定且第二次檢驗(yàn)時(shí)被通過的概率
(5)這批產(chǎn)品被接受的概率
解:X表示10件中次品的個(gè)數(shù),Y表示5件中次品的個(gè)數(shù),
由于產(chǎn)品總數(shù)很大,故X?B(10,0.1),Y-B(5,0.1)(近似服從)
(1)P{X=0}=0.910=0.349
21(2)P{X<2}=P{X=2}+P{X=l}=C100.120.98C100.10.990.581
(3)P{Y=0}=0.95=0.590
(4)P{0<X<2,Y=0}({O<X02}與{Y=2}獨(dú)立)
=P{0<X<2}P{Y=0}
=0.581x0.5900.343
(5)P{X=0}+P{0<X<2,Y=0}
-0.349+0.343=0.692
12.[十三]電話交換臺(tái)每分鐘的呼喚次數(shù)服從參數(shù)為4的泊松分布,求
(1)每分鐘恰有8次呼喚的概率
法一:
法二:484P(X8)e0.029770(直接計(jì)算)8!P(X=8)=P(X>8)-P(X>9)
(查九=4泊松分布表)。
=0.051134-0.021363=0.029771
(2)每分鐘的呼喚次數(shù)大于10的概率。
P(X>10)=P(X>11)=0.002840(查表計(jì)算)
[十二(2)]每分鐘呼喚次數(shù)大于3的概率。
P{X3}P{X4}0.566530
[十六]以X表示某商店從早晨開始營業(yè)起直到第一顧客到達(dá)的等待時(shí)間(以
分計(jì)),X的分布函數(shù)是
le0.4x,xOFX(x)x00
求下述概率:
(1)P{至多3分鐘};(2)P{至少4分鐘};(3)P{3分鐘至4分鐘之間};
(4)P{至多3分鐘或至少4分鐘};(5)P{恰好2.5分鐘}
解:(1)P{至多3分鐘}=P{XW3}=FX(3)lel.2
24
(2)P{至少4分鐘}P(X%)=iF.6
X(4)el
(3)P{3分鐘至4分鐘之間}=P{3<XS4}=FX(4)FX(3)el.2el.6
(4)P{至多3分鐘或至少4分鐘}=P{至多3分鐘}+P{至少4分鐘}
=lel.2el.6
(5)P{恰好2.5分鐘}=P(X=2.5)=0
0,x1,
18.[十七]設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F
X(x)lnx,lxe,,
l,xe.
求⑴P(X<2),P{0<X<3},P(2<X<);(2)求概率密度fX(x).解:
(1)P(X<2)=FX(2)=ln2,P(0<Xg3尸F(xiàn)X⑶一FX(0)=1,P(2X5
2F(555
X2)FX(2)In21n2ln4
(2)f(x)F,(x)1
x,lxe,
0淇它
20.[十八(2)]設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度f(x)為
1)f(x)2
x2
(1x1
0其它
0x1
(2)f(x)x
2x1x2
0其他
求X的分布函數(shù)F(x),并作出(2)中的f(x)與F(x)的圖形。解:當(dāng)一1WX0
時(shí):
F(x)'12211X
Odxxlx2dx2
2xx2arcsinx1
1
TIXX21
narcsinx1
2
當(dāng)時(shí):F(x)'ll
Odx217rx2dxx
lOdxI
故分布函數(shù)為:
Olllx'1
F(x)7ixx27iarcsinx1x1
2
11x
25
解:(2)F(x)P(Xx)x
f(t)dt
當(dāng)x0時(shí),F(x)x
Odt0
x2當(dāng)0x1時(shí),F(x)Odttdt020x
當(dāng)1x2時(shí),F(x)
當(dāng)2x時(shí),F(x)
故分布函數(shù)為0OdtlOtdtx1(2t)dt2xxl22
0OdtlOtdt21②)出x20dt1
0x2
F(x)222xxl21x00x11x22x
(2)中的f(x)與F(x)的圖形如下
x22.[二十]某種型號的電子的壽命X(以小時(shí)計(jì))具有以下的概率密度:
1000f(x)x2
Ox1000其它
現(xiàn)有一大批此種管子(設(shè)各電子管損壞與否相互獨(dú)立)。任取5只,問其中至
少有2只壽命大于1500小時(shí)的概率是多少?
解:一個(gè)電子管壽命大于1500小時(shí)的概率為
26
P(X1500)1P(X1500)1
1(122)331500100010001000(1)1500dx1xlOOOx2
令Y表示“任取5只此種電子管中壽命大于1500小時(shí)的個(gè)數(shù)”。則Y?B(5,2),3
2111P(Y2)1P(Y2)1P(YQ)P(Y1)1()5C5()()433
3152112321124324335
23.[二十一]設(shè)顧客在某銀行的窗口等待服務(wù)的時(shí)間X(以分計(jì))服從指數(shù)分
布,其概率密度為:
x15FX(x)5e,x0
0淇它
某顧客在窗口等待服務(wù),若超過10分鐘他就離開。他一個(gè)月要到銀行5次。
以Y表示一個(gè)月設(shè)K在(0,5)上服從均勻分布,求方程4x24x30有實(shí)根
的概率
1K的分布密度為:f(K)5000K5其他
要方程有根,就是要K滿足(4K)2—4x4x(K+2)>0o
解不等式,得KN2時(shí),方程有實(shí)根。
25P(K2)f(x)dxldx25.
50dx35
27
25.[二十三]設(shè)X?N(3.22)
(1)求P(2<XW5),P(-4)<X<10),P{|X|>2},P(X>3)
P(iag"/若X?N(|i,o2),貝llP(a<XWp)=(p(poo
5323=(p(l)-(p(-0.5)P(2<X<5)=(p~(p22
=0.8413-0.3085=0.5328
103'43=(p(3.5)-(p(-3.5)P(-4<X<10)=(p'(p22
=0.9998-0.0002=0.9996
P(|X|>2)=l-P(|X|<2)=1-P(-2<P<2)
23'23=122
=1-(p(-0.5)+(p(-2.5)=1-0.3085+0.0062=0.697733P
(X>3)=l-P(X<3)=1-(p=1-0.5=0.52
(2)決定C使得P(X>C)=P(X<C)
得
又P(X>C)=1-p(X<C)=P(X<C)P(X<C)=1=0.52C3C3P
(X<C)=(p0,C=30.5,查表可得22
226.[二十四]某地區(qū)18歲的女青年的血壓(收縮區(qū),以mm-Hg計(jì))服從
N(110,12)
在該地區(qū)任選一18歲女青年,測量她的血壓X。求
(1)P(X<105),P(100<X<120).(2)確定最小的X使P(X>x)W0.05.
105110解:(1)P(X105)()(0.4167)1(0.4167)10.66160.3384
1212dll010011055P(100X120)()()0()121266
52()12(0.8333)120.797610.59526
(2)P(Xx)1P(Xx)1(xl10x110)0.05()0.95.1212
由10查表得1.645.x11019.74129.74.故最小的X129.74.12
28
27.[二十五]由某機(jī)器生產(chǎn)的螺栓長度(cm)服從參數(shù)為四=10.05,。=0.06的
正態(tài)分布。規(guī)定長度在范圍10.05±0.12=1-
0.060.06
=l-{(p(2)-(p(-2)}
=1-{0.9772-0.0228}
=0.0456
28.[二十六]一工廠生產(chǎn)的電子管的壽命X(以小時(shí)計(jì))服從參數(shù)為-160,
。(未知)的正態(tài)分布,若要求P(120VXW200==0.80,允許o最大為多少?
20016012016040''400.80P(120<
X<200)='oooo
又對標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布有(p(-x)=l—(p(x)
40400.80,上式變?yōu)閪i
40400.9解出便得:
再查表,得40401.281031.2501.281
30.[二十七]設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為:
X:-2,
P:-1,0,1,31,5111,,,6515
(-1)2
(0)21130(1)2(3)2求Y=X2的分布律:Y=X2:(-2)2P:1
51116515
491130再把X2的取值相同的合并,并按從小到大排列,就得函數(shù)Y的
分布律為:,Y:0
1P:5
11615115113029
31.[二十八]設(shè)隨機(jī)變量X在(0,1)上服從均勻分布
(1)求Y=eX的分布密度
,/X的分布密度為:f(x)10x1
Ox為其他
Y=g(X)=eX是單調(diào)增函數(shù)
又X=h(Y尸InY,反函數(shù)存在
且a=min[g(0),g(l)]=min(l,e)=l
max[g(0),g(l)]=max(l,e)=e
.??Y的分布密度為:v(y)flh(y)]|h,(y)|11
ylye
Oy為其他
(2)求Y=-21nX的概率密度。
???Y=g(X)=-21nX是單調(diào)減函數(shù)
Y
又Xh(Y)e2反函數(shù)存在。
且a=min[g(0),g(l)]=min(+oo,0)=0
P=max[g(0),g(l)]=max(+oo,0)=+oo
,Y的分布密度為:w(y)f[h(y)]|h,(y)|1'lyy
22e1
2e2
0
32.[二十九]設(shè)X?N(0,1)
(1)求Y=eX的概率密度
x2
丁X的概率密度是f(x)12
2兀e,x.
Y=g(X)=eX是單調(diào)增函數(shù)
又X=h(Y)=InY反函數(shù)存在
且a=min[g(-co),g(+oo)]=min(0,+oo)=0p=max[g(-0o),g(+oo)]=
max(0,+oo)=+ooY的分布密度為:
嗔y)flh(y)]|hXy)|l(lny)2
2Tle21
y0y.Oy為其他0y.y為其他
30
(2)求Y=2X2+1的概率密度。
在這里,Y=2X2+1在(+8,—8)不是單調(diào)函數(shù),沒有一般的結(jié)論可用。設(shè)Y
的分布函數(shù)是FY(y),貝ijFY(y)=P(Y<y)=P(2X2+l<y)
=Pyl
2X2
當(dāng)時(shí):FY(y)=0
yi
當(dāng)y>l時(shí):F
yi
lx2y(y)P
Xyl2
dx
2
2
yl27i
e2
故Y的分布密度\|/(y)是:
當(dāng)ySl時(shí):v(y)=[FY(y)],=(0),=0
yl2當(dāng)y>1時(shí),w(y)=[F
1x2Y(y)]'=
e
2
dx
yi2
2
yi=
i
e4
2(yl)
(3)求Y=|X|的概率密度。
,IY的分布函數(shù)為FY(y)=P(Y<y)=P(|X|<y)當(dāng)y<O時(shí),F(xiàn)Y(y)=0
2當(dāng)yK)時(shí),F
xY(y)=P(|X|<y)=P(—y<X<y)=
yi
2
y
2n
edx
Y的概率密度為:
當(dāng)y或時(shí):y)=[FY(y)],
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