概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第四版-課后習(xí)題 浙江大學(xué)_第1頁
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完全版

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)習(xí)題答案第四版盛驟(浙江大學(xué))

浙大第四版(高等教育出版社)

第一章概率論的基本概念

1.[-]寫出下列隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間

(1)記錄一個(gè)小班一次數(shù)學(xué)考試的平均分?jǐn)?shù)(充以百分制記分)([-]1)

oln100S,,n表小班人數(shù)nnn

(3)生產(chǎn)產(chǎn)品直到得到10件正品,記錄生產(chǎn)產(chǎn)品的總件數(shù)。(M2)

S={10,11,12,n,

(4)對某工廠出廠的產(chǎn)品進(jìn)行檢查,合格的蓋上“正品”,不合格的蓋上“次品”,

如連續(xù)查出二個(gè)次品就停止檢查,或檢查4個(gè)產(chǎn)品就停止檢查,記錄檢查的結(jié)果。

查出合格品記為“1”,查出次品記為“0”,連續(xù)出現(xiàn)兩個(gè)“0”就停止檢查,或查滿

4次才停止檢查。([-](3))

S={00,100,0100,0101,1010,0110,1100,0111,1011,1101,1110,1111,}

2.[二]設(shè)A,B,C為三事件,用A,B,C的運(yùn)算關(guān)系表示下列事件。

(1)A發(fā)生,B與C不發(fā)生。

表示為:A或A—(AB+AC)或A—(BUC)

(2)A,B都發(fā)生,而C不發(fā)生。

1

表示為:AB或AB—ABC或AB-C

表示為:A+B+C(3)A,B,C中至少有一個(gè)發(fā)生

(4)A,B,C都發(fā)生,表示為:ABC

表示為:或S—(A+B+C)或ABC(5)A,B,C都不發(fā)生,(6)A,

B,C中不多于一個(gè)發(fā)生,即A,B,C中至少有兩個(gè)同時(shí)不發(fā)生相當(dāng)于,中至少

有一個(gè)發(fā)生。故表示為:

(7)A,B,C中不多于二個(gè)發(fā)生。相當(dāng)于:”中至少有一個(gè)發(fā)生。故表示

為:.或ABC

(8)A,B,C中至少有二個(gè)發(fā)生。

相當(dāng)于:AB,BC,AC中至少有一個(gè)發(fā)生。故表示為:AB+BC+AC

6.[三]設(shè)A,B是兩事件且P(A)=0.6,P(B)=0.7.問(1)在什么條件下P(AB)

取到最大值,最大值是多少?(2)在什么條件下P(AB)取到最小值,最小值是

多少?

解:由P(A)=0.6,P(B)=0.7即知AB和由否則AB=(p依互斥事件加法定理,

P(AUB)=P(A)+P(B)=0.6+0.7=1.3>l與P(AUB)S1矛盾).

從而由加法定理得

P(AB)=P(A)+P(B)-P(AUB)(*)

(1)從gP(AB)SP(A)知,當(dāng)AB=A,即AAB時(shí)P(AB)取到最大值,最大值為

P(AB)=P(A)=0.6,

(2)從(*)式知,當(dāng)AUB=S時(shí),P(AB)取最小值,最小值為

P(AB)=0.6+0.7-1=0.3o

7.㈣設(shè)A,B,C是三事件,且P(A)P(B)P(C)

P(AC)1.求A,B,C至少有一個(gè)發(fā)生的概率。81,P(AB)P(BC)0,4

2

解:P(A,B,C至少有一個(gè)發(fā)生尸P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)

-P(AC)+P(ABC)=3150488

8.[五]在一標(biāo)準(zhǔn)英語字典中具有55個(gè)由二個(gè)不相同的字母新組成的單詞,若

從26個(gè)英語字母中任取兩個(gè)字母予以排列,問能排成上述單詞的概率是多少?

記A表“能排成上述單詞”

2V從26個(gè)任選兩個(gè)來排列,排法有A26種。每種排法等可能。

字典中的二個(gè)不同字母組成的單詞:55個(gè)

P(A)55112130A26

9.在電話號碼薄中任取一個(gè)電話號碼,求后面四個(gè)數(shù)全不相同的概率。(設(shè)后

面4個(gè)數(shù)中的每一個(gè)數(shù)都是等可能性地取自0,1,2??9)

記A表”后四個(gè)數(shù)全不同”

后四個(gè)數(shù)的排法有104種,每種排法等可能。

4后四個(gè)數(shù)全不同的排法有A10

4A10P(A)0.50410

10.[六]在房間里有10人。分別佩代著從1號到10號的紀(jì)念章,任意選3人

記錄其紀(jì)念章的號碼。

(1)求最小的號碼為5的概率。

記“三人紀(jì)念章的最小號碼為5”為事件A

10???10人中任選3人為一組:選法有3種,且每種選法等可能。

5又事件A相當(dāng)于:有一人號碼為5,其余2人號碼大于5O這種組合的種數(shù)

有12

3

5121P(A)12103

(2)求最大的號碼為5的概率。

10記“三人中最大的號碼為5”為事件B,同上10人中任選3人,選法有3

種,且

4每種選法等可能,又事件B相當(dāng)于:有一人號碼為5,其余2人號碼小于5,

選法有12

4121P(B)20103

ll.[t]某油漆公司發(fā)出17桶油漆,其中白漆10桶、黑漆4桶,紅漆3桶。

在搬運(yùn)中所標(biāo)箋脫落,交貨人隨意將這些標(biāo)箋重新貼,問一個(gè)定貨4桶白漆,3

桶黑漆和2桶紅漆顧客,按所定的顏色如數(shù)得到定貨的概率是多少?

記所求事件為Ao

9在17桶中任取9桶的取法有C17種,且每種取法等可能。

432C4C3取得4白3黑2紅的取法有C10

故432CCC252P(A)62431C17

12.[八]在1500個(gè)產(chǎn)品中有400個(gè)次品,1100個(gè)正品,任意取200個(gè)。

(1)求恰有90個(gè)次品的概率。

記“恰有90個(gè)次品”為事件A

1500在1500個(gè)產(chǎn)品中任取200個(gè),取法有200種,每種取法等可

能。

4001100200個(gè)產(chǎn)品恰有90個(gè)次品,取法有90110種

4

,400110090110P(A)

1500200

(2)至少有2個(gè)次品的概率。

記:A表“至少有2個(gè)次品”

B0表“不含有次品”,B1表“只含有一個(gè)次品”,同上,200個(gè)產(chǎn)品不含次品,

取法11004001100有200種,200個(gè)產(chǎn)品含一個(gè)次品,取法有

1199種

AB0B1MBO,Bl互不相容。

二110040011001199200

P(A)1P()1[P(BQ)P(B1)]1.15001500200200

13.[九]從5雙不同鞋子中任取4只,4只鞋子中至少有2只配成一雙的概率

是多少?記A表“4只全中至少有兩支配成一對”則A表“4只人不配對”

10從10只中任取4只,取法有4種,每種取法等可能。

要4只都不配對,可在5雙中任取4雙,再在4雙中的每一雙里任取一只。取

法有5244

P()4C524

4C10821

8132121P(A)1P()1

15.[十一]將三個(gè)球隨機(jī)地放入4個(gè)杯子中去,問杯子中球的最大個(gè)數(shù)分別是

1,2,3,的概率各為多少?

記Ai表“杯中球的最大個(gè)數(shù)為i個(gè)“i=l,2,3,

三只球放入四只杯中,放法有43種,每種放法等可能

5

對A1:必須三球放入三杯中,每杯只放一球。放法43332種。

(選排列:好比3個(gè)球在4個(gè)位置做排列)

P(A1)43261643

243種。對A2:必須三球放入兩杯,一杯裝一球,一杯裝兩球。放法有

C3

2(從3個(gè)球中選2個(gè)球,選法有C3,再將此兩個(gè)球放入一個(gè)杯中,選法有4

種,最后將剩余的1球放入其余的一個(gè)杯中,選法有3種。

2C343P(A2)43916

對A3:必須三球都放入一杯中。放法有4種。(只需從4個(gè)杯中選1個(gè)杯子,

放入此

3個(gè)球,選法有4種)

P(A3)413164

16.[十二]50個(gè)鉀釘隨機(jī)地取來用在10個(gè)部件,其中有三個(gè)伽釘強(qiáng)度太弱,

每個(gè)部件用3只佛釘,若將三只強(qiáng)度太弱的鉀釘都裝在一個(gè)部件上,則這個(gè)部件

強(qiáng)度就太弱,問發(fā)生一個(gè)部件強(qiáng)度太弱的概率是多少?

記A表“10個(gè)部件中有一個(gè)部件強(qiáng)度太弱”。

法一:用古典概率作:

把隨機(jī)試驗(yàn)E看作是用三個(gè)釘一組,三個(gè)釘一組去釧完10個(gè)部件(在三個(gè)釘

的一組中不分先后次序。但10組釘鉀完10個(gè)部件要分先后次序)

3333C47C44C23對E:鉀法有C50種,每種裝法等可能

3333C47C44C23對A:三個(gè)次釘必須鉀在一個(gè)部件上。這種釧法有

(C3)xio

3333[C3C47C44C23]10

333C50C47C23P(A)10.000511960

法二:用古典概率作

6

把試驗(yàn)E看作是在50個(gè)釘中任選30個(gè)釘排成一列,順次釘下去,直到把部件

佛完。(怫釘要計(jì)先后次序)

3對E:硼法有A50種,每種鉀法等可能

對A:三支次釘必須鉀在“1,2,3”位置上或“4,5,6”位置上,,,或“28,29,

32732732732730”位置上。這種鉀法有A3種

A47A3A47.A3A4710A3A47

P(A)32710A3A47

30A5010.000511960

17.[十三]已知P()0.3,P(B)0.4,P(A)0.5,求P(B|A)。

解一:

P(A)1P()0.7,P()1P(B)0.6,AASA(B)ABA注意(AB)(A).

故有

P(AB)=P(A)-P(A)=0.7-0.5=0.2o

再由加法定理,

P(AU)=P(A)+P()-P(A)=0.7+0.6-0.5=0.8于是

P(B|A)P[B(A)]P(AB)0.20.250.8P(A)P(A)

解二:P(A)P(A)P(|A)由已知0507P(|A)

P(|A)0.5521P(B|A)故P(AB)P(A)P(B|A)0.7775

1

P(BAB)P(BA)P(B|A)定義0.25P(A)P(A)P()P(A)0.70.60.5

18.[十四]P(A)111,P(B|A),P(A|B),求P(AB)。432

7

11定義P(AB)P(A)P(B|A)由已知條件143P(B)1有解:

由P(A|B)P(B)P(B)2P(B)6

由乘法公式,得P(AB)P(A)P(B|A)112

111146123由加法公式,得P(AB)P(A)P(B>(AB)

19.[十五]擲兩顆骰子,已知兩顆骰子點(diǎn)數(shù)之和為7,求其中有一顆為1點(diǎn)的

概率(用兩種方法)。

解:(方法一)(在縮小的樣本空間SB中求P(A|B),即將事件B作為樣本空間,

求事件A發(fā)生的概率)。

擲兩顆骰子的試驗(yàn)結(jié)果為一有序數(shù)組(*,丫)(孤尸1,2,3,4,5,6)并且滿足x,+y=7,

則樣本空間為

S={(x,y)|(l,6),(6,1),(2,5),(5,2),(3,4),(4,3)}

每種結(jié)果(x,y)等可能。

A={擲二骰子,點(diǎn)數(shù)和為7時(shí),其中有一顆為1點(diǎn)。故P(A)21)63

方法二:(用公式P(A|B)P(AB)P(B)

S={(x,y)|x=1,2,3,4,5,6;y=1,2,3,4,5,6}}每種結(jié)果均可能

A="擲兩顆骰子,x,y中有一個(gè)為力“點(diǎn)",B="擲兩顆骰子,x,+y=7”。則

P(B)612,,P(AB)22666

2

2P(AB)21故P(A|B)P(B)163

6

20.[十六]據(jù)以往資料表明,某一3口之家,患某種傳染病的概率有以下規(guī)律:

P(A尸P{孩子得?。?0.6,P(B|A)=P{母親得病|孩子得?。?0.5,P(C|AB尸P{父親

得病|母親及孩子得病}=0.4。求母親及孩子得病但父親未得病的概率。

8

解:所求概率為P(AB)(注意:由于“母病”,“孩病”,“父病”都是隨機(jī)事件,

這里不是求P(|AB)

P(AB)=P(A尸P(B|A尸0.6x0.5=0.3,P(|AB)=1-P(C|AB)=1—0.4=06

從而P(AB)=P(AB)-P(|AB尸0.3x0.6=0.18.

21.[十七]已知10只晶體管中有2只次品,在其中取二次,每次隨機(jī)地取一

只,作不放回抽樣,求下列事件的概率。

(1)二只都是正品(記為事件A)

法一:用組合做在10只中任取兩只來組合,每一個(gè)組合看作一個(gè)基本結(jié)果,

每種取法等可能。

C8228P(A)20.62Cl045

法二:用排列做在10只中任取兩個(gè)來排列,每一個(gè)排列看作一個(gè)基本結(jié)果,

每個(gè)排列等可能。

2A8

2A10P(A)

2845

法三:用事件的運(yùn)算和概率計(jì)算法則來作。

記Al,A2分別表第一、二次取得正品。

P(A)P(A1A2)P(A)P(A2|A1)

(2)二只都是次品(記為事件B)872810945

法一:P(B)2C2

2C10145

法二:P(B)2A2

2A10145

法三:

P(B)P(12)P(1)P(2|1)211109459

(3)一只是正品,一只是次品(記為事件C)

11C8C2

2C10法…:P(C)1645

法二:P(C)112(C8C2)A2

2A101645

法三:P(C)P(A121A2)且A12與1A2互斥

P(A1)P(2|A1JP(1)P(A2|1)281682.10910945

(4)第二次取出的是次品(記為事件D)

法一:因?yàn)橐⒁獾谝弧⒌诙蔚捻樞?。不能用組合作,

法二:P(D)11A9A2

2A1015

法三:

P(D)P(A1212)且A12與1A2互斥

P(Al)P(2|AljP(l)P(2|l)822111091095

22.[十八]某人忘記了電話號碼的最后一個(gè)數(shù)字,因而隨機(jī)的撥號,求他撥號

不超過三次而接通所需的電話的概率是多少?如果已知最后一個(gè)數(shù)字是奇數(shù),那

么此概率是多少?

記H表撥號不超過三次而能接通。

Ai表第i次撥號能接通。

注意:第一次撥號不通,第二撥號就不再撥這個(gè)號碼。

HA11A212A3三種情況互斥

P(H)P(Al.)P(l)P(A2|1.)P(1)P(2|1)P(A3|12)

1919813.10109109810

10

如果已知最后一個(gè)數(shù)字是奇數(shù)(記為事件B)問題變?yōu)樵贐已發(fā)生的條件下,

求H再發(fā)生的概率。

P(H|B)PA1|B1A2|B12A3|B)

P(A1|B)P(1|B)P(A2|Bl.)P(1|B)P(2|B1)P(A3|B12)1414313.

5545435

24.[十九]設(shè)有甲、乙二袋,甲袋中裝有n只白球m只紅球,乙袋中裝有N

只白球M只紅球,今從甲袋中任取一球放入乙袋中,再從乙袋中任取一球,問

取到(即從乙袋中取到)白球的概率是多少?(此為第三版19題(1))

記Al,A2分別表“從甲袋中取得白球,紅球放入乙袋”

再記B表“再從乙袋中取得白球”。

二B=A1B+A2B且ALA2互斥P(B尸P(A1)P(B|Al)+P(A2)P(B|A2)

=nNlmN.nmNMlnmNMl

[十九](2)第一只盒子裝有5只紅球,4只白球;第二只盒子裝有4只紅球,5

只白球。先從第一盒子中任取2只球放入第二盒中去,然后從第二盒子中任取一

只球,求取到白球的概率。

記C1為“從第一盒子中取得2只紅球”。

C2為“從第一盒子中取得2只白球”。

C3為“從第一盒子中取得1只紅球,1只白球”,

D為“從第二盒子中取得白球”,顯然Cl,C2,C3兩兩互斥,C1UC2UC3=S,

由全概率公式,有

P(D)=P(C1)P(D|C1)+P(C2)P(D|C2)+P(C3)P(D|C3)

112C525C4C47C56532.221199C911C911C9

11

26.[二H'-一]已知男人中有5%是色盲患者,女人中有0.25%是色盲患者。今

從男女人數(shù)相等的人群中隨機(jī)地挑選一人,恰好是色盲患者,問此人是男性的概

率是多少?

解:Al={男人},A2={女人},B={色盲},顯然A1UA2=S,AlA2=(p由已知

條件知P(AI)P(A2)

由貝葉斯公式,有1P(B|A1)5%,P(B|A2)0.25%2

15P(A1B)P(A1)P(B|A1)202100P(A1|B)125P(B)P(A1)P(B|A1)P(A2)P(

B|A2)1521.2100210000

[二十二]一學(xué)生接連參加同一課程的兩次考試。第一次及格的概率為P,若

第一次

P及格則第二次及格的概率也為P;若第一次不及格則第二次及格的概率為(1)

若至少2

有一次及格則他能取得某種資格,求他取得該資格的概率。(2)若已知他第二

次已經(jīng)及格,求他第一次及格的概率。

解:Ai={他第i次及格},i=l,2

已知P(Al尸P(A21Al尸P,P(A2|1)(1)B={至少有一次及格}}12所以

{兩次均不及格

/.P(B)1P()1P(12)1P(1)P(2|1)

1[1P(A1)][1P(A2|A1)]

1(1P)(1P31)PP2222

(*)定義P(A1A2)(2)P(A1A2)P(A2)

由乘法公式,有P(AlA2)=P(Al)P(A2|Al)=P2由全概率公式,有

P(A2)P(A1)P(A2|A1.)P(1)P(A2|1)

12

PP(iP)

P2

P2P.22

將以上兩個(gè)結(jié)果代入(*)得P(A1|A2)P2

P2P222PP1

28.[二十五]某人下午5:00下班,他所積累的資料表明:

某日他拋一枚硬幣決定乘地鐵還是乘汽車,結(jié)果他是5:47到家的,試求他是乘

地鐵回家的概率。

解:設(shè)人="乘地鐵”,B=“乘汽車",C="5:45~5:49到家”,由題意,AB=(p,AUB=S

已知:P(A)=0.5,P(C|A)=0.45,P(C|B)=0.2,P(B)=0.5

由貝葉斯公式有P(A|C)P(C|A)P(A)P(C)0.50.450.4590.6923

110.6513P(C|A)P(C|B)22

29.[二十四]有兩箱同種類型的零件。第一箱裝5只,其中10只一等品;第

二箱30只,其中18只一等品。今從兩箱中任挑出一箱,然后從該箱中取零件兩

次,每次任取一只,作不放回抽樣。試求(1)第一次取到的零件是一等品的概

率。(2)第一次取到的零件是一等品的條件下,第二次取到的也是一等品的概率。

解:設(shè)Bi表示“第i次取到一等品"i=l,2

13

Aj表示“第j箱產(chǎn)品“j=l,2,顯然A1UA2=S

(1)P(B1)AlA2=(p1101182o,0.4(Bl=A1B+A2B由全概率公式

解)2502305

11O911817P(B1B2)(2)P(B2|B1)0.48572P(B1)

5

(先用條件概率定義,再求P(B1B2)時(shí),由全概率公式解)

32.[二十六(2)]如圖1,2,3,4,5

表示繼電器接點(diǎn),假設(shè)每一繼電器接點(diǎn)閉合

的概率為P,且設(shè)各繼電器閉合與否相互獨(dú)

立,求L和R是通路的概率。

記Ai表第i個(gè)接點(diǎn)接通

記A表從L到R是構(gòu)成通路的。

A=A1A2+A1A3A5+A4A5+A4A3A2四種情況不互斥

二P(A)=P(A1A2)+P(A1A3A5)+P(A4A5)+P(A4A3A2)-P(A1A2A3A5)

+P(A1A2A4A5)+P(A1A2A3A4)+P(AlA3A4A5)

+P(A1A2A3A4A5)P(A2A3A4A5)+P(A1A2A3A4A5)+P(A1A2A3A4A5)

+(A1A2A3A4A5)+P(A1A2A3A4A5)-P(A1A2A3A4A5)

又由于Al,A2,A3,A4,A5互相矗立。

故P(A)=p2+p3+p2+p3—[p4+p4+p4+p4+p5+p4]+[p5

+p5+p5+p5]—p5=2p2+3p3-5p4+2p5

[二十六(1)]設(shè)有4個(gè)獨(dú)立工作的元件1,2,3,4。它們的可靠性分別為P1,

P2,P3,P4,將它們按圖(1)的方式聯(lián)接,求系統(tǒng)的可靠性。

記Ai表示第i個(gè)元件正常工作,i=l,2,3,4,

A表示系統(tǒng)正常。14

,/A=A1A2A3+A1A4兩種情況不互斥

/.P(A)=P(A1A2A3)+P(A1A4)-P(A1A2A3A4)(加法公式)

=P(A1)P(A2)P(A3)+P(A1)P(A4)-P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)

=P1P2P3+P1P4-P1P2P3P4(A1,A2,A3,A4獨(dú)立)

34.[三十一]袋中裝有m只正品硬幣,n只次品硬幣,(次品硬幣的兩面均印

有國徽)。在袋中任取一只,將它投擲r次,已知每次都得到國徽。問這只硬幣

是正品的概率為多少?

解:設(shè)''出現(xiàn)r次國徽面”=Br"任取一只是正品”=A

由全概率公式,有

mlm()lr

mn2mn

mlr

()P(A)P(Br|A)mP(A|Br)mlmP(Br)mn2r0mn2mnP(Br)P(A)P(Br|A)P()

P(Br|)

(條件概率定義與乘法公式)

35.甲、乙、丙三人同時(shí)對飛機(jī)進(jìn)行射擊,三人擊中的概率分別為0.4,0.5,

0.7o飛機(jī)被一人擊中而被擊落的概率為0.2,被兩人擊中而被擊落的概率為0.6,

若三人都擊中,飛機(jī)必定被擊落。求飛機(jī)被擊落的概率。

解:高Hi表示飛機(jī)被i人擊中,i=l,2,3oBl,B2,B2分別表示甲、乙、

丙擊中飛機(jī)

?*?

HlB12312312B3,三種情況互斥。H2B1B23B12B31B2B3三種情況互斥

H3B2B2B3

又Bl,B2,B2獨(dú)立。

15

:.P(H1)P(B1)P(2)P(3)P(1)P(B2)P(3)

,P(1)P(2)P(B3)0.40.50.30.6

0.50.30.60.50.70.36

P(H2)P(B1)P(B2)P(3)P(B1)P(2)P(B3)

,P(1)P(B2)P(B3)0.40.50.3

+0.4x0.5x0.7+0.6x0.5x0.7=0.41

P(H3)=P(B1)P(B2)P(B3尸0.4=0.5x0.7=0.14

又因:A=H1A+H2A+H3A三種情況互斥

故由全概率公式,有

P(A)=P(H1)P(A|H1)+P(H2)P(A|H2)+P(H3)P(AH3)

=0.36x0.2+0.41x0.6+0.14x1=0.458

36.[三十三]設(shè)由以往記錄的數(shù)據(jù)分析。某船只運(yùn)輸某種物品損壞2%(這一事

件記為A1),10%(事件A2),90%(事件A3)的概率分別為P(A1)=0.8,P

(A2)=0.15,P(A2)=0.05,現(xiàn)從中隨機(jī)地獨(dú)立地取三件,發(fā)現(xiàn)這三件都是好的(這

一事件記為B),試分別求P(A1|B)P(A2|B),P(A3|B)(這里設(shè)物品件數(shù)很多,取

出第一件以后不影響取第二件的概率,所以取第一、第二、第三件是互相獨(dú)立地)

:B表取得三件好物品。

B=A1B+A2B+A3B三種情況互斥

由全概率公式,有

P(B尸P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)

=0.8x(0.98)3+0.15x(0.9)3+0.05x(0.1)3=0.8624

16

P(A1B)P(A1)P(B|A1)0.8(0.98)3

P(A1|B)0.8731P(B)P(B)O.8624

P(A2B)P(A2)P(B|A2)0.15(0.9)3

P(A2|B)0.1268P(B)P(B)0.8624

P(A3B)P(A3)P(B|A3)0.05(0.1)3

P(A3|B)0.0001P(B)P(B)0.8624

37.[三十四]將A,B,C三個(gè)字母之一輸入信道,輸出為原字母的概率為a,

而輸出為其它一字母的概率都是(l—a)/2。今將字母串AAAA,BBBB,CCCC

之一?輸入信道,輸入AAAA,BBBB,CCCC的概率分別為pl,p2,p3(pl

+p2+p3=l),已知輸出為ABCA,問輸入的是AAAA的概率是多少?(設(shè)信道傳

輸每個(gè)字母的工作是相互獨(dú)立的。)

解:設(shè)D表示輸出信號為ABCA,Bl、B2、B3分別表示輸入信號為AAAA,

BBBB,CCCC,則Bl、B2、B3為一完備事件組,且P(Bi)=Pi,i=l,2,3。

再設(shè)A發(fā)、A收分別表示發(fā)出、接收字母A,其余類推,依題意有

P(A收|A發(fā)尸P(B收|B發(fā)尸P(C收|C發(fā)尸a,

P(A收|B發(fā)尸P(A收|C發(fā)尸P(B收|A發(fā)尸P(B收|C發(fā)尸P(C收|A發(fā)尸P(C

收IB發(fā)尸ia2

又P(ABCA|AAAA)=P(D|B1)=P(A收|A發(fā))P(B收|A發(fā))P(C收|A發(fā))P(A

收|A發(fā))

=a2(la2),2

ia3)2同樣可得P(D|B2)=P(D|B3)=a(

于是由全概率公式,得

P(D)P(B)P(D|B)ii

i13

pla2(ia21a3)(P2P3)a()22

由Bayes公式,得

P(AAAA|ABCA)=P(B1|D)=P(B1)P(D|B1)P(D)

17

=2aPl2aPl(la)(P2P3)

[二十九]設(shè)第一只盒子裝有3只藍(lán)球,2只綠球,2只白球;第二只盒子裝有

2只藍(lán)球,3只綠球,4只白球。獨(dú)立地分別從兩只盒子各取一只球。(1)求至

少有一只藍(lán)球的概率,(2)求有一只藍(lán)球一只白球的概率,(3)已知至少有一只

藍(lán)球,求有一只藍(lán)球一只白球的概率。

解:記Al、A2、A3分別表示是從第一只盒子中取到一只藍(lán)球、綠球、白球,

BkB2、B3分別表示是從第二只盒子中取到一只藍(lán)球、綠球、白球。

(1)記?={至少有一只藍(lán)球}

C=A1B1+A1B2+A1B3+A2B1+A3B1,5種情況互斥

由概率有限可加性,得

P(C)P(A1Bl.)P(A1B2)P(A1B3)P(A2Bl.)P(A3B1)

獨(dú)立性P(A)P(B.)P(A)P(B.)P(A)P(B.)P(A)P(B.)P(A)P(B)

1112132131

32333422225....79797979799

(2)記口={有一只藍(lán)球,一只白球},而且知D=A1B3+A3B1兩種情況互斥

P(D)P(A1B3P(A3B1)P(A1)P(B3)P(A3)P(B1)

342216.797963

P(CD)P(D)16P(C)P(C)35(3)P(D|C)(注意到CDD)

[三十]A,B,C三人在同一辦公室工作,房間有三部電話,據(jù)統(tǒng)計(jì)知,打給

A,B,

221C的電話的概率分別為,。他們?nèi)顺R蚬ぷ魍獬?,A,B,C三人外出的

概,555111率分別為,,設(shè)三人的行動(dòng)相互獨(dú)立,求244

(1)無人接電話的概率;(2)被呼叫人在辦公室的概率;若某一時(shí)間斷打進(jìn)

了3個(gè)電話,求(3)這3個(gè)電話打給同一人的概率;(4)這3個(gè)電話打給不同

人的概率;(5)這3個(gè)電話都打給B,而B卻都不在的概率。

18

解:記Cl、C2、C3分別表示打給A,B,C的電話

Dl>D2、D3分別表示A,B,C外出

注意到CCC2、C3獨(dú)立,且P(C1)P(C2)

P(D1)21,P(C3)5511,P(D2)P(D3)24

(1)P(無人接電話)=P(D1D2D3)=P(D1)P(D2)P(D3)

=111124432

(2)記6=“被呼叫人在辦公室”,GC1D.1C2D2C3D3三種情況互斥,由有限

可加性與乘法公式

P(G)P(C1Dl.)P(C2D2)P(C3D3)由于某人外出與

P(C1)P(D1|Cl.)P(C2)P(D2|C2)P(C3)P(D3|C3)否和來電話無關(guān)故

P(D|C)P(D)21231313kkk..52545420

(3)H為“這3個(gè)電話打給同一個(gè)人”

P(H)22222211117..555555555125

(4)R為“這3個(gè)電話。給木同的人”

R由六種互斥情況組成,每種情況為打給A,B,C的三個(gè)電話,每種情況的

概率為2214555125

于是P(R)6424125125

(5)由于是知道每次打電話都給B,其概率是1,所以每一次打給B電話而B

不在1的概率為,且各次情況相互獨(dú)立4

11于是P(3個(gè)電話都打給B,B都不在的概率)=()3464

19

第二章隨機(jī)變量及其分布

1.[-]一袋中有5只乒乓球,編號為1、2、3、4、5,在其中同時(shí)取三只,以

X表示取出的三只球中的最大號碼,寫出隨機(jī)變量X的分布律

解:X可以取值3,4,5,分布律為

2

1C23C5

P(X3)P(一球?yàn)?號,兩球?yàn)?,2號)

110

2

1C33C5

P(X4)P(一球?yàn)?號,再在1,2,3中任取兩球)

310610

P(X5)P(一球?yàn)?號,再在1,2,3,4中任取兩球)

也可列為下表X:3,4,5P:

2

1C43C5

136

,,

101010

3.[三]設(shè)在15只同類型零件中有2只是次品,在其中取三次,每次任取一只,

作不放回抽樣,以X表示取出次品的只數(shù),(1)求X的分布律,(2)畫出分布

律的圖形。

解:任取三只,其中新含次品個(gè)數(shù)X可能為0,1,2個(gè)。

P(X0)

3

C133C15

22351235135

P(X1)

12C2C13

3

C1521C2C13

3

C15

P(X2)

再列為下表

X:0,1,2P:

22121

353535

20

4.[四]進(jìn)行重復(fù)獨(dú)立實(shí)驗(yàn),設(shè)每次成功的概率為p,失敗的概率為q=1-

p(0<p<l)

(I)將實(shí)驗(yàn)進(jìn)行到出現(xiàn)一次成功為止,以X表示所需的試驗(yàn)次數(shù),求X的分

布律。(此時(shí)稱X服從以p為參數(shù)的兒何分布。)

(2)將實(shí)驗(yàn)進(jìn)行到出現(xiàn)r次成功為止,以Y表示所需的試驗(yàn)次數(shù),求Y的分

布律。(此時(shí)稱Y服從以r,p為參數(shù)的巴斯卡分布。)

(3)一籃球運(yùn)動(dòng)員的投籃命中率為45%,以X表示他首次投中時(shí)累計(jì)已投籃

的次數(shù),寫出X的分布律,并計(jì)算X取偶數(shù)的概率。

解:(1)P(X=k)=qklp—k=l,2??,

(2)Y=Hn={最后一次實(shí)驗(yàn)前什n—1次有n次失敗,且最后一次成功}

P(Y,m)CrnnlqnprlpCrnnlqnpr,

(3)P(X=k)=(0.55)k-10.45

n0,1,2,,其中q=l—p,rlrkr,krjl,或記r+n=k,則

P{Y=k}=Cklp(ip)k=l,2...2klP(X取偶數(shù)尸P(X2k)(0.55)

kIk10.451131

6.[六]一大樓裝有5個(gè)同類型的供水設(shè)備,調(diào)查表明在任一時(shí)刻t每個(gè)設(shè)備使

用的概率為0.1,問在同一時(shí)刻

(1)恰有2個(gè)設(shè)備被使用的概率是多少?

22522P(X2)C5pqC5(0.1)2(0.9)30.0729

(2)至少有3個(gè)設(shè)備被使用的概率是多少?

345P(X3)C5(0.1)3(0.9)2C5(0.1)4(0.9)C5(0.1)50.00856

(3)至多有3個(gè)設(shè)備被使用的概率是多少?

01P(X3)C5(0.9)5C50.1(0.9)4C52(0.1)2(0.9)3

3C5(0.1)3(0.9)20.99954

(4)至少有一個(gè)設(shè)備被使用的概率是多少?

P(X1)1P(X0)10.590490.40951

[五]一房間有3扇同樣大小的窗子,其中只有一扇是打開的。有一只鳥自開

著的窗子飛入了房間,它只能從開著的窗子飛出去。鳥在房子里飛來飛去,試圖

飛出房間。假定鳥是沒有記憶的,鳥飛向各扇窗子是隨機(jī)的。

(1)以X表示鳥為了飛出房間試飛的次數(shù),求X的分布律。

(2)戶主聲稱,他養(yǎng)的一只鳥,是有記憶的,它飛向任一窗子的嘗試不多于

一次。21

以Y表示這只聰明的鳥為了飛出房間試飛的次數(shù),如戶主所說是確實(shí)的,試求

Y的分布律。

(3)求試飛次數(shù)X小于Y的概率;求試飛次數(shù)Y小于X的概率。

解:(1)X的可能取值為1,2,3,”,n,,,

P{X=n}=P{前n—1次飛向了另2扇窗子,第n次飛了出去}

=(2

3)nl1

3,n=l,2,

(2)Y的可能取值為1,2,3

P{Y=1}=P{第1次飛了出去}=1

3

P{Y=2}=P{第1次飛向另2扇窗子中的一扇,第2次飛了出去}

=2

311

23

P{Y=3}=P{第1,2次飛向了另2扇窗子,第3次飛了出去}

=2!

3!1

3

3

(3)P{XY}P{Yk}P{XY|Yk}

k1全概率公式并注意

3

P{Yk}P{XY|Yk}P{XY|Y1}0

k2

3

{Yk}P{Xk}注意到X,Y獨(dú)立即

Pk2

1P{XY|Yk

31

31}

3121333P{Xk}

同上,P{XY}3

P{Yk}P{XY|Yk}

k1

3

P{Yk}P{Xk}1

31121419

k133932781故P{YX}1P{XY}P{XY)38

81

8.[八]甲、乙二人投籃,投中的概率各為0.6,0.7,令各投三次。求

(1)二人投中次數(shù)相等的概率。

記X表甲三次投籃中投中的次數(shù)

Y表乙三次投籃中投中的次數(shù)

22到

由于甲、乙每次投籃獨(dú)立,且彼此投籃也獨(dú)立。

P(X=Y)=P(X=0,Y=0)+P(X=2,Y=2)+P(X=3,Y=3)

=P(X=0)P(Y=0)+P(X=1)P(Y=l)+P(X=2)P(Y=2)+P(X=3)P(Y=3)

11=(0.4)3x(0.3)3+[C30.6(0.4)2][C30.7(0.3)2]

22(0.6)20,4][C3(0.7)2.3J(0.6)3.[C3

(0.7)30.321

(2)甲比乙投中次數(shù)多的概率。

P(X>Y)=P(X=l,Y=0)+P(X=2,Y=0)+P(X=2,Y=l)+

P(X=3)P(Y=0)+P(X=3)P(Y=l)+P(X=3)P(Y=2)

=P(X=l)P(Y=0)+P(X=2,Y=0)+P(X=2,Y=l)+

P(X=3)P(Y=0)+P(X=3)P(Y=l)+P(X=3)P(Y=2)

120.6(0.4)2](0.3)3[C3(0.6)20.4](0.3)8=[C3

[C3(0.6)0,4][C30.7(0.3)J(0.6)

1(03)3(0.6)3[C30.7(0.3)2J(0.6)322123

[C3(0.7)0,3]0.243

9.[十]有甲、乙兩種味道和顏色極為相似的名酒各4杯。如果從中挑4杯,

能將甲種酒全部挑出來,算是試驗(yàn)成功」次。

(1)某人隨機(jī)地去猜,問他試驗(yàn)成功一次的概率是多少?

(2)某人聲稱他通過品嘗能區(qū)分兩種酒。他連續(xù)試驗(yàn)10次,成功3次。試問

他是猜對的,還是他確有區(qū)分的能力(設(shè)各次試驗(yàn)是相互獨(dú)立的。)

解:(1)P(一次成功尸2211470C8

3(2)P(連續(xù)試驗(yàn)10次,成功3次尸C10(136973c此概率太小,按

實(shí))()707010000

際推斷原理,就認(rèn)為他確有區(qū)分能力。

[九]有一大批產(chǎn)品,其驗(yàn)收方案如下,先做第一次檢驗(yàn):從中任取10件,經(jīng)

驗(yàn)收無次品接受這批產(chǎn)品,次品數(shù)大于2拒收;否則作第二次檢驗(yàn),其做法是從

中再任取5件,僅當(dāng)5件中無次品時(shí)接受這批產(chǎn)品,若產(chǎn)品的次品率為10%,求

(1)這批產(chǎn)品經(jīng)第一次檢驗(yàn)就能接受的概率

(2)需作第二次檢驗(yàn)的概率

23

(3)這批產(chǎn)品按第2次檢驗(yàn)的標(biāo)準(zhǔn)被接受的概率

(4)這批產(chǎn)品在第1次檢驗(yàn)未能做決定且第二次檢驗(yàn)時(shí)被通過的概率

(5)這批產(chǎn)品被接受的概率

解:X表示10件中次品的個(gè)數(shù),Y表示5件中次品的個(gè)數(shù),

由于產(chǎn)品總數(shù)很大,故X?B(10,0.1),Y-B(5,0.1)(近似服從)

(1)P{X=0}=0.910=0.349

21(2)P{X<2}=P{X=2}+P{X=l}=C100.120.98C100.10.990.581

(3)P{Y=0}=0.95=0.590

(4)P{0<X<2,Y=0}({O<X02}與{Y=2}獨(dú)立)

=P{0<X<2}P{Y=0}

=0.581x0.5900.343

(5)P{X=0}+P{0<X<2,Y=0}

-0.349+0.343=0.692

12.[十三]電話交換臺(tái)每分鐘的呼喚次數(shù)服從參數(shù)為4的泊松分布,求

(1)每分鐘恰有8次呼喚的概率

法一:

法二:484P(X8)e0.029770(直接計(jì)算)8!P(X=8)=P(X>8)-P(X>9)

(查九=4泊松分布表)。

=0.051134-0.021363=0.029771

(2)每分鐘的呼喚次數(shù)大于10的概率。

P(X>10)=P(X>11)=0.002840(查表計(jì)算)

[十二(2)]每分鐘呼喚次數(shù)大于3的概率。

P{X3}P{X4}0.566530

[十六]以X表示某商店從早晨開始營業(yè)起直到第一顧客到達(dá)的等待時(shí)間(以

分計(jì)),X的分布函數(shù)是

le0.4x,xOFX(x)x00

求下述概率:

(1)P{至多3分鐘};(2)P{至少4分鐘};(3)P{3分鐘至4分鐘之間};

(4)P{至多3分鐘或至少4分鐘};(5)P{恰好2.5分鐘}

解:(1)P{至多3分鐘}=P{XW3}=FX(3)lel.2

24

(2)P{至少4分鐘}P(X%)=iF.6

X(4)el

(3)P{3分鐘至4分鐘之間}=P{3<XS4}=FX(4)FX(3)el.2el.6

(4)P{至多3分鐘或至少4分鐘}=P{至多3分鐘}+P{至少4分鐘}

=lel.2el.6

(5)P{恰好2.5分鐘}=P(X=2.5)=0

0,x1,

18.[十七]設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F

X(x)lnx,lxe,,

l,xe.

求⑴P(X<2),P{0<X<3},P(2<X<);(2)求概率密度fX(x).解:

(1)P(X<2)=FX(2)=ln2,P(0<Xg3尸F(xiàn)X⑶一FX(0)=1,P(2X5

2F(555

X2)FX(2)In21n2ln4

(2)f(x)F,(x)1

x,lxe,

0淇它

20.[十八(2)]設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度f(x)為

1)f(x)2

x2

(1x1

0其它

0x1

(2)f(x)x

2x1x2

0其他

求X的分布函數(shù)F(x),并作出(2)中的f(x)與F(x)的圖形。解:當(dāng)一1WX0

時(shí):

F(x)'12211X

Odxxlx2dx2

2xx2arcsinx1

1

TIXX21

narcsinx1

2

當(dāng)時(shí):F(x)'ll

Odx217rx2dxx

lOdxI

故分布函數(shù)為:

Olllx'1

F(x)7ixx27iarcsinx1x1

2

11x

25

解:(2)F(x)P(Xx)x

f(t)dt

當(dāng)x0時(shí),F(x)x

Odt0

x2當(dāng)0x1時(shí),F(x)Odttdt020x

當(dāng)1x2時(shí),F(x)

當(dāng)2x時(shí),F(x)

故分布函數(shù)為0OdtlOtdtx1(2t)dt2xxl22

0OdtlOtdt21②)出x20dt1

0x2

F(x)222xxl21x00x11x22x

(2)中的f(x)與F(x)的圖形如下

x22.[二十]某種型號的電子的壽命X(以小時(shí)計(jì))具有以下的概率密度:

1000f(x)x2

Ox1000其它

現(xiàn)有一大批此種管子(設(shè)各電子管損壞與否相互獨(dú)立)。任取5只,問其中至

少有2只壽命大于1500小時(shí)的概率是多少?

解:一個(gè)電子管壽命大于1500小時(shí)的概率為

26

P(X1500)1P(X1500)1

1(122)331500100010001000(1)1500dx1xlOOOx2

令Y表示“任取5只此種電子管中壽命大于1500小時(shí)的個(gè)數(shù)”。則Y?B(5,2),3

2111P(Y2)1P(Y2)1P(YQ)P(Y1)1()5C5()()433

3152112321124324335

23.[二十一]設(shè)顧客在某銀行的窗口等待服務(wù)的時(shí)間X(以分計(jì))服從指數(shù)分

布,其概率密度為:

x15FX(x)5e,x0

0淇它

某顧客在窗口等待服務(wù),若超過10分鐘他就離開。他一個(gè)月要到銀行5次。

以Y表示一個(gè)月設(shè)K在(0,5)上服從均勻分布,求方程4x24x30有實(shí)根

的概率

1K的分布密度為:f(K)5000K5其他

要方程有根,就是要K滿足(4K)2—4x4x(K+2)>0o

解不等式,得KN2時(shí),方程有實(shí)根。

25P(K2)f(x)dxldx25.

50dx35

27

25.[二十三]設(shè)X?N(3.22)

(1)求P(2<XW5),P(-4)<X<10),P{|X|>2},P(X>3)

P(iag"/若X?N(|i,o2),貝llP(a<XWp)=(p(poo

5323=(p(l)-(p(-0.5)P(2<X<5)=(p~(p22

=0.8413-0.3085=0.5328

103'43=(p(3.5)-(p(-3.5)P(-4<X<10)=(p'(p22

=0.9998-0.0002=0.9996

P(|X|>2)=l-P(|X|<2)=1-P(-2<P<2)

23'23=122

=1-(p(-0.5)+(p(-2.5)=1-0.3085+0.0062=0.697733P

(X>3)=l-P(X<3)=1-(p=1-0.5=0.52

(2)決定C使得P(X>C)=P(X<C)

又P(X>C)=1-p(X<C)=P(X<C)P(X<C)=1=0.52C3C3P

(X<C)=(p0,C=30.5,查表可得22

226.[二十四]某地區(qū)18歲的女青年的血壓(收縮區(qū),以mm-Hg計(jì))服從

N(110,12)

在該地區(qū)任選一18歲女青年,測量她的血壓X。求

(1)P(X<105),P(100<X<120).(2)確定最小的X使P(X>x)W0.05.

105110解:(1)P(X105)()(0.4167)1(0.4167)10.66160.3384

1212dll010011055P(100X120)()()0()121266

52()12(0.8333)120.797610.59526

(2)P(Xx)1P(Xx)1(xl10x110)0.05()0.95.1212

由10查表得1.645.x11019.74129.74.故最小的X129.74.12

28

27.[二十五]由某機(jī)器生產(chǎn)的螺栓長度(cm)服從參數(shù)為四=10.05,。=0.06的

正態(tài)分布。規(guī)定長度在范圍10.05±0.12=1-

0.060.06

=l-{(p(2)-(p(-2)}

=1-{0.9772-0.0228}

=0.0456

28.[二十六]一工廠生產(chǎn)的電子管的壽命X(以小時(shí)計(jì))服從參數(shù)為-160,

。(未知)的正態(tài)分布,若要求P(120VXW200==0.80,允許o最大為多少?

20016012016040''400.80P(120<

X<200)='oooo

又對標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布有(p(-x)=l—(p(x)

40400.80,上式變?yōu)閪i

40400.9解出便得:

再查表,得40401.281031.2501.281

30.[二十七]設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為:

X:-2,

P:-1,0,1,31,5111,,,6515

(-1)2

(0)21130(1)2(3)2求Y=X2的分布律:Y=X2:(-2)2P:1

51116515

491130再把X2的取值相同的合并,并按從小到大排列,就得函數(shù)Y的

分布律為:,Y:0

1P:5

11615115113029

31.[二十八]設(shè)隨機(jī)變量X在(0,1)上服從均勻分布

(1)求Y=eX的分布密度

,/X的分布密度為:f(x)10x1

Ox為其他

Y=g(X)=eX是單調(diào)增函數(shù)

又X=h(Y尸InY,反函數(shù)存在

且a=min[g(0),g(l)]=min(l,e)=l

max[g(0),g(l)]=max(l,e)=e

.??Y的分布密度為:v(y)flh(y)]|h,(y)|11

ylye

Oy為其他

(2)求Y=-21nX的概率密度。

???Y=g(X)=-21nX是單調(diào)減函數(shù)

Y

又Xh(Y)e2反函數(shù)存在。

且a=min[g(0),g(l)]=min(+oo,0)=0

P=max[g(0),g(l)]=max(+oo,0)=+oo

,Y的分布密度為:w(y)f[h(y)]|h,(y)|1'lyy

22e1

2e2

0

32.[二十九]設(shè)X?N(0,1)

(1)求Y=eX的概率密度

x2

丁X的概率密度是f(x)12

2兀e,x.

Y=g(X)=eX是單調(diào)增函數(shù)

又X=h(Y)=InY反函數(shù)存在

且a=min[g(-co),g(+oo)]=min(0,+oo)=0p=max[g(-0o),g(+oo)]=

max(0,+oo)=+ooY的分布密度為:

嗔y)flh(y)]|hXy)|l(lny)2

2Tle21

y0y.Oy為其他0y.y為其他

30

(2)求Y=2X2+1的概率密度。

在這里,Y=2X2+1在(+8,—8)不是單調(diào)函數(shù),沒有一般的結(jié)論可用。設(shè)Y

的分布函數(shù)是FY(y),貝ijFY(y)=P(Y<y)=P(2X2+l<y)

=Pyl

2X2

當(dāng)時(shí):FY(y)=0

yi

當(dāng)y>l時(shí):F

yi

lx2y(y)P

Xyl2

dx

2

2

yl27i

e2

故Y的分布密度\|/(y)是:

當(dāng)ySl時(shí):v(y)=[FY(y)],=(0),=0

yl2當(dāng)y>1時(shí),w(y)=[F

1x2Y(y)]'=

e

2

dx

yi2

2

yi=

i

e4

2(yl)

(3)求Y=|X|的概率密度。

,IY的分布函數(shù)為FY(y)=P(Y<y)=P(|X|<y)當(dāng)y<O時(shí),F(xiàn)Y(y)=0

2當(dāng)yK)時(shí),F

xY(y)=P(|X|<y)=P(—y<X<y)=

yi

2

y

2n

edx

Y的概率密度為:

當(dāng)y或時(shí):y)=[FY(y)],

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