2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)2019單元復(fù)習(xí)試題單元復(fù)習(xí)09平面向量提高2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)2019單元復(fù)習(xí)試題單元復(fù)習(xí)09平面向量提高題

單元復(fù)習(xí)09平面向量

基礎(chǔ)綱3

一、單選題

1.下列命題中正確的個(gè)數(shù)是()

①起點(diǎn)相同的單位向量，終點(diǎn)必相同；

②己知向量在〃而，則48,C,。四點(diǎn)必在一直線上；

③若5//b,b//c,則3〃己；

④共線的向量，若起點(diǎn)不同，則終點(diǎn)一定不同.

A.0B.1C.2D.3

【答案】A

【分析】由平面向量的概念對選項(xiàng)逐一判斷，

【解析】對于A,單位向量的方向不確定，故起點(diǎn)相同的單位向量，終點(diǎn)不一定相同，故A

錯(cuò)誤，

對于B,向量方〃而，則48,。,。四點(diǎn)共線或/&/CD,故B錯(cuò)誤，

對于C,若萬〃己，當(dāng)3=6時(shí)，不一定平行，故C錯(cuò)誤，

對于D,若48,C三點(diǎn)共線，則?！ǘ藭r(shí)起點(diǎn)不同，終點(diǎn)相同，故D錯(cuò)誤，

故選：A

2.如圖所示，已知在“8c中，。是邊48上的中點(diǎn)，則而=()

----1——

B.—BC+—BA

22

—1―—?1—*

C.—BC——BAD.BC+-BA

22

【答案】B

【分析】由題意得麗=g而，再由而=在+而=-團(tuán)+；而，即可得到答案.

—1—.

【解析】由于。是邊力8上的中點(diǎn)，則3。=5員4.

CD=CB+~BD=-^BC+^BA.

2

故選：B.

3.關(guān)于向量Z,h,下列命題中，正確的是（）

A.若"=問，則°=加B.若°=-5,貝!]“〃刃

C.若同咽，則￡＞否D.若￡〃九b//c，則￡〃"

【答案】B

【分析】根據(jù)平面向量的相關(guān)定義，判斷選項(xiàng).

【解析】A.由平面向量的定義可知，向量的模相等，向量不一定相等，故A錯(cuò)誤；

B.兩個(gè)向量是相反向量，則兩個(gè)向量平行，故B正確；

C.向量不能比較大小，故C錯(cuò)誤；

D.當(dāng)向量1=0時(shí)，G與-不一定平行，故D錯(cuò)誤；

故選：B

4.若平面上的三個(gè)力瓦瓦后作用于一點(diǎn)，且處于平衡狀態(tài).己知同=1N,同=6N,1與

月的夾角為150。，則力用的大小為（）.

A.7B.V7C.—D.I

2

【答案】D

【分析】根據(jù)三力平衡得到冗+尺=-瓦，然后通過平方將向量式數(shù)量化得到

同+2同間cosl5（T+Ej=El代入數(shù)據(jù)即可得到答案.

【解析】根據(jù)三力平衡得1+月+瓦=0,即耳+E=-月，

兩邊同平方得開2+2科豆+引=同,

即同+2同國cosl5（T+后卜用

即I2+2x1x6?'4卜可胴2,

解得同=1

故選：D.

5.設(shè)向量2,5均為單位向量,則“力弘是“恢-彳=歸+2中，的()

A.充分不必要條件B.充要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【分析】將|2Z-B|=B+24兩邊平方轉(zhuǎn)化為晨5=0,從而得到與區(qū)之間的關(guān)系.

【解析】若￡_LB,則73=0，所以忸-4=4?2-4a-b+b~=5,

|a+2^|2=a^+4a-b+4b'=5,所以囚-@=卜+24,滿足充分性；

若悔—耳叩+24,兩邊平方得￡￡=0,所以力上滿足必要性.

故選：B.

6.在平行四邊形488中，AB=2,AD=\,ZDAB=60\對角線ZC與8。交于點(diǎn)O,E是

線段。。的中點(diǎn)，/E的延長線與C。交于點(diǎn)尸.設(shè)善=d,AD=b，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()

B.AF=—a+b

3

c|萬呼

D.AFAB=-

3

【答案】C

【分析】由題意可證明ADM~A￡>GC,則2盤=:，根據(jù)向量的分解、模長和數(shù)量積

GCD(J3

的運(yùn)算，即可判斷正誤.

解：對于A,取05的中點(diǎn)G,連接CG,貝IJ/E//CG且<E=CG,即EF//CG

.△DEFfDGC,pllj—=—=1

GCDG3

—i—i—

:.EF=-GC=-AE,A選項(xiàng)正確；

DFDE11

對于B,?,FDEFfDGC,則一=—二-nDF=-DC

DCDG33

:.jF=AD+DF=14D+-DC=AD+-AB=-a+b,B選項(xiàng)正確；

333

對于C,-：AF=^a+h,

\AF\=f—a4-ft>l=-a2+—a-b+b2=—x22+—x2xlxcos60+12=-

I1UJ93939

則卜尸卜^,C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對于D,==1x22+2xlxcos60"=1,D選項(xiàng)正確；

故選：C.

7.已知向量Z=（4,2）,7（2,1）,若Z+2B與74的夾角是銳角，則實(shí)數(shù)2的取值范圍為（）

A.（1-7H,2）U（2,1+4T）B.（-2,5）

C.（1-E,1+4T）D.（_00/_而川（1+杭⑺

【答案】A

【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積為正數(shù)且兩向量不同向即可根據(jù)坐標(biāo)運(yùn)算求解.

【解析】由題意得a+2B=（4+2/l,4）,a-族=（4-4,1）,

若￡+25與的夾角是銳角，貝心+2否與［一辦不共線，且它們數(shù)量積為正值，

即4+22x4（4-2）,K（a+2ft）.（a-^）=（4+22,4）.（4-A,l）=20+4/l-2/l2>0,

解得i-VTT<a<i+7TT,且兒#2,

所以實(shí)數(shù)力的取值范圍為（1-布,2）U（2,1+JT）.

故選:A

8.設(shè)4,4,4,4是平面直角坐標(biāo)系中兩兩不同的四點(diǎn)，若石=4瓦（2eR）,

44=〃44（/，eR）,且:+'=2,則稱4,4調(diào)和分割4,4.已知點(diǎn)。（。，。），

XJLI

D(d,0)(c,4eR)調(diào)和分割點(diǎn)力(0,0),B(l,0),則下面說法正確的是()

A.C可能是線段N8的中點(diǎn)

B.?？赡苁蔷€段的中點(diǎn)

C.C,?？赡芡瑫r(shí)在線段上

D.C,。不可能同時(shí)在線段48上

【答案】D

【分析】先根據(jù)題目定義，向量的坐標(biāo)運(yùn)算，推出c,d之間的關(guān)系，然后四個(gè)選項(xiàng)每個(gè)代入

驗(yàn)證，用排除法解決.

【解析】根據(jù)題意可知,AC=^AB^D=MB,HP(c,0)-(0,0)=2[(1,0)-(0,0)],(c,0)=/(1,0),

得。=4,00)-(0,0)=4(1,0)-(0,0)],即@0)="(1，0)，得”=〃，根據(jù)1+1=2,得,+1=2.

線段48的方程是y=0,xe[0,l].

若C是線段/B的中點(diǎn)，貝ljc=：，代入，+)=2,得1=0,

2cda

此等式不可能成立，故選項(xiàng)A的說法不成立；同理選項(xiàng)B的說法也不成立；

若C,。同時(shí)在線段16上，則0<c<1,0<d<l,此時(shí)—>1,—>\,—■F—>2,與—F—=2

cacaca

矛盾，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

當(dāng)C,D同時(shí)不在線段AB上時(shí)，

若。>1,d>1,則,+!<2,與,+工=2矛盾，

caca

若c<0,J<0,則)是負(fù)值，與\」二2矛盾，

caca

若c<0,d>l,則，<0,此時(shí)與，+工=2矛盾，

cacaca

若C>1,J<0,則!<0,此時(shí)1+與！+!=2矛盾，故選項(xiàng)D的說法成立.

cacacd

故選：D.

二、多選題

9.下列說法中正確的是()

A.零向量與任一向量平行B.方向相反的兩個(gè)非零向量不一定共線

C.零向量的長度為0D.方向相反的兩個(gè)非零向量必不相等

【答案】ACD

【分析】利用零向量的定義及性質(zhì)判斷選項(xiàng)A和選項(xiàng)C,利用共線向量的定義判斷選項(xiàng)B,

利用相等向量的定義判斷選項(xiàng)D.

【解析】解：零向量與任一向量平行，零向量的方向不確定，但模確定為0,故A與C都是

正確的；根據(jù)共線向量的定義，方向相反的兩個(gè)非零向量一定共線，故B錯(cuò)誤；對于D,因

為向量相等的定義是長度相等且方向相同的向量，所以方向相反的兩個(gè)非零向量必不相等,

故D正確.

故選：ACD.

10.已知平面向量3=（1,0）,5=（1,26），則下列說法正確的是（）

A.\a+b\=\（>B.（3+S）-a=2

C.向量萬+另與萬的夾角為30°D.向量,+B在3上的投影向量為24

【答案】BD

【分析】根據(jù)向量模長的坐標(biāo)計(jì)算即可判斷A,根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可判斷B,由夾角公式

可判斷C,由投影向量的求解公式可判斷D.

【解析】2+5=（1+1,0+2百）=（2,2百），所以卜+5卜師前/=4,故A錯(cuò)誤；

心,+B）=1X2+0X26=2,故B正確；

一a\a+b\1

cos<a,?+6>=_=-,

\a\\a+b\2

<aya+b>e（0,7i）,.\<a,3+b>=—,故C錯(cuò)誤；

向量G+B在不上的投影向量為l-{￡=3x7=2萬,故D正確.

同同1

故選：BD

11.在△/8C中，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.AB-AC=BC

B.7B-SC<|ZS|-|BC|

C.若（方+就）.（而-配）=0,則“8C是等腰三角形

D.若X.荏>0,則是銳角三角形

【答案】ABD

【分析】由向量減法法判斷A項(xiàng)錯(cuò)誤；利用數(shù)量積公式判斷B項(xiàng)錯(cuò)誤；將已知化簡利用三線

合一得到“8C是等腰三角形判斷C項(xiàng)正確；D項(xiàng)得到N8/C是銳角，不能得到"8C是銳角

三角形，判斷D項(xiàng)正確.

【解析】由向量減法法則可得在-就=而，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；

JS-SC=|JB|-|5C|-cos<^B,BC><|78|-|BC|,故B項(xiàng)錯(cuò)誤；

設(shè)8c中點(diǎn)為。，(^B+^C).(A6-JC)=2AD-CB=0,則而1而，因?yàn)?=。,所以由三

線合一得ZB=ZC,所以“8C是等腰三角形，故C項(xiàng)正確；

恁.在>0,可以得到NA4c是銳角，不能得到"8C是銳角三角形，故D項(xiàng)錯(cuò)誤；

故選：ABD.

12.已知向量Z=(-2,1)I=(-M，則下列說法正確的是()

A.若2,加貝"的值為-2

B.若：〃力貝"的值為上

C.若0<t<2,則Z與5的夾角為銳角

【答案】AB

【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積、向量的模的坐標(biāo)表示及向量共線的坐標(biāo)表示一一判斷即可；

【解析】解：對于A:若￡11,則a7=-2x(-l)+lx,=0,解得/=-2,故A正確；

對于B：若a/ib，則-2/=-lxl,解得f=；,故B正確；

對于c：當(dāng)";時(shí)"與石同向，此時(shí)￡與B的夾角為0°,故C錯(cuò)誤；

對于D：若(￡+可，(-5),則(￡+40-1)=0,即/_片=0,即(一2)2+12=(7)2+產(chǎn),解

得》=±2,

當(dāng)f=2時(shí)a=(-2,11B=(-1,2),“+3=(-3,3),"3=(-1,-I),顯然卜+5卜卜-同，

當(dāng)f=-2時(shí)a=(―2,1),5=(―1,—2),a+h=(-3,-1),a—b=(—1,3),此時(shí),+B卜卜—耳，故D錯(cuò)

誤；

故選：AB

三、填空題

13.已知|刈=6，出|=26，ab=3,則萬與5的夾角是.

【答案】y

【分析】根據(jù)平面向量的模和數(shù)量積計(jì)算，即可直接得出結(jié)果.

-a-h31

【解析】c°s〈9〉=目誨=及亞=5,

__7T

因?yàn)椤碯,6〉e[0,7t],所以〈）,6〉=],

萬與5的夾角是:.

故答案為：y.

14.若平面向量鼠B滿足條件：舊1=3、展彼=-12,則向量B在向量G的方向上的數(shù)量投影

為.

【答案】-4

【分析】根據(jù)數(shù)量投影的知識求得正確答案.

a,b—12

【解析】向量5在向量力的方向上的數(shù)量投影為詞■=亍=~4.

故答案為：-4

15.一條東西方向的河流兩岸平行，河寬250國，河水的速度為向東2km/h.一艘小貨船準(zhǔn)

備從河南岸的碼頭/處出發(fā)，航行到位于河對岸8（48與河的方向垂直）的正西方向并且與

8相距250m的碼頭C處卸貨.若流水的速度與小貨船航行的速度的合速度的大小為6km/h,

則當(dāng)小貨船的航程最短時(shí)，小貨船航行的速度大小是km/h.

【答案】2713

【分析】由已知條件求解直角三角形，根據(jù)向量的平行四邊形法則，結(jié)合向量的模長公式,

即可求解小貨船航行速度的大小.

【解析】由題意，當(dāng)小貨船的航程最短時(shí)，航線路線為線段/C,

設(shè)小貨船航行速度為1水流的速度為F，水流的速度與小貨船航行的速度的合速度為E，

作出示意圖如下:

因?yàn)橐粭l東西方向的河流兩岸平行，河寬250國，河水的速度為向正東2km/h,

AB=250百"i,SC=250,"，在RtA/15C中，有tanZ.BCA=-^-=~-0立=M,

BC250

所以NBCA=3/BAC=?,汨匐=J+3?，

36263

所以戶7-K，

22222

J^W|V|=7（V2-V,）=7|V2|+|V||-2V,-V2=^6+2-2x6x2cosy=2>/13,

所以小貨船航行速度的大小為2折km/h.

故答案為：

——2-......1—

16.在。中，M,N分別是邊46,ZC上的點(diǎn)，且力N=§4C,AM=-AB,點(diǎn)。是

線段MN上異于端點(diǎn)的一點(diǎn)，且滿足%而+3幅+4雙=。（4工0）,則4=.

【分析】用如、麗表示出反、OB，從而得到前=3；病+彳^而，再根據(jù)"，O,

A+7/I+7

N三點(diǎn)共線，得到工+義=1,解得即可.

2+72+7

—.2---------?1—

【解析】解：因?yàn)?N=§4C,AM=-AB,

所以麗=京花-西，,

即反=g而+刀，0B=3AM+0A，

因?yàn)?I刀+3歷+41=0，所以％方+3（3而+方）+4〔|麗+刀］=6,

6—■9—■

艮|】（/1+7）前=6而+9而，即75=—^—AN+——AM,

A+72+7

6Q

因?yàn)锳1,O,N三點(diǎn)共線，故^--+---=1,解得4=8.

A+//t+/

故答案為：8

四、解答題

17.已知|口=1,|不|=2/與在的夾角為60'.

⑴求|歷+B|的值；

(2)設(shè)2=4萬+瓦2=-33+5,求1,2的夾角.

【答案】(1)|一3萬+1|="

⑵紀(jì)

-3

【分析】⑴根據(jù)同=后可以得到答案；(2)儂(，2)=前計(jì)算即可.

【解析】(1)由已知,得：a2=l,ab=ix2cos60°=i,b2=4,

：.\-3a+bf=(-37+B)2=9加一614+戶=9-6+4=:，

：.\-3a+b\=y/7；

(2)'：c-d=(4a+b)-(-3a+b)=-l2a2+a-b+b2=-7,

|c|2=|45+*|2=(45+ft)2=1652+85-6+P=16+8+4=2!,

/.|c|=2近，

由(1)得：|2|=J7,

cos(c,J)=^€=--,

\/\e\\d\2

???卜,2)€[0,兀],(c,d)=y.

18.已知。為等邊“8C所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，|—Z8|=2,—48=y2—。，且線段8c上存在點(diǎn)E,使

—4—1—

得4E=—/￡)+-NC.

93

(1)試確定點(diǎn)后的位置，并說明理由；

⑵求酢?反的值.

【答案】(1)￡為靠近點(diǎn)8的一個(gè)三等分點(diǎn)，理由見解析

【分析】(1)用平面向量的線性關(guān)系找出點(diǎn)所在的位置；(2)用向量方,％分別表示出

向量次，皮利用向量數(shù)量積公式計(jì)算.

【解析】(1)因?yàn)?8=丁。，所以/。=豺3,

所以次，X,而+!就=2而+1：^,

92333

從而屜=衣-萬=1%」方=1(%-而)」於，

3333

故點(diǎn)￡為靠近點(diǎn)8的一個(gè)三等分點(diǎn).

———3—■—

(2)因?yàn)?。C=D4+/C=——AB+AC,

2

所以通.反=(：而+；就:而+可，

=-|AB|2+,

63

=^l+-|JS|-|^C|-cos-+-=--.

6333

19.在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知向量)=(2,1),/Q,0),B(cos6,f).

(1)若3/關(guān),且網(wǎng)=碼研,求向量歷的坐標(biāo)；

(2)若。〃送，且。,求”(：052。-＜：05。+，的最大值.

【答案】⑴麗=(-1,-1)

嗚

【分析】（1）由題意在=（cos9-lj）,根據(jù)共線的坐標(biāo)表示可得cos?-1=2/,又根據(jù)

阿巾網(wǎng)得（cos”曠+/=5,解方程組即可求出答案；

（2）由（1）得「=嗎」，由此得夕再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出

答案.

（1）

解：（1）48=（cos6-l,f）,又￡〃益，/.2r-cos^+l=0,/.cos^-l=2z,①

又???］益卜石|為|,.?.（cose-1）2+產(chǎn)=5,②

由①②得5/2=5,解得f=±l,

當(dāng)f=l時(shí),cosJ=3（舍去），當(dāng)f=-l時(shí),cos0=-l,

5（-1,-1）,.?.麗=（-1,-1）.

（2）

解：（2）由（1）可知公笆31,

121

...當(dāng)cos?=-j時(shí)，j=—.

2max16

20.某公園有三個(gè)警衛(wèi)室48、C,互相之間均有直道相連，48=2千米，千米，

8c=4千米，保安甲沿C8從警衛(wèi)室C出發(fā)前往警衛(wèi)室8,同時(shí)保安乙沿8/從警衛(wèi)室8出發(fā)前

往警衛(wèi)室Z,甲的速度為2千米〃J、時(shí)，乙的速度為1千米/小時(shí).

C

D

AB

⑴保安甲從C出發(fā)1.5小時(shí)后達(dá)點(diǎn)。，^AD=xAB+yAC,求實(shí)數(shù)xj的值；

(2)若甲乙兩人通過對講機(jī)聯(lián)系，對講機(jī)在公園內(nèi)的最大通話距離不超過2千米，試問有多長

時(shí)間兩人不能通話？

【答案】(l)X=j3y=；1

(2)兩人約有3小時(shí)不能通話

【分析】(1)先根據(jù)勾股定理確定這是一個(gè)直角三角形，然后可以建立平面直角坐標(biāo)系,

寫出各點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)坐標(biāo)運(yùn)算可以計(jì)算出實(shí)數(shù)xj的值；(2)表示出點(diǎn)E的坐標(biāo)之后可

以把反坐標(biāo)表示，立出不等式解不等式即可.

【解析】(1)AB2+AC2=BC2,所以工4C,

因此建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，

/(0,0),8(2,0),C(0,2?

設(shè)保安甲從C出發(fā)/小時(shí)后達(dá)點(diǎn)。，所以有比=?在=而=；而，

設(shè)。區(qū),乂),由CD=gcB=>(%，M-2百)=；(2,-20)=>占=/,必=26-后,

即。后)，當(dāng)f=1.5時(shí)，

由而=xAB+yAC=>(-,—)=x(2,0)+y(0,2揚(yáng)=(2x,2肉,)

(2)設(shè)保安乙從8出發(fā)f小時(shí)后達(dá)點(diǎn)￡,所以點(diǎn)E的坐標(biāo)為(27,0),

于是有瓦=(2-2t,0-2^3),

因?yàn)閷χv機(jī)在公園內(nèi)的最大通話距離超過2千米，兩人不能通話，

所以有|國＞2,所以J(2-2,)2+(8-2百丫＞2

解之："2或"3，又0W2

所以兩人約有3小時(shí)不能通話.

提升與3

一、單選題

1.若a為任一非零向量，5的模為1,給出下列各式：①同目可；②@〃B；③同＞o；@W=±i.

其中正確的是()

A.①④B.③C.①②③D.②③

【答案】B

【分析】根據(jù)向量的定義、向量的模、平行向量的定義判斷.

【解析】對于①，同的大小不能確定；對于②，兩個(gè)非零向量的方向不確定；對于④，向

量的模是一個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)，只有③正確.

故選：B.

2.如圖，在平行四邊形488中，點(diǎn)E在線段上，且麗=，”瓦(meR),若

AC=AAE+pAb(A,〃eR)且2+2必=0,則機(jī)=()

【答案】B

【分析】方法1：由麗=加方可得血=7^—刀+一^-赤，由在二反二元-而代入可

反解得力。=(1+加)/七+(1-〃7)4萬，最后根據(jù)次=4衣+〃而且丸+2〃=0即可求得膽的值.

方法2：建立平面直角坐標(biāo)系，表示出點(diǎn)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運(yùn)算可求得結(jié)果.

【解析】方法1：在平行四邊形N8CD中，因?yàn)辂?“詼，所以標(biāo)-存="存-而卜

所以4E=——AB+——AD,

1+61+加

5L'：~AB=DC=AC-AD，

：.AE=-(AC-AD\-^-AD,

1+加'/+1+777

AC=(\+m)AE+(\-AD,

y.'：AC=XAE+pAb,

：,A=l+m,〃=(平面向量基本定理的應(yīng)用)

XV2+2//=0,

/.l+?n+2(l-w)=0,解得加=3,

故選：B.

方法2：如圖，以“為坐標(biāo)原點(diǎn)，48所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，

則4(0,0),設(shè)8(a,0),D(b,c),

AB=DC貝iJC(a+b,c),

〃仍+Q

x=--------

a-x=m(x-b)加+1

又：麗="方，設(shè)￡(x,y),則，=><

-y=m(y-c)me

即：g”」

.器)，AC=(a+h,c),而=p,c),

yL'：7c=XAE+/jAb,2+2〃=0

/.AC=-2RAE+JLIAD

/,、八(mb+amey、

(〃+b,c)=-2〃----------------+//(/bf,c)

Im+1+1J

7Ma+.hml^

a+b=/n+1+

c=②

m+\

由②得〃=”,將其代入①得加=3,

i-m

故選：B.

3.已知三角形/8C外接圓。的半徑為1（。為圓心），且2萬+次+就=0,|方|=2|君J,則

0.比等于（）

D.f

【答案】A

【分析】由題意可得三角形是以角A為直角的直角三角形，解直角三角形求出相應(yīng)的邊,

利用數(shù)量積幾何意義計(jì)算得答案.

【解析】因?yàn)槿切?8c外接圓。的半徑為1（。為圓心），2O4+AB+AC=0

，。為8c的中點(diǎn)，故“8c是直角三角形，N4為直角.

又?=2|畫，

故選:A.

4.已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，04=（cos0,sin0\\OA-OB^\.貝lj（）

A.|歷|的最小值為孝B.|瓦|的最大值為應(yīng)

C.次?麗的最小值為1D.礪的最大值為2

【答案】D

【分析】首先根據(jù)向量的幾何意義判斷點(diǎn)43的軌跡，再利用數(shù)形結(jié)合，以及向量數(shù)量積

的幾何意義，判斷選項(xiàng).

【解析】由sin20+cos2，=l,可得點(diǎn)/的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓，根據(jù)向量減

法的幾何意義，由|宓-礪1=1,可得點(diǎn)8的軌跡是以N為圓心，1為半徑的圓，

如圖所示.當(dāng)點(diǎn)8在坐標(biāo)原點(diǎn)位置時(shí)，|麗|取最小值0,A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

當(dāng)點(diǎn)3在直線。區(qū)與圓/的交點(diǎn)位置且不是原點(diǎn)時(shí)，|礪|取最大值2,B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

根據(jù)向量數(shù)量積的幾何意義，當(dāng)點(diǎn)5在坐標(biāo)原點(diǎn)位置時(shí)，歷在而方向上的投影取最小值0,

此時(shí)方.礪取最小值0,C選項(xiàng)錯(cuò)誤，

當(dāng)點(diǎn)8在直線0/與圓/的交點(diǎn)位置且不是原點(diǎn)時(shí)，麗在場方向上的投影取最大值2,此時(shí)

而.瓦取最大值2,D選項(xiàng)正確.

5.如圖，在“8C中，O為線段5c上一點(diǎn)，且麗=2反，G為線段/。的中點(diǎn)，過點(diǎn)G的直

線分別交直線48,AC^-D,E兩點(diǎn),在=用近（機(jī)>0）,AC=nAE（n>0）,則工+—一的

mm+4〃

最小值為（）

【答案】C

【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算的幾何表示及向量共線可得m+2〃=6,然后利用基本不等式

即得.

【解析】因?yàn)榈?2反，

所以而一而=2（撫一前），即而=1在+］就，

又因?yàn)镚為線段ZO的中點(diǎn)，

所以方=；（萍+|利=/+；%,

因?yàn)榉?〃?而，AC=nAE，

.177.n—?

所以ZG=—NO+-4E,

63

因?yàn)?。、G、E三點(diǎn)共線，

所以'+°=1,即加+2〃=6,

63

所以_1+-_=仕+上^叱空"LU0山卬

m〃7+4〃\mm+4n）1212\mm+4n）

、1八八/m+4〃9m-11/,.八G4

>—10+2J------------=—10+2/9=>-,

12（Vmm+4/7）12、，3

當(dāng)且僅當(dāng)生也=3,即用=2〃=3時(shí)取等號.

故選：c.

6.八卦是中國文化的基本哲學(xué)概念，圖1是八卦模型圖，其平面圖形為圖2中的正八邊形

ABCDEFGH,其中=給出下列結(jié)論：

①而與麗的夾角為不

@OD+OF=OE;

③同一明=當(dāng)函;

④向量方在向量朋上的投影向量為-必"（其中"是與胡同向的單位向量）.

2

其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】利用正八邊形｛3CDEFG4的特征，結(jié)合向量的線性運(yùn)算及投影向量的定義逐?分

析各個(gè)命題即可求解.

【解析】對于①，因?yàn)榘诉呅蝂8CQEFG"為正八邊形，所以乙

84

所以宓與麗的夾角為J,①錯(cuò)誤；

4

對于②，OD+OF=OE^OD=FE顯然不成立，②錯(cuò)誤；

對于③，4OC=2x（=?所以因=網(wǎng)=碼研=&,|西=2網(wǎng)=2,所以

|方-因=[|西，③正確；

對于④，N/QD=3xf=營，向量方在向量甜上的投影向量為

44

\p^?cosZAOD-e=1x----e=-----e,④正確，

I7

故選：B.

7.已知工是單位向量，向量萬。=1,2）滿足歸-4=0?不，月.而+西=2,其中x、蚱R,且

x+P=l,則下列結(jié)論中，

①xe?+ye-b2=1；

②（州+丫卜曬-訃；；

③存在X、P，使得|不_.=2；

④當(dāng).-1取最小值時(shí)，a=0.

其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】根據(jù)數(shù)量積運(yùn)算可判斷①；由題可得|乖回="石，間方聞="豆進(jìn)而得

（MX|+MJ，|）W-q=1可判斷②；結(jié)合基本不等式求得|瓦-q>2可判斷③；結(jié)合條件可得到

h]+h2=2e,同時(shí)平方即得4也=0可判斷④.

【解析】由叫+y&=e可得+W>2）?e=e-e=l,即xe?d+ye也=1，①正確；

又+且x+y=l,則瓜+（17）%="，即x（4-a）=e-8，所以聞々=卜-勾，

又*可=工也，則|胭-胃=*w=3％,同理間看一2卜p-瓦卜工訴,

則中胸悶+x訓(xùn)友一反卜后區(qū)+4?瓦=1,即（亦|+小曬聞=1,②錯(cuò)誤；

由x+y=l知%夕至少一正，若x,y一正一負(fù)，則Hx|+x3=0,顯然不滿足

（加1+巾|）歷同=i,

故x，V均為正，則MM+HM=2xy42｛亨；=；,當(dāng)且僅當(dāng)X=y=g時(shí)等號成立，則

…卜品荷2,

當(dāng)且僅當(dāng)才=了=；時(shí)等號成立，則存在x,/使得忖-司=2,③正確；

當(dāng)取最小值2時(shí)，x=y=g,由xb|+y4=e可得4+打=2^，則伍1+4）=4,

即（齊-與）皈石=4,則耳6=0,④正確.

所以正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為3.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題關(guān)鍵點(diǎn)在于由+區(qū)=1結(jié)合x+y=1得到聞4-4卜e也，但卜一仇卜e?|

進(jìn)而得（閑+x而%-回=1，再結(jié)合基本不等式求得忖-瓦22,最后由5+小切平方即可

求解.

8.點(diǎn)。是平面a上一定點(diǎn)，A,B,C是平面a上A/LBC的三個(gè)頂點(diǎn)，NB,NC分別是邊ZC,

Z8的對角.有以下五個(gè)命題：

①動(dòng)點(diǎn)P滿足而二為+而+正，則^ABC的外心一定在滿足條件的尸點(diǎn)集合中；

②動(dòng)點(diǎn)尸滿足而=方+/黑+黑仇>0）,則“8c的內(nèi)心一定在滿足條件的P點(diǎn)集合

\AC\J

中;

③動(dòng)點(diǎn)尸滿足。，+小時(shí)贏后南卜X））,則/BC的重心一定在滿足條件的

P點(diǎn)集合中；

/UUTUUUT、

uuruurARACI

④動(dòng)點(diǎn)P滿足。0=。4+47——+七q—。＞0),貝IJ,的垂心一定在滿足條

JAB|cosB|JC|cosC?

件的P點(diǎn)集合中.其中正確命題的個(gè)數(shù)為（）

A.4B.3C.2D.1

【答案】C

【分析】根據(jù)A/I5C的外心、內(nèi)心、重心、垂心分別是三邊中垂線的交點(diǎn)、角平分線的交點(diǎn)、

中線的交點(diǎn)、高的交點(diǎn)，這些幾何特征與向量建立聯(lián)系，進(jìn)而判斷每個(gè)命題的正誤.

【解析】①當(dāng)動(dòng)點(diǎn)色茜足麗=/+而+定。萬=萬+定時(shí)，則點(diǎn)P是A/l3c的重心，所

以①不正確；

ABAC

②顯然用［+萬聲在N8/C的角平分線上，而后與/A4c的平分線所在向量共線，

\AB\\AC\

所以“BC的內(nèi)心一定在滿足條件的點(diǎn)P集合中，因此②正確；

,ADAQ____

③變形為恁?.2）,而148|sinB,|NC|sinC表示點(diǎn)力到BC邊的距離,

設(shè)為4。，所以力尸=-y^（/18+ZC）,而“B+/C表水8c邊的中線向量，

AD

所以而表示8c邊的中線向量，因此“8C的重心一定在滿足條件的尸點(diǎn)集合中，

所以③正確；

④當(dāng)乙4=90。時(shí)，“8C的垂心與點(diǎn)/重合，但顯然此時(shí)垂心點(diǎn)尸不滿足公式，所以④不正確;

正確答案序號為②③.

故選：C

二、多選題

9.下列敘述中錯(cuò)誤的是（）

A.若a=B，則3d>25

B.若,/方，則方與月的方向相同或相反

C.若Z/區(qū)，bHc，則Z〃己

D.對任一非零向量a,含是一個(gè)單位向量

1?1

【答案】ABC

【分析】根據(jù)向量不能比較大小可判斷A；根據(jù)共線向量的定義可判斷B；當(dāng)否=6時(shí)可判斷

C；根據(jù)單位向量的定義可判斷D,進(jìn)而可得答案.

【解析】對于A,因?yàn)橄蛄渴羌扔写笮∮钟蟹较虻牧?，所以向量不能比較大小，故/錯(cuò)誤；

對于B,零向量與任意向量平行，且零向量的方向是任意的，所以若B=

則對于非零向量入必有但2與6的方向不一定相同或相反，故B錯(cuò)誤；

對于c,若坂=0,則零向量與任意向量平行，

所以對任意向量力與e,均有。后，bl1c,故此時(shí)a與萬不一定平行，故c錯(cuò)誤；

對于D,由單位向量的定義可得，對任一非零向量2,其單位向量為向，故D正確.

故選：ABC.

10.已知向量0=(2,1),方=(-3,1),則()

A.￡與彼的夾角余弦值為苧

B.{a+b\Ha

C.向量々在向量右上的投影向量的模為回

則a_Lc

【答案】ACD

【分析】對于A：由已知得工-坂=(5,0),根據(jù)向量夾角的計(jì)算公式計(jì)算可判斷;

對于B：由已知得?+很)，萬，由此可判斷；

對于C：由已知得向量Z在向量3上的投影，從而可判斷；

-V5

對于D：由鼠。=2'丁+以=0,可判斷.

【解析】解：對于A：因?yàn)橄蛄恐?(2,1),5=(-3,1),所以￡-5=(5,0),所以￡與解一的夾

角余弦值為譚二平’故人正確；

對于B：因?yàn)閆+I=（-L2）,所以（￡+今?萬=-lx2+lx2=0,所以僅+6）11,故B不正確；

a-b2x（-3）+lxl-5V10

對于c：向量G在向量）上的投影為呵=,_3）；+F=7甫=一〒，所以向量2在向量［上

的投影向量的模為叵，故C正確；

2

對于D：因?yàn)楣?（乎，-苧］,所以展"=2**+卜卜警卜0,所以￡_L",故D正確，

故選：ACD.

11.設(shè)錄,均為單位向量，對任意的實(shí)數(shù)，有靡+；］區(qū)門恒成立，則（）

A.I與1的夾角為60，B.|^+|^|=y

C.|小同|的最小值為:D.|￡+而的最小值為上

【答案】BD

【分析】根據(jù)已知條件求得［高的夾角以及數(shù)量積，對每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析即可判斷和

選擇.

【解析】對A：設(shè)4高的夾角為9,|1+；為4國+同，

兩邊平方可得：—+cos0<t2+2tcos+1,

4

即『+2cos6xf-cos920對任意的，恒成立，

故可得：A=4COS26?+4COS<9+1<0.即（2cosO+爐40,

1o

則COS6=—5,又64°，句，故故A錯(cuò)誤；

對B：Iq+；。21=Jej+；62+q/2，故B正確；

222

對C：I/_=yje2+te}-2te}?e2=+1+1

當(dāng)且僅當(dāng)，=-；時(shí)取得等號，故c錯(cuò)誤;

對D：|e2+/(e,-e2)|=+/(/-1)

=，3『-引+1，對y=3〃_3/+l,當(dāng)且僅當(dāng)t=g時(shí)取得最小值;，

故|,+而-￡）1的最小值為3，故D正確.

故選：BD.

12.對于“8C,其外心為。，內(nèi)心為P,垂心為H,則下列結(jié)論正確的是（）

ULUULUUU1uumUlUUUIA--------—1-------2

A.OAOB=OAOC=OBOCB.AO-AB=-AB

C.向量而與—+-共線D.PAPB^PC=2P0

\AB\cosB|JC|cosC+

【答案】BC

【分析】由O為外心，則O/=O8=OC,僅當(dāng)Z4O8=Z4OC=ZBOC時(shí)，可判定A錯(cuò)誤；根

據(jù)向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式，可得判定B正確；由（而-+1=1-->-^=0,得到

叫cosBL4CcosC

~ABAC

席—D+方I「與就垂直,再由屈，於，可判定c正確;連接尸4P8,PC,PM,設(shè)。，尸

\AB\cosBL4CcosC

分別是力5,PC的中點(diǎn)，連接尸分別證得PCLN8和P81/C,PA1BC,得到

P是的垂心，可判定D錯(cuò)誤.

故選：BC.

【解析】對于A中，因?yàn)椤橥庑?，則01=08=OC,

僅當(dāng)Z4O8=Z4OC=Z8OC時(shí)，才有04.08=040C=080C，所以A錯(cuò)誤；

對于B中，由不5/豆=|而||1瓦cosNOZB,又由|芯|COSNO/B=L^,

所以怒.方=；方,所以B正確；

,AB衣、—_刀面,就衣

對于C中，山］z布卜os8+一阿os8'醞辰C

J畫圖經(jīng)mJ硝牛IcosC一皿帚。

卜8cos8pCcosC

~ABAC

即ITOID+\~AC\~c與BC垂直，

力叫osBL4Ccosc

又由屈，而，所以而與后―&+亦|「共線，所以C正確；

46cos8IACcosC

對于D中，如圖所示，。。為A8C的外接圓，

連接PA,PB,PC,PO,設(shè)。，尸分別是力民PC的中點(diǎn)，

連接P￡）,￡）0,F。，則蘇+方=2萬，

又由“+而+定=2而，所以定=2（所-而）=2而，BPDO=—=PF,

2

所以而與所共線，因?yàn)椤樾?c的外接圓的圓心，所以。。，/8,

所以尸CL/8,同理得。3，｛（7,尸/，8。，所以尸是“15C的垂心，所以。錯(cuò)誤.

故選：BC.

13.如圖，延長正方形Z8CD的邊8至點(diǎn)瓦使得?！?8,動(dòng)點(diǎn)尸從點(diǎn)/出發(fā)，沿正方形的

邊按逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)一周后回到點(diǎn)Z,若萬=2萬+〃左，則下列判斷正確的是（）

A.滿足義+〃=2的點(diǎn)尸必為8c的中點(diǎn)

B.滿足2+〃=1的點(diǎn)P有且只有一個(gè)

C.滿足2+〃=3的點(diǎn)P有且只有一個(gè)

D.4+必=；的的點(diǎn)有且只有一個(gè)

【答案】C

【分析】建立坐標(biāo)系，討論P(yáng)e4B,PwBC,PeCD,PeN。四種情況，依次求出4+〃的

范圍，再判斷每個(gè)選項(xiàng)的正誤，即可得出結(jié)果.

【解析】如圖建系，取力8=1,'."JE=JD+DE=7D-JB>

AP=2.AB+pAE=（A-//）AB+/JAD=（A-JJ\1,0）+40,1=（大一%R,

動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿正方形的邊按逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)一周回到A點(diǎn)，

當(dāng)Pe/8時(shí)，有04/1-〃41且〃=0,，OW，W1,：.G<^+p<\,

當(dāng)PeBC時(shí)，有2-〃=1且04〃41,則幾=〃+1,：.\<A<2,1<2+//<3,

當(dāng)PeCQ時(shí);有0W/1-//41且〃=1,則〃424〃+1,1<Z<2,：