專題19與圓有關(guān)的最值問題12種常見考法歸類（原卷版）

專題19與圓有關(guān)的最值問題12種常見考法歸類1、圓的最值問題求解與圓有關(guān)的最值問題，其通法是數(shù)形結(jié)合和轉(zhuǎn)化化歸思想，其流程為：與圓有關(guān)的最值問題主要表現(xiàn)在求幾何圖形的長度、面積的最值，求點(diǎn)到直線的距離的最值，求相關(guān)參數(shù)的最值等方面．解決此類問題的主要思路是利用圓的幾何性質(zhì)將問題轉(zhuǎn)化2、圓的最值類型：（1）圓上動點(diǎn)到定點(diǎn)距離的最值問題圓外一點(diǎn)P到圓C上點(diǎn)的距離距離的最大值等于，最小值等于.圓內(nèi)一點(diǎn)P到圓C上點(diǎn)的距離距離的最大值等于，最小值等于.（2）圓上動點(diǎn)到定直線的距離的最值問題圓C上的動點(diǎn)P到直線l距離的最大值等于點(diǎn)C到直線l距離的最大值加上半徑，最小值等于點(diǎn)C到直線距離的最小值減去半徑.圓的切線長最值問題從圓外任一點(diǎn)向圓引兩條切線，圓心C,兩切點(diǎn)A,B,我們把線段PA,PB的長度叫做切線長，設(shè)圓的半徑為r,則有：①切線長的計(jì)算：，當(dāng)半徑給定，切線長最小等價于最小，②過圓外一點(diǎn)P向圓引兩條切線，切點(diǎn)記為A、B,則四邊形面積的最值等價于求圓心到點(diǎn)P的距離最值。（4）由直線與圓的位置關(guān)系求距離的最值（5）過圓內(nèi)定點(diǎn)的弦長的最值問題（最長弦、最短弦問題）設(shè)點(diǎn)M是圓C內(nèi)一點(diǎn)，過點(diǎn)M作圓C的弦，則弦長的最大值為直徑，最短的弦為與過該點(diǎn)的直徑垂垂直的弦，弦長為.（6）與斜率、距離、截距有關(guān)的圓的最值問題處理與圓有關(guān)的最值問題時，應(yīng)充分考慮圓的幾何性質(zhì)，并根據(jù)代數(shù)式的幾何意義，借助數(shù)形結(jié)合思想求解．與圓有關(guān)的最值問題，常見的有以下幾種類型：①形如u＝eq\f(y－b,x－a)的最值問題，可轉(zhuǎn)化過定點(diǎn)(a，b)的動直線斜率的最值問題求解．②求形如u＝ax＋by的最值，可轉(zhuǎn)化為求動直線截距的最值．具體方法是：1）數(shù)形結(jié)合法，當(dāng)直線與圓相切時，直線在y軸上的截距取得最值；2）把u＝ax＋by代入圓的方程中，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，由Δ≥0求得u的范圍，進(jìn)而求得最值.③求形如u＝(x－a)2＋(y－b)2的最值，可轉(zhuǎn)化為圓上的點(diǎn)到定點(diǎn)的距離的最值，即把(x－a)2＋(y－b)2看作是點(diǎn)(a，b)與圓上的點(diǎn)(x，y)連線的距離的平方，利用數(shù)形結(jié)合法求解.（7）圓中與角度有關(guān)的最值問題①圓上兩點(diǎn)與圓外一點(diǎn)的連線的夾角(圓處一點(diǎn)為頂點(diǎn))中，以這兩條直線為切線時最大.②圓上一點(diǎn)、圓心與圓外一點(diǎn)連線的夾角(圓外一點(diǎn)為頂點(diǎn))中，以這條直線為切線時最大.③圓上一點(diǎn)、圓外兩點(diǎn)連線的夾角(圓外一點(diǎn)為頂點(diǎn))中，以這條直線為切線時最大。（8）利用對稱性求最值形如|PA|＋|PQ|形式的與圓有關(guān)的折線段問題(其中P，Q均為動點(diǎn))，要立足兩點(diǎn)：①減少動點(diǎn)的個數(shù)．②“曲化直”，即折線段轉(zhuǎn)化為同一直線上的兩線段之和，一般要通過對稱性解決.注：三角不等式(將軍飲馬):任意兩邊之和大于等于第三邊，任意兩邊之差小于等于第三邊，取等條件當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線.如圖，動點(diǎn)P為直線上一點(diǎn)，A、B為直線一側(cè)的兩個定點(diǎn)，那么PBPA的最大兩側(cè)，則需先利用對稱將其搬到一側(cè)再尋找最大值，此時，PBPA的最小值為0,即P為AB中垂線與的交點(diǎn).總結(jié)：“和最小，化異側(cè)，差最大，轉(zhuǎn)同側(cè)”（9）阿波羅尼斯圓的逆用已知圓上任意一點(diǎn)P和坐標(biāo)軸上任意兩點(diǎn)A、B,求形如的最值問題，可逆用阿氏圓轉(zhuǎn)化為三點(diǎn)共線最值計(jì)算.圓有關(guān)的平行線束最值問題兩個動點(diǎn)分別在兩條平行線上運(yùn)動，這兩個動點(diǎn)間的最短距離為兩條平行線間的距離考點(diǎn)一圓上動點(diǎn)到定點(diǎn)的距離的最值問題考點(diǎn)二圓上動點(diǎn)到定直線的距離的最值問題考點(diǎn)三圓的切線長最值問題考點(diǎn)四直線與圓的位置關(guān)系求距離的最值考點(diǎn)五與圓的弦長有關(guān)的最值問題考點(diǎn)六與斜率、距離、截距有關(guān)的圓的最值問題（一）斜率型最值問題（二）截距型最值問題（三）距離型最值問題（四）綜合應(yīng)用考點(diǎn)七利用三角換元求最值考點(diǎn)八圓中與角度有關(guān)的最值問題考點(diǎn)九利用對稱性求最值考點(diǎn)十阿波羅尼斯圓的逆用考點(diǎn)十一圓有關(guān)的平行線束最值問題考點(diǎn)十二利用圓的方程構(gòu)建函數(shù)求最值考點(diǎn)一圓上動點(diǎn)到定點(diǎn)的距離的最值問題1．（2023秋·廣東深圳·高三紅嶺中學(xué)校考期末）在中，，，，動點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，半徑為的圓上，則的最小值為.2．（2023秋·廣東廣州·高二?？计谀┮阎c(diǎn)，是圓上的動點(diǎn)，則線段長的最小值為（

）A． B． C． D．3．（2023秋·廣東江門·高二江門市第二中學(xué)?？计谥校┮阎c(diǎn)，點(diǎn)M是圓上的動點(diǎn)，則的最大值是（

）A． B． C． D．4．（2023秋·廣東深圳·高二?？计谥校θ我鈱?shí)數(shù)m直線x＋my－3m－4＝0被圓C截得的線段長恒為4，若動點(diǎn)P在圓C上，則點(diǎn)P到原點(diǎn)距離的最小值為；5．（2023秋·廣東深圳·高二校考期中）點(diǎn)M為圓：上任意一點(diǎn)，直線過定點(diǎn)P，則的最大值為（

）A． B． C． D．考點(diǎn)二圓上動點(diǎn)到定直線的距離的最值問題6．（2023秋·廣東·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知點(diǎn)A在直線l：上，點(diǎn)B在圓C：上，則的最小值是（

）A．1 B． C． D．57．（2023秋·廣東梅州·高三五華縣水寨中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)是直線上的點(diǎn)，點(diǎn)是圓上的點(diǎn)，則的最小值是.8．（2023秋·廣東揭陽·高二揭陽華僑高中校考期中）已知點(diǎn)在圓上運(yùn)動，，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)．(1)求點(diǎn)的軌跡方程(2)求點(diǎn)到直線的距離的最大值和最小值．9．（2023秋·廣東江門·高三校考階段練習(xí)）已知點(diǎn)是圓上的動點(diǎn)，，則點(diǎn)到直線的距離的最大值為.10．（2023秋·廣東梅州·高三大埔縣虎山中學(xué)校考階段練習(xí)）直線分別與軸，軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在圓上，則面積的取值范圍是.11．（2023秋·廣東揭陽·高二?？计谀┮阎本€：與直線關(guān)于直線對稱，點(diǎn)在圓：上運(yùn)動，則動點(diǎn)到直線的距離的最大值為.考點(diǎn)三圓的切線長最值問題12．（2023秋·福建寧德·高二統(tǒng)考期中）設(shè)是直線：上的動點(diǎn)，過作圓：的切線，則切線長的最小值為（

）A．4 B． C． D．13．（2023秋·廣東·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）若圓關(guān)于直線對稱，則過點(diǎn)作圓C的切線，切線長的最小值是．14．（2023秋·廣東東莞·高二東莞市東莞中學(xué)校考期末）已知圓，點(diǎn)為直線上一個動點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為，則切線長的最小值為（

）A． B． C． D．15．（2023秋·廣東清遠(yuǎn)·高二統(tǒng)考期末）已知的頂點(diǎn)分別為．(1)求外接圓的方程；(2)設(shè)P是直線上一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作外接圓的一條切線，切點(diǎn)為Q，求最小值及點(diǎn)P的坐標(biāo)．16．（2023秋·廣東深圳·高二深圳中學(xué)校考期末）設(shè)為直線的動點(diǎn)，為圓的一條切線，為切點(diǎn)，則的面積的最小值為（

）A． B． C． D．17．（2023秋·廣東廣州·高三廣州市白云中學(xué)校考期中）已知P是直線上的動點(diǎn)，是圓的兩條切線，A，B是切點(diǎn)，C是圓心，那么四邊形面積的最小值為．考點(diǎn)四直線與圓的位置關(guān)系求距離的最值18．（2023秋·廣東·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)x，y滿足：，則的取值范圍是．19．（2023春·廣東廣州·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）當(dāng)圓的圓心到直線的距離最大時，（

）A． B． C． D．20．（2023·廣東廣州·廣州市從化區(qū)從化中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知直線與圓交于A，兩點(diǎn)，若是圓上的一動點(diǎn)，則面積的最大值是.21．【多選】（2023秋·廣東深圳·高二校聯(lián)考期中）已知直線與圓，則下列說法中正確的是（

）A．直線與圓一定相交B．若，則直線與圓相切C．當(dāng)時，直線被圓截得的弦最長D．圓心到直線的距離的最大值為考點(diǎn)五與圓的弦長有關(guān)的最值問題22．（2023春·廣東陽江·高二統(tǒng)考期末）已知圓，過點(diǎn)的直線被該圓所截的弦長的最小值為.23．（2023秋·廣東惠州·高二?？茧A段練習(xí)）若點(diǎn)是圓內(nèi)一點(diǎn)，則過點(diǎn)的最長的弦所在的直線方程是.24．（2023秋·廣東·高二校聯(lián)考期中）若圓的方程為，則圓中過點(diǎn)的最短的弦長為.25．（2023秋·廣東廣州·高二廣州市真光中學(xué)?？茧A段練習(xí)）當(dāng)圓截直線所得的弦長最短時，實(shí)數(shù)（

）A． B．1 C． D．126．（2023秋·廣東深圳·高二深圳市南頭中學(xué)校考期中）已知圓及直線．(1)證明：不論m取什么實(shí)數(shù)，直線l與圓C恒相交；(2)求直線l被圓C截得的弦長的最短長度及此時的直線方程．27．（2023·廣東惠州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在圓內(nèi)，過點(diǎn)的最長弦和最短弦分別為和，則四邊形的面積為．28．（2023秋·吉林長春·高二長春外國語學(xué)校?？计谥校┲本€過且與圓交于兩點(diǎn)，當(dāng)弦最長時，直線的方程為.考點(diǎn)六與斜率、距離、截距有關(guān)的圓的最值問題（一）斜率型最值問題29．（2023秋·高二課時練習(xí)）已知實(shí)數(shù)、滿足，求的取值范圍．30．（2023春·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·高二校考階段練習(xí)）如果實(shí)數(shù)滿足，則的取值范圍是．31．（2023·貴州·校聯(lián)考模擬預(yù)測）若點(diǎn)在曲線：上運(yùn)動，則的最大值為.32．（2023秋·四川廣安·高三廣安二中?？计谥校┰O(shè)點(diǎn)是曲線上的任意一點(diǎn)，則的最小值是（

）A． B． C． D．33．（2023秋·廣東湛江·高二湛江二十一中?？计谥校┮阎獔AC的圓心坐標(biāo)為(2，7)，直線是圓C的一條切線，且點(diǎn)(－2，3)為圓外的一點(diǎn).(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若點(diǎn)為圓上的任一點(diǎn)，求的最大值和最小值；(3)若點(diǎn)在圓C上運(yùn)動，求的最大值和最小值．（二）截距型最值問題34．（2023秋·山東日照·高二?？茧A段練習(xí)）若點(diǎn)在圓上運(yùn)動，則的取值范圍.35．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，求的取值范圍．36．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知直線與圓存在公共點(diǎn)，則的取值范圍為.（三）距離型最值問題37．（2023秋·廣東惠州·高二統(tǒng)考期中）若實(shí)數(shù)x、y滿足，則的最大值是.38．（2023秋·廣東廣州·高二統(tǒng)考期中）已知實(shí)數(shù)，滿足，則的取值范圍為．39．（2023秋·高二課時練習(xí)）（1）如果實(shí)數(shù)x，y滿足，求的最大值和最小值；（2）已知實(shí)數(shù)x，y滿足方程，求的取值范圍．（四）綜合應(yīng)用40．（2023秋·廣東梅州·高二?？计谥校┮阎獙?shí)數(shù)x，y滿足方程，求：(1)的最大值；(2)的最小值．41．（2023秋·黑龍江綏化·高二?？茧A段練習(xí)）已知，是實(shí)數(shù)，且．(1)求的最值；(2)求的取值范圍；(3)求的最值．42．（2023秋·遼寧沈陽·高二沈陽二十中?？茧A段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)滿足方程．求：(1)的取值范圍為；(2)的取值范圍；(3)的取值范圍．考點(diǎn)七利用三角換元求最值43．（2023春·河南開封·高三通許縣第一高級中學(xué)校考階段練習(xí)）已知點(diǎn)，點(diǎn)為圓上一動點(diǎn)，則的最大值是（

）A． B． C． D．44．【多選】（2023秋·廣東珠?！じ叨楹Ｊ械诙袑W(xué)?？计谥校┮阎c(diǎn)，，，且點(diǎn)是圓：上的一個動點(diǎn)，則的值可以是（

）A．66 B．79 C．86 D．89考點(diǎn)八圓中與角度有關(guān)的最值問題45．【多選】（2023春·廣東佛山·高二佛山市南海區(qū)第一中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知圓，點(diǎn)是圓上的一個動點(diǎn)，點(diǎn)，則（

）A． B．的最大值為C．面積的最大值為2 D．的最大值為446．【多選】（2023春·廣東茂名·高三茂名市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)在圓：上，點(diǎn)，，則（

）A．點(diǎn)到直線的距離的最小值是 B．的取值范圍是C．的取值范圍是 D．當(dāng)為直角三角形時，其面積為347．（2023秋·廣東茂名·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A為圓C：上一個動點(diǎn)，則的最大值為（

）A． B． C． D．48．（2023秋·廣東江門·高二新會陳經(jīng)綸中學(xué)?？茧A段練習(xí)）過直線上的一點(diǎn)P向圓作兩條切線．設(shè)與的夾角為θ，則的最大值為．49．（2023秋·廣東深圳·高二統(tǒng)考期末）已知圓，點(diǎn)在直線上運(yùn)動，過作的兩條切線，切點(diǎn)分別為、，當(dāng)四邊形的面積最小時，．考點(diǎn)九利用對稱性求最值50．（2023秋·廣東清遠(yuǎn)·高二校聯(lián)考期中）已知圓上一動點(diǎn)和定點(diǎn)，點(diǎn)為軸上一動點(diǎn)，則的最小值為．51．（2023秋·廣東廣州·高二廣州市玉巖中學(xué)?？计谥校c(diǎn)P在直線上運(yùn)動，點(diǎn)Q在圓上運(yùn)動，，則的最小值為（

）A． B．13 C．12 D．52．（2023秋·廣東·高二統(tǒng)考階段練習(xí)）已知直線與直線相交于點(diǎn)P，圓交y軸正半軸于M，若N是圓C上的動點(diǎn)，則的最小值是（

）A． B． C． D．53．（2023秋·廣東深圳·高二紅嶺中學(xué)?？计谥校┮阎c(diǎn)，是軸上的動點(diǎn)，是圓上的動點(diǎn)，則的最大值是（

）A． B． C． D．54．（2023秋·廣東湛江·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知點(diǎn)，且點(diǎn)在圓上，為圓心，則下列說法錯誤的是（

）A．的最小值為 B．當(dāng)最大時，的面積為2C．的最大值為 D．的最大值為考點(diǎn)十阿波羅尼斯圓的逆用55．（2023春·廣東東莞·高三東莞實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考開學(xué)考試）對平面上兩點(diǎn)A、B，滿足的點(diǎn)P的軌跡是一個圓，這個圓最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，命名為阿波羅尼斯圓，稱點(diǎn)A，B是此圓的一對阿波羅點(diǎn)．不在圓上的任意一點(diǎn)都可以與關(guān)于此圓的另一個點(diǎn)組成一對阿波羅點(diǎn)，且這一對阿波羅點(diǎn)與圓心在同一直線上，其中一點(diǎn)在圓內(nèi)，另一點(diǎn)在圓外，系數(shù)只與阿波羅點(diǎn)相對于圓的位置有關(guān)．已知，，，若動點(diǎn)P滿足，則的最小值是．56．（2023秋·廣東江門·高二?？计谥校┌⒉_尼斯是古希臘著名的數(shù)學(xué)家，對圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究，阿波羅尼斯