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文檔簡介

初中幾何主要圖形的性質(zhì)和識別

主要圖形的性質(zhì)和識別

一、平行線

(一)、性質(zhì):

(1)如果二直線平行,那么同位角相等;

(2)如果二直線平行,那么錯角相等;

(3)如果二直線平行,那么同旁角互補;

(4)平行線間的距離處處相等。

(二八識別:

(1)定義:在同一平面不相交的兩條直線叫做

平行線。

(2)判定定理(或公理)

①如果同位角相等,那么二直線平行;

②如果錯角相等,那么二直線平行;

③如果同旁角互補,那么二直線平行;

④同垂直于一條直線的兩條直線互相平行;

⑤同平行于一條直線的兩條直線互相平行。

★練習(xí)

(-)反復(fù)比較,精心挑選:(在下列各題的

四個備選答案中,只有一個是正確的)。

1.在同一平面,兩條直線可能的位置關(guān)系是

()

A,平行B.相交C.相交或平行D.垂直

2,下列說法正確的是()

A.若兩個角是對頂角廁這兩個角相等.B.若

兩個角相等,則這兩個角是對頂角.

C.若兩個角不是對頂角,則這兩個角不相

等.D,以上判斷都不對.

3.下列語句正確的是()

A,兩條直線被第三條直線所截,同旁角互

補.B.互為鄰補角的兩個角的平分線互相垂

直.C.相等的角是平行線的錯角.D.從直線

外一點作這條直線的垂直線段叫點到直線的距

離。

4.點到直線的距離是()

A.點到直線上一點的連線B.點到直線的垂

線.C.點到直線的垂線段D.點到直線的垂線段

的長度

5,判定兩角相等,不對的是()

A.對頂角相等B.兩直線平行,同位角相

等.C..Z=N2,N2=N3,.*.21=23

D.兩條直線被第三條直線所截,錯角相等

6,兩個角的兩邊分別平行,其中一個角是60。,

則另一個角是()

A.60°B,120°C.60?;?20°D.無法確定

7.如圖,AB±CD,垂足為B,EF是經(jīng)過B點

的一條直線,已知NEBD=145。,則NCBE,2

ABF的度數(shù)分別為()

A.55°,35°B.35°,55°C.45°,

45°D.25°,55°

8.已知:如,下面判定正確的是()

A..2=/2,.\AB||CDB.V21+Z2=180°,/.

AB||CD

C???N3=N4,/.AB||CDD.?Z+N4=180。,.?.

AB||CD

(二)活用知識,對號入座:

1.如果a||b,b||c,則||為

O

2.下列語句①直角都相等,②延長AB到C,

使BC=2AB,③若/a>N0,則NO+NY+2Y,

④對頂角相等,相等的角也都是對頂角,⑤等

角的余角相等.其中正確的有

――(只填序號)。

3,將“平行于同一直線的兩條直線平行”改寫成

“如果……那么……”的形式

O

4,自鈍角的頂點引角的一邊的垂線,把這個鈍

角分成兩個角的度數(shù)之比是3:1,則這個鈍角

的度數(shù)是___________

5.如BE,CF相交于。,0A,0D是射線,

其中構(gòu)成對頂角的角是

6.如圖,直線AB,CD相交于OQE平分工AOC,

zEOC=35°,則NBOD=

(三)填注理由:

如,已知:直線AB,CD被直線EF,GH所

且N1=N2。求證:z3+z4=180°o

證明:?.Z=N2()

又?,/2=/5()

;.21=25()

/.AB||CD()

.-.23+24=180°()

(四)計算題:

1,已知:如,AB,CD,EF三直線相交于一

點,OE±AB,2COE=20°,OG平分NBOD,

求/BOG的度數(shù).

2.已知:如,Z1+22=180°,^3=100°,OK

平分工DOH,求/KOH的度數(shù)。

3如圖已知,4ABC中,NB=40°,NC=62。,

AD是BC邊上的高,AE是NBAC的平分線。

求:/DAE的度數(shù)。

(五)解決問題,展現(xiàn)能力:

1.如圖:已知NBCD=NB+ND,AB與ED的位

置關(guān)系是什么?請說明理由。

2.已知:如AD||BE,21=Z2,NA與NE有何

數(shù)?關(guān)系,請說明理由。

3,已知:如,CD平分NACB,AC||DE,CD||

EF,EF能平分工DEB嗎?請說明理由.

4.在鐵路的同旁有A、B兩個工廠,要在鐵路

L旁邊修建一個倉庫,使與A、B兩廠的距離

相等,畫出倉庫的位置,并寫出畫法。

二、三角形

(-)一般三角形的性質(zhì)

1、三邊的關(guān)系:任意兩邊之和大于第三邊,任

意兩邊之差小于第三邊。

2、三角的關(guān)系:

①三角形三角之和等于180。;②三角形任何一

個外角等于和他不相鄰的兩個角的和。

3、三角形的面積公式:S三角形二O

(二)特殊三角形

1、等腰三角形

(1)性質(zhì):

①等腰三角形的兩底角相等(等邊對等角);

②等腰三角形的頂角平分線、底邊上的高、底

邊上的中線互相重合(簡稱三線合一);

③等腰三角形是軸對稱圖形。

(2)識別:

①定義:有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角

形。

②判定定理:有兩個角相等的三角形是等腰三

角形(等角對等邊)。

2、等邊三角形

(1)性質(zhì):

①等邊三角形的三個角相等,且每一個角都等

于60o;

②等邊三角形每一條邊上的高、中線和所對角

的平分線互相重合(簡稱三線合一);

③等邊三角形是軸對稱圖形。

(2)識別:

①定義:三條邊相等的三角形叫做等邊三角形。

②判定定理:

I、有一個角是60。的等腰三角形是等邊三角

形;II、三個角相等的三角形是等邊三角形。

3、直角三角形

(1)性質(zhì):

①直角三角形的兩個銳角互余;

②直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半;

③直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊

的平方(勾股定理);

④在直角三角形中,30。所對的直角邊等于斜

邊的一半;

⑤等腰直角三角形的每一個銳角都等于45Oo

(2)識別:

①定義:有一個角是直角的三角形叫做直角三

角形。

②判定定理:

I、如果一個三角形的兩邊的平方和等于第三邊

的平方,那么這個三角形是直角三角形;

II、若果一個三角形一邊上的中線等于這邊的一

半,那么這個三角形是直角三角形。

★練習(xí)

(-)反復(fù)比較,精心挑選:(在下列各題的

四個備選答案中,只有一個是正確的)。

1、如果三角形的一個角的度數(shù)等于另兩個角的

度數(shù)之和,那么這個三角形一定是()

(A)銳角三角形(B)直角三角形(C)鈍角三

角形(D)等腰三角形

2、下列給出的各組線段中,能構(gòu)成三角形的是

()

(A)5,12,13(B)5,12,7(C)8,18,

7(D)3,4,8

3、下列圖形中,不是軸對稱圖形的是()

(A)線段MN(B)等邊三角形(C)有

一個角為30o的直角三角形(D)鈍角/AOB

4、直角三角形兩銳角的平分線相交所夾的鈍角

為()

125°(B)135°(C)145°(D)150°

5、設(shè)。是等腰三角形的一個底角,則。的取值

是()

(A)0<a<90°(B)a<90°(C)0<a^

90°(D)0^a<90°

6、在^ABC中,下列推理過程正確的是()

(A)如果NA=NB,那么AB=AC(B)如果NA二

NB,那么AB=BC(C)如果CA=CB,那么n

A=zB(D)如果AB=BC,那么NB=NA.。

(二)活用知識,對號入座:

1、如果三角形的兩邊長分別為5和9,那么第

三邊x的取值圍是O

2、如果三角形的一個外角小于與它相鄰的角,

那么這個三角形一定是三角形。

3、等腰“BC中,AB=2BC,其周長為45,

則AB長為o

4、如,B。、CO分別是/ABC和NACB的平

分線,2BOC=136°,貝LA=度。

5、如果等腰三角形的一個外角為80°,那么它

的底角為度。

6、已知:SBC中,AB=AC,AB的垂直平分

線DE交AC于E,垂足為D,如果NA=40?,

那么NBEC=;如果ABEC的周長為20cm,

那么底邊BC=o

(三)計算題

1、如圖已知,4ABC中,NB=40。,2C=62°,

AD是BC邊上的高,AE是NBAC的平分線。

求:NDAE的度數(shù)。

2、如圖已知:MBC^ADBE,2A=50°,2E=30°O

求NADB和NDBC的度數(shù)。

3、如圖已知:R3ABC中,/ACB=90o,DE

是BC的垂直平分線,交AB于E,垂足為D,

如果AC=,BC=3,求NA的度數(shù)和^CDE的周

長。

四邊形

(-)一般四邊形的性質(zhì)

1、四邊形的角和等于360。;2、四邊形的外角

和等于360oo

(二)特殊四邊形

1、平行四邊形性質(zhì)和識別

(1)性質(zhì):

①平行四邊形的對邊分別相等;

②平行四邊形的對邊分別平行;

③平行四邊形的對角分別相等;

④平行四邊形的對角線互相平分;

⑤平行四邊形是中心對稱圖形,對稱中心是它

的對角線的交點。

⑥平行四邊形的面積公式:S平行四邊形=O

(2)識別:

①定義:兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行

四邊形。

②判定定理:

I、兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形;

Ik兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形;

III,兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊

形。

2、矩形的性質(zhì)和識別

(1)性質(zhì)(除平行四邊形的性質(zhì)外還有如下性

質(zhì)):

①矩形的對角線相等;

②矩形的每一個角是直角;

③矩形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形;

④矩形的面積公式:S矩形二O

(2)識別

①定義:有一個角是直角的平行四邊形叫做矩

形。

②判定定理:

I、對角線相等的平行四邊形是矩形;II;有三

個角是直角的四邊形是矩形。

3、菱形的性質(zhì)和識別

(1)性質(zhì)(除平行四邊形的性質(zhì)外還有如下性

質(zhì)):

①菱形的四條邊相等

②菱形的對角線互相垂直;

③菱形的每一條對角線平分一組對角;

④菱形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形;

⑥菱形的面積等于兩條對角線的乘積的一半;

⑦菱形的面積公式:。

(2)識別:

①定義:又以租賃邊相等的平行四邊形叫做菱

形。

②判定定理:

四條邊相等的四邊形是菱形

II、對角線互相垂直的平行四邊形是菱形;

Ilk每一條對角線平分一組對角的四邊形是菱

形。

4、梯形的性質(zhì)和識別

(1)性質(zhì):

①梯形中位線的性質(zhì):梯形的中位線平行于兩

底且等于兩底和的一邊。

②梯形的面積公式:S梯形二

(2)識別:

①定義:.

5、等腰梯形的性質(zhì)和識別

(1)性質(zhì):

①等腰梯形同一底上的兩個角相等;

②等腰梯形的對角線相等;

③等腰梯形是軸對稱圖形,對稱軸是它兩底的

垂直平分線。

(2)識別:

①定義:兩腰相等的梯形叫做等腰梯形。

②判定定理:

I、同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形;

II、對角線相等的梯形是等腰梯形。

★練習(xí)題

(一)活用知識,對號入座:

1、如下圖,EF過矩形ABCD的對角線的交點

0,且分別交AB、CD于E、F,那么陰影部分

的面積是矩形ABCD的面積的o

ABCD

2、如上圖,已知點E、F是矩形ABCD的邊

BC、CD的中點,且BF與DE交于點G,貝U的

值為

3、如上已知點E是ABCD的CD邊的中

點,且BE交對角線AC于點G;如果SACEG

=1,則ABCD的面積為

4、如上已知點E、F是ABCD的BC、CD

邊的中點,AE、AF與對角線BD相交。如果

中陰影部分面積為Si,非陰影部分面積為

S2,則=

(二)解答題

1、如下已知P是矩形ABCD的的一點.

求證:PA2+PC2=PB2+PD2o

2、如下已知點P是邊長為1的正方形

ABCD一點,如果NDPC=90°,PA2?PB2=。

求/PCB的度數(shù)。

3、如下圖,點E、F是ABCD邊AB、BC±

的點。

⑴如果AB=10,AB與CD的距離為8,且

點E、F分別是AB、BC的中點,求S^DEF;

(2)已知/ADE、/BEF、/CDF的面積分別為

5、3、4,求/DEF的面積。

4、如圖所示,梯形ABCD中AD||BC/B=90°,

AB=14cm,AD=18cm,BC=21cm,點P從點

A開始沿AD邊向點D以1cm/秒的速度移動,

點Q從點C開始沿CB向點B以2cm/秒的速

度移動,如果P、Q分別從A、C同時出發(fā),

設(shè)移動時間為t秒。

(1)當t為何值時,四邊形PDCQ是平行四

邊形?

(2)當t為何值時,四邊形PDCQ是等腰梯

形?

多邊形

(-)一般多邊形的性質(zhì)和識別

(1)性質(zhì):

①n邊形的角和等于(n-2)-180o;

②n邊形的角和等于360Oo

(2)識別:

①定義:在同一平面,由n條線段首尾順次連

接而成的圖形叫做n邊形。

(二)正多邊形

1、性質(zhì):

①正多邊形是軸對稱圖形;

②當正多邊形的邊數(shù)為偶數(shù)時,既是軸對稱

形又是中心對稱圖形。

2、識別:

①定義:每一條邊和每一個角都分別相等的多

邊形是正多邊形。

五、全等三角形的性質(zhì)和識別

1、性質(zhì):

①全等三角形的對應(yīng)邊相等、對應(yīng)角相等;

②全等三角形對應(yīng)的高、中線、角平分線分別

相等。

2、識別:

①定義:

②判定定理(或公理)

I、兩邊和其夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等;

II、兩角和其夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等;

Ilk兩角和其中一角的對邊對影響等的兩個三

角形全等;

IV、三條邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等;

V、斜邊和直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形

全等。

★練習(xí)題

(-)反復(fù)比較,精心挑選:(在下列各題的

四個備選答案中,只有一個是正確的)。

1、在線段、射線、直線、角、直角三角形、等

腰三角形中是軸對稱圖形的有()。

(A)3個(B)4個(C)5個(D)6個

2、已知直角三角形中30。角所對的直角邊為2

cm,則斜邊的長為()

(A)2cm(B)4cm(C)6cm(D)8cm

3、點M(1,2)關(guān)于原點對稱的點的坐標為

()

(A)(-1,2)(B)(-1,-2)(C)

(1,-2)(D)(2,-1)

4、下列說法正確的是()

A.等腰三角形的高、中線、角平分線互相重

合B,頂角相等的兩個等腰三角形全等

C.等腰三角形一邊不可以是另一邊的二

倍D.等腰三角形的兩個底角相等

5、已知NAOB=30。,點P在/AOB的部,Pi

與P關(guān)于0B對稱,P2與P關(guān)于0A對稱,則

P,Pi,P2三點構(gòu)成的三角形是()

A.直角三角形B.鈍角三角形C.等腰三

角形D.等邊三角形

6、DE是/ABC中AC邊的垂直平分線,若

BC=8厘米,AB=10厘米,貝以EBC的周長為

()厘米

A.16B.28C.26D.18。

7、下列命題中,錯誤的是()

A.全等三角形對應(yīng)邊上的中線相等B.面

積相等的兩個三角形是全等三角形

C.全等三角形對應(yīng)邊上的高線相等D.全

等三角形對應(yīng)角的平分線相等

8、如圖7,PD±AB,PE±AC,垂足分別為D、

£,且,判定尸。與△川尸£全等的理由應(yīng)該

是()A.SASB.AASC.SSS

D?HL

9、如8,已知>46,相交于。點,,£,

廠分別在04,。。上,要使,添加的一個條件

不可以是()

A.zOCE=zODFB.zCEA=zDFB

C.CE=DFD.OE=OF

10、如圖9,在△/EC中是的

角平分線,,垂足分別為尸,則下列四個

結(jié)論:①力。上任意一點到點的距離相等;

②上任意一點到邊45,的距離相等;

③BD=CD,ADLBC;④zBDE=zCDF.其

中,正確的個數(shù)為()

A.1個B.2個C.3個D.4

11.中,三條高47,

。尸相交于O,那么圖10中全等的三角形有

()

A.5對B.6對C7對D.8

12、將一長方形紙片按下圖所示的方式折

疊,為折痕,則的度數(shù)為()

A.60°B75°C.90°D.95°

(-)填空題

1、等腰三角形的兩邊長是6和3,周長為

2、等腰三角形一個角為50。,則此等腰三角形

頂角為O

3、在^ABC中,AB=AC,點D在AC邊上,

==

且BDBCAD,則NA二度o

4、等腰三角形一腰上的中線把這個三角形的周

長分成15cm和12cm,則這個三角形的底邊長

為cm。

5、腰長為12cm,底角為15。的等腰三角形的

面積為O

6、到三角形各頂點距離相等的點是三角

形的交點。

7、在直角坐標系有兩點A(?1,1)、B(2,3),

若M為x軸上一點,且MA+MB最小,則M

的坐標是,MA+MB=o

8、如圖5,,C。相交于點。,AD=CB,

請你補充一個條件,使得△/。8△。。呂,你補

充的條件是.

(三)解答題

1、已知,如圖,AABC中,AB=AC,D點在

BC±,且BD=AD,DC=AC,將圖中的等腰

三角形全都寫出來,并求NB的度數(shù)。

2、如圖,在/ABC中,/ACB=90,DE是AB

的垂直平分線,NCAE:NEAB=4:1.求NB的度

數(shù).

3、如16,。是GC中點,/〃8。,£是夕。

上除8,。,。外任意一點,根據(jù)“SAS”,可證

明,所以48=/。/5=/。.在44夕£和4/?!?/p>

?弓

中,,不能證明,W為這是“SSA”的情形,是

鈍角三角形,是銳角三角形,它們不可能全

等?如果兩個三角形都是直角三角形,“SSA”

就變成“HL”,就可以用來證明兩個三角形全

等.同樣,如果我們知道兩個三角形都是鈍角

三角形或銳角三角形,并且它們滿足“SSA”的

情形,也是一定能全等的,但必須通過構(gòu)造直

角三角形來間接證明.

問題:已知,如17,2。=/。,,根據(jù)現(xiàn)有

條件直接證明/AB8/ABD,可以嗎?為什么?

A

D

17

B

A

D

E

16

B

六、相似三角形的性質(zhì)和識別

1、性質(zhì):

(1)相似三角形對應(yīng)中線的比等于相似比;

(2)相似三角形對應(yīng)角平分線的比等于相似

比;

(3)相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比;

(4)相似三角形周長的比等于相似比;

(5)相似三角形面積的比等于相似比的平方。

2、識別:

①定義:形狀相同大小不一定相同的三角形叫

做相似三角形。

②判定定理(或公理)

I、有兩個角對應(yīng)相等的兩個三角形相似;

II、有兩條邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩個三角

形相似;

III,三條邊對應(yīng)成比例的兩個三角形相似;

IV、有一條直角邊和斜邊對應(yīng)成比例的兩個直

角三角形相似。

★練習(xí)題

(-)填空題

1、已知一條線段的長度是另一條線段長度的5

倍,則這兩條線段的比是。

2、在比例尺為20:1的圖紙上,某矩形零件面

積為12cm2;則零件實際面積為

2

________cmo

3、已知o

4、已知,則o

5、如,要測量A、B兩點間距離,在。點

打樁取0A中點CQB中點D測得CD=31.4

米,貝UAB=米。

6、一根竹竿的高為150cm,影長為100cm,

同一時刻,某塔樓影長是200cm,則塔樓的

高度為cmo

7、如所示,在3BC中,DE||AC,BD=10,

DA=15,BE=8廁EC=o

8、已知:在3BC中P是AB上一點連結(jié)CP,

當滿足條件zACP=或

NAPC=或AC2=時,

△ACP^AABC.

9、如圖,銳角三角形48c的邊28,ZC上的

高線CE和BF相交于點。.請寫出圖中的兩

對相似三角形:(用相似

符號連接).

(二)選擇題(每小題5分,共30分)

1、下列命題:

(1)有一個銳角相等的兩個直角三角形相

(2)斜邊和一直角邊對應(yīng)成比例的兩個直

角三角形相似

(3)兩個等邊三角形一定相似

(4)任意兩個矩形一定相似

其中正確的個數(shù)是()

A.1個B.2個C.3個D.4

2、如下圖,D是AABC的AB邊上一點,過D

作DE||BC,交AC于E,已知,那么的值為

()

(A)(B)(C)(D)

3、如圖所示,在AABC中,DE||BC,AD:DB

=1:2,則下列結(jié)論中正確的是()

①②③

(A)①②(B)②③④(C)①

②③(D)①③

4、如,一電線桿AB的影子分別落在了地上

和墻上,某一時刻,小明豎起1米高的直桿,

?得其影長為0.5米,此時,他又■得電線桿

AB落在地上的影子BD長3米,落在墻上的影

子CD的高為2米。小明用這些數(shù)據(jù)很快算出

了電線桿AB的高。請你計算,電線桿AB的

高為()

(A)5米(B)6米(C)7米(D)

8米

5、如圖,這是圓桌正上方的燈泡(看作一個點)

發(fā)出的光線照射桌面后在地面上形成陰影(圓

形)的示意.已知桌面的直徑為1.2米,桌

面距離地面1米.若燈泡距離地面3米,則地

面上陰影部分的面積為()?

A.0.36TT平方米B.0.81TT平方米

C.2TT平方米D.3.24TT平方米

(三)解答題

1.已知如圖,NBAC=90O,AD±BC,AE=EC,

ED延長線交AB的延長線于點Fo求證:(1)

/DBFTADF:(2)。

2、小玲用下面的方法來測■學(xué)校教學(xué)大樓AB

的高度:

如右圖,在水平地面上放一面平面鏡,鏡子與

教學(xué)大樓的距離EA=21米?當她與鏡子的距離

CE=2.5米時她剛好能從鏡子中看到教學(xué)大樓

的頂端B。已知她的眼睛距地面高度DC=1.6

米。請你幫助小玲計算出教學(xué)大樓的高度AB

是多少米(注意:根據(jù)光的反射定律:反射角等

于入射角)。

3、如,矩形ABCD中,E為BC上一點,

DF±AE于Fo

(1)AABE與AADF相似嗎?請說明理由;⑵

若AB=6,AD=12,BE=8,求DF的長。

4、已知:在梯形ABCD中,AD||BC,點E在

AB上,點F在DC上,且AD=,BC=。

設(shè)點E、F分別為AB、DC的中點。(1)如

1,求證:EF||BC,且EF=。(2)如果,如

(2)判斷EF和BC是否平行,并用,,,的

代數(shù)式表示EFo請證明你的結(jié)論。

七、兩個圖形成軸對稱和軸對稱圖形的性質(zhì)和

識別

1、性質(zhì):

(1)成軸對稱的兩個圖形(或軸對稱圖形)的

對應(yīng)線段相等;(2)成軸對稱的兩個圖形(或

軸對稱圖形)的對應(yīng)角相等;(3)連結(jié)對稱點

的線段被對稱軸垂直平分。(4)如果成軸對稱

的兩個圖形(或軸對稱圖形)對應(yīng)線段不平行,

則其延長線的交點必過對稱軸o

2、識別:

①定義1:把兩個圖形沿著某一條直線對折,

如果在直線兩旁的部分能夠重合,那么,我們

就說這兩個形成軸對稱。

②定義2:如果一個圖形沿著一條直線對折,

在直線兩旁的部分能夠完全重合,那么這個E

形叫做軸對稱圖形。

八、兩個圖形成中心對稱和中心對稱圖形的性

質(zhì)和識別

1、性質(zhì):

(1減中心對稱的兩個圖形(或中心對稱圖形)

的對應(yīng)線段平行且相等、對應(yīng)角相等;(2)連

結(jié)對稱點的線段都經(jīng)過對稱中心,并且被對稱

中心平分。

2、識別:

①定義:把一個圖形沿著某一點旋轉(zhuǎn)180o,

若果它能夠和另一個圖形重合,那么,我們就

說這兩個形成中心對稱。

②定義2::如果一個形沿著某一定點旋轉(zhuǎn)

180。后能和原來的圖形重合,那么這個圖形是

中心對稱圖形。

③判定定理:

如果兩個圖形的對應(yīng)點連成的線段都經(jīng)過某一

點,并且都被該點平分,那么這兩個圖形一定

關(guān)于這一點成中心對稱

九、圖形變換

1、軸對稱變換的性質(zhì)

(1)性質(zhì)

①對應(yīng)線段相等、對應(yīng)角相等;

②如果對應(yīng)線段延長線的有交點,那么交點必

過對稱軸;

③連結(jié)對應(yīng)點的線段被對稱軸垂直平分。

2、平移變換的性質(zhì)

①連結(jié)對應(yīng)點的線段平行(或在同一直線上)

且相等;

②對應(yīng)線段平行(或在同一直線上)且相等;

③對應(yīng)角相等。

3、旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)

①對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心的距離都相等;

②每一點都繞旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)了同樣大小的角

度。

③對應(yīng)線段相等、對應(yīng)角相等。

4、位似變換的性質(zhì):

①對應(yīng)邊成比例;②對應(yīng)角相等。

十、線段垂直平分線的性質(zhì)和逆定理

1、性質(zhì)定理:

線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相

等。

2、逆定理:

到線段兩端點的距離相等的點在這條線段的垂

直平分線上。

十一、角平分線的性質(zhì)和逆定理

1、性質(zhì):

角平分線上的點到角兩邊的距離相等。

2、逆定理:

到角兩邊的距離相等的點在這個角的平分線

±o

★練習(xí)題

(-)仔細選一選,填一填

1.下列圖案既是中心對稱圖形,又是軸對稱

形的是()

?■?■

A.B.C.D.

2.一個汽車牌在水中的倒影為,則該車

牌照為。

3.生活中因為有美麗的圖案才顯得豐富多彩,

以下是來自現(xiàn)實生活中的三個商標:

(1)、(2)、(3)

一石激起千層浪

銅錢

(1)以上①②③三個圖中軸對稱圖形有

,中心對稱圖形有

;(寫序號)

(2蔭在圖④中畫出是軸對稱圖形但不是中心

對稱圖形的新圖案;

(3)在圖(5)中畫出是軸對稱圖形又是中心

對稱圖形的新圖案.

4.如圖是一個旋轉(zhuǎn)對稱圖形,要使它旋轉(zhuǎn)后與

自身重合,至少應(yīng)將它繞中心逆時針方向旋轉(zhuǎn)

的度數(shù)是

()

A.300B.60°C.120°D.180°

5.如,網(wǎng)格中有一個四邊形和兩個三角形。

⑴請你畫出三個圖形關(guān)于點0的中心對稱

形;

⑵將⑴中畫出的圖形與原圖形看成一個整體

形,請你寫出這個整體圖形對稱軸的條數(shù)是

);這個整體圖形至少旋轉(zhuǎn)()度才

能與自身重合。

6.下列圖形中,既是軸對稱圖形又是中心對稱

形的是()

7.如,△ABC的邊BC的垂直平分線MN交

AC于點D,若AC=6cm,AB=4cm,

則AADB的周長二

(二)解答題

1、如,在等腰梯形ABCD中,AB||DC,AB

=8cm,CD=2cm,AD=6cm,點P從點A出

發(fā),以2cm/s的速度沿AB向終點B運動;點

Q從點C出發(fā),以1cm/s的速度沿CD向終點

D運動(P、Q兩點中,有一個點運動到終點時,

所有運動即終止)。設(shè)P、Q同時出發(fā)并運動了

t秒。

(1)當PQ將梯形ABCD分成兩個直角梯形時,

求t的值;

(2)試問是否存在這樣的t,使四邊形PBCQ的

面積是梯形ABCD面積的一半?若存在,求出

這樣的t的值,若不存在,請說明理由。

2、(1)平移AABC,使點A平移到點A'處,畫

出平移后的圖形。

(2)已知AABC和點。,畫出ADEF,3DEF

和AABC關(guān)于點0成中心對稱。

3、如,點0是平行四邊形ABCD的對稱中

心,將直線DB繞點。順時針方向旋轉(zhuǎn),交

DC、AB于點E、F(1)證明:△DE02BF。

(2)若DB=2,AD=1,AB=,當DB繞點O

順時針方向旋轉(zhuǎn)45。時,判斷四邊形AECF的

形狀,并說明理由。

4、如,已知在四邊形ABCD中,AD||BC

B=90°,AB=8cm,BC=26cm,AD=20cm,動

點P從A開始沿AD邊向點D以1cm/s的速度

運動,動點Q從點C開始沿CB邊向點B以

3cm/s的速度運動,P、Q別從點A、C同時出

發(fā),當其中一點到達端點時,另一點也隨之停

止運動,設(shè)運動的時間為t秒。

(1)當t為何值時,四邊形ABQP為矩形?

(2)當t為何值時,四邊形PQCD為平行四

邊形?

(3)當t為何值時,四邊形PQCD為等腰梯

形?

十三、三角形的重心、外心、心的性質(zhì)和識別

1、重心

(1)性質(zhì):

三角形的重心與一邊的中點的線段長等于對應(yīng)

中線的。

(2)識別:

①定義:三角形三條中線的交點叫三角形的重

2、外心

(1)性質(zhì):

三角形的外心到三個頂點的距離相等。

(2)識別:

①定義:三角形外接圓的圓心叫三角形的外心。

3、心

(1)性質(zhì):

三角形的心到三邊的距離相等。

(2)識別:

①定義:三角形的切的圓心叫三角形的心。

十四、三角形和梯形的中位線性質(zhì)和識別

1、三角形的中位線

(1)性質(zhì):

三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的

一半。

(2)識別:

①定義:連結(jié)三角形兩邊中點的線段叫做三角

形的中位線。

2、梯形的中位線

(1)性質(zhì):

梯形的中位線平行于兩底且等于兩底和的一

邊。

(2)識別:

①定義:連結(jié)梯形兩腰中點的線段叫做梯形的

中位線。

十五、圓

1、性質(zhì):

(1)圓既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形,也

是旋轉(zhuǎn)對稱圖形,經(jīng)過圓心的每一條直線是它

的對稱軸,圓心是它的對稱中心。

(2)圓的面積公式:So=TTr2o

十六、垂徑定理及其推論

(1座直于弦的直徑平分這條弦和它所對的兩

條?。?/p>

(2)平分弦(非直徑的弦)的直徑垂直于這條

弦且平分這條弦所對的兩條??;

(3汗分弧的直徑垂直平分這條弧所對的弦且

平分另一條弧。

十七、弧、弦、心角、弦心距之間的相等關(guān)

在同圓或等圓中,弧、圓心角、弦、弦心距四

組■中,如果有一組■對應(yīng)相等,那么其余三

組量分別對應(yīng)相等。

十八、圓周角

1、性質(zhì)(圓周角定理及其推論)

①一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的

一半;

②在同圓或等圓中,同?。ɑ虻然。┧鶎Φ膱A

周角相等,反過來,在同圓或等圓中,如果圓

周角相等,那么它所對的弧也相等。

③如果圓周角是直角,那么它所對的弦是直徑;

反過來,直徑所對的圓周角是直角。

2、識別

①定義:頂點在圓上且角的兩邊都與圓相交的

角叫做圓周角。

十九、切線長定理

從圓外一點引圓的兩條切線,切線長相等,且

這一點與圓心的連線平分兩條切線的夾角。

二十、圓的切線的性質(zhì)和識別

1、性質(zhì);

(1)圓的切線垂直于過切點的半徑;

(2)過切點垂直于切線的直線必過圓心;

(3)過圓心垂直于切線的直線必過切點。

2、識別:

(1)定義:和圓只有一個公共點的直線叫做圓

的切線。

(2)判定定理:

①如果圓心到直線的距離等于半徑,那么這條

直線是圓的切線;

②經(jīng)過半徑外端且垂直于這條半徑的直線是圓

的切線。

二十一、扇形

1、性質(zhì);

①扇形是軸對稱圖形,它的圓心角的平分線所

在的直線是它的對稱軸。

②扇形的面積公式:S扇形=

2、識別:

①定義:由圓心角的半徑和它所對的弧圍成的

形叫做扇形。

二十二、與圓有關(guān)的位置關(guān)系

1、點與圓的位置關(guān)系(設(shè)點與圓心的距離為

d,圓的半徑為r)

(1)性質(zhì):

①若點在圓外,則d>r;②若點在圓上,則d=

③若點在

r;,則d<ro

(2)識別:

①若d>r,則點在圓外;②若d=r,則點在[

上;③若d<r,則點在[

2、直線與圓的位置關(guān)系(設(shè)直線與圓心的距

離為d,圓的半徑為r)

(1)性質(zhì):

①若直線與圓相離則d>r;②若直線與圓相切,

則d二r;③若直線與圓相交,則d〈r。

(2)識別:

I、定義:

①如果直

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