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文檔簡介
初中幾何主要圖形的性質(zhì)和識別
主要圖形的性質(zhì)和識別
一、平行線
(一)、性質(zhì):
(1)如果二直線平行,那么同位角相等;
(2)如果二直線平行,那么錯角相等;
(3)如果二直線平行,那么同旁角互補;
(4)平行線間的距離處處相等。
(二八識別:
(1)定義:在同一平面不相交的兩條直線叫做
平行線。
(2)判定定理(或公理)
①如果同位角相等,那么二直線平行;
②如果錯角相等,那么二直線平行;
③如果同旁角互補,那么二直線平行;
④同垂直于一條直線的兩條直線互相平行;
⑤同平行于一條直線的兩條直線互相平行。
★練習(xí)
(-)反復(fù)比較,精心挑選:(在下列各題的
四個備選答案中,只有一個是正確的)。
1.在同一平面,兩條直線可能的位置關(guān)系是
()
A,平行B.相交C.相交或平行D.垂直
2,下列說法正確的是()
A.若兩個角是對頂角廁這兩個角相等.B.若
兩個角相等,則這兩個角是對頂角.
C.若兩個角不是對頂角,則這兩個角不相
等.D,以上判斷都不對.
3.下列語句正確的是()
A,兩條直線被第三條直線所截,同旁角互
補.B.互為鄰補角的兩個角的平分線互相垂
直.C.相等的角是平行線的錯角.D.從直線
外一點作這條直線的垂直線段叫點到直線的距
離。
4.點到直線的距離是()
A.點到直線上一點的連線B.點到直線的垂
線.C.點到直線的垂線段D.點到直線的垂線段
的長度
5,判定兩角相等,不對的是()
A.對頂角相等B.兩直線平行,同位角相
等.C..Z=N2,N2=N3,.*.21=23
D.兩條直線被第三條直線所截,錯角相等
6,兩個角的兩邊分別平行,其中一個角是60。,
則另一個角是()
A.60°B,120°C.60?;?20°D.無法確定
7.如圖,AB±CD,垂足為B,EF是經(jīng)過B點
的一條直線,已知NEBD=145。,則NCBE,2
ABF的度數(shù)分別為()
A.55°,35°B.35°,55°C.45°,
45°D.25°,55°
8.已知:如,下面判定正確的是()
A..2=/2,.\AB||CDB.V21+Z2=180°,/.
AB||CD
C???N3=N4,/.AB||CDD.?Z+N4=180。,.?.
AB||CD
(二)活用知識,對號入座:
1.如果a||b,b||c,則||為
O
2.下列語句①直角都相等,②延長AB到C,
使BC=2AB,③若/a>N0,則NO+NY+2Y,
④對頂角相等,相等的角也都是對頂角,⑤等
角的余角相等.其中正確的有
――(只填序號)。
3,將“平行于同一直線的兩條直線平行”改寫成
“如果……那么……”的形式
O
4,自鈍角的頂點引角的一邊的垂線,把這個鈍
角分成兩個角的度數(shù)之比是3:1,則這個鈍角
的度數(shù)是___________
5.如BE,CF相交于。,0A,0D是射線,
其中構(gòu)成對頂角的角是
6.如圖,直線AB,CD相交于OQE平分工AOC,
zEOC=35°,則NBOD=
(三)填注理由:
如,已知:直線AB,CD被直線EF,GH所
且N1=N2。求證:z3+z4=180°o
證明:?.Z=N2()
又?,/2=/5()
;.21=25()
/.AB||CD()
.-.23+24=180°()
(四)計算題:
1,已知:如,AB,CD,EF三直線相交于一
點,OE±AB,2COE=20°,OG平分NBOD,
求/BOG的度數(shù).
2.已知:如,Z1+22=180°,^3=100°,OK
平分工DOH,求/KOH的度數(shù)。
3如圖已知,4ABC中,NB=40°,NC=62。,
AD是BC邊上的高,AE是NBAC的平分線。
求:/DAE的度數(shù)。
(五)解決問題,展現(xiàn)能力:
1.如圖:已知NBCD=NB+ND,AB與ED的位
置關(guān)系是什么?請說明理由。
2.已知:如AD||BE,21=Z2,NA與NE有何
數(shù)?關(guān)系,請說明理由。
3,已知:如,CD平分NACB,AC||DE,CD||
EF,EF能平分工DEB嗎?請說明理由.
4.在鐵路的同旁有A、B兩個工廠,要在鐵路
L旁邊修建一個倉庫,使與A、B兩廠的距離
相等,畫出倉庫的位置,并寫出畫法。
二、三角形
(-)一般三角形的性質(zhì)
1、三邊的關(guān)系:任意兩邊之和大于第三邊,任
意兩邊之差小于第三邊。
2、三角的關(guān)系:
①三角形三角之和等于180。;②三角形任何一
個外角等于和他不相鄰的兩個角的和。
3、三角形的面積公式:S三角形二O
(二)特殊三角形
1、等腰三角形
(1)性質(zhì):
①等腰三角形的兩底角相等(等邊對等角);
②等腰三角形的頂角平分線、底邊上的高、底
邊上的中線互相重合(簡稱三線合一);
③等腰三角形是軸對稱圖形。
(2)識別:
①定義:有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角
形。
②判定定理:有兩個角相等的三角形是等腰三
角形(等角對等邊)。
2、等邊三角形
(1)性質(zhì):
①等邊三角形的三個角相等,且每一個角都等
于60o;
②等邊三角形每一條邊上的高、中線和所對角
的平分線互相重合(簡稱三線合一);
③等邊三角形是軸對稱圖形。
(2)識別:
①定義:三條邊相等的三角形叫做等邊三角形。
②判定定理:
I、有一個角是60。的等腰三角形是等邊三角
形;II、三個角相等的三角形是等邊三角形。
3、直角三角形
(1)性質(zhì):
①直角三角形的兩個銳角互余;
②直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半;
③直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊
的平方(勾股定理);
④在直角三角形中,30。所對的直角邊等于斜
邊的一半;
⑤等腰直角三角形的每一個銳角都等于45Oo
(2)識別:
①定義:有一個角是直角的三角形叫做直角三
角形。
②判定定理:
I、如果一個三角形的兩邊的平方和等于第三邊
的平方,那么這個三角形是直角三角形;
II、若果一個三角形一邊上的中線等于這邊的一
半,那么這個三角形是直角三角形。
★練習(xí)
(-)反復(fù)比較,精心挑選:(在下列各題的
四個備選答案中,只有一個是正確的)。
1、如果三角形的一個角的度數(shù)等于另兩個角的
度數(shù)之和,那么這個三角形一定是()
(A)銳角三角形(B)直角三角形(C)鈍角三
角形(D)等腰三角形
2、下列給出的各組線段中,能構(gòu)成三角形的是
()
(A)5,12,13(B)5,12,7(C)8,18,
7(D)3,4,8
3、下列圖形中,不是軸對稱圖形的是()
(A)線段MN(B)等邊三角形(C)有
一個角為30o的直角三角形(D)鈍角/AOB
4、直角三角形兩銳角的平分線相交所夾的鈍角
為()
125°(B)135°(C)145°(D)150°
5、設(shè)。是等腰三角形的一個底角,則。的取值
是()
(A)0<a<90°(B)a<90°(C)0<a^
90°(D)0^a<90°
6、在^ABC中,下列推理過程正確的是()
(A)如果NA=NB,那么AB=AC(B)如果NA二
NB,那么AB=BC(C)如果CA=CB,那么n
A=zB(D)如果AB=BC,那么NB=NA.。
(二)活用知識,對號入座:
1、如果三角形的兩邊長分別為5和9,那么第
三邊x的取值圍是O
2、如果三角形的一個外角小于與它相鄰的角,
那么這個三角形一定是三角形。
3、等腰“BC中,AB=2BC,其周長為45,
則AB長為o
4、如,B。、CO分別是/ABC和NACB的平
分線,2BOC=136°,貝LA=度。
5、如果等腰三角形的一個外角為80°,那么它
的底角為度。
6、已知:SBC中,AB=AC,AB的垂直平分
線DE交AC于E,垂足為D,如果NA=40?,
那么NBEC=;如果ABEC的周長為20cm,
那么底邊BC=o
(三)計算題
1、如圖已知,4ABC中,NB=40。,2C=62°,
AD是BC邊上的高,AE是NBAC的平分線。
求:NDAE的度數(shù)。
2、如圖已知:MBC^ADBE,2A=50°,2E=30°O
求NADB和NDBC的度數(shù)。
3、如圖已知:R3ABC中,/ACB=90o,DE
是BC的垂直平分線,交AB于E,垂足為D,
如果AC=,BC=3,求NA的度數(shù)和^CDE的周
長。
四邊形
(-)一般四邊形的性質(zhì)
1、四邊形的角和等于360。;2、四邊形的外角
和等于360oo
(二)特殊四邊形
1、平行四邊形性質(zhì)和識別
(1)性質(zhì):
①平行四邊形的對邊分別相等;
②平行四邊形的對邊分別平行;
③平行四邊形的對角分別相等;
④平行四邊形的對角線互相平分;
⑤平行四邊形是中心對稱圖形,對稱中心是它
的對角線的交點。
⑥平行四邊形的面積公式:S平行四邊形=O
(2)識別:
①定義:兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行
四邊形。
②判定定理:
I、兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形;
Ik兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形;
III,兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊
形。
2、矩形的性質(zhì)和識別
(1)性質(zhì)(除平行四邊形的性質(zhì)外還有如下性
質(zhì)):
①矩形的對角線相等;
②矩形的每一個角是直角;
③矩形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形;
④矩形的面積公式:S矩形二O
(2)識別
①定義:有一個角是直角的平行四邊形叫做矩
形。
②判定定理:
I、對角線相等的平行四邊形是矩形;II;有三
個角是直角的四邊形是矩形。
3、菱形的性質(zhì)和識別
(1)性質(zhì)(除平行四邊形的性質(zhì)外還有如下性
質(zhì)):
①菱形的四條邊相等
②菱形的對角線互相垂直;
③菱形的每一條對角線平分一組對角;
④菱形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形;
⑥菱形的面積等于兩條對角線的乘積的一半;
⑦菱形的面積公式:。
(2)識別:
①定義:又以租賃邊相等的平行四邊形叫做菱
形。
②判定定理:
四條邊相等的四邊形是菱形
II、對角線互相垂直的平行四邊形是菱形;
Ilk每一條對角線平分一組對角的四邊形是菱
形。
4、梯形的性質(zhì)和識別
(1)性質(zhì):
①梯形中位線的性質(zhì):梯形的中位線平行于兩
底且等于兩底和的一邊。
②梯形的面積公式:S梯形二
(2)識別:
①定義:.
5、等腰梯形的性質(zhì)和識別
(1)性質(zhì):
①等腰梯形同一底上的兩個角相等;
②等腰梯形的對角線相等;
③等腰梯形是軸對稱圖形,對稱軸是它兩底的
垂直平分線。
(2)識別:
①定義:兩腰相等的梯形叫做等腰梯形。
②判定定理:
I、同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形;
II、對角線相等的梯形是等腰梯形。
★練習(xí)題
(一)活用知識,對號入座:
1、如下圖,EF過矩形ABCD的對角線的交點
0,且分別交AB、CD于E、F,那么陰影部分
的面積是矩形ABCD的面積的o
ABCD
2、如上圖,已知點E、F是矩形ABCD的邊
BC、CD的中點,且BF與DE交于點G,貝U的
值為
3、如上已知點E是ABCD的CD邊的中
點,且BE交對角線AC于點G;如果SACEG
=1,則ABCD的面積為
4、如上已知點E、F是ABCD的BC、CD
邊的中點,AE、AF與對角線BD相交。如果
中陰影部分面積為Si,非陰影部分面積為
S2,則=
(二)解答題
1、如下已知P是矩形ABCD的的一點.
求證:PA2+PC2=PB2+PD2o
2、如下已知點P是邊長為1的正方形
ABCD一點,如果NDPC=90°,PA2?PB2=。
求/PCB的度數(shù)。
3、如下圖,點E、F是ABCD邊AB、BC±
的點。
⑴如果AB=10,AB與CD的距離為8,且
點E、F分別是AB、BC的中點,求S^DEF;
(2)已知/ADE、/BEF、/CDF的面積分別為
5、3、4,求/DEF的面積。
4、如圖所示,梯形ABCD中AD||BC/B=90°,
AB=14cm,AD=18cm,BC=21cm,點P從點
A開始沿AD邊向點D以1cm/秒的速度移動,
點Q從點C開始沿CB向點B以2cm/秒的速
度移動,如果P、Q分別從A、C同時出發(fā),
設(shè)移動時間為t秒。
(1)當t為何值時,四邊形PDCQ是平行四
邊形?
(2)當t為何值時,四邊形PDCQ是等腰梯
形?
多邊形
(-)一般多邊形的性質(zhì)和識別
(1)性質(zhì):
①n邊形的角和等于(n-2)-180o;
②n邊形的角和等于360Oo
(2)識別:
①定義:在同一平面,由n條線段首尾順次連
接而成的圖形叫做n邊形。
(二)正多邊形
1、性質(zhì):
①正多邊形是軸對稱圖形;
②當正多邊形的邊數(shù)為偶數(shù)時,既是軸對稱
形又是中心對稱圖形。
2、識別:
①定義:每一條邊和每一個角都分別相等的多
邊形是正多邊形。
五、全等三角形的性質(zhì)和識別
1、性質(zhì):
①全等三角形的對應(yīng)邊相等、對應(yīng)角相等;
②全等三角形對應(yīng)的高、中線、角平分線分別
相等。
2、識別:
①定義:
②判定定理(或公理)
I、兩邊和其夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等;
II、兩角和其夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等;
Ilk兩角和其中一角的對邊對影響等的兩個三
角形全等;
IV、三條邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等;
V、斜邊和直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形
全等。
★練習(xí)題
(-)反復(fù)比較,精心挑選:(在下列各題的
四個備選答案中,只有一個是正確的)。
1、在線段、射線、直線、角、直角三角形、等
腰三角形中是軸對稱圖形的有()。
(A)3個(B)4個(C)5個(D)6個
2、已知直角三角形中30。角所對的直角邊為2
cm,則斜邊的長為()
(A)2cm(B)4cm(C)6cm(D)8cm
3、點M(1,2)關(guān)于原點對稱的點的坐標為
()
(A)(-1,2)(B)(-1,-2)(C)
(1,-2)(D)(2,-1)
4、下列說法正確的是()
A.等腰三角形的高、中線、角平分線互相重
合B,頂角相等的兩個等腰三角形全等
C.等腰三角形一邊不可以是另一邊的二
倍D.等腰三角形的兩個底角相等
5、已知NAOB=30。,點P在/AOB的部,Pi
與P關(guān)于0B對稱,P2與P關(guān)于0A對稱,則
P,Pi,P2三點構(gòu)成的三角形是()
A.直角三角形B.鈍角三角形C.等腰三
角形D.等邊三角形
6、DE是/ABC中AC邊的垂直平分線,若
BC=8厘米,AB=10厘米,貝以EBC的周長為
()厘米
A.16B.28C.26D.18。
7、下列命題中,錯誤的是()
A.全等三角形對應(yīng)邊上的中線相等B.面
積相等的兩個三角形是全等三角形
C.全等三角形對應(yīng)邊上的高線相等D.全
等三角形對應(yīng)角的平分線相等
8、如圖7,PD±AB,PE±AC,垂足分別為D、
£,且,判定尸。與△川尸£全等的理由應(yīng)該
是()A.SASB.AASC.SSS
D?HL
9、如8,已知>46,相交于。點,,£,
廠分別在04,。。上,要使,添加的一個條件
不可以是()
A.zOCE=zODFB.zCEA=zDFB
C.CE=DFD.OE=OF
10、如圖9,在△/EC中是的
角平分線,,垂足分別為尸,則下列四個
結(jié)論:①力。上任意一點到點的距離相等;
②上任意一點到邊45,的距離相等;
③BD=CD,ADLBC;④zBDE=zCDF.其
中,正確的個數(shù)為()
A.1個B.2個C.3個D.4
個
11.中,三條高47,
。尸相交于O,那么圖10中全等的三角形有
()
A.5對B.6對C7對D.8
對
12、將一長方形紙片按下圖所示的方式折
疊,為折痕,則的度數(shù)為()
A.60°B75°C.90°D.95°
(-)填空題
1、等腰三角形的兩邊長是6和3,周長為
2、等腰三角形一個角為50。,則此等腰三角形
頂角為O
3、在^ABC中,AB=AC,點D在AC邊上,
==
且BDBCAD,則NA二度o
4、等腰三角形一腰上的中線把這個三角形的周
長分成15cm和12cm,則這個三角形的底邊長
為cm。
5、腰長為12cm,底角為15。的等腰三角形的
面積為O
6、到三角形各頂點距離相等的點是三角
形的交點。
7、在直角坐標系有兩點A(?1,1)、B(2,3),
若M為x軸上一點,且MA+MB最小,則M
的坐標是,MA+MB=o
8、如圖5,,C。相交于點。,AD=CB,
請你補充一個條件,使得△/。8△。。呂,你補
充的條件是.
(三)解答題
1、已知,如圖,AABC中,AB=AC,D點在
BC±,且BD=AD,DC=AC,將圖中的等腰
三角形全都寫出來,并求NB的度數(shù)。
2、如圖,在/ABC中,/ACB=90,DE是AB
的垂直平分線,NCAE:NEAB=4:1.求NB的度
數(shù).
3、如16,。是GC中點,/〃8。,£是夕。
上除8,。,。外任意一點,根據(jù)“SAS”,可證
明,所以48=/。/5=/。.在44夕£和4/?!?/p>
?弓
中,,不能證明,W為這是“SSA”的情形,是
鈍角三角形,是銳角三角形,它們不可能全
等?如果兩個三角形都是直角三角形,“SSA”
就變成“HL”,就可以用來證明兩個三角形全
等.同樣,如果我們知道兩個三角形都是鈍角
三角形或銳角三角形,并且它們滿足“SSA”的
情形,也是一定能全等的,但必須通過構(gòu)造直
角三角形來間接證明.
問題:已知,如17,2。=/。,,根據(jù)現(xiàn)有
條件直接證明/AB8/ABD,可以嗎?為什么?
A
D
17
B
A
D
E
16
B
六、相似三角形的性質(zhì)和識別
1、性質(zhì):
(1)相似三角形對應(yīng)中線的比等于相似比;
(2)相似三角形對應(yīng)角平分線的比等于相似
比;
(3)相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比;
(4)相似三角形周長的比等于相似比;
(5)相似三角形面積的比等于相似比的平方。
2、識別:
①定義:形狀相同大小不一定相同的三角形叫
做相似三角形。
②判定定理(或公理)
I、有兩個角對應(yīng)相等的兩個三角形相似;
II、有兩條邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩個三角
形相似;
III,三條邊對應(yīng)成比例的兩個三角形相似;
IV、有一條直角邊和斜邊對應(yīng)成比例的兩個直
角三角形相似。
★練習(xí)題
(-)填空題
1、已知一條線段的長度是另一條線段長度的5
倍,則這兩條線段的比是。
2、在比例尺為20:1的圖紙上,某矩形零件面
積為12cm2;則零件實際面積為
2
________cmo
3、已知o
4、已知,則o
5、如,要測量A、B兩點間距離,在。點
打樁取0A中點CQB中點D測得CD=31.4
米,貝UAB=米。
6、一根竹竿的高為150cm,影長為100cm,
同一時刻,某塔樓影長是200cm,則塔樓的
高度為cmo
7、如所示,在3BC中,DE||AC,BD=10,
DA=15,BE=8廁EC=o
8、已知:在3BC中P是AB上一點連結(jié)CP,
當滿足條件zACP=或
NAPC=或AC2=時,
△ACP^AABC.
9、如圖,銳角三角形48c的邊28,ZC上的
高線CE和BF相交于點。.請寫出圖中的兩
對相似三角形:(用相似
符號連接).
(二)選擇題(每小題5分,共30分)
1、下列命題:
(1)有一個銳角相等的兩個直角三角形相
似
(2)斜邊和一直角邊對應(yīng)成比例的兩個直
角三角形相似
(3)兩個等邊三角形一定相似
(4)任意兩個矩形一定相似
其中正確的個數(shù)是()
A.1個B.2個C.3個D.4
個
2、如下圖,D是AABC的AB邊上一點,過D
作DE||BC,交AC于E,已知,那么的值為
()
(A)(B)(C)(D)
3、如圖所示,在AABC中,DE||BC,AD:DB
=1:2,則下列結(jié)論中正確的是()
①②③
④
(A)①②(B)②③④(C)①
②③(D)①③
4、如,一電線桿AB的影子分別落在了地上
和墻上,某一時刻,小明豎起1米高的直桿,
?得其影長為0.5米,此時,他又■得電線桿
AB落在地上的影子BD長3米,落在墻上的影
子CD的高為2米。小明用這些數(shù)據(jù)很快算出
了電線桿AB的高。請你計算,電線桿AB的
高為()
(A)5米(B)6米(C)7米(D)
8米
5、如圖,這是圓桌正上方的燈泡(看作一個點)
發(fā)出的光線照射桌面后在地面上形成陰影(圓
形)的示意.已知桌面的直徑為1.2米,桌
面距離地面1米.若燈泡距離地面3米,則地
面上陰影部分的面積為()?
A.0.36TT平方米B.0.81TT平方米
C.2TT平方米D.3.24TT平方米
(三)解答題
1.已知如圖,NBAC=90O,AD±BC,AE=EC,
ED延長線交AB的延長線于點Fo求證:(1)
/DBFTADF:(2)。
2、小玲用下面的方法來測■學(xué)校教學(xué)大樓AB
的高度:
如右圖,在水平地面上放一面平面鏡,鏡子與
教學(xué)大樓的距離EA=21米?當她與鏡子的距離
CE=2.5米時她剛好能從鏡子中看到教學(xué)大樓
的頂端B。已知她的眼睛距地面高度DC=1.6
米。請你幫助小玲計算出教學(xué)大樓的高度AB
是多少米(注意:根據(jù)光的反射定律:反射角等
于入射角)。
3、如,矩形ABCD中,E為BC上一點,
DF±AE于Fo
(1)AABE與AADF相似嗎?請說明理由;⑵
若AB=6,AD=12,BE=8,求DF的長。
4、已知:在梯形ABCD中,AD||BC,點E在
AB上,點F在DC上,且AD=,BC=。
設(shè)點E、F分別為AB、DC的中點。(1)如
1,求證:EF||BC,且EF=。(2)如果,如
(2)判斷EF和BC是否平行,并用,,,的
代數(shù)式表示EFo請證明你的結(jié)論。
七、兩個圖形成軸對稱和軸對稱圖形的性質(zhì)和
識別
1、性質(zhì):
(1)成軸對稱的兩個圖形(或軸對稱圖形)的
對應(yīng)線段相等;(2)成軸對稱的兩個圖形(或
軸對稱圖形)的對應(yīng)角相等;(3)連結(jié)對稱點
的線段被對稱軸垂直平分。(4)如果成軸對稱
的兩個圖形(或軸對稱圖形)對應(yīng)線段不平行,
則其延長線的交點必過對稱軸o
2、識別:
①定義1:把兩個圖形沿著某一條直線對折,
如果在直線兩旁的部分能夠重合,那么,我們
就說這兩個形成軸對稱。
②定義2:如果一個圖形沿著一條直線對折,
在直線兩旁的部分能夠完全重合,那么這個E
形叫做軸對稱圖形。
八、兩個圖形成中心對稱和中心對稱圖形的性
質(zhì)和識別
1、性質(zhì):
(1減中心對稱的兩個圖形(或中心對稱圖形)
的對應(yīng)線段平行且相等、對應(yīng)角相等;(2)連
結(jié)對稱點的線段都經(jīng)過對稱中心,并且被對稱
中心平分。
2、識別:
①定義:把一個圖形沿著某一點旋轉(zhuǎn)180o,
若果它能夠和另一個圖形重合,那么,我們就
說這兩個形成中心對稱。
②定義2::如果一個形沿著某一定點旋轉(zhuǎn)
180。后能和原來的圖形重合,那么這個圖形是
中心對稱圖形。
③判定定理:
如果兩個圖形的對應(yīng)點連成的線段都經(jīng)過某一
點,并且都被該點平分,那么這兩個圖形一定
關(guān)于這一點成中心對稱
九、圖形變換
1、軸對稱變換的性質(zhì)
(1)性質(zhì)
①對應(yīng)線段相等、對應(yīng)角相等;
②如果對應(yīng)線段延長線的有交點,那么交點必
過對稱軸;
③連結(jié)對應(yīng)點的線段被對稱軸垂直平分。
2、平移變換的性質(zhì)
①連結(jié)對應(yīng)點的線段平行(或在同一直線上)
且相等;
②對應(yīng)線段平行(或在同一直線上)且相等;
③對應(yīng)角相等。
3、旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)
①對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心的距離都相等;
②每一點都繞旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)了同樣大小的角
度。
③對應(yīng)線段相等、對應(yīng)角相等。
4、位似變換的性質(zhì):
①對應(yīng)邊成比例;②對應(yīng)角相等。
十、線段垂直平分線的性質(zhì)和逆定理
1、性質(zhì)定理:
線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相
等。
2、逆定理:
到線段兩端點的距離相等的點在這條線段的垂
直平分線上。
十一、角平分線的性質(zhì)和逆定理
1、性質(zhì):
角平分線上的點到角兩邊的距離相等。
2、逆定理:
到角兩邊的距離相等的點在這個角的平分線
±o
★練習(xí)題
(-)仔細選一選,填一填
1.下列圖案既是中心對稱圖形,又是軸對稱
形的是()
?■?■
A.B.C.D.
2.一個汽車牌在水中的倒影為,則該車
牌照為。
3.生活中因為有美麗的圖案才顯得豐富多彩,
以下是來自現(xiàn)實生活中的三個商標:
(1)、(2)、(3)
⑤
④
①
一石激起千層浪
②
③
銅錢
(1)以上①②③三個圖中軸對稱圖形有
,中心對稱圖形有
;(寫序號)
(2蔭在圖④中畫出是軸對稱圖形但不是中心
對稱圖形的新圖案;
(3)在圖(5)中畫出是軸對稱圖形又是中心
對稱圖形的新圖案.
4.如圖是一個旋轉(zhuǎn)對稱圖形,要使它旋轉(zhuǎn)后與
自身重合,至少應(yīng)將它繞中心逆時針方向旋轉(zhuǎn)
的度數(shù)是
()
A.300B.60°C.120°D.180°
5.如,網(wǎng)格中有一個四邊形和兩個三角形。
⑴請你畫出三個圖形關(guān)于點0的中心對稱
形;
⑵將⑴中畫出的圖形與原圖形看成一個整體
形,請你寫出這個整體圖形對稱軸的條數(shù)是
);這個整體圖形至少旋轉(zhuǎn)()度才
能與自身重合。
6.下列圖形中,既是軸對稱圖形又是中心對稱
形的是()
7.如,△ABC的邊BC的垂直平分線MN交
AC于點D,若AC=6cm,AB=4cm,
則AADB的周長二
(二)解答題
1、如,在等腰梯形ABCD中,AB||DC,AB
=8cm,CD=2cm,AD=6cm,點P從點A出
發(fā),以2cm/s的速度沿AB向終點B運動;點
Q從點C出發(fā),以1cm/s的速度沿CD向終點
D運動(P、Q兩點中,有一個點運動到終點時,
所有運動即終止)。設(shè)P、Q同時出發(fā)并運動了
t秒。
(1)當PQ將梯形ABCD分成兩個直角梯形時,
求t的值;
(2)試問是否存在這樣的t,使四邊形PBCQ的
面積是梯形ABCD面積的一半?若存在,求出
這樣的t的值,若不存在,請說明理由。
2、(1)平移AABC,使點A平移到點A'處,畫
出平移后的圖形。
(2)已知AABC和點。,畫出ADEF,3DEF
和AABC關(guān)于點0成中心對稱。
3、如,點0是平行四邊形ABCD的對稱中
心,將直線DB繞點。順時針方向旋轉(zhuǎn),交
DC、AB于點E、F(1)證明:△DE02BF。
(2)若DB=2,AD=1,AB=,當DB繞點O
順時針方向旋轉(zhuǎn)45。時,判斷四邊形AECF的
形狀,并說明理由。
4、如,已知在四邊形ABCD中,AD||BC
B=90°,AB=8cm,BC=26cm,AD=20cm,動
點P從A開始沿AD邊向點D以1cm/s的速度
運動,動點Q從點C開始沿CB邊向點B以
3cm/s的速度運動,P、Q別從點A、C同時出
發(fā),當其中一點到達端點時,另一點也隨之停
止運動,設(shè)運動的時間為t秒。
(1)當t為何值時,四邊形ABQP為矩形?
(2)當t為何值時,四邊形PQCD為平行四
邊形?
(3)當t為何值時,四邊形PQCD為等腰梯
形?
十三、三角形的重心、外心、心的性質(zhì)和識別
1、重心
(1)性質(zhì):
三角形的重心與一邊的中點的線段長等于對應(yīng)
中線的。
(2)識別:
①定義:三角形三條中線的交點叫三角形的重
2、外心
(1)性質(zhì):
三角形的外心到三個頂點的距離相等。
(2)識別:
①定義:三角形外接圓的圓心叫三角形的外心。
3、心
(1)性質(zhì):
三角形的心到三邊的距離相等。
(2)識別:
①定義:三角形的切的圓心叫三角形的心。
十四、三角形和梯形的中位線性質(zhì)和識別
1、三角形的中位線
(1)性質(zhì):
三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的
一半。
(2)識別:
①定義:連結(jié)三角形兩邊中點的線段叫做三角
形的中位線。
2、梯形的中位線
(1)性質(zhì):
梯形的中位線平行于兩底且等于兩底和的一
邊。
(2)識別:
①定義:連結(jié)梯形兩腰中點的線段叫做梯形的
中位線。
十五、圓
1、性質(zhì):
(1)圓既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形,也
是旋轉(zhuǎn)對稱圖形,經(jīng)過圓心的每一條直線是它
的對稱軸,圓心是它的對稱中心。
(2)圓的面積公式:So=TTr2o
十六、垂徑定理及其推論
(1座直于弦的直徑平分這條弦和它所對的兩
條?。?/p>
(2)平分弦(非直徑的弦)的直徑垂直于這條
弦且平分這條弦所對的兩條??;
(3汗分弧的直徑垂直平分這條弧所對的弦且
平分另一條弧。
十七、弧、弦、心角、弦心距之間的相等關(guān)
系
在同圓或等圓中,弧、圓心角、弦、弦心距四
組■中,如果有一組■對應(yīng)相等,那么其余三
組量分別對應(yīng)相等。
十八、圓周角
1、性質(zhì)(圓周角定理及其推論)
①一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的
一半;
②在同圓或等圓中,同?。ɑ虻然。┧鶎Φ膱A
周角相等,反過來,在同圓或等圓中,如果圓
周角相等,那么它所對的弧也相等。
③如果圓周角是直角,那么它所對的弦是直徑;
反過來,直徑所對的圓周角是直角。
2、識別
①定義:頂點在圓上且角的兩邊都與圓相交的
角叫做圓周角。
十九、切線長定理
從圓外一點引圓的兩條切線,切線長相等,且
這一點與圓心的連線平分兩條切線的夾角。
二十、圓的切線的性質(zhì)和識別
1、性質(zhì);
(1)圓的切線垂直于過切點的半徑;
(2)過切點垂直于切線的直線必過圓心;
(3)過圓心垂直于切線的直線必過切點。
2、識別:
(1)定義:和圓只有一個公共點的直線叫做圓
的切線。
(2)判定定理:
①如果圓心到直線的距離等于半徑,那么這條
直線是圓的切線;
②經(jīng)過半徑外端且垂直于這條半徑的直線是圓
的切線。
二十一、扇形
1、性質(zhì);
①扇形是軸對稱圖形,它的圓心角的平分線所
在的直線是它的對稱軸。
②扇形的面積公式:S扇形=
2、識別:
①定義:由圓心角的半徑和它所對的弧圍成的
形叫做扇形。
二十二、與圓有關(guān)的位置關(guān)系
1、點與圓的位置關(guān)系(設(shè)點與圓心的距離為
d,圓的半徑為r)
(1)性質(zhì):
①若點在圓外,則d>r;②若點在圓上,則d=
③若點在
r;,則d<ro
(2)識別:
①若d>r,則點在圓外;②若d=r,則點在[
上;③若d<r,則點在[
2、直線與圓的位置關(guān)系(設(shè)直線與圓心的距
離為d,圓的半徑為r)
(1)性質(zhì):
①若直線與圓相離則d>r;②若直線與圓相切,
則d二r;③若直線與圓相交,則d〈r。
(2)識別:
I、定義:
①如果直
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