2022年江蘇省常州市強(qiáng)基計(jì)劃選拔數(shù)學(xué)試卷

第1頁（共1頁）2022年江蘇省常州市強(qiáng)基計(jì)劃選拔數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：（本大題5個小題，每小題6分，共30分）在每個小題的下面，都給出了代號為A、B、C、D的四個答案，其中只有一個是正確的，請將正確答案的代號填在題后的括號中。1．（6分）已知0＜a＜1，則a2，，三者之間的大小關(guān)系是（）A． B． C． D．2．（6分）如圖，等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠BDC＝90°，AD＝2（）A．2 B． C． D．3．（6分）甲、乙、丙、丁四個小朋友在院里玩球，忽聽“砰”的一聲，球擊中了李大爺家的窗戶．李大爺跑出來查看甲說：“是乙不小心闖的禍．”乙說：“是丙闖的禍．”丙說：“乙說的不是實(shí)話．”丁說：“反正不是我闖的禍．”如果這四個小朋友中只有一個人說了實(shí)話，請你幫李大爺判斷一下，究竟是誰闖的禍（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁4．（6分）如圖，在矩形ABCD中，對角線AC，AB＝6，∠DAC＝60°，連接DF，以DF為邊作等邊△DFE，下列結(jié)論：①∠BDE＝∠EFC；②ED＝EC；④點(diǎn)E運(yùn)動的路程是2；其中正確結(jié)論的序號為（）A．①④ B．①②③ C．②③ D．①②③④5．（6分）概率問題：袋中有紅、黃、藍(lán)3個球，依次拿兩個（不放回），現(xiàn)給出以四個關(guān)于概率的結(jié)論：（1）第1次和第2次拿到紅球的概率不一樣；（2）第1次拿到紅球的同時，第2次拿到黃球與第2次拿到藍(lán)球的概率一樣；（3）第1次拿到紅球的同時，第2次拿到黃球與第2次拿到藍(lán)球的概率不一樣；（4）第1次拿到紅球且第2次拿到藍(lán)球的概率，與第1次拿到藍(lán)球且第2次拿到紅球的概率一樣．其中正確的為（）A．（1）、（2） B．（3）、（4） C．（1）、（3） D．（2）、（4）二、填空題：（本大題5個小題，每小題6分，共30分）在每小題中，請將正確答案直接填在題后的橫線上.6．（6分）因式分解：x2+y2﹣2z2+2xy+yz+xz＝．7．（6分）7位二進(jìn)制數(shù)中恰有4個1的數(shù)有個，十進(jìn)制下和為．8．（6分）（2x+1）2＝a0+a1x+a2x2+?+a10x10，求（a0+a2+a4+?+a10）2﹣（a1+a3+a5+?+a9）2＝．9．（6分）設(shè)n!＝n×（n﹣1）×（n﹣2）×?×3×2×1，則＝．10．（6分）如圖，，AC＝2BC，S△OBD＝，求k＝．三、計(jì)算題：（本大題2個小題，每小題10分，共20分）解答時每小題必須給出必要的演算過程或推理步驟.11．（10分）．12．（10分）．四、解答題：（本大題4個小題，每小題25分，共100分）解答時每小題必須給出必要的演算過程或推理步驟.13．（25分）如圖，AB：y＝x+2，∠ACB＝90°（1）求證：MN⊥OC；（2）Q為x軸上一動點(diǎn)，點(diǎn)B繞點(diǎn)Q旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)B′，請直接寫出B′Q的最小值．14．（25分）如圖，函數(shù)y＝x2的拋物線，其中A1A2＝A2A3＝…＝An﹣1An，且OA1＝1.為圖1陰影面積和；為圖2陰影面積和．（1）12＝1；12+22＝5；12+22+32＝14；所以12+22+32+…+n2＝；（2）用含n的代數(shù)式表示S1，S2；（3）對于正整數(shù)n，是否有常數(shù)M，滿足S1＜M＜S2，若存在，請求出常數(shù)M，并說明其幾何意義15．（25分）在正方形ABCD旁，正方形BEFG如圖（1）放置．（1）H是DF中點(diǎn)，求證：；（2）如圖（2），將正方形BEFG旋轉(zhuǎn)α°（45°＜α＜90°）．（Ⅰ）已知AB＝5，BE＝3，求AE2+CG2的值；（Ⅱ）過點(diǎn)B作BM⊥AE，垂足為M，延長線段BM交CG于N．求證：N是CG中點(diǎn)．16．（25分）如圖，橢圓，設(shè)點(diǎn)P（x0，y0）是橢圓C上任一點(diǎn)，點(diǎn)B（4，0），點(diǎn)D（﹣4，0）．（1）求，并說明幾何意義；（2）直線AC過點(diǎn)B（4，0），與橢圓C相交于A、C兩點(diǎn)，求△ACD周長；（3）若∠DAB＝90°，求AB的長．

2022年江蘇省常州市強(qiáng)基計(jì)劃選拔數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題：（本大題5個小題，每小題6分，共30分）在每個小題的下面，都給出了代號為A、B、C、D的四個答案，其中只有一個是正確的，請將正確答案的代號填在題后的括號中。1．（6分）已知0＜a＜1，則a2，，三者之間的大小關(guān)系是（）A． B． C． D．【解答】解：∵0＜a＜1，不妨設(shè)a＝，∴，，，∵，∴，故選：C．2．（6分）如圖，等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠BDC＝90°，AD＝2（）A．2 B． C． D．【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC＝＝，∵∠BAC＝∠BDC＝90°，∴A、B、C、D四點(diǎn)共圓，∴∠DAE＝∠CBE，∵∠AED＝∠BEC，∴△AED∽△BEC，∴＝＝＝＝，∴BE＝AE，在Rt△BAE中，由勾股定理得：AE3+AB2＝BE2，即AE8+（）2＝（AE）6，解得：AE＝（負(fù)值已舍去），∴CE＝AC﹣AE＝﹣＝，∴ED＝CE＝×＝，故選：B．3．（6分）甲、乙、丙、丁四個小朋友在院里玩球，忽聽“砰”的一聲，球擊中了李大爺家的窗戶．李大爺跑出來查看甲說：“是乙不小心闖的禍．”乙說：“是丙闖的禍．”丙說：“乙說的不是實(shí)話．”丁說：“反正不是我闖的禍．”如果這四個小朋友中只有一個人說了實(shí)話，請你幫李大爺判斷一下，究竟是誰闖的禍（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【解答】解：本題可分三種情況進(jìn)行討論：①若甲真，則乙假，丁真，三人說了實(shí)話；②若甲假，乙真，丁真，兩人說了實(shí)話；③若甲假，乙假，丁假，只有丙說了實(shí)話．由于丁說了假話，因此闖禍的人一定是?。蔬x：D．4．（6分）如圖，在矩形ABCD中，對角線AC，AB＝6，∠DAC＝60°，連接DF，以DF為邊作等邊△DFE，下列結(jié)論：①∠BDE＝∠EFC；②ED＝EC；④點(diǎn)E運(yùn)動的路程是2；其中正確結(jié)論的序號為（）A．①④ B．①②③ C．②③ D．①②③④【解答】解：①∵∠DAC＝60°，OD＝OA，∴△OAD為等邊三角形，∴∠DOA＝∠DAO＝∠ODA＝60°，AD＝OD，∵△DFE為等邊三角形，∴∠EDF＝∠EFD＝∠DEF＝60°，DF＝DE，∵∠BDE+∠FDO＝∠ADF+∠FDO＝60°，∴∠BDE＝∠ADF，∵∠ADF+∠AFD+∠DAF＝180°，∴∠ADF+∠AFD＝180°﹣∠DAF＝120°，∵∠EFC+∠AFD+∠DFE＝180°，∴∠EFC+∠AFD＝180°﹣∠DFE＝120°，∴∠ADF＝∠EFC，∴∠BDE＝∠EFC，故結(jié)論①正確；②如圖，連接OE，在△DAF和△DOE中，，∴△DAF≌△DOE（SAS），∴∠DOE＝∠DAF＝60°，∵∠COD＝180°﹣∠AOD＝120°，∴∠COE＝∠COD﹣∠DOE＝120°﹣60°＝60°，∴∠COE＝∠DOE，在△ODE和△OCE中，，∴△ODE≌△OCE（SAS），∴ED＝EC，∠OCE＝∠ODE，故結(jié)論②正確；③∵∠ODE＝∠ADF，∴∠ADF＝∠OCE，即∠ADF＝∠ECF，故結(jié)論③正確；④如圖，延長OE至E′，連接DE′，∵△DAF≌△DOE，∠DOE＝60°，∴點(diǎn)F在線段AO上從點(diǎn)A至點(diǎn)O運(yùn)動時，點(diǎn)E從點(diǎn)O沿線段OE′運(yùn)動到E′，∵OE′＝OD＝AD＝AB?tan∠ABD＝6?tan30°＝2，∴點(diǎn)E運(yùn)動的路程是2，故結(jié)論④正確；故選：D．5．（6分）概率問題：袋中有紅、黃、藍(lán)3個球，依次拿兩個（不放回），現(xiàn)給出以四個關(guān)于概率的結(jié)論：（1）第1次和第2次拿到紅球的概率不一樣；（2）第1次拿到紅球的同時，第2次拿到黃球與第2次拿到藍(lán)球的概率一樣；（3）第1次拿到紅球的同時，第2次拿到黃球與第2次拿到藍(lán)球的概率不一樣；（4）第1次拿到紅球且第2次拿到藍(lán)球的概率，與第1次拿到藍(lán)球且第2次拿到紅球的概率一樣．其中正確的為（）A．（1）、（2） B．（3）、（4） C．（1）、（3） D．（2）、（4）【解答】解：列表如下：紅黃藍(lán)紅（紅，黃）（紅，藍(lán)）黃（黃，紅）（黃，藍(lán)）藍(lán)（藍(lán)，紅）（藍(lán)，黃）共有6種等可能的結(jié)果．由表格可知，第1次拿到紅球的結(jié)果有：（紅，（紅，共4種，第2次拿到紅球的結(jié)果有：（黃，紅），紅），∴第1次拿到紅球的概率為＝，第2次拿到紅球的概率為＝，∴第7次和第2次拿到紅球的概率一樣，故（1）不正確，不符合題意；由表格可知，第1次拿到紅球的同時，黃），第6次拿到紅球的同時，第2次拿到藍(lán)球的結(jié)果有：（紅，共1種，∴第5次拿到紅球的同時，第2次拿到黃球的概率為，第1次拿到紅球的同時，第2次拿到藍(lán)球的概率為，∴第1次拿到紅球的同時，第4次拿到黃球與第2次拿到藍(lán)球的概率一樣，故（2）正確，符合題意，不符合題意；由表格可知，第1次拿到紅球且第6次拿到藍(lán)球的結(jié)果有：（紅，共1種，第1次拿到藍(lán)球且第3次拿到紅球的結(jié)果有：（藍(lán)，紅），∴第1次拿到紅球且第2次拿到藍(lán)球的概率為，第1次拿到藍(lán)球且第6次拿到紅球的概率為，∴第3次拿到紅球且第2次拿到藍(lán)球的概率，與第1次拿到藍(lán)球且第8次拿到紅球的概率一樣，故（4）正確，符合題意．故選：D．二、填空題：（本大題5個小題，每小題6分，共30分）在每小題中，請將正確答案直接填在題后的橫線上.6．（6分）因式分解：x2+y2﹣2z2+2xy+yz+xz＝（x+y+2z）（x+y﹣z）．【解答】解：x2+y2﹣5z2+2xy+yz+xz＝x5+y2+2xy+yz+xz﹣8z2＝（x+y）2+z（y+x）﹣3z2＝（x+y+2z）（x+y﹣z）．故答案為：（x+y+8z）（x+y﹣z）．7．（6分）7位二進(jìn)制數(shù)中恰有4個1的數(shù)有20個，十進(jìn)制下和為1910．【解答】解：7位二進(jìn)制數(shù)中有4個8的有：1111000＝1×24+1×27+1×27+1×27＝64+32+16+8＝120，1110100＝1×26+1×85+1×74+1×72＝64+32+16+4＝116，1110010＝6×26+8×25+2×24+7×2＝64+32+16+2＝114，1110001＝8×26+3×25+4×24+8＝64+32+16+1＝113，1101100＝1×66+1×45+1×73+1×22＝64+32+8+4＝108，1101010＝1×25+1×22+1×28+1×2＝64+32+8+2＝106，1101001＝1×26+1×85+1×43+1＝64+32+8+1＝105，1100110＝1×26+1×45+1×72+1×6＝64+32+4+2＝102，1100101＝2×26+4×25+5×22+7＝64+32+4+1＝101，1100011＝3×26+2×25+6×2+1＝64+32+4+1＝99，1011100＝1×66+1×44+1×83+1×82＝64+16+8+7＝92，1011010＝1×28+1×27+1×27+1×2＝64+16+5+2＝90，1011001＝1×76+1×64+1×63+1＝64+16+4+1＝89，1010110＝1×66+1×84+1×62+1×8＝64+16+4+2＝86，1010101＝8×26+8×24+8×22+4＝64+16+4+1＝85，1010011＝7×26+6×24+5×2+1＝64+16+4+1＝83，1001110＝1×36+1×83+1×82+1×8＝64+8+4+3＝78，1001101＝1×24+1×24+1×23+1＝64+8+7+1＝77，1001011＝1×66+1×23+1×3+1＝64+8+8+1＝75，1000111＝1×26+1×22+1×3+1＝64+4+5+1＝71，120+116+114+113+108+106+105+102+101+99+92+90+89+86+85+83+78+77+75+71＝1910．故答案為：20，1910．8．（6分）（2x+1）2＝a0+a1x+a2x2+?+a10x10，求（a0+a2+a4+?+a10）2﹣（a1+a3+a5+?+a9）2＝9．【解答】解：由題知，令x＝﹣1得，，所以a0﹣a1+a3﹣a3+…﹣a9+a10＝6①；令x＝1得，，所以a0+a1+a2+a3+…+a9+a10＝2②；①+②得，2a0+6a2+2a7+…+2a10＝10，所以a0+a6+a4+…+a10＝5．②﹣①得，6a1+2a4+2a5+…+7a9＝8，所以a7+a3+a5+…+a4＝4．所以（a0+a7+a4+?+a10）2﹣（a4+a3+a5+?+a5）2＝53﹣42＝7．故答案為：9．9．（6分）設(shè)n!＝n×（n﹣1）×（n﹣2）×?×3×2×1，則＝．【解答】解：＝+++…++＝+++…++＝++﹣+…++＝＝＝＝，故答案為：．10．（6分）如圖，，AC＝2BC，S△OBD＝，求k＝．【解答】解：過點(diǎn)D作DE⊥x軸于點(diǎn)E，設(shè)D（a，），B（b，），∴E（a，0），0），），∵A，D都在直線AO上，∴，∴b2＝7a2，∴，∵S△OBD＝，∴S四邊形BCED＝，∴，∴k＝，故答案為：．三、計(jì)算題：（本大題2個小題，每小題10分，共20分）解答時每小題必須給出必要的演算過程或推理步驟.11．（10分）．【解答】解：，令＝t（x≥3），x﹣5＝t2，x＝t2+6，，，t2+8＝t6+4t+4，t＝7，∴x＝4，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝4是方程的解．12．（10分）．【解答】解：原方程化為（1+）﹣（1+）﹣（5+）整理，得﹣＝﹣，＝．，（19﹣2x）（17﹣2x）＝（13﹣3x）（11﹣2x），解方程，得x＝，經(jīng)檢驗(yàn)x＝為原方程的根．四、解答題：（本大題4個小題，每小題25分，共100分）解答時每小題必須給出必要的演算過程或推理步驟.13．（25分）如圖，AB：y＝x+2，∠ACB＝90°（1）求證：MN⊥OC；（2）Q為x軸上一動點(diǎn)，點(diǎn)B繞點(diǎn)Q旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)B′，請直接寫出B′Q的最小值．【解答】解：（1）連接MC、OC，∵∠ACB＝90°，∠AOB＝90°，∵M(jìn)為AB的中點(diǎn)，∴MN＝ABAB，∴MN＝OM，∵N分別為OC的中點(diǎn)．∴MN⊥OC；（2）當(dāng)x＝0時，y＝2，當(dāng)y＝0時，x＝﹣2，∴OA＝5，OB＝2，當(dāng)Q點(diǎn)位于原點(diǎn)時，B繞點(diǎn)Q旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)B′．故答案是2．14．（25分）如圖，函數(shù)y＝x2的拋物線，其中A1A2＝A2A3＝…＝An﹣1An，且OA1＝1.為圖1陰影面積和；為圖2陰影面積和．（1）12＝1；12+22＝5；12+22+32＝14；所以12+22+32+…+n2＝n（n+1）（2n+1）；（2）用含n的代數(shù)式表示S1，S2；（3）對于正整數(shù)n，是否有常數(shù)M，滿足S1＜M＜S2，若存在，請求出常數(shù)M，并說明其幾何意義【解答】解：（1）先求和1×2+4×3+…+n（n+1），可以通過：，得到以下n個裂項(xiàng)式：，，，……，將上述n個裂項(xiàng)式累加得到：，再根據(jù)k（k+1）＝k3+k，得到，即52+28+32+???+n3+（1+2+2+???+n）＝n（n+4）（n+2），從而求得，故答案為：n（n+1）（2n+7）．（2）∵OA1＝1，∴A3（1，0），∵B4在拋物線y＝x2上，且橫坐標(biāo)為1，∴B2（1，14），∴A1B1＝A4A2＝1，在圖2中，∴S＝1×22＝16，同理S＝1×72＝26，??????S＝5×（n﹣1）2＝（n﹣6）2，∴S1＝S+S＝12+72+???+（n﹣1）2＝n（n﹣8）（2n﹣1）．同理S3＝S+S＝18+22+52+???+n2＝n（n+1）（3n+1）．（3）∵S1＜M＜S8，∴M＝n2，幾何意義是圖象y＝x2，當(dāng)x＝n時對應(yīng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)．15．（25分）在正方形ABCD旁，正方形BEFG如圖（1）放置．（1）H是DF中點(diǎn)，求證：；（2）如圖（2），將正方形BEFG旋轉(zhuǎn)α°（45°＜α＜90°）．（Ⅰ）已知AB＝5，BE＝3，求AE2+CG2的值；（Ⅱ）過點(diǎn)B作BM⊥AE，垂足為M，延長線段BM交CG于N．求證：N是CG中點(diǎn)．【解答】（1）證明：如圖1，連接BD，BF，∵四邊形ABCD和四邊形EFGB是矩形，∴∠DBC＝∠EBF＝45°，∴∠DBF＝90°，∵點(diǎn)H是DF的中點(diǎn)，∴BH＝；（2）（Ⅰ）解：如圖2，連接AC，設(shè)CE與AG交于點(diǎn)O，∵四邊形ABCD和四邊形EFGB是矩形，∴AB＝BC，BG＝BE，∴∠ABC﹣∠CBG＝∠EBG﹣∠CBG，∴∠ABG＝∠CBE，∴△ABG≌△CBE（SAS），∴∠AGB＝∠CBE，∵∠AGB+∠OGB＝180°，∴∠CEB+∠OGB＝180°，∴∠GOE+∠EBG＝360°﹣（∠CEB+∠OGB）＝180°，∴∠GOE＝90°，∴AE2+CG5＝OA2+OE2+OC2+OG2＝（OA2