陳文登復習指南習題詳解――高等數學

06版陳文登復習指南習題詳解

(本答案來自互聯網，答案未經審訂，僅供參考)

高等數學

習題一

1.填空題

⑴設11m(上匕了=「分成，則常數a=_

XT9無J—9

［解答］lim(―=lim(l+-)ax=

「Ze'dZ=(%'-或)「=e”(a—l)由題意可得a-l=l即a=2

J~?>l-oo

/c、,12ns

(2)lim(—T------F-z-------+…+-------)=

次T9%+g+1n+?4-2%+總+閥

［解答］/1_+2+...+—K—

1+2+~+%應力+1)

n2+?+n2(/+2〃)

l12nl+2d----Vnn(n4-1)

且---------d-----------F?+--------<-----------=----------——

/+修+1/+胃+2/+%+%?24-?4-12(?24-?+1)

立?(?4-1)n(n+1)1

又hrm—5——=hrm—三———=一

192(/+2n)292(/+%+1)2

由夾逼原則可得原式=-

2

(3)已知極限lim———巴/—=cw0,貝ij?=,b=,c=

-o『ln(l+1).___

［解答］當X—0時，由，可得小=0

ax-sinx_a-cosxa-cosx

原式同理可得a=1

“hi1-cosxx1

故原式=-r-=-r=-

(4)已知/(3)=2,則lim,◎—")一)(3)

［解劄原式書(《.念’!=—

1,W<1

⑸已知函數y(x)={]，則/[/(%)]=_

o，k>i

l,l/(x)|<1

[解答]/[/(X)]=，又|/(x)|<l,xe(-OD,+OO)所以/[/(X)]=1

[。，巾)|>1

(6)lim(冊+3后-y/n-4n)=

?"><?

［解答］原吠T"(6+3訴一手匹.(干通+后二忑)

56+3774-品-瓜

=lim3=2

XT92

⑺設函數/(X)有連續(xù)的導函數，/(0)=0,/f(0)=6,若

/(x)+asinx

F(x)=?x'在x=0處連續(xù)，則常數A=_

A,x=0

5心Hvf(x}+asinx..…、人八、,

［解答］.4=11111------------=lim/(x)+acosx=/(0)+a=b+a

⑻設當X-0時，/（x）=1學為X的3階無窮小，則a=,b=

1+版一

1+ax

?.1+Arr+bxe^-1-ax

［解答］lim------=lim----------------.------T-------

go%3gox+bx

o

￡*+bg*+bx€*—a

lrim------------------5-----—^l+8-a=0

I。3x2+4&/

lim「(l+23+了_L^I+26=0

AO6X+12SX

由此可得a=-

22

(9)limcotx(------

gosinx

e田ecosx(x-sinx)?.x-sinx?.1-cosx

［解答］原式=hm------J-------=lim——,—=lim——『=

goxsinxxx3X3x2

X21

lrim-=—

x6，T6

產

(10)已知lim-------------=/(w0,。8),貝ijA=—，k=

及T9n—(?—1)

19901990G99O-E"199"

［解答］A=Em-r-----------7-=lim---------------：—lim——-——=lim--------

a-球…一口_(二尸］?(T9kWT9k

nn

若極限存在則1991-左=0得上=1991故

2.選擇題

⑴設/（X）和X70在（⑷內有定義，/（x）為連續(xù)函數，且X。），/（X）有間斷

點，則

x（⑦必有間斷點/（X）K必有間斷點

（。）/。）必有間斷點——二一-=lim2*ln2+3*ln3=ln6必

XXTO

有間斷點

連續(xù)，則1(l+x)(l+2x)(l+3x)+a

［解答］若小1m=6,也連續(xù)，與題設矛盾，所以應

XTOX

該選a-

⑵設函數（工）則—1是

（B）偶函數1無界函數（Q周期函數2單調函數

［解答］因為3）力以二^，又X—0為無界函數，當任意給定一正數W,

都存在a=-l時，使得《上q〉，于是媽春裝若尋5="故

3+八Q為無界函數，所以應該選（工）.

⑶當8=4d時，函數/”、的極限是

,a$edx+b$ai

:岫1--------

“生+溫

i=4i等于?"4c等于0a=-4f為2卜1

+2加

2卜1不存在但不為

..白sec2x

［解答］=-hmQ2g=2

—Ac

所以應該選(。).

］：(-—岫

⑷若函數/(X)=---->-----，xW°在X=0處連續(xù)，貝|J4的值是

A

a,x=0

⑷。5)1?2⑷：

2

廣，-19/一1X2

［解答］11m也——5-----=lim-——-=lim—=0,貝ija=0,所以應該選(力).

gox2-02xz02x

(5)極限lim...+2—+1］的值是

12X2222X32?2X(?+1)2J

⑷0（B）1⑹2（。）不存在

［解答］原式=吧［*-5+!-*+…+尋鏟］

=1,所以應該選6

、…(X+1嚴3+1)5c小…

(6)設lim---------7T---=8,貝ija值是

…(尹5+1)并

(力)1(5)2(QV8⑵)均不對

95/s5

［解答］原式=Inn*'=a$=8解得。=我所以應該選（⑦.

19X

(x-l)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)

(7)設lim尸，則日,戶的值為

XT9(3x-2)a

(A)a=l,尸=g(5)a=5,尸=g(C)a=5,戶=g(D)均不對

81

［解答］原式=lim-----=內，由一可得a=5,戶==，所以應該選(C).

XT9(3x)“8?

(8)設K——>O則當X-0時，

(A)/(x)是%的等價無窮?、?(x)與是x同階但非等價無窮小

是比x較低階的無窮小(Z))/(x)是比x較高階無窮小

2,+3*-2

［解答］原式=lim----------=lim2*ln2+3*ln3=ln6,所以應該選(B).

XT。X2°

..(1+x)(l+2x)(1+3x)+a,_

(9)設lun-——---------------=6,則nla的值是

XT。x

⑷-1(5)1(Q2(03

［解答］若原式極限存在，當x-?0時，由￡可得a=-l,所以應該選(/).

⑩設11m,t-+空-c*)=2,其中1+J?！?則必有

31血1-2切+火1-1)

(A)b=4d(B)b=-Ad(C)a=4c(D)a=-4c

［解答］原式=11m號

3上+2dx/

2x-l

asue'xisinx

+lim——

蚣E*TO2c

+2dxeT+2dxe-

2x-l2x-l

asec2x

=-iim----2------

*TO2C

可得a=-Ac,所以應該選（。）.

3.計算題

⑴求下列極限

1

①lim+

附+心)箕曳：皿￡

［解答］原式=limex=e“T"x+”=/T9**=?

XT+w

1

②呵(2sinx+cosx尸

可射運》*。*)2co$-Tin-

［解答］原式=lim2'=limie=&

XTONTO

③lim(sin—+cos—)”

isxx

［解答］原式=lim(2sin-cos—4-003—)^(—=/)

'T9xxxx

=lim(cos—)^(2sin—+1)”

XT9XX

嘎x］n(co$3)

11nl叫3?)

尸t

④11m(匕0,

“T014-sinx

1

「心心、ma“tanx-sin

［解答］原式=lim(14-----------:-------)*

*T°1+sinx

_「tanx-sinx1sinx,cscx-1、1

乂lim---------------------x=lrini--------(-----：---)—y

*T。l+sinxx*T。x1+sinxx

1-cosx11

=Ilin-------------------------y=—

*T°COSx(l+sinx)x2

所以原極限=4e

⑵求下列極限

①唱得

31%_］Ii

［解答］原式=lim—/=lini/=?廠

72冊？-1-2冊不1展反

②lim(4r-cot2x)

XX2

?222-22

sinx-xcosx一「sinx-x

［解答］原式==14-lim-s----——

lim~~25

KT0xsinx1。xsinx

1-cos2x

----------x

.2sin2x-4x

=l+lim2r=l+lim-----------------

4

XTOx—08X3

??.cos2x-l

1+lim--------—

106?5

,sin2x

1-lim--------

6x

2

3

ln(cosxjl-x”)

lim---------------

iotanxln(14-x)

「ln(cosx2)

［解答］原式=lim

XT0

(1-x2)sinx4-xcosx

-lim——:----------------

I。2xcosx(l-x)

sinxx

=-rlim-----lrim——

102XI。2x

=-1

⑶求下列極限

①lim%，一(1+1產］

XT9加

12

［解答］原式=lim［f+(l+@>笆-Q+x/］

*T°X

-11n(1+x)

e-(l+x尸e-e^

=2glim-----------=2elim-----------

-0xNTOx

%i+k)

=-2^limgx

XTO

—如工士

l-l-ln(l+x)

2/lim

XTO2x

②11m，_（、加一1）

及T9Inn

1-ln?r-

x廠_?——2——%K八

[解答]原式=lim------=lim—勺---------=lim^Jn=1

?~>?inK1-Inn/一?9

nn2

??r/?、，2以、,(%一I)八1

③lim[(xH—)+(xd-----)+…+(x+------:-)]?一

zignnnn

5rr*_ix?.%一1?.Ct2〃一1、

[解答]原式=lim------x+lim_(一+—H-----1--------)

nnnnn

1匿ifi

=x+以lim—?匯一=x+a\tdt

*T9?ij?

1

=X+一以

2

…「111

④lim[------+----------^+???+----------]

力+1夷上r-

(?2+1)2(1+1尸

221

[解答]原式=lim[Y—+—+…+—?—y-]

/I1、1-1A

q+1)(-+1)2(—+l)s

nnn

又lim—??=1,lim--

JfTco%XT9"

1+—

n

故由夾逼原則知原式=1

IkX

⑤艇上

1

［解答］當X>0時原式Em=1

1+4

&

當x=0時原式0

戶x1

當x<0時,原式=lim—/——fl=-1

⑥照守尸其中a>0/>0

鵬則.“yHn2應2AMM3

11

［解答］原式=e*T。7—=/。臥+肥=尸=疝(一=x)

n

2

-y(l-COSX)X<0

X

4?設/。)=<1x=0試討論在x=0處的連續(xù)性和可導性.

x>0

八、，「2八、sinxlim工廠cosd成

［解答］(1)由lim-5-(1-cosx)=lvim----=1

io-/go-xXT°+X

TCOSX

lim----=1

XT0+1

丁是/(x)在x=0處連續(xù).

⑵分別求在x=0處的左、右導數

，”小..1.2(1—cosx)_2sinx-2x

/r(0)=hm--_x_乙

2I1=lim------2T

'sO-XXA'',1。-3x

2cosx-2

11m---------------

*TO-6X

"sinx

=lim------=0

XTO-X

[cosd成一X

「COSX2-1

力(0)=lim—(—cosd成-1)=lim包---,-------=lim-----=--0--

XT0+/*TO+2X

所以/（x）在二=0處連續(xù)且可導.

5.求下列函數的間斷點并判別類型.

1

2*-1

①〃X）=F—

2；+1

［解答］天=0為函數/（無）的間斷點

1

2^-1

又lim/(x)=lim二---=1

XTO+XTO+1

2%+1

i

2^-1

lim/(x)=lim---=-1

XTO-“''KTO_1

2%+1

所以x=0為函數/&）第一類跳躍間斷點.

XT91+%

［解答］當芯=±1時，/（X）=0

］一一

lim--——57x=-x

X*1+x2

當卜|>1時,〃力=,

”l-x2s

X=X

］一一

lim--——57X=X

X*1+x2

當卜|<1時,〃力=,

”l-x2s

X=-x

即lim/(x)w,(±1),所以x=±l為函數/&)第一類間斷點.

3*0

2cosx

③/0)=,

1c

sin—r-----9x>0

一x一1

［解答］當天=0時，limsin二一=-sin1

2

*x-l

11m—+2*o

*T。-2cosx

所以x=0為第一類跳躍間斷點.

當工=1時-，limsin--不存在，所以矛=1為第二類間斷點.

2

XTIx-l

?7T.rx(x+27f)r4X+7T7T

當X=--時，lim-----------=11H1一-:—=一一

2x->_三2cosxXT-32sinx2

22

冗

所以x=一-為第一類可去間斷點.

2

.八開、「4?X(X+2TT)

當x=一(化開+—)時，lim------------=co

21-如+白2cosx

7T

所以x=-(上開+,)為第二類無窮間斷點.

6.試確定常數的值，使極限蚓（/?+9+9，07'扇）存在，并求該極限值.

3

ax+x+b[e~^dt+1+加一”

[解答]原式=lim--------a-----=lim存在

x-?Ox>XT。

由9可得小+i=o,即小=一1

o

..3ax2+1-e-xi..6ux+2xe"..6a+2?-'

則原式=hm-------；-----=hm-------——=lim-----：—

x5x4-20x53X20/

同理由9可得6a+2=0,即a=~-

03

2。-*'?(—2x)

所以原式=lim一2+2e:—=lim1

XT。20x2*T040x10

7.設/(x)=—L-[J1+sinx+sin2x-(a+^sinx)],且x=0是_/(x)的可去間斷

sinx

點，求a,戶的值.

「乩…、r,z、rJl+sinx+sin2x-(a+尸sinx)七?,0.zn.

解答]hm/(x)=hm----------「--——-----存在，由三可得)=1?

…八iosin。0

cosx+2sinxcosx.

--戶cosx

原式=lim"1+0"+sm”---------存在，同理由9可得尸=1.

*T。2sinxcosx02

8.設hm[(/+7/+2)"一X]=占/h0,求a力的值.

[解答]原式=lim[d+g+2)"—3(-=t)

…ertx

11mp+7產).=叱。+&+2毋-1

由《可得1一5日=0,&=3

a

內一r(l+7i+2?)-l..a(7z+2?)

原式=lim--------------=Inn—:--------

f-?ot?-?o￡

77

=lima(J+2z+)=la=—,即b=—

…55

x,sin1,*>0

9.討論函數/(x)=《x在x=0處的連續(xù)性.

ex+j8,x<0

,1

Isin—

［解答］當a>0時，bmxasin—=lunxa-1——g=0

XTO+xXTO+］

X

lim/+尸=1+產

YTO-

所以若戶=一1時，J(x)在x=O連續(xù).

若尸時，/(x)在x=O為第一類跳躍間斷點.

當比W0時，x=0是/(%)的第二類間斷點.

io.設17c式)在x=0的某鄰域內二階可導，且蚓［號也+§］=0,求

〃O)J'(O)J〃(O)及hm/嗎+3.

XTOX2

27%3

［解答］sin3x=3x-+0.(27/)

/(x)=/(o)+r(o)x+lr(o)?+o(?)

,sin3xf(x)-八一,日

由血京rj-"1---2—]=0可得

[0*731

lim-[3%--^+0.(27?)+/(0)+/r(0)x+-/ff(0)?+0(?)]

gox3!2!

=11m4[(3+/(0))x+/(0)，+(華一年)/+0.(27/)+0(/)]

2。x23!

=0

所以

27

/(0)=-V，(0)=0,/*(0)=-.2=9

/(x)+3/(x)/\0)9

lim---T—=lim-----=lim-----=—

*T。產-o2X/T。22

第二章

一、填空題

7.設lim以生上空止必&2=),則k=_

goAX3

[解答]原式=左lim〃勺.產一,如)=好'(而)=?/'(而)所以左=」

mokLx33

8.已知目娼)]二，則/'4)=_

axxx2

ioi1v2

[解答]原式=r(—)-(-—)=-即/'(F)=一片

xxxx2

令X?=2,則八》=一1

9.設了為可導函數，j；=sin(/[sin/(x)]),則—=_

[解答]原式=f(x)cos/(x)/f[sin/(%)].cos{/[sin/(%)])

2x+p

10.設函數y=/(x)由方程e一cos(?)=e-1所確定，則曲線1y=_/(*)在點

(0,1)處的法線方程為_

［解答］兩邊求導/">(2+了)+sin(xy)(y+砂')=0

將x=0,y=l代入可得=-2

故所求的方程為x-2y+2=Q

二.選擇題

1.設/(x)可導，F(x)=/(x)(l+|sinx|),則/(0)=0是F(x)在x=0處可導的

(A)充分必要條件⑼充分但非必要條件

(Q必要但非充分條件(Z))既非充分又非必要條件

［解答］比(0)=lim不)田。)=

11m=/\o)-/(o)

*T°-X-0XTO-X

F；(O)=lim=lim〃項"'1n加了⑼=/\0)+/(0)

X+X-0*TO+x

若F(x)在x=0處可導=列(0)=/(0),即/(O)=0,所以應該選(A).

2.設/(x)是連續(xù)函數，且F(x)=［*/⑷成，則F'(x)=

⑷-小―?(3)-尸」(「)+〃力

(Qk力1)-/5)⑷尸〃尸)+/5)

［解答］小—).(尸)'一/(力/=①=(1)一/5),所以應該選(4).

3.已知函數」(x)具有任意階導數，且尸(x)=，則當刑為大于2的正整數時,

/(%)的?階導數是

⑷?![/(x)]x+1(5)?[/(x)r+1?[〃X)/(D)

?![/(x)]2"

[解答]八x)=[/(X)]3,廣⑶=2〃力尸(力=2![/(x)]3

廣8=2L3"(初2/(x)=3![/(x)]4

由數學歸納法可得/K)(x)=?![/(x)]s+1,所以應該選(力).

4.設函數對任意x均滿足/(l+x)=/(x),且」'(0)=B,其中a力為非零常數，則

(A)/(x)在x=1處不可導(8)f(x)在x=1處可導，且/(I)=a

(C)」(x)在x=l處可導，且尸(1)=B(Q)/(x)在x=l處可導，且/(1)=函

[解答]/\1)=lim〃l+Ax)7Q)=lun)(.)-到"(。)=/(())=ab,故應選⑵).

“TOAXA*-?OAX

二、選擇

x2sin—x>0

7.設/(x)=,X在x=O處可導，貝U

ax+bx<0

(上)a=1/=0(B)a=O,b為任意常數

(C)a=O?=O(0)a=l?為任意常數

［解答］由J(x)在x=O連續(xù)可得

lim/(x)=Emx2sin—=lim(ax+8)=b=0

x->0+XTO+xXTO-

由/5)在x=O可導得

2.1，

xsin--6,_,

lim---------------=lim-.................=0貝ija=0,所以應該選(C).

XTO+xXTO-x

8.設y(O)=O,則/(x)在x=0處可導的充要條件為

(⑷lim1/(1—cosh)存在(B)lim1/(1-J)存在

iong°h

存在(必和”"儂)-/(創(chuàng)存在

AT。卜A->oh

［解答］當x70時，/一1?應，貝I」lim1/(1-e*)=11m—/(-/?+0(A))

為T。卜A->。-h

等價于/(0)=EmZ?,所以應該選?

30h

9.設函數/O)在(-8,用)上可導，則

(金)當lim/(五)=一8時，必有l(wèi)im/f(x)=-oo

XT——

(B)當lim/(五)=一8時，必有l(wèi)im/(x)=-oo

XT—XT-

(⑦當lim/(x)=+o□時，必有l(wèi)im/f(x)=+oo

XTWXTW

(。)當lim/f(x)=4-co時，必有l(wèi)im/(x)=-Ko

XT?HOXT種

［解答］若設/(x)=X時，(⑷(⑦均錯誤，若設/(X)=一時，⑶錯誤，故選(D).

10.設函數X=a在x=4處可導，則函數|4(x)|在X=a處不可導的充分條件是

⑷/3)=0且/⑷=0⑶〃。）=0且尸⑷W0

⑹了⑷>o且/9)>o⑵)/⑷<o且尸⑷<o

[解答]令F(x)=[7(x)1，由導數定義可得砥a)=limJ⑺卜)'、")〔

K1Xiax-a

若/3)>0,由的連續(xù)性及保號性可得/(x)>0,此時F'3)=/(a)

若f(a)<0,同理可得-

故若F0)不存在，則/⑷=0

若y(a)=0,且/(a)wO,設/⑷>0，由于lim以立=/⑷>0

一以

所以當天>4時，/(X)>0,工<以時，/(X)<0

則F；(a)=Inn幺^=尸3)

XT2MX-a

員(a)=呵二^=-尸⑷

XTN)x-a

故9(a)不存在，所以應該選(5).

三.計算題

1.y=ln[cos(10+3x2)],求yf.

[解答]yf=---------7-[-sin(10+3x2)]6x=-6xtan(104-3x2)

cos(10+3x)

2.已知/3)可導，y=/[ln(x+yla4-x2)],求yf.

［解答］y=/f［ln(x+Ja+/)］：+Ja+x；=/%+"竽以

Na+x2-(ln(x++/))d以+x

3.已知/Jd￡=Jocos/df/4-siny2,求yf.

［解答］等式兩邊對x求導可得

/'/=cosx2-2x4-cosy2-2y-yf

Avv-r/?f2xcosx2

化簡可得y=------------------

ey-2ycosy

4.設y為x的函數是由方程In必亨=arctan2確定的，求

X

［解答］等式兩邊對X求導可得

］2x+2..y,_/?'一-

化簡得y=

^-y

x=/sin￡,、d2y

5?已知《，求—?

y=costdx

［解答］/=2'sin￡+/cos￡,y'=e1cos/一1sint

dy_cos/-sin/

dxcos/+sin/

d2y_ddydt_2

dx2dtdxdx/(sin￡+cos￡>

6.設x=V+y,〃=(/+x產，求空

du

［解答］等式兩邊對X求導可得

13______

1=2yy'+y'可得；/=7----又〃Vx2+x-(2x+l)

2y+l2

dy____________2__________

所以

加3(2.+l)(2x+l)&+x

x=/?)一開dyd2y

7.設函數/(x)二階可導，/'(0)#0,且?求

)=/S"-1)dx，dx2

[解答]x'=/G),I/=%"/(e*-i)

玄=3

dx；/⑷；

也|=3[3八0)+3/⑼]/⑼-八0)/(0)=9尸(0)+6-⑼

L"'U'(0)f-[/\0)]2

x=tet

8.設曲線x=x(Z),_y=y?)由方程組確定，求該曲線在￡=1處的曲率k.

e'+/=2e

[解答]/=/(I+。y'=一/7,貝IJ

1

@=_2

dxz(/-2e)(l+￡)z2e

d2y2/+￡/-2e11

*f-1—(__2e)2(l+￡)2'-(l+￡)z-8?

k=—tL_=eQ+4/)"

(1+Z?

'g(x)-cosx

四.已知/(x)={X，其中g(x)有二階連續(xù)的導數，且g(0)=1

ax=0

(1)確定以的值，使在x=0點連續(xù)；⑵求尸⑴.

f

[解答](Dlim^――~c九八=Emg'(x)+sinx=g(0)=a

XTOxKTO

即當a=gf(0)H寸，/(x)在x=0處連續(xù).

⑵當xw0時，有