新高考數(shù)學(xué)二輪考點(diǎn)培優(yōu)專(zhuān)題（精講+精練）29 立體幾何中的結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題（原卷版）

素養(yǎng)拓展29立體幾何中的結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題（精講+精練）一、知識(shí)點(diǎn)梳理一、知識(shí)點(diǎn)梳理一、空間向量與立體幾何的求解公式(1)異面直線成角：設(shè)a，b分別是兩異面直線l1，l2的方向向量，則l1與l2所成的角θ滿足：cosθ＝eq\f(|a·b|,|a||b|)；(2)線面成角：設(shè)直線l的方向向量為a，平面α的法向量為n，a與n的夾角為β，則直線l與平面α所成的角為θ滿足：sinθ＝|cosβ|＝eq\f(|a·n|,|a||n|).(3)二面角：設(shè)n1，n2分別是二面角α－l－β的兩個(gè)半平面α，β的法向量，則兩面的成角θ滿足：cosθ＝cos〈n1，n2〉＝eq\f(n1·n2,|n1|·|n2|)；注意：二面角的平面角大小是向量n1與n2的夾角或是向量n1與n2的夾角的補(bǔ)角，具體情況要判斷確定．(4)點(diǎn)到平面的距離：如右圖所示，已知AB為平面α的一條斜線段，n為平面α的法向量，則點(diǎn)B到平面α的距離為：|eq\o(BO,\s\up6(→))|＝eq\f(|\o(AB,\s\up6(→))·n|,|n|)，即向量eq\o(BO,\s\up6(→))在法向量n的方向上的投影長(zhǎng).二、幾種常見(jiàn)角的取值范圍 ①異面直線成角∈(0，eq\f(π,2)]；②二面角∈[0，π]；③線面角∈[0，eq\f(π,2)]；④向量夾角∈[0，π] 三、平行構(gòu)造的常用方法①三角形中位線法；②平行四邊形線法；③比例線段法.四、垂直構(gòu)造的常用方法①等腰三角形三線合一法；②勾股定理法；③投影法.五、用向量證明空間中的平行關(guān)系(1)線線平行：設(shè)直線l1和l2的方向向量分別為v1和v2，則l1∥l2(或l1與l2重合)?v1∥v2.(2)線面平行：設(shè)直線l的方向向量為v，平面α的法向量為u，則l∥α或l?α?v⊥u.(3)面面平行：設(shè)平面α和β的法向量分別為u1，u2，則α∥β?u1∥u2.六、用向量證明空間中的垂直關(guān)系(1)線線垂直：設(shè)直線l1和l2的方向向量分別為v1和v2，則l1⊥l2?v1⊥v2?v1·v2＝0.(2)線面垂直：設(shè)直線l的方向向量為v，平面α的法向量為u，則l⊥α?v∥u.(3)面面垂直：設(shè)平面α和β的法向量分別為u1和u2，則α⊥β?u1⊥u2?u1·u2＝0.七、點(diǎn)面距常用方法①作點(diǎn)到面的垂線，點(diǎn)到垂足的距離即為點(diǎn)到平面的距離；②等體積法；③向量法二、題型精講精練二、題型精講精練【典例1】如圖，在三棱柱SKIPIF1<0中，側(cè)面SKIPIF1<0為正方形，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，M，N分別為SKIPIF1<0，AC的中點(diǎn)．(1)求證：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)再?gòu)臈l件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求直線AB與平面BMN所成角的正弦值．條件①：SKIPIF1<0；條件②：SKIPIF1<0．注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．【題型訓(xùn)練-刷模擬】1．如圖，在四棱錐SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0是邊長(zhǎng)為SKIPIF1<0的正方形，側(cè)面SKIPIF1<0為等腰直角三角形，且SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0為棱SKIPIF1<0上的點(diǎn)，平面SKIPIF1<0與棱SKIPIF1<0交于點(diǎn)SKIPIF1<0．(1)求證：SKIPIF1<0；(2)從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇兩個(gè)作為已知，求平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成銳二面角的大?。畻l件①：SKIPIF1<0；條件②：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；條件③：SKIPIF1<0．2．）如圖，在長(zhǎng)方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，E為SKIPIF1<0的中點(diǎn).(1)證明：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)若點(diǎn)F在SKIPIF1<0內(nèi)，且SKIPIF1<0，從下面三個(gè)結(jié)論中選一個(gè)求解.①求直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值；②求平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的余弦值；③求二面角SKIPIF1<0的余弦值.注：若選擇多個(gè)結(jié)論分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.3．如圖，在三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0上一點(diǎn)，平面SKIPIF1<0交棱SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0.(1)求證：SKIPIF1<0;(2)若直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角為SKIPIF1<0，再?gòu)臈l件①和條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離.條件①：SKIPIF1<0；條件②：SKIPIF1<0.注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.4．在四棱錐SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0是邊長(zhǎng)為2的菱形，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別是SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上一點(diǎn)，且SKIPIF1<0.(1)求證：SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)再?gòu)臈l件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值.條件①：SKIPIF1<0；條件②：SKIPIF1<0.注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答記分.5．如圖在幾何體SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0為菱形，SKIPIF1<0.

(1)判斷SKIPIF1<0是否平行于平面SKIPIF1<0，并證明；(2)再?gòu)臈l件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求：（i）平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的大小；（ii）求點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離.條件①：面SKIPIF1<0面SKIPIF1<0條件②：SKIPIF1<0條件③：SKIPIF1<0注：如果選擇多個(gè)條件分別作答，按第一個(gè)解答計(jì)分.6．如圖，在四棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為棱SKIPIF1<0上的點(diǎn)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.

(1)若SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，求證：點(diǎn)SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)；(2)再?gòu)臈l件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0夾角的余弦值.條件①：SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0條件②：直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0夾角的余弦值為SKIPIF1<0注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.7．如圖，四邊形SKIPIF1<0是邊長(zhǎng)為2的菱形，SKIPIF1<0，四邊形SKIPIF1<0為矩形，SKIPIF1<0，從下列三個(gè)條件中任選一個(gè)作為已知條件，并解答問(wèn)題（如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分）.①SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角相等；②三棱錐SKIPIF1<0體積為SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0

(1)平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求二面角SKIPIF1<0的大??；(3)求點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離.8．如圖在三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)證明：SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，且滿足：______，______（待選條件）.從下面給出的①②③中選擇兩個(gè)填入待選條件，求二面角SKIPIF1<0的正弦值.①三棱柱SKIPIF1<0的體積為SKIPIF1<0；②直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的角的正弦值為SKIPIF1<0；③二面角SKIPIF1<0的大小為60°；注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.9．如圖所示的五邊形SKIPIF1<0中SKIPIF1<0是矩形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，沿SKIPIF1<0折疊成四棱錐SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0．(1)在四棱錐SKIPIF1<0中，可以滿足條件①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0，請(qǐng)從中任選兩個(gè)作為補(bǔ)充條件，證明：側(cè)面SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0；（注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分．）(2)在（1）的條件下求直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值．10．在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，交線段SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0（如圖1），沿SKIPIF1<0將SKIPIF1<0折起，使SKIPIF1<0（如圖2），點(diǎn)SKIPIF1<0分別為棱SKIPIF1<0的中點(diǎn).(1)求證：SKIPIF1<0；(2)在①圖1中SKIPIF1<0，②圖1中SKIPIF1<0，③圖2中三棱錐SKIPIF1<0的體積最大.這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，再解答問(wèn)題.問(wèn)題：已知__________，試在棱SKIPIF1<0上確定一點(diǎn)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，并求平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0的夾角的余弦值.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.11．如圖所示的五邊形SKIPIF1<0中SKIPIF1<0是矩形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，沿SKIPIF1<0折疊成四棱錐SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0．(1)在四棱錐SKIPIF1<0中，可以滿足條件①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0，請(qǐng)從中任選兩個(gè)作為補(bǔ)充條件，證明：側(cè)面SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0；（注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分．）(2)在（1）的條件下求點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離．12．如圖，在四棱錐SKIPIF1<0中，側(cè)棱SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，底面四邊形SKIPIF1<0是矩形，SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分別為棱SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的中點(diǎn)，點(diǎn)SKIPIF1<0在棱SKIPIF1<0上．(1)若SKIPIF1<0，求證：直線SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，從下面①②兩個(gè)條件中選取一個(gè)作為已知，證明另外一個(gè)成立．①平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0的交線為直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0成角的余弦值為SKIPIF1<0；②二面角SKIPIF1<0的余弦值為SKIPIF1<0．注：若選擇不同的組合分別作答，則按第一個(gè)解答計(jì)分．13．如圖，在四棱錐SKIPIF1<0中，底面ABCD是矩形，SKIPIF1<0底面ABCD，且SKIPIF1<0，E是PC的中點(diǎn)，平面ABE與線段PD交于點(diǎn)F.(1)證明：F為PD的中點(diǎn)；(2)再?gòu)臈l件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求直線BE與平面PAD所成角的正弦值.條件①：三角形BCF的面積為SKIPIF1<0；條件②：三棱錐SKIPIF1<0的體積為1.注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.14．如圖，已知直三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點(diǎn)，SKI