利用傳統(tǒng)方法求線線角、線面角、二面角與距離的問題（解析版）

共面直線面α的夾角．接下來在Rt△ABBI中解三角形．即sin∠BABI=(其中h即點(diǎn)B到面α兩個(gè)平面稱為二面角的面．(二面角α-l-β或者是二面角A-CD-B)(3)二面角的求法求二面角就相當(dāng)于求兩條異面直線的夾角即可).③計(jì)算：∠ABO為二面角α-c-β的平面角，在Rt△ABO中解三角形.凡二面角的圖形中含有可求原圖形面積和該圖形在另一個(gè)半平面上的射影圖形面積的都可利用射影M,N,E,F分別是DD1,BC,C1D1的中點(diǎn)，則異面直線MN與EF所成的角為()所以異面直線MN與EF所成的角的平面角為∠FEH，又AB=2，則EH=FH=，F(xiàn)E=所以∠FEH=，例2.(2022·四川內(nèi)江·模擬預(yù)測(理))如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BC⊥面ACC1A1，CA=CC11而EC⊥CC1⊥面BCC1B1，在△BDE中cos∠BDE=A1GA.C.A.C.B.,/1459+5-6459+5-6451A.B.A.B.C.D.由題意知OC⊥AB，OC⊥PO，AB∩PO=O，AB，PO?平面POB，又平面POC∩平面POB=PO，DE?平面POB且DE⊥PO，所以DE⊥CE．又DE=OB=3，所以CD=DE2+CE2=4，3分別是BB1和B1C1的中點(diǎn)，則直線AM與CN所成角的余弦值等于(A.B.A.B.C.D.F，即上AMF為異面直線AM與CN所成的角，=在△AMF中，有余弦定理可知AF2=AM2+MF2-2AM.MF.cos上AMF，BC=CD，P為AC的中點(diǎn)，則直線BPA.B.C.D.A.B.A.B.C.D.C.4條D.無數(shù)條D11B=A1D=BD，即直線BA1和B1D1所成角∠A1BD=60°,AIBD垂直的平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，I繞著點(diǎn)B從∠AIBD的鄰補(bǔ)角的平分線開始在過該平分線2A=2A.θ∈(0,B.θ∈(0,,R21=1,R2=2，∥SD，∠ASD=θ,而tanθ=由圓的性質(zhì)，1=R2-O2D≤AD≤O2D+R2=3，所以tanθ=所以I②同理，∠APE=π-θ,將∠APE的角平分線繞著P向上或向下旋轉(zhuǎn)可得兩條直線與a、b的夾角均為,則又∵0<θ≤,∴θ∈(.例11.(2022·江蘇常州·模擬預(yù)測)在三棱錐A-BCD中，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，若AB=2，BC=CD=4，則AC與BD所成角的余弦值為.【解析】如圖，取BC,AB,AD中點(diǎn)E,F,G，連接EF,FG,EG，BCD，所以HG⊥EH，又GH=AB=1，EH=CD=2，_________________A1BD于O所以∠AEO是AE與平面A1BD所成AOEOAOEO在四面體A-A1BD中，BD=A1D=A1B=AA1=A1B1=B1C1=1，AB=2，則AC與平面BCC1B1所成的角為,AC=22,AC，2+BD2=CD2，VD-ABC=VA-BCD，(1)證明：BC⊥PD；(2)若AC⊥PB，PA=3，求直線PA與平面PBC所成的角的正弦值.∵PB=PC，E為BC中點(diǎn)∴PE⊥BC∵底面ABC是直角三角形，AC=BC=2，∴AC⊥BC即DE⊥BC∵PE∩DE=E,PE,DE?平面PDE∴BC⊥平面PDE，∴BC⊥PD且PB∩BC=C,PB,BC?平面PBC∴AC⊥平面PBC，∴直線PA與平面PBC所成的角為∠APC在Rt△APC中，AC=2,PA=3∴直線PA與平面PBCF為AC上一點(diǎn).(1)求證：平面ACE⊥平面BDF；ACD所成角的正弦值的最大值.則AE⊥BD,CE⊥BD，BD?平面BDF，所以平面ACE⊥平面BDF.(2)依題意不妨設(shè)BC=CD=2，∠BCD=90°,則BD=2、2,CE=、2，又∠BAD=60°,則AB=AD△AEC=AE?CEsin∠AEC=×6×2×=2.-ACD=S△AEC?BD=，因AD2+CD2=12=AC2，即∠ADC=90°,則S△ACD=AD?CD=2√2. 、 設(shè)直線BF與平面ACD所成角為θ,所以sinθ==BF 、 =因?yàn)锳B2+BC2=12=AC2，所以∠ABC=90°,故當(dāng)BF⊥AC時(shí)，BF最短，此時(shí)=例16.(2022·吉林·長春市第二實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三階段練習(xí))如圖，已知四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，且AB∥DC,4AB=DC,PM=PC.(1)求證：PA∥平面MDB；(2)當(dāng)直線PC,PA與底面ABCD所成的角都為，且DC=4,DA⊥AB時(shí)，求出多面體MPABD的體積.因?yàn)锳B∥CD，所以O(shè)A=AB因?yàn)镻M=所以PM=1所以O(shè)M∥PA，又OM?平面MDB，PA?平面MDB所以PA∥平面MDB；(2)因?yàn)镻D⊥平面ABCD，所以∠PAD即為直線PA與底面ABCD所成的角的平面角，∠PCD即為直線PC與底面ABCD所成的角的平面角，所以∠PAD=∠PCD=，所以PD=AD=CD=4，S梯形ABCD==10，S△BCD=×4×4=8，設(shè)點(diǎn)M到平面ABCD的距離為h，因?yàn)镻M=PC，所以h=PD=，P-ABCD33，P-ABCD33，例17.(2022·全國·高三專題練習(xí)(文))已知正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=2，M是MB；(2)點(diǎn)P是直線AC1上的一點(diǎn)，當(dāng)AC1與平面ABC所成時(shí)，求三棱錐P-A1MB的體積.，1MB.∵CC1⊥平面ABC，AC?平面ABC，∴CC1⊥AC，則tan∠CAC1==2AC=4，∵AC11MBMC=S△ABC=×22=例18.(2022·四川省瀘縣第二中學(xué)模擬預(yù)測(文))如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD為矩形，角的正弦值.所以AD⊥平面SEF.又AD?平面ABCD．所以平面SEF⊥平面ABCD.=4，SE==2．又EF=AB=2，點(diǎn)，P是BM的中點(diǎn)．將矩形AMND沿MN折起，形成多面體AMB-DNC.(2)若二面角A-MN-B大小為120°,求直線AP與平面ABCD所成角的正弦值.∵四邊形AMND為矩形又∵P為BM的中點(diǎn)∵BD?平面ANP，OP?平面ANP，(2)∵AM⊥MN，BM⊥MN，∴∠AMB即為二面角A-MN-B的平面角，∠AMB=120°,且MN⊥平面ABM，∴BC⊥平面ABM，∵BC?平面ABCD，∴平面ABCD⊥平面ABM過P作PQ⊥AB于點(diǎn)Q，∴PQ⊥平面ABCD，∴∠PAB即為AP與平面ABCD所成角，AM=MB=2，AB=2，PB=1，∴PQ=，BQ=，∴AQ=軸截面，EF是圓柱上異于AD,BC的母線.(1)證明：BE⊥平面DEF；(2)若AB=BC=、6，當(dāng)三棱錐B-DEF的體積最大時(shí)，求二面角B-DF-E的正弦值.BE．因?yàn)锳D,EF是圓柱的母線，所以AD∥EF且AD=EF，所以四邊形AEFD是平行四邊形.ABE，又因?yàn)锽E?平面ABE，所以EF⊥BE．又因?yàn)镈F∩EF=F，DF、EF?平面DEF，所以BE⊥平面DEF.EF⊥AE,AE∥DF，所以EF⊥DF，即底面三角形DEF是直角三角形．設(shè)DF=AE=x,BE=y，則在Rt△ABE中有：x2+y2=6，錐B-DEF的體積最大，(另等積轉(zhuǎn)化法-DEF=-BEF=-BCF=-CDF=S△CDF?BC下面求二面角B-DF-E的正弦值：又因?yàn)镋F⊥DF,EF∩BE=E，所以DF⊥平面BEF.因?yàn)锽F?平面BEF，所以BF⊥DF，所以∠BFE是二面角B-DF-故sin∠BFE=所以二面角B-DF-E的正弦值為.例21.(2023·全國·高三專題練習(xí)(理))如圖，在三棱錐P-ABC中，AB=BC=2，PA=PB=PC=AC(1)證明：PO⊥平面ABC；角M-PA-C的平面角的余弦值.法一：∵AB=BC=2,AC=22，∴AB2+BC2=AC2，即△ABC是直角又O為AC的中點(diǎn)，∴OA=OB=OC又∵PA=PB=PC，∴ΔPOA?ΔPOB?ΔPOC∴∠POA=∠POB=∠POC=90°.∴PO⊥AC,PO⊥OB,OB∩AC=O，OB、AC?平面ABC∴PO⊥平面ABC.法二：連接OB，∵PA=PC，O為AC的中因?yàn)锳B=BC=2,PA=PB=PC=AC=22∴AB⊥BC,BO=、2,PO=、6∴PO2+OB2=PB2，∴PO⊥OB∴PO⊥AC,PO⊥OB,OB∩AC=O，OB、AC?平面ABC.∴PO⊥平面ABC.(2)由(1)知，PO⊥面ABC∴OM為PM在面ABC上的射影，∴∠PMO為PM與面ABC所成角，∴tan∠PMO=，∴OM=1，作ME⊥AC于E，∴E為OC的中點(diǎn)，作EF⊥PA交PA于F，連MF∴MF⊥PA∴∠MFE即為所求二面角M-PA-C的平面角，ME=224=4=4244、ME×=EF2=4、ME×=EF2=上的點(diǎn).(1)求證：平面PAC⊥平面PBC；(1)因?yàn)镻A丄平面ABC，BCC平面ABC，所以PA丄BC，所以上DEC是二面角C--PB--A的平面角，、、所以二面角C--PB點(diǎn)，平面BEF丄平面ABB1A1，M是AB的中點(diǎn).(2)若AC=AE=2，求平面BEF與平面ABC夾角的大小.過F在平面BEF內(nèi)作FN丄BE，垂足為“平面BEF丄平面ABB1A1，平面BEF∩平面ABB1A1=BE，:FN丄平面ABB1A1，:CMⅡFN，“CM丈平面BEF，F(xiàn)NC平面BEF，:CMⅡ平面BEF.:CFⅡNM，:四邊形CFNM是平行四邊形，又MNⅡAE且MN=AE，所以CF=NM=AE=1，則平面BEF與平面ABC所成的角就是二面角E-BG-A，:上EBA是二面角E-BG-A的平面角，又AE=AB，AB丄AE，點(diǎn)F為線段AB上的動(dòng)點(diǎn).(2)當(dāng)F為AB中點(diǎn)時(shí)，求二面角E-DF-C的正切值.因?yàn)镋FⅡ平面ADD1A1,EFC平面EFAG，平面EGAF∩平面ADD1A1=GA，所以GE=AF.所以EH丄DF，又HM丄DF，所以DF丄EM.所以上EMH是二面角E-DF-C的平面角.在Rt△ADF中，DF=、AD2+AF2=a，則S△DHF=DF.MH=DH.AD→MH=a,:tan上EMH==、5.即二面角E-DF-C的正切值為、5.(2)求平面EBD與平面BDC夾角的正弦值；EFC平面ABE，所以上EOC是二面角E-BD-C的平面角，所以平面EBDBC.現(xiàn)將△ABD沿BD折起，使得點(diǎn)A到E的位置.(1)試在BC邊上確定一點(diǎn)F，使得BD丄EF；(2)若平面EBD丄平面BCD，求二面角E-BC-D所成角的正切值.2BD，所以△BAD一△BDC，在四邊形ABCD內(nèi)過點(diǎn)A作AM丄BD于點(diǎn)M，有EM丄BD，MF丄BD，所以BD丄平面EFM，也為EFC平面EFM，所以BD丄EF，(2)過點(diǎn)M作MN丄BC交BC于點(diǎn)N.所以EM丄平面BCD.則有EN丄BC.所以上ENM即為二面角E-BC-D的平面角，所以二面角E-BC-D所成角的正切值為2.(2)若AC=4，求二面角E-BD-C的余弦值.(1)作DF丄AC于F，連接DF，BF，“平面PAC丄平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，DF丄AC，PEC面PAC:DF丄平面ABC.“DFⅡPE．:PE丄平面ABC，ACC平面ABC:DF丄AC，“AC丄BD，BD∩DF=D，BD，DFC平面BFD，:AC丄平面BFD，BFC平面BFD，:AC丄BF，:AF=3FC，“AB丄BC，AC丄BF，:AB2=AF.AC,BC2=FC.AC故BD⊥EG，BD⊥CG，則∠EGC為二面角E-BD-C的平面角.所以二面角E-BD-C的余弦值為.余弦值.所以cos∠DCE=(1)求直線BP與平面PACQ所成角的正弦值；(2)求平面BPQ與平面DPQ的夾角的大??；“四邊形ABCD是菱形，:BD丄AC，BDC平面ABCD，:BD丄平面PACQ，:上BPO即為BP與平面ACQP所“四邊形PACQ為矩形，:PA丄AC， :PA丄平面ABCD，:PA丄AB，:BP=AB2+PA2=4+1=5， 、、:BP=BQ，DP=DQ，:BM丄PQ，DM丄PQ，:上BMD即為二面角B-PQ-D的平面角，在△BDM中，BD=23，BM=DM=BP2-PM2=BP2AC(2=5-1=2，,:上BMD=,面QAD丄平面ABCD.(2)若點(diǎn)Q到平面ABCD的距離為2，記二面角B-QD-A的正切值(1)在四棱錐Q-ABCD中，ABCD是正方形，則AB丄AD，平面ABCD， AN，“”=,(1)連接AC與BD交于點(diǎn)N，連接MN，:△CND一△ANB，又因?yàn)?EM=AM，:CEⅡMN，:CEⅡ平面BDM.:AE丄BM，∴AB=BE，∴M是AE的中點(diǎn)，∵平面ABE⊥平面ABCD，∴點(diǎn)E到平面ABCD的距離為d=4sin∴S△BDM=5=、15，例32.(2022·全國·模擬預(yù)測(文))如圖，在三棱錐P-ABC中，平面PAB⊥平面ABC，AC=BC，PA=PB，且點(diǎn)C在以點(diǎn)O為圓心AB為直徑的半圓AB上.(1)求證：AB⊥PC；(2)若AC=2，且PC與平面ABC所成角為，求點(diǎn)B到平面PAC的距離.又PC?平面OPC，故AB⊥PC的半圓AB上，AC=BC，AC=2，故OC=OP=OA=OB=VP-ABC=VB-PAC，即××2×2×、2(1)證明：BC⊥PD；又PB=PC，所以PE⊥BC，因?yàn)镻D?平面PDE，所以BC⊥PD.由，因?yàn)镻E⊥BC，CE=BC=1，PC=PB=，所以PE=因?yàn)锳C⊥BC，所以AE=又PA=3，所以PE2+AE2=PA2，即AE⊥PE，因?yàn)镻E⊥BC，BC∩AE=E，BC，AE?平面ABC，所以PE⊥平面ABC，因?yàn)镈是AB的中點(diǎn)，所以-ACD=-ABC=因?yàn)镻E⊥平面ABC，DE?平面ABC，所以PE⊥DE，所以S△PCD=設(shè)點(diǎn)A到平面PDC的距離為d，因?yàn)閂P-ACD=VA-PCD，例34.(2022·全國·高三專題練習(xí))如圖，在直棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是直角梯形，AB?DC,AB⊥BC，AB=3DC=3,BC=6，點(diǎn)P在面ADD1A1上，過點(diǎn)P和棱BB1的平面把直棱∵ABCD-A1B1C1D1為直棱柱，∴BB1⊥平面A1B1C1D1，∴BB1⊥BQ,BB1⊥BC∴∠QBC為截面與直棱柱的側(cè)面BCC1B1所成角的平面角.過Q作QH⊥AB，垂足為H,∵AB⊥B1C1，∴QH?BC,∴∠QBC=∠BQH，由題意可得：∴SABCD=2S△ABQ=12，∴S△ABQ=×3×QH=6，∴QH=4.過Q作QM⊥BC，垂足為M，則∴SQBCD=S△MBQ+S△MCDQ=×4×QM+×(QM+1(×2=6，所以,AH=，∴tan∠PB1C1=tan∠QBM=∵BB1⊥平面ABCD,∴平面BB1PQ⊥平面ABCD，交線為BQ，過D作DT⊥BQ，垂足為T,∴DT⊥平面BB1PQ，則DT的長度為棱DD1到截面所在平面的距離.因?yàn)镾△BCD=×6×1=3，SQBCD=SABCD=6，S△QBD=SQBCD-S△BCD=3，(1)求PB與平面BCDE所成角的正弦值；因?yàn)槠矫鍼DE⊥平面BCDE，平面PDE∩平面BCDE=DE，所以O(shè)P⊥平面BCDE.因?yàn)锽C=4，則DE=BC=2，所以O(shè)P=OF=所以sin∠OBP=所以O(shè)P⊥BC.又OF⊥BC，OP∩OF=O，所以BC⊥平面OPF.所以平面PBC⊥平面OPF.因?yàn)槠矫鍼BC∩平面OPF=PF，在Rt△OPF中，OP=OF=C1在平面AA1B1B上的射影恰是AB的中點(diǎn)H，M是C