2023年春上海七年級下數(shù)學輔導講義(滬教版)第19講壓軸綜合題（練習）(含詳解)

第19講壓軸綜合題（練習）

1.（2019?上海七年級月考）已知C+rl—R,求X+X-1

AIA-J

2.（2018?上海七年級期中）已知：ADXBC,垂足為D,EGXBC,垂足為點G,EG交AB于

點F,且AD平分/BAC,試說明NE=NAFE的理由.

3.（2018?上海七年級期中）如圖，AE、BF、DC是直線，B在直線AC上，E在直線DF

上，Z1=Z2,ZA=ZF,

求證：ZC=ZD;

證明：因為N1=N2（己知），Z1=Z3（

得N2=N3（）

所以AE//（

得/4=/F（）

因為（已知）

得/4=/A

所以〃（）

所以/C=/D()

4.(2019?上海市江寧學校七年級期中)如圖，BCE、AFE是直線，AB/7CD,/1=/2,Z

3=Z4,求證：AD//BE.

5.(2019?上海市民辦新竹園中學七年級期中)如圖，△ABC中，D是BC的中點，過點D

的直線GF交AC于F,交AC的平行線BG于G點，DEXGF,交AB于點E,連接EG,EF.

(1)說明：BG=CF；

(2)BE,CF與EF這三條線段能否組成一個三角形？

6.(2019?上海)已知，AABC、AAED均為等邊三角形，點E是AABC內(nèi)的點

（1）如圖①，說明6￡>=CE的理由;

C

AB

（2）如圖②，當點E在線段CD上時，求NCDB的度數(shù);

圖②

（3）當ADBE為等腰直角三角形時，ZABD=度（直接寫出客案）.

7.（2018?華東理工大學附屬中學七年級月考）如圖，在△ABC中，已知點D、E、F分別

在邊BC、AC、AB上，且FD=DE,BF=CD,々DE=4,請說明4=A

A

8.（2018?上海市第八中學七年級月考）如圖，已知AABC和4CDE都是等邊三角形，且

B、C、E在一直線上，AC、BD交于F點,AE、CD交于G點，試說明FG〃BE的理由.

9.（2018?上海市第八中學七年級月考）已知如圖，DB±AB,DC±AC,且/1=/2,求證

ADXBCo

10.（2018?上海市第八中學七年級月考）如圖，點E、F位于線段AC上，且AF=CE,AB

//CD,BE〃DF。試說明ZkABE和ACDF全等的理由。

11.(2019?上海七年級期中)如圖，ZBAD=ZCAE=90°,AB=AD,AE=AC,AFXCB,垂足為

F.

(1)求證：△ABC之△ADE；

(2)求NFAE的度數(shù);

(3)求證：CD=2BF+DE.

12.（2020?上海市中國中學）AABC是一塊含有45°的直角三角板，四邊形DEFG是長方

形，D、G分別在AB、AC上，E、F在BC上。BC=16,DG=4,DE=6,現(xiàn)將長方形DEFG向右沿

BC方向平移，設(shè)水平移動的距離為d,長方形與直角三角板的重疊面積為S,

(1)當水平距離d是何值時，長方形DEFG恰好完全移出三角板；

(2)在移動過程中，請你用含有d的代數(shù)式表示重疊面積S,并寫出相應的d的范圍。

第20講壓軸綜合題（練習）

1.（2019?上海七年級月考）已知求X+一

AIA-J

【答案】7

【分析】根據(jù)題意，把已知的代數(shù)式兩邊分別求平方，化簡即可.

【詳解】因為

所以（1:J；）2=X+X-I+2=9

所以x+x-1=7.

2.（2018?上海七年級期中）已知：ADXBC,垂足為D,EGXBC,垂足為點G,EG交AB于

點F,且AD平分NBAC,試說明/E=/AFE的理由.

試題分析：利用垂直于同一條直線的兩條直線互相平行、平行線的判定和性質(zhì)進行證明.

試題解析：解：：ADLBC,￡人a'（已知）

屐/灰氏90°（垂直的意義）

：.EG//AD（同位角相等，兩直線平行）

斤/。，（兩直線平行，同位角相等）

//降/歷1〃（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）

49平分/物。（已知）

：.ABAD-ACAD（角平分線的意義）

:./隼/AFE（等量代換）

3.（2018?上海七年級期中）如圖，AE、BF、DC是直線，B在直線AC上，E在直線DF

上，Z1=Z2,ZA=ZF,

求證：ZC=ZD;

證明：因為/1=/2（已知），Z1=Z3（）

得N2=N3（）

所以AE//（）

得N4=/F（）

因為（已知）

得N4=/A

所以//（）

所以NC=/D（）

試題分析：由平行線的判定與性質(zhì)證明即可.

試題解析：W：VZ1=Z2（已知），Nl=/3（對頂角相等）

/.Z2=Z3（等量代換）

：.AE//BF（同位角相等，兩直線平行）

（兩直線平行，同位角相等）

:/A=/F（已知）

"4=4

：.DF//AC（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）

：.A（=AD（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）

4.（2019?上海市江寧學校七年級期中）如圖，BCE、AFE是直線，AB〃CD,Z1=Z2,Z

3=Z4,求證：AD〃BE.

試題分析：先根據(jù)平行線的性質(zhì)得出N4=/物反再根據(jù)N3=/4可知N3=N的反由Nl=

Z2,得出Nl+N。氏/2+/。￡即/的氏N。。，故N3=N。。，由此可得出結(jié)論.

試題解析：證明：'：AB//CD,；./4=/胡￡.VZ3=Z4,AZ3=ZBAE.

VZ1=Z2,Z1+ZCA^Z2+ZCAE,即/胡卓/：.43=NCAD,：.AD//BE.

5.(2019?上海市民辦新竹園中學七年級期中)如圖，△ABC中，D是BC的中點，過點D

的直線GF交AC于F,交AC的平行線BG于G點，DE±GF,交AB于點E,連接EG,EF.

(1)說明：BG=CF；

(2)BE,CF與EF這三條線段能否組成一個三角形？

【分析】(1)由BG〃AC得出/DBG=/DCF,從而利用ASA得出ABOD與4CFD全等，進一步

證得結(jié)論

(2)根據(jù)4BGD與4CFD全等得出GD=FD,BG=CF,再又因為DEJ_GF,從而得出EG=EF,從而

進一步得出結(jié)論

【詳解】(1)VBG/7AC

ZDBG=ZDCF

又；D為BC中點

.\BD=CD

X'."ZBDG=ZCDF

/.ABGDSACFD(ASA)

/.BG=CF

(2)能

證明如下：

ABGDsACFD

/.BG=CF,GD=DF

XVDEIGF

.'.GE=EF

VBE,BG,GEMTABGE

ABE,BG,GE三邊滿足三角形三邊的關(guān)系

同理，與BG,GE相等的兩邊CF,EF與BE三條線段亦滿足三角形三邊關(guān)系

...BE,CF,EF這三條線段可以組成三角形

【點睛】本題主要考查了三角形全等的綜合運用，熟練掌握三角形全等的判斷及性質(zhì)是關(guān)

鍵

6.（2019?上海）已知，AABC、AAED均為等邊三角形，點￡是418。內(nèi)的點

（1）如圖①，說明5￡>=CE的理由；

（2）如圖②，當點E在線段CD上時，求NCDB的度數(shù);

圖②

（3）當ADBE為等腰直角三角形時，ZABD二度（直接寫出客案）.

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）45?；?0?；?5°.

【分析】（1）先理由等邊三角形的性質(zhì)得出=AC,AD=AE，ZBAC=ZDAE,

即可得出結(jié)論；

（2）同（1）得八CAEMABAD,再判斷出NDEGM/BDE,進而求出

ZAEC=120°,即可得出結(jié)論；

（3）當ADBE為等腰直角三角形時，有三種情況：/.當NE戶90°,小血時，H.當

NBED=90°,法龍時，當/應爐90°,小應時，分別作出圖形，然后根據(jù)等腰三角形性

質(zhì)即可求出.

【詳解】

解：（1）;AABC和A4ED都是等邊三角形（己知）

AAC^AB,AE=AD，ZCAB=ZEAD=60°（等邊三角形的性質(zhì)）。

A/CAB-/FAB=/FAD-/FAB（等式性質(zhì)），即NC4E=44￡）,

在ACLE和AS4D中，

AC=AB

<ZCAE=ZBAD,

AE=AD

：.ACAE=ABAD（SAS）

：.BD=CE（全等三角形對應邊相等）

（2）:AAED是等邊三角形（已知）。

...ZAED=ZADE=60°（等邊三角形的性質(zhì)）。

AZAEC+ZAED=1SQ°（鄰補角的意義）

ZAEC=120°（等式性質(zhì)）

同理（1）得AC4EMA5AD（S4S）

ZADB=ZAEC^120°（全等三角形對應角相等）

二NCDB=ZADB-ZADE=60°（等式性質(zhì)）

（3）當ADB石為等腰直角三角形時，有三種情況：

，當/瓦爐90°,DE=DB的,如圖③T：

c

圖③-1

VZADE=60°,

:/ADB=/AD*/ED氏6G°+90°=150°,

又,：AADE,

：.AFBD,

：./如斤//盼工（180。-150。）；

2

n.當/BE廬9Q：B償DB時,如圖③-2：

圖③-2

在△/龐和△/龐中：

AE=AD

<AB=AB,

EB=DB

:.△ABE^XADBCSSS）

：.ZABB=ZABD,

：.ZABD=-ZDBE=45°；

2

III.當/顏/90。,D&DB時,如圖③-3：

圖③-3

同/可得：NABE=15°,

,：NEBD=45。,

：./ABD=3O。.

綜上所述：//的45°或30。或15°.

故答案為：45?；?0。或15°.

【點睛】此題是三角形綜合題，主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判斷和性

質(zhì)，等腰直角三角形性質(zhì)，（2）中求出NAEC=120。是解本題的關(guān)鍵.（3）中關(guān)鍵是根

據(jù)題意畫出等腰直角三角形.

7.（2018?華東理工大學附屬中學七年級月考）如圖，在△ABC中，已知點D、E、F分別

在邊BC、AC、AB上，且FD=DE,BF=CD,々DE=4,請說明4=4：

【分析】根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和可得NFDC=NB+/DFB,再

根據(jù)NFDE=NB,證明NDFB=NEDC,然后根據(jù)邊角邊定理證明4DFB與△￡口（：全等，根據(jù)此

思路進行解答即可.

【詳解】

證明：???/FDC=/B+/DFB（三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和）

即ZFDE+ZEDC=ZB+ZDFB

又?；/FDE=/B（已知）

NDFB=NEDC

在△DFB與4EDC中

FB=ED（已知），ZDFB=ZEDC,BF=CD（已知）

.,.△DFB^AEDC（SAS）

【點睛】本題考查了全等三角形的判定與全等三角形的性質(zhì)，熟練掌握判定定理與性質(zhì)定

理，理清證明思路是寫出理由與步驟的關(guān)鍵.

8.（2018?上海市第八中學七年級月考）如圖，已知△ABC和ACDE都是等邊三角形，且

B、C、E在一直線上，AC、BD交于F點，AE、CD交于G點，試說明FG〃BE的理由.

【分析】運用SAS證得4ACD@4ACE,得到NCAE=/CBD,NBCD=NACE;由公共部分/ACD,

利用角和差可確定/BCF=NDCF,結(jié)合BC=AC,判定△BCFgZkACG,可得NACD=/

BAC=60°,CF=CG;可以發(fā)現(xiàn)4CFG也是等邊三角形，則/CFG=60°,即NCFG=/BCA=60°,

利用平行線判定定理，即可判定平行.

【詳解】解：理由如下：

已知4ABC和4CDE都是等邊三角形

.,.AC=AB,CD=CE,ZBAC=ZABC=ZBCA=ZDCE=ZCED=ZEDC=60°

ZACB+ZACD=ZDCE+ZACD,即NBCD=/ACE

在4ACD和4ACE中

BC=AC

</BCD=ZACE

CD=CE

.'.△ACD^AACE(SAS)

ZCAE=ZCBD,ZBCD=ZACE

/.ZBCD-ZACD=ZACE-ZACDBPZACD=ZBCA=60°；

在ABCF和AACG中

ZCAE=ZCBD

<AC=BC

ZACD=NBCA

.'.△BCF^AACG(ASA)

.?.CF=CG

.'.△CFG是等邊三角形

.?.ZCFG=60°

，NCFG=NBCA=60°

.1.FG/7BE（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）

【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)以及平行線的判定，其

中全等三角形的判定是解題的關(guān)鍵.

9.（2018?上海市第八中學七年級月考）已知如圖，DB±AB,DC±AC,且N1=N2,求證

AD±BC?

【分析】首先根據(jù)已知條件證明三角形△ABDgZkACD,得到AB=AC,判定4ABC是等腰三角

形，最后結(jié)合N1=N2,用于等腰三角形三線合一即可完成證明。

【詳解】

解：如圖：設(shè)BC和AD交于0

VDB±AB,DC±AC

.\ZABD=ZACD=90o

VZ1=Z2,AD=AD

.'.△ABD^AACD（AAS）

.\AB=AC

.1.△ABC是等腰三角形

VZ1=Z2即AD是角平分線

.,.AD±BC（等腰三角形頂角平分線、底邊上的高、中線三線合一）

【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定、等腰三角形的判定以等腰三角形三線合一的

性質(zhì)，其中等腰三角形三線合一是解答的關(guān)鍵。

10.（2018?上海市第八中學七年級月考）如圖，點E、F位于線段AC上，且AF=CE,AB

〃CD,BE〃DF。試說明Z\ABE和ACDF全等的理由。

【分析】根據(jù)兩組平行線的內(nèi)錯角相等形成兩組對應角相等，然后再利用公用線段和線段

的和差確定對應邊相等，即可說明利由。

【詳解】解：理由如下：

VAB/7CD

/.ZA=ZC

同理可得：ZDFC=ZAEB

由：AF=EC

；.AF+FE=FE+EC,即AE=FC

在4ABE和4CDF中

Z=NC

<AE=FC

ZBEA=NCFD

：.AABE^ACDF（ASA）

【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定，利用平行線的性質(zhì)和線段的和差確定判定條

件是解答的關(guān)鍵。

11.（2019?上海七年級期中）如圖，ZBAD=ZCAE=90°,AB=AD,AE=AC,AF±CB,垂足為

F.

(1)求證：△ABC烏△ADE；

(2)求＞FAE的度數(shù)；

(3)求證：CD=2BF+DE.

【答案】(1)證明見解析；(2)ZFAE=135°；(3)證明見解析.

【分析】(1)根據(jù)已知條件易證/BAC=NDAE,再由AB=AD,AE=AC,根據(jù)SAS即可證得4

ABC^AADE；

(2)已知NCAE=90°,AC=AE,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和定理可得/

E=45°,由(1)知△BACgZ\DAE,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得/BCA=/E=45°,再求得/

CAF=45°,由NFAE=NFAC+NCAE即可得NFAE的度數(shù)；

(3)延長BF到G,使得FG=FB,易證△AFBg^AFG,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得AB=AG,

ZABF=ZG,再由△BACgaDAE,可得AB=AD,ZCBA=ZEDA,CB=ED,所以AG=AD,ZABF=

ZCDA,即可得NG=/CDA,利用AAS證得△CGA0/\CDA,由全等三角形的性質(zhì)可得

CG=CD,所以CG=CB+BF+FG=CB+2BF=DE+2BF.

【詳解】

(1)VZBAD=ZCAE=90°,

.,.ZBAC+ZCAD=90°,ZCAD+ZDAE=90°,

NBAC=/DAE,

在ABAC和ADAE中，

AB=AD

<ZBAC=ZDAE,

AC=AE

.'.△BAC^ADAE(SAS)；

(2)VZCAE=90°,AC=AE,

???NE=45。,

由⑴知△BAC@ZkDAE,

???NBCA=NE=45°,

VAF±BC,

AZCFA=90°,

/.ZCAF=45°,

???NFAE=NFAC+NCAE=450+90°=135°；

(3)延長BF到G,使得FG二FB,

VAF±BG,

ZAFG=ZAFB=90°,

在AAFB和AAFG中，

BF=GF

<ZAFB=ZAFG,

AF二AF

.,.△AFB^AAFG(SAS),

二?AB=AG,NABF=NG,

VABAC^ADAE,

JAB=AD,NCBA=NEDA,CB=ED,

.\AG=AD,NABF=NCDA,

AZG=ZCDA,

在ACGA和ACDA中，

ZGCA=ZDCA

<NCGA=NCDA,

AG=AD

AACGA^ACDA,

.'.CG=CD,

CG=CB+BF+FG=CB+2BF=DE+2BF,

/.CD=2BF+DE.

【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，解決第3問需作輔助線，延長BF到G,使得

FG=FB,證得△CGAg^CDA是解題的關(guān)鍵.

12.(2020?上海市中國中學)AABC是一塊含有45。的直角三角板，四邊形DEFG是長方

形，D、G分別在AB、AC上，E、F在BC上。BC=16,DG=4,DE=6,現(xiàn)將長方形DEFG向右沿

BC方向平移，設(shè)水平移動的距離為d,長方形與直角三角板的重疊面積為S,

(1)當水平距離d是何值時，長方形DEFG恰好完全移出三角板；

(2)在移動過程中，請你用含有d的代數(shù)式表示重疊面積S,并寫出相應的d的范圍。

12

【答案】(1)10；(2)當0〈dW4時，s=24--J；當4〈dW6時，S=32-4d；當6〈dW10

12

時，S=-^--10J+50；當10〈d時，S=0.

【分析】(1)要使長方形完全移出，則