湖北剩門市2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試試題含解析

PAGE21-湖北省荊門市2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試試題（含解析）留意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填在答題卡上.2.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)，答在試題卷上無(wú)效.3.填空題和解答題用0.5毫米黑色墨水簽字筆答在答題卡上每題對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)，答在試題卷上無(wú)效.一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間上為增函數(shù)的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】逐項(xiàng)推斷函數(shù)是否滿意條件，即可得出結(jié)論.【詳解】選項(xiàng)A，函數(shù)不是偶函數(shù)，所以A不滿意；選項(xiàng)B，函數(shù)是偶函數(shù)，且在區(qū)間上為增函數(shù)，所以B滿意；選項(xiàng)C，函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，所以C不滿意；選項(xiàng)D，函數(shù)定義域?yàn)椴皇桥己瘮?shù)，所以D不滿意.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的性質(zhì)，涉及函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的推斷，熟記簡(jiǎn)潔初等函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.2.已知變量與負(fù)相關(guān)，且由觀測(cè)數(shù)據(jù)算得樣本平均數(shù)，，則由該觀測(cè)數(shù)據(jù)算得的線性回來(lái)方程可能是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)樣本點(diǎn)中心滿意回來(lái)方程依次代入驗(yàn)證即可.【詳解】解;依據(jù)樣本點(diǎn)中心滿意回來(lái)方程，且負(fù)相關(guān)，依次代入選項(xiàng)驗(yàn)證，對(duì)于D成立，故選D.【點(diǎn)睛】本題考查回來(lái)直線方程的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.3.值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式以及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系化簡(jiǎn)計(jì)算可得出所求代數(shù)式的值.【詳解】.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查利用誘導(dǎo)公式與同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求值，考查計(jì)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.4.設(shè)為銳角，若，則的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出的值，再利用二倍角公式可求出的值.【詳解】因?yàn)樵O(shè)為銳角，則，，，所以，所以，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查同角三角函數(shù)以及二倍角正弦公式求值，再利用同角三角函數(shù)求值時(shí)，須要確定角的取值范圍，推斷出所求函數(shù)值的符號(hào)，考查運(yùn)算求解實(shí)力，屬于中等題.5.已知為兩條不同的直線，為兩個(gè)不同的平面，給出下列4個(gè)命題：①若，則.②若，則.③若，.④若，則.其中真命題的序號(hào)為（）A.①② B.①④ C.③④ D.②③【答案】D【解析】【詳解】，則或與是異面直線，故①不正確；若，則垂直于中全部的直線，，過(guò)做一平面與交于，則所以.故②正確；若，則．這是直線和平面垂直的一特性質(zhì)定理，故③成立；，則，或相交，或異面．故④不正確，綜上可知②③正確，故選：D．6.已知向量滿意，，，則等于()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)，，由，求得，然后再由求解.【詳解】因?yàn)?，，所以，解得，所?故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查平面對(duì)量數(shù)量積運(yùn)算及其應(yīng)用，還考查了運(yùn)算求解的實(shí)力，屬于中檔題.7.一個(gè)樣本a,3,4,5,6的平均數(shù)是b，且不等式x2－6x＋c＜0的解集為(a，b)，則這個(gè)樣本的標(biāo)準(zhǔn)差是()A.1 B.C. D.2【答案】B【解析】由題意得a＋3＋4＋5＋6＝5b，a＋b＝6，解得a＝2，b＝4，所以樣本方差s2＝[(2－4)2＋(3－4)2＋(4－4)2＋(5－4)2＋(6－4)2]＝2，所以標(biāo)準(zhǔn)差為.故答案為B.8.設(shè)則函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由，解出的值，作出兩個(gè)函數(shù)的圖像，當(dāng)或時(shí)，據(jù)此可得此時(shí)函數(shù)的遞增區(qū)間，當(dāng)，據(jù)此可得此時(shí)函數(shù)的遞增區(qū)間，綜合即可得到結(jié)論.【詳解】由得，解得或，當(dāng)或時(shí)，此時(shí)函數(shù)的遞增區(qū)間為,當(dāng)，此時(shí)函數(shù)的遞增區(qū)間為，綜上所述函數(shù)的遞增區(qū)間為.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)單調(diào)區(qū)間，解題的關(guān)鍵是駕馭函數(shù)單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間的求法，屬于中檔題.9.若圓錐的高等于其內(nèi)切球半徑長(zhǎng)的倍，則圓錐側(cè)面積與球的表面積的比值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)球的半徑為，則圓錐的高為，設(shè)圓錐的底面圓的半徑為，通過(guò)解三角形求出，進(jìn)而得出圓錐的母線長(zhǎng)，然后利用圓錐的側(cè)面積公式和球的表面積公式可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)球的半徑為，則圓錐的高為，設(shè)圓錐的底面圓的半徑為，取圓錐的軸截面如下圖所示：設(shè)球心為點(diǎn)，在中，，，，，，，則，則圓錐的側(cè)面積為，球的表面積為，因此，圓錐的側(cè)面積與球的表面積的比值為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查圓錐的側(cè)面積和球的表面積之比，計(jì)算出圓錐的底面半徑和母線長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵，考查計(jì)算實(shí)力，屬于中等題.10.已知，且，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用基本不等式，將，轉(zhuǎn)化為一元二次不等式求解.【詳解】因?yàn)?，所以，令，所以，解得，?dāng)且僅當(dāng)，取等號(hào)，所以的最大值為4.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查基本不等式的應(yīng)用，還考查了運(yùn)算求解的實(shí)力，屬于中檔題.11.在直三棱柱中，，，，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題首先可以依據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系，然后依據(jù)以及得出、，最終依據(jù)即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)槿庵侵比庵?，且，所以可以以原點(diǎn)、為軸、為軸、為軸構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，如圖：因?yàn)?，，所以，，，，故，，設(shè)異面直線與所成角為，則，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查異面直線所成角的求法，可借助空間向量來(lái)求解，能否合理的構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系是解決本題的關(guān)鍵，考查計(jì)算實(shí)力，考查數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題.12.函數(shù)的全部零點(diǎn)之和為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】令，可得，可知函數(shù)與函數(shù)在區(qū)間上的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，數(shù)形結(jié)合可得出函數(shù)的零點(diǎn)之和.【詳解】令，可得，令，，則，，，所以，函數(shù)和的圖象都關(guān)于直線對(duì)稱，作出這兩個(gè)函數(shù)在區(qū)間上的圖象如下圖所示：由圖象可知，函數(shù)和在區(qū)間上的圖象共有個(gè)交點(diǎn)，有對(duì)關(guān)于直線對(duì)稱，因此，函數(shù)的全部零點(diǎn)之和為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)零點(diǎn)之和的求解，利用函數(shù)圖象的對(duì)稱性求解是解題的關(guān)鍵，考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中等題.二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．將答案填在答題卡上相應(yīng)位置）13._____.【答案】【解析】【分析】利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式計(jì)算即可得到結(jié)果．【詳解】cos75°＝cos（45°+30°）＝cos45°cos30°﹣sin45°sin30°．故答案為【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)求值，考查兩角和的余弦公式，屬于基礎(chǔ)題.14.已知三點(diǎn)都在以為球心的球面上，兩兩垂直，三棱錐的體積為，則球的體積為_(kāi)______.【答案】【解析】【分析】設(shè)球O的半徑為R，以球心O為頂點(diǎn)的三棱錐三條側(cè)棱兩兩垂直且都等于球的半徑R，另外一個(gè)側(cè)面是邊長(zhǎng)為R的等邊三角形．因此依據(jù)三棱錐的體積公式計(jì)算可求得半徑R，計(jì)算可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)球的半徑為，則，所以三棱錐的體積為,由，解得，故球的體積為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查三棱錐的體積公式，球的體積公式的計(jì)算，考查空間想象實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.15.湖北省2024年公布了新的高考方案，實(shí)行“3+1+2”模式.某學(xué)生按方案要求隨意選擇，則該生選擇考?xì)v史和化學(xué)的概率為_(kāi)______.【答案】【解析】【分析】依據(jù)題意，利用列舉法列出一名學(xué)生在“3+1+2”中對(duì)“1+2”選擇的全部可能狀況，再列舉出選擇考?xì)v史和化學(xué)的狀況，最終依據(jù)古典概型求出該生選擇考?xì)v史和化學(xué)的概率.【詳解】解：依據(jù)新的高考方案，可知“3+1+2”模式中，“3”是高考中必考的三門科目：語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)，“1”是必需在物理和歷史中選擇一門，“2”是在化學(xué)、地理、思想政治、生物中選擇2門，對(duì)于隨意一名學(xué)生，其在“3+1+2”中對(duì)“1+2”選擇，全部可能狀況如下：①物理，生物，化學(xué)；②物理，生物，地理；③物理，生物，政治；④物理，化學(xué)，地理；⑤物理，化學(xué)，政治；⑥物理，地理，政治；⑦歷史，生物，化學(xué)；⑧歷史，生物，地理；⑨歷史，生物，政治；⑩歷史，化學(xué)，地理；?歷史，化學(xué)，政治；?歷史，地理，政治；共12種不同選擇方法，其中選擇考?xì)v史和化學(xué)有以下?tīng)顩r：①歷史，生物，化學(xué)；②歷史，化學(xué)，地理；③歷史，化學(xué)，政治，共3中不同的選擇，則在全部選項(xiàng)中某學(xué)生選擇考?xì)v史和化學(xué)的概率為：.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查利用列舉法列舉出基本領(lǐng)件和利用古典概型求概率，屬于基礎(chǔ)題.16.如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1，分別為的中點(diǎn)，過(guò)直線的平面分別與棱交于點(diǎn).設(shè)，給出以下四個(gè)結(jié)論：①平面平面；②當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，四邊形的面積最??；③四邊形的周長(zhǎng)是單調(diào)函數(shù)；④四棱錐的體積是定值.其中正確結(jié)論的序號(hào)為_(kāi)_____（請(qǐng)寫出全部正確結(jié)論的序號(hào)）．【答案】①②④【解析】【分析】①利用面面垂直的判定定理推斷；②求得，由推斷；③求得，由推斷；④依據(jù)推斷.【詳解】①在正方體中，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以，又所以，所以平面，又平面，所以平面平面故正確；②因?yàn)?，由①知：，所以?dāng)時(shí)，四邊形的面積最小，故正確；③因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，遞減，當(dāng)時(shí)，遞增，故錯(cuò)誤；④因?yàn)?，而為定值，M，N到面的距離為定值，故四棱錐的體積是定值，故正確；故答案為：①②④【點(diǎn)睛】本題主要考查面面垂直以及立體幾何與函數(shù)的結(jié)合問(wèn)題，還考查了空間想象和運(yùn)算求解的實(shí)力，屬于較難題.三、解答題(本題共6小題，共70分)17.．（1）當(dāng)時(shí)，求；（2）若，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）或；（2）【解析】【分析】（1）當(dāng)時(shí)，先化簡(jiǎn)集合A，B，在利用交集的定義求解.（2）依據(jù)，且，則A，B無(wú)公共元素，建立不等式組求解.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，又或，所以或；（2）因?yàn)?，且，所以，解得，所以?shí)數(shù)的取值范圍【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的基本運(yùn)算和應(yīng)用以及一元二次不等式的解法，還考查了運(yùn)算求解的實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.18.已知向量，，函數(shù).（1）求的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間；（2）在中，角、、的對(duì)邊分別為、、，且，求的取值范圍.【答案】（1）最小正周期為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）.【解析】【分析】（1）利用平面對(duì)量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算以及三角恒等變換思想化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式為，利用正弦型函數(shù)的周期公式可求得函數(shù)的最小正周期，解不等式，可得該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）利用正弦定理邊角互化思想以及兩角和的正弦公式可求得角的值，進(jìn)而可求得角的取值范圍，利用正弦函數(shù)的基本性質(zhì)可求得的取值范圍.【詳解】（1）向量，，，所以，函數(shù)的最小正周期為，解不等式，得，所以，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；（2），由正弦定理得，所以，，，，，則，，，，，則，因此，的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查正弦型函數(shù)的最小正周期、單調(diào)區(qū)間的求解，同時(shí)也考查了三角函數(shù)值取值范圍的求解，涉及正弦定理邊角互化思想的應(yīng)用，考查計(jì)算實(shí)力，屬于中等題.19.樹(shù)立和踐行“綠水青山就是金山銀山，堅(jiān)持人與自然和諧共生”的理念越來(lái)越深化人心，已形成了全民自覺(jué)參加，造福百姓的良性循環(huán)．據(jù)此，某網(wǎng)站推出了關(guān)于生態(tài)文明建設(shè)進(jìn)展?fàn)顩r的調(diào)查，大量的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)表明，參加調(diào)查者中關(guān)注此問(wèn)題的約占80%．現(xiàn)從參加調(diào)查的人群中隨機(jī)選出人，并將這人按年齡分組：第1組，第2組，第3組，第4組，第5組，得到的頻率分布直方圖如圖所示:（1）求的值；（2）求出樣本的平均數(shù)（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；（3）現(xiàn)在要從年齡較小的第1，2組中用分層抽樣的方法抽取人，再?gòu)倪@人中隨機(jī)抽取人進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，求第2組中抽到人的概率．【答案】（1）；（2）41.5歲；（3）【解析】【分析】（1）由頻率分布直方圖即能求出；（2）由頻率分布直方圖即能求出平均數(shù)和中位數(shù)；（3）第1，2，3組的人數(shù)分別為20人，30人，從第1，2組中用分層抽樣的方法抽取5人，則第1，2組抽取的人數(shù)分別為2人，3人，再利用列舉法即可求出.【詳解】（1）由，得．（2）平均數(shù)為；歲；（3）第1，2，3組的人數(shù)分別為20人，30人，從第1，2組中用分層抽樣的方法抽取5人，則第1，2組抽取的人數(shù)分別為2人，3人，分別記為．設(shè)從5人中隨機(jī)抽取3人，為，共10個(gè)基本領(lǐng)件，從而第2組中抽到2人的概率．【點(diǎn)睛】本題考查應(yīng)用頻率分布直方圖求相關(guān)數(shù)據(jù)以及分層抽樣與概率計(jì)算，難度較易.20.某工廠生產(chǎn)某種商品的年固定成本為250萬(wàn)元，每生產(chǎn)千件需另投入成本為（萬(wàn)元）.當(dāng)年產(chǎn)量不足80千件時(shí)，（萬(wàn)元）；當(dāng)年產(chǎn)量不小于80千件時(shí)，（萬(wàn)元）.通過(guò)市場(chǎng)分析，每件售價(jià)為500元最為合適.（1）寫出年利潤(rùn)（萬(wàn)元）關(guān)于年產(chǎn)量（千件）的函數(shù)解析式；（2）該產(chǎn)品年產(chǎn)量為多少千件時(shí)，該廠所獲利潤(rùn)最大？【答案】（1）；（2）該產(chǎn)品年產(chǎn)量為100千件時(shí)，該廠所獲利潤(rùn)最大.【解析】分析】（1）對(duì)產(chǎn)量是否小于分類探討求出另投入的成本，求出總銷售額，減去固定成本和另投入的成本，即可得出利潤(rùn)函數(shù)解析式；（2）依據(jù)利潤(rùn)函數(shù)特征，利用二次函數(shù)的性質(zhì)和基本不等式分別求出分段函數(shù)的的最大值，對(duì)比即可求出結(jié)論.【詳解】（1）依題意，，（2）由（1）得當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，萬(wàn)元，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即萬(wàn)元所以利潤(rùn)的最大值為萬(wàn)元.

答：該產(chǎn)品年產(chǎn)量為100千件時(shí)，該廠所獲利潤(rùn)最大.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)應(yīng)用問(wèn)題，建立函數(shù)模型是解題的關(guān)鍵，要留意單位的統(tǒng)一，考查數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)計(jì)算實(shí)力，屬于中檔題.21.已知三棱柱的底面是正三角形，側(cè)面為菱形，且，平面平面，、分別是、的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求證：；（3）求與平面所成角的大小.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3）.【解析】【分析】（1）連接交于點(diǎn)，連接、，證明四邊形為平行四邊形，可得出，再利用線面平行的判定定理即可得出結(jié)論；（2）取的中點(diǎn)