高考數(shù)學(xué)講義雙曲線參考教案

雙曲線.參考教案

一、雙曲線的方程

22

【例1】雙曲線三-匕=1的焦距為（）

169

A.10B.幣C.2-J1D.5

【考點(diǎn)】雙曲線的方程

【難度】1星

【題型】選擇

【關(guān)鍵字】2010年，海淀一模

【解析】c2=a2+&2=25,故焦距2c=10.

【答案】A:

【例2】雙曲線方程為V-2y2=l,則它的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為

A.今,0B.g,0C.",o］D.（50）

\/\/\7

【考點(diǎn)】雙曲線的方程

【難度】1星

【題型】選擇

【關(guān)鍵字】2010年，安徽高考

【解析】

【答案】C:

22

【例3】雙曲線二一三二1的漸近線方程是（）

49

3294

A.y=±—xB.y=±—xC.y=±-xD.y=+—x

2349

【考點(diǎn)】雙曲線的方程

【難度】1星

【題型】選擇

［關(guān)鍵字］無(wú)

［解析】漸進(jìn)線方程為工-二=0.也即v-±2.v.

493

【答案】B.

【例4】動(dòng)點(diǎn)P與點(diǎn)『0,-5）、片（0,5）滿足「用一仍用=6,則點(diǎn)P的軌跡方程為（）

AVy2,

A.------------=1B?噎+與=1

916

X*2y222

C.——+工=1(>23)D.-土+匕=l(yW—3)

169169

【考點(diǎn)】雙曲線的方程

【難度】1星

【題型】選擇

【關(guān)鍵字】無(wú)

【解析】由題意知，軌跡方程為雙曲線的一部分，其中雙曲線的焦點(diǎn)為（0,±5）,在y軸上,

且2a=6,

從而知此雙曲線的方程為——看=1,又|P段＞|P用，故P點(diǎn)在該雙曲線的下半

支上，即yW—3,故選D.

【答案】D

22

【例5】設(shè)圓C的圓心在雙曲線=-匯=1（。＞0）的右焦點(diǎn)且與此雙曲線的漸近線相切,

a22

若圓C被直線/:x-gy=O截得的弦長(zhǎng)等于2,貝心的值為（）

A.V2B.6C.2D.3

【考點(diǎn)】雙曲線的方程

【難度】3星

【題型】選擇

【關(guān)鍵字】2010年，宣武二模

【解析】圓C的圓心。（,彷+2,0）,雙曲線的漸近線方程為后土毆=0,C到漸近線的

距離為d==0,故圓c方程（x-J〃2+2）2+y2=2.由/被圓C截得

y12+a2

的弦長(zhǎng)是2及圓。的半徑為友可知，圓心C到直線/的距離為1,即

42=1=〃=反

V1+3

【答案】

2222

【例6】已知橢圓二+二=1和雙曲線二一2下=1有公共的焦點(diǎn)，那么雙曲線的漸近線

3m-5川2m-3n2

方程是（）

A.x=±-^^-vB.y=±^^-xC.x=+—yD.y=±-x

2.24-4

【考點(diǎn)】雙曲線的方程

【難度】3星

【題型】選擇

【關(guān)鍵字】2002年，北京高考

22

【解析】依題意，有-5〃2=2加2+3萬(wàn),即加『=8〃2,即雙曲線方程為三=1,

16n23n2

故雙曲線的漸近線方程是一二-W=0,即y=±且x,選D.

16/3/4

【答案】D;

【例7】到兩定點(diǎn)耳（-3,0）.g（3,0）的距離之差的絕對(duì)值等于6的點(diǎn)M的軌跡（）

A.橢圓B.線段C.雙曲線D.兩條射線

【考點(diǎn)】雙曲線的方程

【難度】1星

【題型】選擇

【關(guān)鍵字】無(wú)

【解析】到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值小于兩個(gè)定點(diǎn)間距離的點(diǎn)的軌跡是雙曲線，等

于兩個(gè)定點(diǎn)間距離時(shí)，雙曲線退化成了兩條射線，分別以兩個(gè)定點(diǎn)為射線的兩

個(gè)端點(diǎn).

耳川-同川=忻周=6時(shí)，這三點(diǎn)共線，且點(diǎn)A在點(diǎn)尸一8之外；

也可通過(guò)求軌跡方程的辦法求出，此時(shí)要注意自變量的取值范圍.

【答案】D;

22

【例8】若keR,則“43”是“方程上——匚=1表示雙曲線”的（）

k-3k+3

A.充分不必要條件.B.必要不充分條件.

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【考點(diǎn)】雙曲線的方程

【難度】2星

【題型】選擇

【關(guān)鍵字】無(wú)

【解析】A.

【答案】A.

【例9】若雙曲線的漸近線方程為y=13x,它的一個(gè)焦點(diǎn)是（0,布），則雙曲線的方程是

【考點(diǎn)】雙曲線的方程

【難度】2星

【題型】填空

【關(guān)鍵字】無(wú)

2

【解析】--X2=1.

9

【答案】《一f=i

9

【例10】雙曲線C的左、右焦點(diǎn)耳，心與橢圓京+（=|的焦點(diǎn)相同，且離心率互為倒數(shù),

則雙曲線C的方程是；它的漸近線的方程是.

【考點(diǎn)】雙曲線的方程

【難度】2星

【題型】填空

【關(guān)鍵字】無(wú)

57

【解析】橢圓的焦點(diǎn)為（一5,0）,（5,0）,離心率為一；故雙曲線的離心率為一，由題意

75

V2v2C725

知可設(shè)雙曲線的方程為J一二=1,有e=±=L,c=5,于是〃=一，

a2h~a57

b=yjc2—a2=—V6,

7

雙曲線C的方程為:黑-黑=1

其漸近線方程為：y=±-x=±—\/6x.

a5

49丁49/_12

【答案】y=±—\[6x;

625-600-'

【例11］如圖，0A是雙曲線的實(shí)半軸，03是虛半軸，尸為焦點(diǎn)，且NR4O=30。，

SMKF=：（6-36），則設(shè)雙曲線方程是.

【考點(diǎn)】雙曲線的方程

【難度】3星

【題型】填空

【關(guān)鍵字】無(wú)

【解析】\OA\=a,\OB\=b,\AB\=\OF\=c,Nfi4O=30°,a=?,c=2b.

111D_/Q

S“BF=-\AB\-\AF\sm\50o=-c(c-a)=--2b-(2b-y/3b)=-^-b2.

由已知可得」(2-G)從=1(6-3^),

22

22

.?"2=3,從而/=9,故雙曲線方程為^-一匕=1.

93

【答案】--^=1

93

【例12］根據(jù)下列條件，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

d）c=V6,經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-5,2）,焦點(diǎn)在x軸上.

⑵與雙曲線上-二=1有相同焦點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（30,2）.

164

【考點(diǎn)】雙曲線的方程

【難度】2星

【題型】解答

【關(guān)鍵字】無(wú)

【解析】（D；焦點(diǎn)在x軸上，c=R,

...設(shè)所求雙曲線方程為：二一一J=1（其中0</<6）

a26-a2

???雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（一5,2）,???2與5一一土4方=1

ci~6—a

?，?/=5或/=30（舍去）

2

所求雙曲線方程是三-/=［.

5.

⑵法一:

22

--一二-=1的焦點(diǎn)為（±2石，0）,又點(diǎn)（3立，2）在雙曲線上,

164

故

=苗（30-2逐1+4-J（3應(yīng)+2后1+4=|（屈-2揚(yáng)-（同+2間=4百,

Aa=2^/3,c=2后，Z>=720-12=272,又焦點(diǎn)在x軸上,

故所求的雙曲線方程為工-乙=1.

128

法二：

22

設(shè)所求雙曲線方程為：—------=1（0<2<16）

16-24+4,7

?.7義曲線過(guò)點(diǎn)（3人，2）,18

16-24+2

,2=4或;1=一14（舍）

22

???所求雙曲線方程為三-乙=1.

128

【答案】⑴工一丁句；⑵三一二=i.

5128

【例13】已知下列雙曲線方程，求它們的焦點(diǎn)坐標(biāo)、頂點(diǎn)坐標(biāo)、漸近線方程，以及焦距、實(shí)

軸和虛軸長(zhǎng)，并在同一坐標(biāo)系中分別畫(huà)出這兩個(gè)雙曲線的圖象.

（1）3X2-4/=12⑵4y2-3V=12

【考點(diǎn)】雙曲線的方程

【難度】2星

【題型】解答

【關(guān)鍵字】無(wú)

22

【解析】⑴原方程可化為土-乙=1,故a=2,b=6,c=V4+3=>/7,且焦點(diǎn)在X軸上，

43

故它的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（±77,0）,頂點(diǎn)坐標(biāo)為（±2,0）,漸近線方程為

y=±-x=±——x,

a2

焦距為2c=2",實(shí)軸長(zhǎng)為2a=4,虛軸長(zhǎng)為給=2百；

22

⑵原方程可化為三=1,

34

故a=b-2,c=J7,焦點(diǎn)在y軸上，

故它的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0,±J7）,

頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0,±6）,漸近線方程為y=±@x=±^x,

b2

焦距為2c=2，7,實(shí)軸長(zhǎng)為2a=26，虛軸長(zhǎng)為23=4.

【答案】⑴焦點(diǎn)坐標(biāo)為（±J7,0）,頂點(diǎn)坐標(biāo)為（±2,0）,漸近線方程為y=土衛(wèi)x,

焦距為2c=26，實(shí)軸長(zhǎng)為2。=4,虛軸長(zhǎng)為?=26；

⑵焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0,土"），頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0,±途），漸近線方程為y=±1x,

焦距為2c=2萬(wàn)，實(shí)軸長(zhǎng)為2a=26，虛軸長(zhǎng)為2b=4.

22

【例14】已知雙曲線C：[-[=l（a>0">0）的實(shí)半軸長(zhǎng)與虛半軸長(zhǎng)的乘積為石，C的

兩個(gè)焦點(diǎn)為E,乙，直線/過(guò)K,且/與線段F、工的垂直平分線交點(diǎn)為P,線段PF]

與雙曲線交點(diǎn)為Q,tan/耳60=號(hào)，|PQ|:|Q4=2:1,求雙曲線的方程.

【考點(diǎn)】雙曲線的方程

【難度】3星

【題型】解答

【關(guān)鍵字】無(wú)

【解析】由題意知而=6①，

55

在RtAKOP中，|PE|=，r_=±c,進(jìn)而可得|QE|=2c,

COSQ26

又在Af；Q心中，由余弦定理得

*一22三5=工

用|=14c、

6)66

再由雙曲線的定義得隱含條件：

22

2a=\F,Q\-\F2Q\=-c-c=yla+b

66

由①②得。=1,匕=退，故所求的雙曲線方程是丁一仁二1.

3

【答案】丁-匕=1

3

【例15】已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，過(guò)右焦點(diǎn)F(2,0)作斜率為6的直線，交雙曲線于

M,N兩點(diǎn)，且|MN=4,求雙曲線方程.

【考點(diǎn)】雙曲線的方程

【難度】3星

【題型】解答

【關(guān)鍵字】無(wú)

22

【解析】設(shè)所求雙曲線方程為=-3=1(a>0">0),由右焦點(diǎn)為(2,0),知

arb~

22

c=2,b2=4-a2,則雙曲線方程為，設(shè)直線MN的方二--二=1程為：

a4-a

y=J|(x-2),代入雙曲線方程整理得：

(20-8/)/+12。、+5/-32a2=0.

1

設(shè)M(Xi，y)，，y2)，則%+%=20_&『，百々=20—84一

解得〃=1,b2=4-1=3.

2

故所求雙曲線方程為：x2-^=\.

3

2

【答案】X?-匕=1

3

【例16】已知點(diǎn)4(-5。)和網(wǎng)60),動(dòng)點(diǎn)C到A、3兩點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值為2,

點(diǎn)C的軌跡與直線y=x-2交于。、E兩點(diǎn)，⑴求軌跡C的方程；⑵求線段DE的

長(zhǎng).

【考點(diǎn)】雙曲線的方程

【難度】星

【題型】解答

【關(guān)鍵字】無(wú)

【解析】⑴根據(jù)雙曲線的定義可知C的軌跡為雙曲線，焦距為|AB|=2G,實(shí)軸長(zhǎng)為2,

2

其方程為標(biāo)準(zhǔn)雙曲線方程：x2-^=\.

2

y=x-2

(2)聯(lián)立，、y2J消去y得/+4%一6=0.

'"T"

設(shè)。￡(々，%),則用+w=~4,MW=-6.

所以|DE|=,1+12kl-々|=夜+W)2-4痞=4后.故線段DE的長(zhǎng)為4石.

【答案】⑴/-回=1;⑵線段0E的長(zhǎng)為4后.

2

【例17】已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，焦距為26，另一雙曲線與此橢圓有

公共焦點(diǎn)，且其實(shí)軸比橢圓的長(zhǎng)軸小8,兩曲線的離心率之比為3：7,求此橢圓、

雙曲線的方程.

【考點(diǎn)】雙曲線的方程

【難度】2星

【題型】解答

【關(guān)鍵字】無(wú)

【解析】⑴若橢圓與雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，可設(shè)它們方程分別為

2222

=+[=1(a>6>0),二=1(標(biāo)>0,，>0),依題意

arb~an~bn

c=cn=V13

a2=b2+c2Pi=7

222b=6

<arr=cn-bn"=?

八an=3

2〃n+8=2a

bn=2

*=3：7

aan

2222

?,?兩曲線方程分別為工+E=1,—-^-=1

493694

22

⑵若焦點(diǎn)在y軸上，則可設(shè)橢圓方程為與-三=l(a>b>0)

ab~

22

雙曲線方程為上行一二^=l(an>0,Z?n>0),依題意有

an"bn

c=cn=V13

2o>9Q=7

c~=a~-b

，2jb=6

<cn~=a~+h"

on=3

2an+8=2a

bn=2

c.cn

—?-------=3.7

.aan

2222

J橢圓方程為E+工=1,雙曲線方程為二—二=1

493694

2222

【答案】橢圓方程為三+上=1,橢圓方程為工-X=1

493694

2222

或橢圓方程為匕+三=1,雙曲線方程為21一工=]

493694

r22

【例18】設(shè)小工分別是雙曲線二-斗v=1的左、右焦點(diǎn)，若雙曲線上存在點(diǎn)A,使

a~b

/耳4瑪=90°且|4=；|=3|46|,則雙曲線的離心率等于（）

A.更B.巫C.巫D.布

222

【考點(diǎn)】雙曲線的離心率

【難度】2星

【題型】選擇

【關(guān)鍵字】無(wú)

【解析】由已知14Kb314gl及|4片|-|Ag|=2a,可得|4耳|=3a,|A行|=a,

又Nf；AK=90°,所以a2+（3a）2=（2cyne=￡=巫.

a2

【答案】B:

[15019]下列曲線中離心率為理的是（）

2

2

x2y

A.-----4-=

2

2

X2匕

C.-----6=

4

【考點(diǎn)】雙曲線的離心率

【難度】1星

【題型】選擇

【關(guān)鍵字】2009年，安徽高考

，18-瓜R/3,b13b21

【解析】由6=----,-f-9"—=—,即Id?—Z-=—,—=—.

2a22a22a22

【答案】B:

22

【例20】設(shè)。>1,則雙曲線二-一J=1的離心率e的取值范圍是（）

a（a+1）

A.（夜，2）B.（x/2,石）C.（2,5）D.（2,后）

【考點(diǎn)】雙曲線的離心率

【難度】2星

【題型】選擇

【關(guān)鍵字】2008年，全國(guó)高考

【解析】e=飛。+3+1）=+1）+i,而0<4<1,故&<e<也.

【答案】B:

【例21】設(shè)AABC是等腰三角形，ZABC=\2O0,則以4,3為焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)C的雙曲線的離

心率為（）

A.B.c.1+V2D.1+>/3

22

【考點(diǎn)】雙曲線的離心率

【難度】3星

【題型】選擇

【關(guān)鍵字】2008年，全國(guó)高考

【解析】設(shè)AB=3C=2,則解三角形得AC=2G,

由題設(shè)，2c=|A8|=2,即c=l,2a=|lAC|-1BC||=2x/3-2即。=百-1,

因此e=￡==J—1+V3

aV3-12

【答案］B；

【例22】已知雙曲線捺-總=1（a>0）的中心在原點(diǎn)，右焦點(diǎn)與拋物線V=16x的焦點(diǎn)重

合，則該雙曲線的離心率等于（）

A「B.返C.3D.晅

55547

【考點(diǎn)】雙曲線的離心率

【難度】2星

【題型】選擇

【關(guān)鍵字】2009年,廣州模擬

【解析】拋物線的焦點(diǎn)為（4,0）,故a?+9=16="=7,

44

從而雙曲線的離心率e=萬(wàn)為反

【答案】D:

【例23】已知點(diǎn)耳、F,分別是雙曲線［-上=1的左、右焦點(diǎn)，過(guò)寫(xiě)且垂直于x軸的直線

ab~

與雙曲線交于A、B兩點(diǎn)、,若AAB行為銳角三角形，則該雙曲線的離心率e的取值

范圍是（）

A.（1,+00）B.（1,右）C.（1,2）D.（1,1+72）

【考點(diǎn)】雙曲線的離心率

【難度】3星

【題型】選擇

【關(guān)鍵字】2009年，華師大附中高三測(cè)試

22

【解析】因?yàn)锳ABg為等腰三角形，4月=86，故只需/AK耳<45。即可.由二-與=1得

ab

A2A2

\yA\=—>在RlAAE瑪中,只需|A用=跖|=￡<內(nèi)國(guó)=2c即可?從而

Ci-=又e>l,解得l<e<l+夜.

2ac2e

【答案】D:

【例24】設(shè)雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為F;虛軸的一個(gè)端點(diǎn)為8,如果直線FB與該雙曲線的一條

漸近線垂直，那么此雙曲線的離心率為（）

c〉+1D.3

A.y/2B.G

22

【考點(diǎn)】雙曲線的離心率

【難度】2星

【題型】選擇

【關(guān)鍵字】2010年，遼寧高考

【解析】D：

【答案】D;

22

【例25】已知雙曲線三-2=1（a>0力>0）的左右焦點(diǎn)分別為匕，￡,點(diǎn)A在雙曲線上,

ab

且軸，若制=g，則雙曲線的離心率等于（

)

A.2B.3C.V2D.

【考點(diǎn)】雙曲線的離心率

【難度】3星

【題型】選擇

【關(guān)鍵字】2010年，東城一模

|耳6|2=4/=|前|2-|45|2,結(jié)合耦=；,可得|4號(hào)=3.」4/"=1C,

【解析】

S3r

于是2a=|4耳|一|A居|=—c一一c=cn—=2,即雙曲線的離心率為2.

22a

【答案】A;

【例26]如圖，在等腰梯形A8CD中，AB〃C。，且加=0）.設(shè)=e,，e[o,gj,

以A,8為焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)。的雙曲線的離心率為q,以C,/）為焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)力的橢

圓的離心率為e2,則（）

A.隨著角度夕的增大，片增大，e?為定值

B.隨著角度6的增大，q減小，為定值

C.隨著角度。的增大，q增大，e?也增大

D.隨著角度6的增大，ej咸小，q.也減小

【考點(diǎn)】雙曲線的離心率

【難度】3星

【題型】選擇

【關(guān)鍵字】2010年，西城一模

【解析】

CD2-2cos/9

~BD-AD，5-4cos6-1

一方面，由①有q隨著。的增大而減小:

2(2-2cos0)_4-4cos0_]

另一方面,①x②有e{e2為定值.

(5-4cos6)-14-4cos0

因此選B.

【答案】K

【例27】直線x=，過(guò)雙曲線二-4=1(a>0">0)的右焦點(diǎn)且與雙曲線的兩條漸近線分

ab

別交于A,B兩點(diǎn),若原點(diǎn)在以AB為直徑的圓外，則雙曲線離心率的取值范圍

是.

【考點(diǎn)】雙曲線的離心率

【難度】3星

【題型】填空

【關(guān)鍵字】2010年，東城二模

【解析】人，，gj,要使原點(diǎn)在以A3為直徑的圓外，只需原點(diǎn)到直線A8

的距離1大于半徑鄉(xiāng)即可，于是6<a,e=:=Jl+(￡|，故e《曠.

【答案】(1,72)：

【例28】已知以雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)及虛軸的兩個(gè)端點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形中，有一個(gè)內(nèi)角

為60。，則雙曲線C的離心率為.

【考點(diǎn)】雙曲線的離心率

【難度】2星

【題型】填空

【關(guān)鍵字】2009年，湖南高考

【解析】連結(jié)虛軸一個(gè)端點(diǎn)、一個(gè)焦點(diǎn)及原點(diǎn)的三角形，由條件知，這個(gè)三角形的兩邊直角

分別是b,c,且一個(gè)內(nèi)角是30°,即得2=tan30°,所以c=J5〃，a=41b,離心

c

率e，=".

a2

【答案】誣；

2

【例29】以雙曲線兩焦點(diǎn)為直徑端點(diǎn)的圓與雙曲線的四個(gè)交點(diǎn)連同雙曲線的焦點(diǎn)恰好構(gòu)成

一個(gè)正六邊形，則該雙曲線的離心率為.

【考點(diǎn)】雙曲線的離心率

【難度】2星

【題型】填空

【關(guān)鍵字】無(wú)

【解析】數(shù)形結(jié)合，如圖，設(shè)雙曲線方程為

/b2

V,

(cG1

△O即為正三角形，點(diǎn)E一,—C代入雙曲線方程,

22

有笠=1,化簡(jiǎn)整理可得

-8(￡)+4=0,解得e=￡=V5+].

【考點(diǎn)】雙曲線的離心率

【答案】V3+1;

22

【例30】過(guò)雙曲線C:三上=1(“>0,。>0)的一個(gè)焦點(diǎn)作圓X2+廠=/的兩條切線，切

?2b2

點(diǎn)分別為A,B.若408=120。(。是坐標(biāo)原點(diǎn))，則雙曲線C的離心率

為.

【考點(diǎn)】雙曲線的離心率

【難度】3星

【題型】填空

【關(guān)鍵字】2009年，湖南高考

【解析】由對(duì)稱性知，不妨設(shè)所過(guò)的點(diǎn)為右焦點(diǎn),

22

【例31】已知雙曲線%=l(a>0,b>0)的左，右焦點(diǎn)分別為白，居，點(diǎn)P在雙曲線的

ab~

右支上，且|「片|=4|「巴|,則此雙曲線的離心率e的最大值為.

【考點(diǎn)】雙曲線的離心率

【難度】3星

【題型】填空

【關(guān)鍵字】無(wú)

【解析】由定義知|PE|—|PBI=2a,又已知|「耳|=4|尸6|,解得|P用=*?,\PF2\=-a,

64242A2

—a+-a-4c］7Q

在A/線心中，由余弦定理，得COSNE/Y；=-2——-^―----=---e2,

cK288

2?一。?一。

33

要求e的最大值，即求cosN^PE的最小值，

當(dāng)P為實(shí)軸的右端點(diǎn)時(shí)，cosNFHE=-l,解得e=9,即e的最大值為工.

33

【答案】-

3

三、雙曲線的幾何性質(zhì)

、2

【例32】雙曲線土-二=1的焦點(diǎn)到漸近線的距離為()

412

A.2y/3B.2C.y/3D.1

【考點(diǎn)】雙曲線的幾何性質(zhì)

【難度】1星

【題型】選擇

【關(guān)鍵字】2009年，海南高考

［解析】雙曲線的焦點(diǎn)(4,0)到漸近線y=6的距離為d=14y^~0l=2百.

【答案】A;

【例33】設(shè)尸是雙曲線￡一片=1上一點(diǎn)，雙曲線的一條漸近線方程為3x-2y=0,小F2

a9

分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，若|PEI=3,則|刊"=()

A.1或5B.6C.7D.9

【考點(diǎn)】雙曲線的幾何性質(zhì)

【難度】2星

【題型】選擇

【關(guān)鍵字】無(wú)

【解析】y=-x=-x^>a=2,忸用一歸用|=2a=4n|尸周=7.

【答案】C:

【例34】已知點(diǎn)P在雙曲線燈-丫2“2(。>0)的右支上(「與&不重合)，A，4分別

為雙曲線的左、右頂點(diǎn)，且幺尸4=2NPA4,則NPA4=()

A.30°B.27.5°C.25°D.22.5°

【考點(diǎn)】雙曲線的幾何性質(zhì)

【難度】3星

【題型】選擇

【關(guān)鍵字】無(wú)

［解析】法一：直接法

設(shè)P(x,y),不妨取y>0,則有x2-y2=42,

亍己NPAA2=。，則與必=2。，

|叫=J(x+a)2+y=yj2x(x+a),

x+a

|啊=yj(x-a)2+y2=y]2x(x-a),COS0=

J2x(x+a)

在AR4.4中，由正弦定理知：四上邑豈^/匹丁“一..

sin0sin2012x(x-a)

于是有j+a=a,解得：x=?a,于是y=a,

J2Mx+〃)y]2x(x-a)

cos20-2cos:0-1=2x—產(chǎn)~^-；=-------1-,從而?=巴.

2V2a.(72-1>28

法二：利用點(diǎn)評(píng)中性質(zhì)一與二

由性質(zhì)一知，如圖，AB_Lx軸，則8,P,4三點(diǎn)共線，

?i己NPA4=。，

則NAjA=2,，=ZAA,A,=36?,

7T7T

于是ZAAyA,+Z-AAyA=4。=—=>〃=—.

28

法三：利用點(diǎn)評(píng)中性質(zhì)三

A2

記N尸442=。，kPAi=tan0,kPAi=tan30,由性質(zhì)三知：tanatan36=-y=1,

又夕3(9e^O,|j,tan36>=cot(9=tan]；-(9),古攵36>=]—6n6=1.

【答案】D;

【例35】設(shè)片，鳥(niǎo)為雙曲線一--與=1(0<。<工">0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)月的直線交雙曲

sin0b2

線的同支于A,8兩點(diǎn)，如果|AB|=加，則的周長(zhǎng)的最大值是().

A.4—7/7B.4C.4+mD.4+2m

【考點(diǎn)】雙曲線的幾何性質(zhì)

【難度】2星

【題型】選擇

【關(guān)鍵字】無(wú)

【解析】由雙曲線的定義有l(wèi)A^I-IA4|=2sin6>,|Bg|-|B/"=2sin，，于是AA/^B的周長(zhǎng)

為|Ag|+||+加=2sin6+|A耳|+2sin6+1Ag|+機(jī)=4sin6+2小，最大值當(dāng)

，=工時(shí)取得，最大值為4+2，”，選D.

2

【答案】D.

【例36】若點(diǎn)。和點(diǎn)尸(-2,0)分別為雙曲線提-爐=1伍>0)的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為

雙曲線右支上的任意一點(diǎn)，則OP?五P的取值范圍為()

A.13-2\/3>+8)B.[3+2\/^,+8)

7、

C.----,+8|D.一，+8

L4J4

【考點(diǎn)】雙曲線的幾何性質(zhì)

【難度】3星

【題型】選擇

【關(guān)鍵字】2010年，福建高考

【答案】B：

2

【例37】已知雙曲線產(chǎn)v--=1的左頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為P為雙曲線右支上一點(diǎn)，

則P\■PF2最小值為.

【考點(diǎn)】雙曲線的幾何性質(zhì)

【難度】2星

【題型】填空

【關(guān)鍵字】2010年，西城二模

【解析】4(一1,0),1(2,0),設(shè)PQ,y)(x2l),

2

2

PA,PF2=(-1-X,y)(2-x,y)=x^-x-2+y,又產(chǎn)一《=],故丫2=3(f_|),

于是24,-尸6=4x2-x-5=4(x-J1-5--^,當(dāng)x=l時(shí)，取到最小值-2.

【答案】—2;

【例38]如圖，已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為耳，用，過(guò)乙的直線與左支交于A,8兩點(diǎn),

若|AB|=5且實(shí)軸長(zhǎng)為8,則△A8E的周長(zhǎng)為.

【考點(diǎn)】雙曲線的幾何性質(zhì)

【難度】3星

【題型】填空

【關(guān)鍵字】無(wú)

【解析】由雙曲線的定義知：|&川-|耳A|=2o,\F2B\-\F}B\=2a,

兩式相加得：\F2A\+\EiB\-\FlA\-\FlB\=4a,

又h叫=5=|耳川+|先例，2a=8,

故|64|+|63|=4〃+|耳川+|耳例=16+5=21,

故AABg的周長(zhǎng)為21+5=26.

【答案】26

【例39]若直線/過(guò)點(diǎn)(3,0)與雙曲線4/_9)，2=36只有一個(gè)公共點(diǎn)，則這樣的直線有

_______條.

【考點(diǎn)】雙曲線的幾何性質(zhì)

【難度】2星

【題型】填空

【關(guān)鍵字】無(wú)

【解析】法一(聯(lián)立方程組)

點(diǎn)M(3,0)在雙曲線上，

若直線/斜率不存在，則方程為x=3,代入知此時(shí)y=0,此時(shí)只有一個(gè)交點(diǎn)”，

滿足題意；

若直線/的斜率存在，設(shè)/:y=Z(x-3),聯(lián)立卜'二“、二3),

[4r-9y=36

消去y得：(4-9/)/+54/x-9(4+9/)=0,

直線與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)上面的方程有唯一解，

4—9^2=0,即人=±—時(shí)，顯然滿足；

3

4一9必*0時(shí)，A=(54*2)2+36(4-9J12)(4+9A:2)=36x4x4>0,故此時(shí)不滿足.

故這樣的直線有三條，分別為工=3和曠=±：(》—3).

法二(圖象法)

雙曲線的圖象如右，點(diǎn)用為雙曲線的左頂點(diǎn)，因?yàn)殡p曲線與漸近線越來(lái)越趨近，

結(jié)合圖象知，當(dāng)直線/與x軸垂直，或者與兩條漸近線平行時(shí)，直線與雙曲線只有

一個(gè)交點(diǎn)，

共有三條直線滿足情況.

【答案】3

)2

【例40】已知F是雙曲線三-匯=1的左焦點(diǎn)，A。，4),P是雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)，則

412''

|PF|+|PA|的最小值為.

【考點(diǎn)】雙曲線的幾何性質(zhì)

【難度】3星

【題型】填空

【關(guān)鍵字】2009年，遼寧高考

【解析】F(-4,0),記右焦點(diǎn)為尸'(4,0),因?yàn)槭陔p曲線右支上，

故\PF\-\PF'\=2a=4,于是|PF|+|網(wǎng)=\PF'\+\PA\+4,故要求|PFZ|+歸川的最小

值.顯然當(dāng)P點(diǎn)為線段AF'與雙曲線的交點(diǎn)時(shí)有最小值

|AF'\="(1-4)2+(0-4)2=5.

【答案】9:

【例41】尸是雙曲線(一耳=1的右支上一點(diǎn)，MvN分別是圓C1:(x+5f+y2=4和

916

2

C2:(x-5)+/=