2023-2024學(xué)年浙江省寧波市高一年級(jí)下冊(cè)冊(cè)期中數(shù)學(xué)學(xué)情檢測(cè)模擬試題合集2套（含解析）

2023-2024學(xué)年浙江省寧波市高一下冊(cè)期中數(shù)學(xué)學(xué)情檢測(cè)模擬試題

一、單選題

1.已知集合2={-2,-1,0,1,2},8=k|夕=6},則/口8=（）

A.{-2,-1,0,1,2}B.{-1,0,1,2}C.{0,1,2}D.{1,2}

【正確答案】C

【分析】利用集合交集的運(yùn)算法則即可.

【詳解】5=y=y[x^=[J<\x>0）；

.?.NcB={0,l,2}.

故選：C.

2.設(shè)a,夕為兩個(gè)不同的平面，/，加為兩條不同的直線，且/ua,〃?u。，貝！]“a〃月”是“/〃機(jī)”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【正確答案】D

【分析】根據(jù)線面位置關(guān)系即可判斷.

【詳解】①若a〃6，&lua,mu0,

/,加可能平行，可能垂直，可能異面，

故"a〃6，，是“/Hm”的不充分條件；

②若/Hm,

%?可能平行，可能相交，可能垂直.

故則“a〃夕”是“/〃機(jī)”的既不充分也不必要條件.

故選:D.

3.已知圓錐的表面積為27兀，且它的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，則這個(gè)圓錐的底面半徑為（）

A.3B.3也C.3A/3D.376

【正確答案】A

【分析】利用扇形的弧長(zhǎng)和面積公式即可.

【詳解】設(shè)底面半徑為r,側(cè)面展開是半圓，圓心角為兀，所以母線長(zhǎng)/=犯=2/

71

則圓錐的表面積：27兀=兀力+兀/=3兀/,

r=3.

故選：A.

4.已知向量之、石滿足問=1,W=2,向量"與B的夾角為e，則"在B方向上的投影向量為（）

A.B%B.巫C.qD.①U

4444

【正確答案】C

【分析】利用投影向量的定義可求得"在B方向上的投影向量.

【詳解】因?yàn)橄蛄课軧滿足忖=1,W=2,向量Z與B的夾角為聿，

所以，z在6方向上的投影向量為|。卜。51付=7-6.

故選：C.

3]

5.右。=[,b=4§，。=1。843,則（）

A.a>b>cB.b>c>a

C.c>b>aD.b>a>c

【正確答案】B

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷即可.

【詳解】因?yàn)?=#>4°=1，c=log43<log44=l,

又電3=；唾23=；104（32屋；抽（2]=；抽[2"=；*4噫2]=[,

乙乙乙乙\J乙\乙1I

3

所以一所以6>c>q.

4

故選：B

1sin2a+2cos2\—+a\

6.已知sina—cosa=—,貝ij___________（2J的值為（）

l-tan（兀一a）

24241818

A.——B.——C.——D.——

25252525

【正確答案】A

1?4

【分析】根據(jù)同角關(guān)系平方可得卜2sinacosa=^n2sinacosa二二，由二倍角公式以及誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)

即可代入求值.

【詳解】由sina-cosa=巳平方得l-2sinacosa=124

——=>2sinacosa二——

2525

sin2a+2cos2\—+a

____________12.2sinacosa+2sin2a_2sina(cosa+sina).21

=2sinacos。=-，

l—tan(兀一a)1+tanacos。+sina2f

cos。

故選：A

7.龍洗是我國(guó)著名的文物之一，因盆內(nèi)有龍紋故稱龍洗，為古代皇官盥洗用具，其盆體可以近似看作

一個(gè)圓臺(tái).現(xiàn)有一龍洗盆高15cm,盆口直徑36cm,盆底直徑18cm.現(xiàn)往盆內(nèi)倒入水，當(dāng)水深5cm時(shí),

盆內(nèi)水的體積近似為()

1665萬1835〃2205%3

--------cm3C.cm33D.---------cm

3333

【正確答案】B

【分析】根據(jù)軸截面和相似關(guān)系，以及圓臺(tái)體積即可求解.

【詳解】如圖所示，畫出圓臺(tái)的立體圖形和軸截面平面圖形，并延長(zhǎng)EC與FD于點(diǎn)G.

根據(jù)題意，4B=18cm,CD=9cm,AC=15cm,EC=5cm,

設(shè)CG=xcm,EF=ycm,

10_xy_x+5

所以

20x+15’9x

解得x=15,》=12,

所以K=1(K-122+7I-92+^-12-9)-5=

故選:B.

，旭,則函數(shù)V=/(/(x))+w?eR)零點(diǎn)個(gè)數(shù)最多是

8.已知函數(shù)/(x)=

0,x=l

A.10B.12C.14D.16

【正確答案】B

【分析】畫出/⑴的圖像，設(shè)/(》)=，，首先討論〃。+"?=0的根的情況，再分析f(x)=l根的情況

即可分析出V=/(/(x))+7”根的情況，即可得出答案.

設(shè)/(x)=t,由圖像可知此0,則/⑺=-機(jī),

①當(dāng)機(jī)＞0時(shí)，即/(。=一加＜0,沒有根；

②當(dāng)機(jī)=0時(shí)，即/(。=0,止匕時(shí)有3個(gè)根，=0,t2=l,q=2,

當(dāng)"0時(shí)，即/(x)=0,有3個(gè)根，

當(dāng)/=1時(shí)，即〃x)=l,有4個(gè)根，

當(dāng)1=2時(shí)，即/(x)=2,有4個(gè)根，

故加=0時(shí)，/(。=-機(jī)=0有11個(gè)根;

③當(dāng)加<0時(shí)，f(t)=-m>0,止匕時(shí)有三個(gè)根，0<Z4<l<?5<2<Z6,

當(dāng)/=。€(0,1)時(shí)，即〃"=。€(0,1),有4個(gè)根,

當(dāng)仁屯€(1,2)時(shí),即/(x)=4e(L2),有4個(gè)根,

當(dāng)/=%€(2,+00)時(shí)，即/(x)=f6e(2,+co),有4個(gè)根,

故皿<0時(shí)，［?)=-冽有12個(gè)根；

綜上所述，〃/1))=-機(jī)最多有12個(gè)根，

故選：B.

二、多選題

9.若z(l+i)=2i,其中i為虛數(shù)單位，貝U()

A.|-|=1B.z2=2i

C.z的共輾復(fù)數(shù)為l+iD.z的實(shí)部為1

【正確答案】BD

【分析】先求出z,再去計(jì)算選項(xiàng)是否正確.

【詳解】因z(l+i)=2i,

所以

1+i(l+i)(l-i)

A選項(xiàng)：|z|=Vl2+12=V2,故A錯(cuò)誤；

B選項(xiàng):z2=(l+i)2=l+2i+i2=2i,故B正確;

C選項(xiàng)：z的共軟復(fù)數(shù)為if,故C錯(cuò)誤；

D選項(xiàng)：z=l+i,實(shí)部為1,故D正確.

故選：BD.

10.“3C的內(nèi)角4民C的對(duì)邊分別為下列說法正確的是(

A.若/=60。,0=百則“3C外接圓的半徑等于1

B.若cos2(=『，則此三角形為直角三角形

22c

JT

C.若a=3,b=4,B=7,則解此三角形必有兩解

6

D.若是銳角三角形，則siib4+siaS>cos/+cosB

【正確答案】ABD

【分析】根據(jù)正弦定理，二倍角的余弦公式，兩角和的正弦公式，三角形個(gè)數(shù)的判斷方法，以及和差

化積公式和輔助角公式即可求解.

【詳解】根據(jù)正弦定理，

cnaA/3C

2R=------=^—=2

sin4V3，

所以7?=1,

則“BC外接圓的半徑等于1,

故選項(xiàng)A正確；

1+cos/b+c2R-sin5+2A-sinCsin5+sinC

2-2c-2-27?-sinC—2sinC'

所以2sinC+2cosZsinC=2sin5+2sinC,

所以cosAsinC=sinB=sin(Z+C)=sinAcosC+cosAsinCf

所以sin/cosC=0,

在三角形中sin4>0,

所以cosC=0,

所以C=],

則此三角形為直角三角形，

故選項(xiàng)B正確；

TT

因?yàn)椤?3,6=4,5=:，

6

3

所以qsin5=—，

2

所以

則解此三角形只有一解，

故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

因?yàn)槭卿J角三角形，

所以0<C<5，所以巴<么+8<萬，所以0〈工-8〈四.一批〔四一8]<sinN,即cos8<sin/,同理

222212J

cos4<sin8

則siiL4+sinB>cosA+cosB,故選項(xiàng)D正確.

故選：ABD.

11.設(shè)a>0,b>0,且6H-----=1,貝ll()

2a

A.0<Z?<1B.a+b>\

C.2b的最小值為0D.Q+1的最小值為+

b2

【正確答案】ACD

【分析】根據(jù)題意，由條件結(jié)合基本不等式，對(duì)選項(xiàng)逐一判斷，即可得到結(jié)果.

【詳解】對(duì)于A,因?yàn)椤ā?且bn-----=1,貝!J—〉0,6=1------<1,且b>0,所以0<6<1,

2a2a2a

所以A正確；

對(duì)于B,假設(shè)。+6=1,且6+'-=1,貝IJ可得.=?1力=1-變，符合題意，

2a22

即a+b=l成立，所以B錯(cuò)誤；

當(dāng)且僅當(dāng)。=_1時(shí)，即。=1取等號(hào)，此時(shí)6=1一_L=L,所以c正確；

a2a2

對(duì)于D'"+：=1+4"曰=仍+$1+\"^^+。靈+之

71

ub=-----A/2+I

當(dāng)且僅當(dāng)酒=27時(shí)，取等號(hào)，即<,"J解得va=--------

2,所以D正確;

2ab

6+-=1b=2-y/2

故選:ACD

12.阿基米德多面體是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面的多面體組成，目前發(fā)現(xiàn)了共有13個(gè)這種幾何

體，而截角四面體就是其中的一種，它是由一個(gè)正四面體分別沿每條棱的三等分點(diǎn)截去四個(gè)小正四面

體而得，已知一截角四面體的棱長(zhǎng)為2.下列說法正確的是()

A.每一個(gè)截角四面體共有18條棱，12個(gè)頂點(diǎn)

B.該截角四面體的表面積為28百

C.該截角四面體的體積為15五

D.該截角四面體的外接球半徑為叵

2

【正確答案】ABD

【分析】根據(jù)正四面體的體積和表面積即可求解截角四面體表面積和體積，可判斷BC,由截角四面體

的形成過程可判斷A,根據(jù)正四面體的性質(zhì)結(jié)合截角四面體的性質(zhì)即可由勾股定理求解球半徑.

【詳解】如圖，每截去一個(gè)角，就增加了3條棱，2個(gè)頂點(diǎn)，所以截角四面體的棱數(shù)和頂點(diǎn)數(shù)分別為

6+3x4=18,4+2x4=12,A正確；

截角四面體表面積由4個(gè)等邊三角形和4個(gè)正六邊形構(gòu)成，所以表面積為

S=4x—x4+6x—X4X4=28V3-B正確；

44

截角四面體體積由棱長(zhǎng)為6的正四面體體積減去棱長(zhǎng)為2的4個(gè)正四面體的體積和，口是正六角形

ABCDEF的中心，小正四面體的高產(chǎn)a2=’尸“2-MV》b-——]=—,PO1=3POi2a,

\(2sin60°J3

所以/=-x^-x36x?V6-4x—x^-x4x^^-=—V2,C錯(cuò)；

343433

Q是正三角形"NG的中心，由正四面體的對(duì)稱性知截角四面體的外接球

的球心。在原正四面體的高上，設(shè)球。的半徑為在國(guó)中,

R2=4+O*在RQOQG中,

12

R=O2G+^--ool=匕撞,所以oq=",

)33J2

故R二叵,D正確.

2

故選：ABD

三、填空題

13.如圖是用斜二測(cè)畫法畫出的水平放置的正三角形48c的直觀圖，其中04=百，則三角形4B'C'

的面積為

【正確答案】V6

【分析】將圖還原成正三角形，求出其面積，再根據(jù)面積比即可得到答案.

【詳解】如圖OW=百，所以3=26,且為正三角形，則/B=*-=4,

cos30°

因此在△HB'C中，B'C'=4,

,,,,

?e,S“'BC-xO^x5Cxsin45°=-xV3x4x—=V6?

222

故答案為.指

14.若直線“不平行平面c,則以下命題成立的是.

①a內(nèi)的所有直線都與。異面；

②a內(nèi)不存在與。平行的直線；

③a內(nèi)直線都與。相交；

④直線。與平面a有公共點(diǎn).

【正確答案】④

【分析】由題意得到直線。在平面C內(nèi)或直線。與平。交，判斷出①②③錯(cuò)誤，④正確.

【詳解】因?yàn)橹本€。不平行平面所以直線。與平面。的位置關(guān)系是：直線。在平面。內(nèi)或直線。與

平a交，則a內(nèi)的不是所有直線都與。異面

若直線。在平面￡內(nèi)，存在與。平行的直線，①②③錯(cuò)誤，④正確.

故④

15.多面體/BCD的各頂點(diǎn)在半徑為2的球面上，是矩形，AB=3,AD=2,則多面體體積

的最大值為.

【正確答案】V3+4/4+V3

【分析】設(shè)外接球的球心為O,矩形/BCD的外接圓的圓心為。1，當(dāng)平面4BC。，多面體體積

的最大，計(jì)算出。Q,由棱錐的體積公式求解即可.

【詳解】設(shè)外接球的球心為。，矩形/BCD的外接圓的圓心為。1，即直線/GAD的交點(diǎn),

22

則OXB=1X72+3=",

??.UETBCD最大,則￡到平面/8CD的距離最長(zhǎng)，此時(shí)在一條直線上,

即平面/BCD,則OQ=,.=*

[(h、

.?.多面體體積的最大值4ax=§x2x3x2+—=6+4.

故答案為.4+6

_,_.ABAC1

16.如圖，設(shè)“BC中的角43,C所對(duì)的邊是a,6,c,已知=1,NC=3,DC=38。，網(wǎng),網(wǎng)=5,

1―?4—?

點(diǎn)及廠分別為邊454C上的動(dòng)點(diǎn)，線段￡尸交4。于點(diǎn)G,且S“防二：S“"，若46=有4。，貝I)

611

M=-

【正確答案】叵

6

【分析】由向量的線性運(yùn)算結(jié)合三點(diǎn)共線可得77彳3+丁1=1，由三角形的面積滿足的關(guān)系可得加=1)，

1121146

聯(lián)立即可求解2=(,〃=g,由向量的模長(zhǎng)公式即可求解.

【詳解】設(shè)荏=AAB,AF=LIAC-DC=3赤,AD=-AB+-AC,

44

―.4—?4(3—?1—3—?1―?3―?1

:.AG=—AD=—\-AB+-AC\=—AB+—AC=——AE+——

11144J11111U

31

Q￡,G,廠三點(diǎn)共線，，11rHzL...①

又用位=；S"c，，(x|/即/司siiL4=：x〈xMM|NqsiiL4,；.4〃=；…②,

6202o

由①___②得4=31或3（舍去），故〃=:1,

同d&就T次;等

（或者在△/昉中可以用余弦定理求出?而?.）

故垣

6

四、解答題

17.目知向量扇理滿足同=4,『=（1,2）.

⑴若1//不，求向量3的坐標(biāo)；

（2）若,+求向量值與向量5夾角的余弦值.

【分析】（1）根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示法求解;

（2）根據(jù)向量垂直，由數(shù)量積為0求解.

【詳解】⑴-.-a/Zb>3=(1,2),設(shè)a=V=(4,22),

又同=4,r.V/?-2+4/2=4,2=±~~，

’4石875或力一警,一號(hào)

/.a=

甘，丁I55J

(2)(〃+b)_L6,(a+b^'b=0,

即公.3+廣二。,「JaMcos卜?+5=0,

/-7\-5V5

cos(-------尸—-------

'/4x64

即向量Z與向量B夾角的余弦值為等.

18.已知“8C內(nèi)角48,C的對(duì)邊分別為db,c,設(shè)(sinfi-sinC)2=sin2/-sirL8sinC.

⑴求A；

(2)若6+c=6,A42c的面積為孚，求。的值.

【正確答案】(1)/=；

Q)a=3亞

【分析】(1)根據(jù)題意，由正弦定理的邊角互化進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后結(jié)合余弦定理即可得到結(jié)果;

(2)根據(jù)題意，由三角形的面積公式可得慶=6,然后結(jié)合余弦定理即可得到結(jié)果；

【詳解】(1)化簡(jiǎn)得：sin25-2sin5sinC+sin2C=sin2^4-sin5sinC,

整理得：sin25+sin2C-sin?/=sin5sinC,

由正弦定理可推得：b2+c2-a2=bc,

,/十0?_Q2],,71

cosA=----------=—，因止匕4=彳

2bc23

Jcsc.爪述

(2)?：S-Bc

2222

/.be=6

va2=b2+c2-2bccosA=(b+c)2—3be=36—18=18

a=3>/2

19.如圖，在正方體/BCD-/4G。中=2,瓦/分別是棱44CG的中點(diǎn)，設(shè)尸是線段42上一

動(dòng)點(diǎn).

⑴證明：PE〃平面BDF；

（2）求三棱錐P-BDF的體積.

【正確答案】（1）證明見解析

（2）J

【分析】（1）結(jié)合正方體的性質(zhì)，利用線面平行的判定及性質(zhì)即可證明；

（2）利用等體積法求解三棱錐體積即可.

【詳解】⑴連結(jié)與E,DXE,

因?yàn)檎襟w4G。，所以且

所以四邊形92Q為平行四邊形，

所以BQ"/BD,"Di<Z平面ADF,BDu平面BDF,

所以3自〃平面AD尸，

取3月中點(diǎn)。，連結(jié)AQ,QF,B、E,RE,

因?yàn)镋,尸是四和cq的中點(diǎn)，

所以。尸〃BC,QF=BC,

且3C〃4D,BC=AD,

所以。尸〃ND,^QF=AD,

所以四邊形AQFD為平行四邊形,

所以/0〃。下，SLAQ=DF,

因?yàn)?￡〃4。，且

所以四邊形/E呂。為平行四邊形，

所以NQ〃E8i，^AQ=EB1,

所以EQ〃。尸，石耳仁平面瓦）尸，。尸u平面8。下，

所以￡耳〃平面BDF,EBXcBQ[=4，EB}u平面BlDlE,BlDlu平面BlDiE,

所以平面〃平面3。尸，EPu平面所以EP〃平面ADF,

(2)因?yàn)檎襟wZ5CD-4月GA，

所以點(diǎn)尸到平面仍RD的距離與點(diǎn)。到平面防刀刀的距離相等,

所以三棱錐尸-2。尸的高6===

22

所以^p-BDF~，F(xiàn)-BDP=耳義S&BDPX〃=§X-x2V2x2xV2=-.

23

20.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量。M=(2sin2x,-l),ON=(1,1-2?sinxcosx),設(shè)/(無)=OW-ON.

⑴求f(x)單調(diào)遞增區(qū)間;

A

(2)在銳角三角形。8C中，內(nèi)角48,C的對(duì)邊分別為a,6,c,己知/1，求sirU+sinB+sinC的取

值范圍.

ITTT

【正確答案】⑴-k+E，w+Ekz

3373

(2)siib4+sinB+sinCe----1—，-----

222

【分析】(1)由/(工)=的?兩結(jié)合降幕公式，二倍角公式和輔助角公式化簡(jiǎn)，再根據(jù)正弦函數(shù)的圖

像與性質(zhì)即可求解;

A及的范圍得出根據(jù)將問題化為弓+

(2)首先由/=1AA,sin8=sin(4+C)sinC+1+sinC,

2

根據(jù)兩角和的正弦公式及輔助角公式化簡(jiǎn)，再求出。的范圍，根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)求解值域即可.

【詳解】(1)因?yàn)?(%)=而?函,

所以f(x)=2sin2x-1+2\/3sinxcosx=-cos2x+V3sin2x

=2-^-sin2x--cos2x=2sin(2x-巴71］,

122JI66J

7TTC7T

——+2/CTI<2X----<—+2左兀/￡Z,

262

7T27r

;——+2左兀<2x<----F2kit,ksZ

33

兀71

-----Fkit?x?—Fkn.kwZ,

63

/（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為一"71+71+E,keZ.

63

A

（2）由（1）得/=2sinM-^=1,

/.sin1/一^

2

.7C_,7L_[x.7T_.57U,

二.A—=2ETTH—或A—=2AxH---,左eZ,

6666

兀、

即Z=2析+—或4=2反+%，k￡Z,

3

,/Ae(0,7i),

,兀

A——

3

?-4+5+C=兀,

/.sinB=sin(4+C)=sin(C),

sirk4+sinS+sinC=------bsinC+sinC

2\

73國(guó)73.i

------F5/3—sineH—cosc

2I22

邛+Gsin[c+j，

0<C<-

2

?271?71

0<------C<—

I32

sinfe+^ef—,1

I6J2

故siib4+sinB+sinCG

21.在中國(guó)很多鄉(xiāng)村，燃放煙花爆竹仍然是慶祝新年來臨的一種方式，煙花爆竹帶來的空氣污染非常

嚴(yán)重，可噴灑一定量的去污劑進(jìn)行處理.據(jù)測(cè)算，每噴灑一個(gè)單位的去污劑，空氣中釋放的去污劑濃度了

X

l+-,0<x<4

（單位：毫克/立方米）隨著時(shí)間X（單位：天）變化的函數(shù)關(guān)系式近似為了=8,若多

——，4〈尤V10

[x+2

次噴灑，則某一時(shí)刻空氣中的去污劑濃度為每次投放的去污劑在相應(yīng)時(shí)刻所釋放的濃度之和，由試驗(yàn)

知，當(dāng)空氣中去污劑的濃度不低于4（毫克/立方米）時(shí)，它才能起到去污作用.

（1）若一次噴灑4個(gè)單位的去污劑，則去污時(shí)間可達(dá)幾天？

（2）若第一次噴灑2個(gè)單位的去污劑，6天后再噴灑。0WaW4）個(gè)單位的去污劑，要使接下來的3天能

夠持續(xù)有效去污，求。的最小值.

【正確答案】（1）7天

（2）7

【分析】（1）根據(jù)空氣中去污劑的濃度不低于4,直接列出不等式，然后解出不等式即可

（2）根據(jù)題意，列出空氣中去污劑的濃度關(guān)于時(shí)間的關(guān)系式，然后利用基本不等式放縮，并解出不等

式即可

4

【詳解】（1）釋放的去污劑濃度為/（%）=,

9

4,4<x<10

x+2

當(dāng)0<x?4時(shí)，4>4,解得x20,所以0<xV4；

當(dāng)4<xV10時(shí)，4||>4,解得xW7,即4<xW7；

(x+2)

故一次投放4個(gè)單位的去污劑，有效去污時(shí)間可達(dá)7天.

（2）設(shè)從第一次噴灑起，經(jīng)》（6<x（9）天，則濃度

9+/1+上18Q(X+2)

g(x)=2x1

x+2I8x+28

當(dāng)且僅當(dāng)&=生±2即x=7等號(hào)成立.

9x+29

所以。的最小值為9.

22.已知函數(shù)/(x)=log3(9"+l)-履(其中左ER).

⑴若左=2且方程/(力-。+1=0有解，求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

(2)若/'(X)是偶函數(shù)，討論函數(shù)g(x)=(3左)小)，”3:：加｝">0)的零點(diǎn)情況.

【正確答案】

(2)當(dāng)0〈加VI時(shí)函數(shù)無零點(diǎn)，當(dāng)必>1時(shí)函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn).

【分析】(1)方程/⑺-“+1=0有解，即/⑺的值域與方程>=。-1的值域相同，求出/(X)的值域,

即可求出實(shí)數(shù)。的取值范圍；

(2)g(x)=(3左)公)-卜3-g[(加>0)的零點(diǎn)情況等價(jià)于3小)-3、-1加]=0的解的情況，即討

44

論9'+1="9'一§"3'的解的情況，令3*=:(/>0),則(加-1)/一§加一l=0,/e(0,+8)(*),由二次函

數(shù)的性質(zhì)分類討論皿=1,Hl>1和0<小<1即可.

【詳解】(1)因?yàn)榉匠?(耳-。+1=0有解，所以方程/(x)=a-l有解，

即/(x)的值域與方程y=。-1的值域相同.

〃x）=log3（9'+l）-2x=log3f^^Llog3[1+J]

—>0,/.1H---->1,

9X9X

所以/(x)>0,即a-l>0,故。>1；

(2)因?yàn)?'(x)是偶函數(shù)，所以〃-1)=/⑴，

有l(wèi)og3、+l]+左=1%10-左，解得左=1,經(jīng)檢驗(yàn)％=1滿足題意.

函數(shù)g(x)=(3幻公)-13T相｝%>0)的零點(diǎn)情況等價(jià)于3公)-卜3-：機(jī)]=0的解的情況,

即二=—土加,討論9、+1=冽9-—”3、的解的情況，

3苫33

4

令3"=t(t>0),貝(!(加一1)/一§加一l=0/￡(0,+e)(*)

3

當(dāng)％=1時(shí)，/=-“此時(shí)方程（*）無解，

當(dāng)勿＞1時(shí)，函數(shù)》=（小-1）產(chǎn)-開口向上，且恒過定點(diǎn)（O,T）,

貝"只有一解，此時(shí)方程（*）只有1解，

當(dāng)0＜加＜1時(shí)，函數(shù)＞=（a-1）產(chǎn)-開口向下，且恒過定點(diǎn)（0,-1）,且函數(shù)的對(duì)稱軸

4

-m

t==____＜0,則方程（*）無解，

2（m-l）

綜上所述：當(dāng)0＜加41時(shí)函數(shù)無零點(diǎn)，當(dāng)%＞1時(shí)函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn).

2023-2024學(xué)年浙江省寧波市高一下冊(cè)期中數(shù)學(xué)學(xué)情檢測(cè)模擬試題

一、單選題

1.已知復(fù)數(shù)Z滿足z-2i==（i為虛數(shù)單位），則Z的虛部是（）

1+1

A.1B.iC.-iD.-1

【正確答案】A

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法與虛部的定義求解即可.

【詳解】z=2i+—=2i=2i+—=i,故虛部為1.

l+i+/+2

故選：A

2.在中，己知命題p：AABC為鈍角三角形，命題g:萬.數(shù)＞0,則〃是4的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【正確答案】B

【分析】根據(jù)充分必要條件的定義結(jié)合向量的夾角判斷即得.

【詳解】命題q:刀?數(shù)＞0,可得-cacosB＞0,cos2＜0,又因?yàn)?e（0,7T）,則3為鈍角，則0可以推

出乙

命題?：“BC為鈍角三角形，鈍角三角形不一定是3為鈍角，則。無法推出0,

故p是q的必要不充分條件.

故選：B.

3.用半徑為3cm,圓心角為奇的扇形紙片卷成一個(gè)圓錐筒，則這個(gè)圓錐筒的高為（）

A.1cmB.2V2cmC..72cmD.2cm

【正確答案】B

【分析】設(shè)圓錐的底面半徑為rem,根據(jù)底面圓的周長(zhǎng)即扇形的弧長(zhǎng)求出半徑r,利用勾股定理可得答案.

【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為rem,由題意底面圓的周長(zhǎng)即扇形的弧長(zhǎng)，

777

可得如r=（x3,即底面圓的半徑為1,.

所以圓錐的高h(yuǎn)==1=2收，

故選B

本題考查圓錐側(cè)面展開圖的應(yīng)用，圓錐側(cè)面展開圖為扇形，扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面的周長(zhǎng)，扇形的

半徑等于圓錐的母線長(zhǎng).

71

4.在。8C中，AB=7,BC="C=m，則邊/C的長(zhǎng)為（）

A.3B.5C.3或5D.以上都不對(duì)

【正確答案】C

【分析】根據(jù)余弦定理求/C的值.

【詳解】根據(jù)余弦定理可知，AB2=AC2+BC2-2AC-BC-cosC,

貝lj49=/C2+64-2/C8L整理為3一8/。+15=0,

2

解得：/C=3或ZC=5

故選：C

5.設(shè)機(jī)，"是不同的直線，是不同的平面，則下列命題正確的是（）

A.mLn,n!la,則B.m/1P，/3La,則〃_zLc

C.m±a,a±P,則僅//￡D.mLa,mA.J3,則a///7

【正確答案】D

【分析】舉例說明判斷ABC；利用線面垂直的性質(zhì)判斷D作答.

【詳解】對(duì)于A,在長(zhǎng)方體48co-4片。］。中，平面/BCD為平面分別為直線見，?，

顯然滿足機(jī)~L77,〃//a,而此時(shí)機(jī)_La不成立，A錯(cuò)誤;

DyC,

對(duì)于B,在長(zhǎng)方體N3CD-45CIA中，平面/BCD，平面分別為平面名?，為直線〃?,

顯然滿足加//￡,￡，￡，而加//e,此時(shí)7〃_La不成立，B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,在長(zhǎng)方體力5CD-44GA中，平面/8C。，平面CDAG分別為平面a*,CG為直線加，

顯然滿足加，a,而mu尸，此時(shí)////?不成立，C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,因?yàn)榧觃La,?w_L尸，由線面垂直的性質(zhì)知，a"/3,D正確.

故選：D

6.若sin[a+方]=：,貝I]sin[2a-方)=()

724_724

A.—B.—C.-----D.-----

25252525

【正確答案】C

【分析】利用二倍角余弦公式可求得cos(2a+(1,根據(jù)誘導(dǎo)公式計(jì)算可得

sin12c弋]=一cos(2a+q],由此可得結(jié)果.

【詳解】丁cos|2of+—1=1-2sin2|^z+—|=l-2x—,

V3)I6J2525

.f.7TA(71個(gè)7

I6)126)I3j25

故選：C.

7.記0=0.2°」,6=0.產(chǎn),。=(血)4,則()

A.a>b>cB.b>c>a

C.a>c>bD.c>a>b

【正確答案】c

【分析】把三個(gè)數(shù)的指數(shù)都化為0」，利用幕函數(shù)的單調(diào)性比大小.

【詳解】a=0.2°/，/)=O.lo-2=(O.l2)O1=O.Ol01,

C=(V2)-°'5=[(^)-5]01='回'

0.2>^>0,01,由幕函數(shù)了=x°」在（。,+。）上單調(diào)遞增，所以“>c>b.

故選：c

8.有一直角轉(zhuǎn)彎的走廊（兩側(cè)與頂部都封閉），已知走廊的寬度與高度都是3米，現(xiàn)有不能彎折的硬

管需要通過走廊，設(shè)不計(jì)硬管粗細(xì)可通過的最大極限長(zhǎng)度為/米.為了方便搬運(yùn)，規(guī)定允許通過此走廊

的硬管的最大實(shí)際長(zhǎng)度為機(jī)=0.9/米，則機(jī)的值是（

C270

D.6夜

1010,5

【正確答案】A

【分析】先求出硬管不傾斜，水平方向通過的最大長(zhǎng)度/￡再利用勾股定理求出硬管傾斜后能通過的

最大長(zhǎng)度，即可得到答案.

水平方向通過的最大長(zhǎng)度AB.

設(shè)/&4Q=/0<0苫），則AABQ=

過/作NC垂直內(nèi)側(cè)墻壁于C,8作3。垂直內(nèi)側(cè)墻壁于D,則

jr

AC=BD=3,/CPA=NBAQ=0,ZDPB=ZABQ=

ATAr3

在直角三角形ACP中，sinNCPA=sin。=——，所以/尸=--=——

APsm0sin0

26a（當(dāng)且僅當(dāng)且八弓時(shí)等號(hào)成立）.

所以4826后.

因?yàn)樽呃鹊膶挾扰c高度都是3米,

所以把硬管傾斜后能通過的最大長(zhǎng)度為/=班9+32=’（小回2+32=9,

Q1

所以加=0.9/=0.9x9=歷.

故選：A

利用三角函數(shù)解應(yīng)用題的解題思路：

（1）畫出符合題意的圖形；

（2）把有關(guān)條件在圖形中標(biāo)出；

（3）建立三角關(guān)系式，利用三角函數(shù)求最值.

二、多選題

9.如圖，正方體/BCD-4耳中，48=2,點(diǎn)0為3c的中點(diǎn)，點(diǎn)N為。。的中點(diǎn)，則下列結(jié)論

A.C0與為異面直線B.CQVCXDX

C.直線的V與平面/BCD所成角為30°D.三棱錐。-的體積為:

【正確答案】AB

【分析】對(duì)A,直接觀察判斷即可；對(duì)B,根據(jù)￡2,平面8cq4判斷即可；對(duì)C,根據(jù)線面角的定

義，結(jié)合直角三角形的性質(zhì)求解即可；對(duì)D,利用等體積法七一NBC=3C求解即可.

【詳解】對(duì)A,由圖可得，C,0,2共面，且N不在平面內(nèi)，則C0與8N為異面直線，故A正確;

對(duì)B,由正方體性質(zhì)可得GA，平面8CC圈，又CQu平面3CG用，故故B正確；

對(duì)C,由ND_L平面/BCD可得直線8N與平面/BCD所成角為，

又48=40=2,則50=2在ND=1,

1J7

故3/NBD=-^=j故/NBD手3V,故C錯(cuò)誤;

2V24

114

DC=-x—x2x2x2=—,故D錯(cuò)誤.

323

10.已知可是平面單位向量，且，-e2=g，若該平面內(nèi)的向量方滿足值?■=。司=1，則（

A.〈，,0〉二：B.a1-e2)

o

C+^2)

D?\a\=~Y~

【正確答案】BCD

【分析】根據(jù)平面向量的數(shù)量積運(yùn)算可判斷A；根據(jù)小另=5用可判斷B；設(shè)3=癡;+，由

萬G=1可求出冽〃，從而可判斷CD.

【詳解】因?yàn)?，是平面單位向量，且耳4=；，

所以,0=卜1向COS?必〉=COS?1必〉=；.

—kkr-1—??7T

因?yàn)槿?02〉€[0,兀],所以〈。勺）=§,故A錯(cuò)誤;

因?yàn)樾?=晨￡,所以展/1*）=0,即故B錯(cuò)誤;

設(shè)2=mex+ne2，

一1?

?e.=mH-n=1

22

因?yàn)?，￡］=萬?。2=1，所以,,解得根=n=—,

--13

?=—m+n=Y

22

所以2=+g),故C正確；

因?yàn)椴?+41~+4~+&]=^12_|_12_|_2x—=,

所以同=|■1]+?2卜2,，故D正確.

故選：BCD.

11.已知函數(shù)［(x)=sin(ox+e)(0>O,-5<9<5］，則下面說法正確的是()

TTJT

A.若/=2且/(x)圖象關(guān)于直線x=*對(duì)稱，則夕=二

B.若。=2且/(x)圖像關(guān)于點(diǎn)(與,。)對(duì)稱，則夕=巳

C.若夕=?且/(X)在/(J上單調(diào)遞增，則。的最大值為2

D.若。=￡且/(x)在［0,n］上的圖象有且僅有2個(gè)最高點(diǎn)，則。的取值范圍為

444

【正確答案】ACD

【分析】利用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)逐一分析即可.

JT

【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，。=2且/(x)圖象關(guān)于直線x=?對(duì)稱時(shí)，

6

,-7L7T_.7T-.-、r兀71――,.71,.〒片

有2x—+夕=—+2祈=>夕=—+2歷r,因?yàn)椤?lt;(p<—,所以"二一,即1rlA正確；

626