概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)1-9章-課后習(xí)題解答

第一章

思考題

1.事件的和或者差的運(yùn)算的等式兩端能“移項(xiàng)”嗎？為什么？

2.醫(yī)生在檢查完病人的時(shí)候搖搖頭“你的病很重，在十個(gè)得這種病的人中只有一個(gè)能救

活.”當(dāng)病人被這個(gè)消息嚇得夠嗆時(shí)，醫(yī)生繼續(xù)說“但你是幸運(yùn)的.因?yàn)槟阏业搅宋?，我已?jīng)

看過九個(gè)病人了，他們都死于此病，所以你不會(huì)死”，醫(yī)生的說法對嗎？為什么？

3.圓周率t=3.1415926……是一個(gè)無限不循環(huán)小數(shù)，我國數(shù)學(xué)家祖沖之第一次把它計(jì)

算到小數(shù)點(diǎn)后七位，這個(gè)記錄保持了1000多年！以后有人不斷把它算得更精確.1873年,

英國學(xué)者沈克士公布了?個(gè)萬的數(shù)值，它的數(shù)目在小數(shù)點(diǎn)后一共有707位之多！但兒十

年后，曼徹斯特的費(fèi)林生對它產(chǎn)生了懷疑.他統(tǒng)計(jì)了萬的608位小數(shù)，得到了下表：

數(shù)字0123456789

出現(xiàn)次數(shù)60626768645662445867

你能說出他產(chǎn)生懷疑的理由嗎？

答：因?yàn)椋ナ且粋€(gè)無限不循環(huán)小數(shù)，所以，理論上每個(gè)數(shù)字出現(xiàn)的次數(shù)應(yīng)近似相等，或

它們出現(xiàn)的頻率應(yīng)都接近于0.1,但7出現(xiàn)的頻率過小.這就是費(fèi)林產(chǎn)生懷疑的理由.

4.你能用概率證明“三個(gè)臭皮匠勝過一個(gè)諸葛亮”嗎？

5.兩事件A、B相互獨(dú)立ijA、B互不相容這兩個(gè)概念有何關(guān)系？對立事件與互不相容

事件又有何區(qū)別和聯(lián)系？

6.條件概率是否是概率？為什么？

習(xí)題一

1.寫出下列試驗(yàn)下的樣本空間：

(1)將一枚硬幣拋擲兩次

答：樣本空間由如下4個(gè)樣本點(diǎn)組成。={(正正,)任反,)反正,)反反)}

(2)將兩枚骰子拋擲一次

答：樣本空間由如下36個(gè)樣本點(diǎn)組成Q={(i,j)|i,j=1,2,3,4,5,6}

(3)調(diào)查城市居民(以戶為單位)煙、酒的年支出

答：結(jié)果可以用(x,y)表示，x,y分別是煙、酒年支出的元數(shù).這時(shí)，樣本

空間由坐標(biāo)平面第一象限內(nèi)一切點(diǎn)構(gòu)成.C={(x,y)|x>0,y>0}

2.甲，乙，丙三人各射一次靶，記4-“甲中靶”B-“乙中靶”C-“閃中靶”則可用上述

三個(gè)事件的運(yùn)算來分別表示下列各事件：

(1)“甲未中靶”:A；

(2)“甲中靶而乙未中靶，，：AB-,

(3)“三人中只有丙未中靶”：ABC;

(4)“三人中恰好有一人中靶”：ABC\JABC\JABC-,

(5)“三人中至少有一人中靶”：4UBUC;

(6)“三人中至少有一人未中靶”:

(7)“三人中恰有兩人中靶”：ABC\JABC\JABC;

(8)“三人中至少兩人中靶”：ABUACU?C;

(9)“三人均未中靶”：ABC;

(10)”三人中至多一人中靶”：ABCUABCUABCUABC;

(11)“三人中至多兩人中靶”：而不;或彳U豆U不；

3.設(shè)A,B是兩隨機(jī)事件，化簡事件

(1)(彳UB)0U8)(2)(彳U萬)(4U萬)

解：(1)(彳UB)(AUB)=1BUABUB=B,

(2)(彳U萬)(AU萬)=彳萬UA萬U萬=(彳UAUC))=》.

4.某城市的電話號(hào)碼由5個(gè)數(shù)字組成，每個(gè)數(shù)字可能是從0-9這十個(gè)數(shù)字中的任一個(gè)，

求電話號(hào)碼由五個(gè)不同數(shù)字組成的概率.

P5

解：P=T=0.3024.

105

5.〃張獎(jiǎng)券中含有m張有獎(jiǎng)的，火個(gè)人購買，每人一張，求其中至少有一人

中獎(jiǎng)的概率.

解法-：試驗(yàn)可模擬為，"個(gè)紅球，個(gè)白球，編上號(hào)，從中任取2個(gè)構(gòu)成?組，則

總數(shù)為C：,而全為白球的取法有C3.種，故所求概率為1_冬.

解法二：令A(yù),一第i人中獎(jiǎng)，:口…人加一無一人中獎(jiǎng)，則8=a見…4，注意到

川,彳2,…，4不獨(dú)立也不互斥：由乘法公式

P⑻=?區(qū))尸()

二子y…叫洋理*,故所求概率沏令

6.從5雙不同的鞋子中任取4只，這4只鞋子中“至少有兩只配成一雙"(事件A)的

概率是多少？

解:P(A)=C/《

do

7.在［-1,1］上任取一點(diǎn)X,求該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離不超過;的概率.

解：此為兒何概率問題：。=[-1川,所求事件占有區(qū)

間從而所求概率為尸=」=L

5525

8.在長度為a的線段內(nèi)任取兩點(diǎn)，將其分成三段，求它們可以構(gòu)成一個(gè)三角

形的概率.

解：設(shè)一段長為x,另一段長為y,樣本空間Q:0cx<a,0<y<a,0<x+y<a,

0<x<—

2

所求事件滿足：-0<y<y

x+y>(a-x-y)

qi

從而所求概率=33=

SOAB4

9.從區(qū)間(0,1)內(nèi)任取兩個(gè)數(shù)，求這兩個(gè)數(shù)的乘

積小于■!■的概率.

4

解：設(shè)所取兩數(shù)為X,y,樣本空間占有區(qū)域C,

兩數(shù)之積小于L：xy<L故所求概率

44

p5(Q)-5(D)1-5(D)

s(c)=—r-'

11I

而S(￡>)=j(l——)dx=l--(l+ln4),故所求概率為

%4X4

；(l+ln4).

10.設(shè)A、8為兩個(gè)事件，P(A)=0.9,P(AB)=0.36,求尸(A萬).

解：P(AB)=P(A)-P(AB)=0.9-0.36=0.54;

11.設(shè)A、B為兩個(gè)事件，P(8)=0.7,P(AB)=0.3,求P(彳U萬).

解：P(AUfi)=/>(X^)=l-P(AB)=l-[P(B)-P(AB)]=l-[0.7-0.3]=0.6.

12.假設(shè)P(4)=0.4,P(AUB)=0.7,若A、B互不相容，求尸(8)；若A、

8相互獨(dú)立，求產(chǎn)(8).

解：若A、B互不相容，尸(8)=尸(AU8)-P(A)=0.7—0.4=0.3；

若A、8相互獨(dú)立，貝I」由P(4+B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)可得P(B)=05

13.飛機(jī)投彈炸敵方三個(gè)彈藥倉庫，已知投一彈命中1,2,3號(hào)倉庫的概率分別為

0.01,0.02,0.03,求飛機(jī)投一彈沒有命中倉庫的概率.

解：設(shè)4=｛命中倉庫｝,則彳=｛沒有命中倉庫｝,又設(shè)4=｛命中第i倉庫｝(i=1,2,3)

則P(A[)=0.01,P(A2)=0.02,P(A3)=0.03,

根據(jù)題意4=4I1)421143(其中4,424兩兩互不相容)

^P(A)=P(A,)+P(A2)+P(A3)=0.0l+0.02+0.03=0.06

所以P(A)=1-P(A)=1-0.06=0.94

即飛機(jī)投?彈沒有命中倉庫的概率為0.94

14.某市有50%住戶訂日報(bào)，有65%的住戶訂晚報(bào)，有85%的住戶至少

訂這兩種報(bào)紙中的一種，求同時(shí)訂這兩種報(bào)紙的住戶的百分比

解：設(shè)4=｛用戶訂有日報(bào)｝,B=｛用戶訂有晚報(bào)｝，則AUB=｛用戶至少訂有日報(bào)和晚

報(bào)一種｝,AB=｛用戶既訂日報(bào)又訂晚報(bào)｝,已知

P(A)=0.5,P(B)=0.65,P(AUB)=0.85,所以

P(AB)=P(4)+P(B)_P(AUB)=0.5+0.65-0.85=0.3

即同時(shí)訂這兩種報(bào)紙的住戶的百分比為30%

15.一批零件共100個(gè),次品率為10%,接連兩次從這批零件中任取一個(gè)零件,第詼取

出的零件不再放回，求第二次才取得正品的概率.

解：設(shè)A=｛第一次取得次品｝,8=｛第二次取得正品｝,則

A8=｛第二次才取得正品｝,又因?yàn)槭?4)=川,尸畫4)=%，貝IJ

100199

P(A6)=P⑷P(%)=3也=0.0909

10099

16.設(shè)隨機(jī)變量A、B、C兩兩獨(dú)立，A叮8互不相容.已知P(B)=2P(C)>0

且「(BUC)=2,求尸(4UB).

8

解：依題意P(4B)=0且P(A3)=尸(A)P(B),因此有P(A)=O.又因

P(B+C)=P(B)+P(C)-P(B)P(C)=3P(C)-2[P(C)]2=-,解方程

8

05

2[P(C)]2-3P(C)+-=0

8

p(C)=L[尸(0=2舍去]=>2(8)=l，P(4UB)=P(A)+P(B)-P(4B)=P(B)=05

442

17.設(shè)A是小概率事件，即P(A)=e是給定的無論怎么小的正數(shù).試證明：當(dāng)

試驗(yàn)不斷地獨(dú)立重復(fù)進(jìn)行下去，事件A遲早總會(huì)發(fā)生(以概率1發(fā)生).

解：設(shè)事件4一第i次試驗(yàn)中A出現(xiàn)。=1,2,…，〃)，：P(4)=￡,P(4)=l-￡,

(/?=1,2,…次試驗(yàn)中，至少出現(xiàn)4一次的概率為

P(AUA2U-LM“)=I—P(&認(rèn)U…ua“)=1-P(A4--4)

=1-P(^)P(A)??…P(4)(獨(dú)立性)

=l-(l-￡)"

limPUN&U…LM,)=1,證畢.

n—?oo

18.三個(gè)人獨(dú)立地破譯一密碼，他們能單獨(dú)譯出的概率分別是』，--求

534

此密碼被譯

出的概率.

解:設(shè)A,B,C分別表示｛第一、二、三人譯出密碼｝,D表示｛密碼被譯出｝,則

P(。)=P(AUBUC)=1-P(AUBUC)

----———4233

=1-P(ABC)=1-P(A)P(B)P(C)=1--.-.-=-.

5345

19.求下列系統(tǒng)(如圖所示)的可靠度，假設(shè)元件i的可靠度為p,.，各元件正

常工作或失效相互獨(dú)立

解：(1)系統(tǒng)由三個(gè)子系統(tǒng)并聯(lián)而成，每個(gè)子系統(tǒng)可靠度為P1P2P3，從而所求

概率為1—(1—P[p2P3)3；

3

(2)同理得^[l-(l-p2)].

20.三臺(tái)機(jī)器相互獨(dú)立運(yùn)轉(zhuǎn)，設(shè)第一，第二，第三臺(tái)機(jī)器不發(fā)生故障的概

率依次為0.9,0.8,0.7,則這三臺(tái)機(jī)器中至少有一臺(tái)發(fā)生故障的概率.

解：設(shè)乙一第一第三臺(tái)機(jī)器發(fā)生故障，冬一第一第三臺(tái)機(jī)器發(fā)生故障，A3—

第一第三臺(tái)機(jī)

器發(fā)生故障，。一三臺(tái)機(jī)器中至少有一臺(tái)發(fā)生故障，則

P(A,)=0.1,P(A2)=0.2,P(A3)=0.3,故

P(O)=P(4U8UC)=1-P(AU3UC)

=l-P(XfiC)=l-P(A)P(B)P(C)=l-0.9x0,8x0.7=0.496

21.設(shè)A、8為兩事件，P(A)=0.7,P(B)=0.6,P(%)=0.4,求P(AljB).

解：由尸(%)=0.4得

0(竺)=().4,P(彳8)=0.12,..P(A2)=尸(3)-P(彳8)=0.48,

P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.82.

22.設(shè)某種動(dòng)物由出生算起活到20年以上的概率為0.8,活到25年以上的概率為0.4.問現(xiàn)

年20歲的這種動(dòng)物，它能活到25歲以上的概率是多少？

解：設(shè)A—某種動(dòng)物由出生算起活到20年以上，P(A)=0.8,B—某種動(dòng)物由出生

算起活到25年以匕P(B)=0.4,則所求的概率為

鏘2=瑞嘿”

23.某地區(qū)歷史上從某年后30年內(nèi)發(fā)生特大洪水的概率為80%,40年內(nèi)

發(fā)生特大洪水的概率為85%,求已過去了30年的地區(qū)在未來10年內(nèi)發(fā)生特

大洪水的概率.

解：設(shè)4—某地區(qū)后30年內(nèi)發(fā)生特大洪災(zāi)，P(A)=0.8,B—某地區(qū)后40年內(nèi)

發(fā)生特大洪災(zāi)，P(B)=0.85,則所求的概率為

/>(%)=1-玖％)=1-0(13)=1-^￡2=1-=0.25.

'/4'/Ap(A)P(A)0.2

24.設(shè)甲、乙兩袋，甲袋中有2只白球，4只紅球；乙袋中有3只白球，2只紅球.今從甲

袋中任意取?球放入乙袋中，再從乙袋中任意取一球.

1)問取到白球的概率是多少？

2)假設(shè)取到白球，問該球來自甲袋的概率是多少？

解：設(shè)A：取到白球，B：從甲球袋取白球

__2443

1)P(A)=P(A/B)P(B)+P(A/B)P(B)——+—=5/9

6666

2)2(B/A)=P(A8)/P(A)=」黑:⑻=瑞=2/5

25.一批產(chǎn)品共有10個(gè)正品和2個(gè)次品，任取兩次，每次取一個(gè)，抽出后不

再放回，求第二次抽出的是次品的概率.

解：設(shè)B,表示第i次抽出次品,(i=1,2),由全概率公式

P(B2)=P(B,)P(V)+P(B1)P(V)=AX1+12X2=1.

/D\/5121112116

26.一批晶體管元件，其中一等品占95%,二等品占4%,三等品占1%,它們能工作500〃

的概率分別為90%,80%,70%,求任取一個(gè)元件能工作500%以上的概率.

解：設(shè)B,=｛取到元件為i等品｝(i=l,2,3),A=｛取到元件能工作500小時(shí)以上｝

則P(B,)=95%,P(B2)=4%,P(B3)=1%

P%J=90%,P%,)=80%,P%,)=70%

95%-90%+4%-80%+1%-70%=0.894

27.某藥廠用從甲、乙、丙三地收購而來的藥材加工生產(chǎn)出一種中成藥，三地的供貨量

分別占40%,35%和25%,目.用這三地的藥材能生產(chǎn)出優(yōu)等品的概率分別為0.65,0.70和

0.85,求從該廠產(chǎn)品中任意取出一件成品是優(yōu)等品的概率.如果一件產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品，求它

的材料來自甲地的概率

解：以Bj分別表示抽到的產(chǎn)品的原材來自甲、乙、丙三地，A=｛抽到優(yōu)等品｝,則有：

P(B,)=0.4,2包)=0.35,「(鳥)=0.25,

所求概率為P(4).由全概率公式得:

P(A)=)

3

0.65x0.4+0.7x0.35+0.85x0.25=0.7175.

pB/=」(當(dāng)4)=四=0.26

=0.3624

鼠一P(A)-P(A)-0.7175

28.用某種檢驗(yàn)方法檢查癌癥，根據(jù)臨床紀(jì)錄，患者施行此項(xiàng)檢查，結(jié)果是陽性的概率

為0.95；無癌癥者施行此項(xiàng)檢查，結(jié)果是陰性的概率為0.90.如果根據(jù)以往的統(tǒng)計(jì)，某

地區(qū)癌癥的發(fā)病率為0.0005.試求用此法檢查結(jié)果為陽性者而實(shí)患癌癥的概率.

解：設(shè)A=｛檢查結(jié)果為陽性),B=｛癌癥患者｝.據(jù)題意有

p(%)=0.95,P(%)=0.90,P(B)=0.0005,所求概率為P(%).

P(%)=040,P(萬)=0.9995.由Bayes公式得

P(%)=

0.0005x0.95

=0.0047=0.47%

0.0005x0.95+0.9995x().10

29.3個(gè)射手向一敵機(jī)射擊，射中的概率分別是0.4,0.6和0.7.如果一人射中，敵機(jī)被

擊落的概率為0.2；二人射中，被擊落的概率為0.6；三人射中則必被擊落.(1)求敵機(jī)

被擊落的概率；(2)已知敵機(jī)被擊落，求該機(jī)是三人擊中的概率.

解:設(shè)A=｛敵機(jī)被擊落｝,Bp｛i個(gè)射手擊中｝,i=l,2,3.則ByB2,B3互不相容.由題意知:

由于3個(gè)射手射擊是互相獨(dú)立的，所以

P(fi,)=0.4x0.4x0.3+0.6x0.6x0.3+0.6x0.4x0.7=0.324

P(BJ=0.4x0.6x0.3+0.4x0.7x0.4+0.6x0.7x0.6=0.436

P(2)=04x0.6x0.7=0.168

因?yàn)槭录嗀能且只能與互不相容事件B],B9,BQ之一同時(shí)發(fā)生.于是

(1)由全概率公式得

3

p(A)=ZP(B)P(AI即=0.324x0.2+0.436x0.6+0.168xl=0.4944

(2)由Bayes公式得

P(5/A)="8"⑷層)=*=034.

±P(g)P(A@)04944

/=1

30.某廠產(chǎn)品有70%不需要調(diào)試即可出廠，另30%需經(jīng)過調(diào)試，調(diào)試后有80%能出廠，

求

(1)該廠產(chǎn)品能出廠的概率；(2)任取一出廠產(chǎn)品未經(jīng)調(diào)試的概率.

解：A——需經(jīng)調(diào)試A——不需調(diào)試B——出廠

則P(A)=30%,P(A)=70%,P(BIA)=80%,P(BIA)=1

(1)由全概率公式：P(B)=P(A)-P(%)+P(彳)?尸('/■)

=30%x80%+70%x1=94%.

(2)由貝葉斯公式：P(%)=P(.B)=P(」)P(")=四?

/B尸⑻94%94

31.進(jìn)行一系列獨(dú)立試驗(yàn)，假設(shè)每次試驗(yàn)的成功率都是p,求在試驗(yàn)成功2

次之前已經(jīng)失敗了3次的概率.

解：所求的概率為4P2(l-p)3.

32.10個(gè)球中有一個(gè)紅球，有放回地抽取，每次取一球，求直到第〃次才取k

次伏4w)紅

球的概率

解：所求的概率為c，H儒，

33.燈泡使用壽命在lOOOh以上的概率為0.2,求3個(gè)燈泡在使用1000h后，

最多只有

一個(gè)壞了的概率.

解：由二項(xiàng)概率公式所求概率為

鳥(0)+乙(1)=0.23+6(0.2)2.().8=01()4

34.(Banach問題)某人有兩盒火柴，每盒各有〃根，吸煙時(shí)任取一盒，并

從中任取一根，當(dāng)他發(fā)現(xiàn)有一盒已經(jīng)用完時(shí)，試求：另一盒還有r根的概率.

解：設(shè)試驗(yàn)E一從二盒火柴中任取一,盒，A一取到先用完的哪盒，尸(A)=L

2

則所求概率為將E重復(fù)獨(dú)立作2〃-r次A發(fā)生”次的概率，故所求的概率為

第二章

思考題

1.隨機(jī)變量的引入的意義是什么？

答：隨機(jī)變量的引入，使得隨機(jī)試驗(yàn)中的各種事件可通過隨機(jī)變量的關(guān)系式表達(dá)出來，其

目的是將事件數(shù)量化，從而隨機(jī)事件這個(gè)概念實(shí)際上是包容在隨機(jī)變量這個(gè)更廣的概念

內(nèi).引入隨機(jī)變量后，對隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律的研究，就由對事件及事件概率的研究轉(zhuǎn)化為隨

機(jī)變量及其取值規(guī)律的研究，使人們可利用數(shù)學(xué)分析的方法對隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果進(jìn)行廣泛而

深入的研究.

隨機(jī)變量概念的產(chǎn)生是概率論發(fā)展史上的重大事件，隨機(jī)事件是從靜態(tài)的觀點(diǎn)來研究隨

機(jī)現(xiàn)象，而隨機(jī)變量的引入則變?yōu)榭梢杂脛?dòng)態(tài)的觀點(diǎn)來研究.

2.隨機(jī)變量馬分布函數(shù)的區(qū)別是什么？為什么要引入分布函數(shù)？

答：隨機(jī)變量與分布函數(shù)取值都是實(shí)數(shù)，但隨機(jī)變量的自變量是樣本點(diǎn)，不是普通實(shí)數(shù),

故隨機(jī)變量不是普通函數(shù)，不能用高等數(shù)學(xué)的方法進(jìn)行研究，而分布函數(shù)一方面是高等

數(shù)學(xué)中的普通函數(shù)，另一方面它決定概率分布，故它是溝通概率論和高等數(shù)學(xué)的橋梁，

利用它可以將高度數(shù)學(xué)的方法得以引入.

3.除離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)變量，還有第三種隨機(jī)變量嗎？

答：有，稱為混合型.例：設(shè)隨機(jī)變量X令

x,0<x<1;

g(x)=?

1,1<x<2.

則隨機(jī)變量y=g(x)既非離散型又非連續(xù)型.

事實(shí)上，由y=g(X)的定義可知丫只在［0,1］上取值，于是當(dāng)y<0時(shí)，&(〉)=()；

y之1時(shí)，4(y)=l；當(dāng)0Ky<l時(shí)，

4(y)=P(g(X)")=P(X?y)=］

于是

0,"0；

Fr(y)=.1,0<y<l;

首先Y取單點(diǎn)｛1｝的概率p(y=1)=耳(1)—%(1—0)=g*o,故y不是連續(xù)型隨機(jī)變

量.其次其分布函數(shù)不是階梯形函數(shù)，故y也不是離散型隨機(jī)變量.

4.通常所說“x的概率分布”的確切含義是什么？

答：對離散型隨機(jī)變量而言指的是分布函數(shù)或分布律，對連續(xù)型隨機(jī)變量而言指的是分

布函數(shù)或概率密度函數(shù).

5.對概率密度了。)的不連續(xù)點(diǎn)，如何由分布函數(shù)尸(x)求出/(尤)？

答：對概率密度/(x)的連續(xù)點(diǎn)，/(x)=F'(x),對概率密度/(x)的有限個(gè)不連續(xù)點(diǎn)處，

可令f(x)=c(c為常數(shù))不會(huì)影響分布函數(shù)的取值.

6.連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)是可導(dǎo)的，“概率密度函數(shù)是連續(xù)的”這個(gè)說法對嗎？為什

么？

答：連續(xù)型隨機(jī)變量密度函數(shù)不一定是連續(xù)的，當(dāng)密度函數(shù)連續(xù)時(shí)其分布函數(shù)是可導(dǎo)的，

否則不一定可導(dǎo).

習(xí)題

1.在測試燈泡壽命的試驗(yàn)中，試寫出樣本空間并在其上定義一個(gè)隨機(jī)變量.

解：每一個(gè)燈泡的實(shí)際使用壽命可能是［0,+00)中任何一個(gè)實(shí)數(shù)，樣本空間為

Q=｛Z\t>0｝,若用X表示燈泡的壽命(小時(shí))，則X是定義在樣本空間Q=｛”t20｝

上的函數(shù)，即X=X(f)=f是隨機(jī)變量.

2.一報(bào)童賣報(bào)，每份0.15元，其成本為0.10元.報(bào)館每天給報(bào)童1000份報(bào)，并規(guī)定他不

得把賣不出的報(bào)紙退回.設(shè)X為報(bào)童每天賣出的報(bào)紙份數(shù)，試將報(bào)童賠錢這一事件用隨

機(jī)變量的表達(dá)式表示.

解：｛報(bào)童賠錢｝O｛賣出的報(bào)紙錢不夠成本｝,而當(dāng)0」5X<1000X0.1時(shí)，報(bào)童賠錢，

故｛報(bào)童賠錢｝O｛X<666｝

3.若P{X<々}=1一/，P{X>xt}=]-a,其中心<々，求P{X14X<X2}.

解：Pk,￡X<x2]^P{X<x2]-P[X<xt}

=P{X<x2}-[l-P{X>xt}]=i-a-j3.

0,x<0

4.設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(x)=-x2,0<x<l

l,x>l

試求(l)p{x?g}(2)p1-l<X<1|(3)p{x>g}

解：⑴P{XK1}=尸(}=；；

(2)p|-l<X<!1=F(|)-F(-1)=^-O=^；

5.5個(gè)乒乓球中有2個(gè)新的，3個(gè)舊的，如果從中任取3個(gè)，其中新的乒乓

球的個(gè)數(shù)是

一個(gè)隨機(jī)變量，求這個(gè)隨機(jī)變量的概率分布律和分布函數(shù)，并畫出分布函數(shù)

的圖形.

解：設(shè)X表示任取的3個(gè)乒乓球中新的乒乓球的個(gè)數(shù)，由題目條件可知，

X的所有可能

取值為0,1.2,VP{X=0}=^-=—,P{X=1}=^L=A,p[x-2]=^^-=—

C；10C；10C；10

...隨機(jī)變量X的概率分布律如下表所示：

由尸(x)=Z冗可求得FW如下：n-

0,x<0

P{X=0},0<x<1

/")=

P{X=0}+P{X=1}J<x<2

P{X=0}+P{X=l}+1{X=2}

0,x<0

0.1,0<x<l

=<

07/wx<2'尸⑴的圖形如圖所示?

1,x>2

6.某射手有5發(fā)子彈，射擊一次命中率為0.9,如果他命中目標(biāo)就停止射擊,

命不中就

一直射擊到用完5發(fā)子彈，求所用子彈數(shù)X的概率分布

解：

X12345

P0.90.090.0090.00090.0001

7.一批零件中有9個(gè)合格品與3個(gè)廢品，安裝機(jī)器時(shí)，從這批零件中任取一

個(gè)，如果每次取出的廢品不再放回，求在取出合格品之前已取出的廢品數(shù)的

分布律.

解：設(shè)％=（第次取得廢品｝,4=｛第次取得合格品｝,由題意知，廢品數(shù)X的可能值為0,

1,2,3,事件｛X=0｝即為第一次取得合格品，事件｛X=l｝即為第一次取出的零件為廢

品，而第二次取出的零件為合格品，于是有

9

P[X=O}=P（A,）=—=0.75,

399

尸｛X=1｝=尸（A4）=尸（4（P）------=—。0.2045,

121144

3299

p[x=2}=P（4&4）=尸（4?——h0.0409

121110220

P｛X=3｝=尸（%可不兒）=6

AA3

3219

?0.0045

1211109220

所以x的分布律見下表

X0123

P0.750.20450.04090.0045

8.從1-10中任取一個(gè)數(shù)字，若取到數(shù)字造=1…10）的概率與i成正比，即

P（X亍i@kii=1,2,…，10，求火.

10

解：由條件i=l,2,…,10,由分布律的性質(zhì)2億=1，應(yīng)有

9.已知隨機(jī)變量X服從參數(shù)4=1的泊松分布，試滿足條件P{X>N}=0.01的自然數(shù)

N.

解：因?yàn)閄~P(1),P{X>Y}=0.01所以P{X4N}=1-P{X>N}=0.99從而

p{xWN}=ZJ=0.99

k=6k!

查附表得N=4

10.某公路一天內(nèi)發(fā)生交通事故的次數(shù)X服從泊松分布，且一天內(nèi)發(fā)生一次交

通事故的概率與發(fā)生兩次交通事故的概率相等，求?周內(nèi)沒有交通事故發(fā)生

的概率.

e-'e~Ao

解：設(shè)*~PQ),由題意：P(X=1)=P(X=2),—2=—/I2,解得2=2,所

求的概率即為

-2

P(X=0)=—2°=e-2.

0!

11.一臺(tái)儀器在10000個(gè)工作時(shí)內(nèi)平均發(fā)生10次故障，試求在100個(gè)工作時(shí)內(nèi)故障不多

于兩次的概率.

解：設(shè)X表示該儀器在100個(gè)工作時(shí)內(nèi)故障發(fā)生的次數(shù)，X~B(100,—)，所求的概

1000

率即為尸(X=0),P(X=1),P(X=2)三者之和.而100個(gè)工作時(shí)內(nèi)故障平均次數(shù)為

〃=100x—1—=0.1,根據(jù)Poisson分布的概率分布近似計(jì)算如下：

1000

012

P(X<2)?Jr+匕ej=0.90484+0.09048+0.00452=0.99984

0!1!2!

故該儀器在100個(gè)工作時(shí)內(nèi)故障不多于兩次的概率為0.99984.

12.設(shè)*~[/[2,5],現(xiàn)對X進(jìn)行三次獨(dú)立觀察，試求至少有兩次觀察值大于3的概率.

1<

解：/(x)=3'-,令A(yù)=(X>3),則p=P(A)=Z,令￥表示三次重復(fù)獨(dú)立觀

0，其余3

察中A出現(xiàn)次數(shù)，則丫~8〔3,|),故所求概率為

—頌小呢閭卷

13.設(shè)某種傳染病進(jìn)入一羊群，已知此種傳染病的發(fā)病率為2/3,求在50頭已感染的羊群

中發(fā)病頭數(shù)的概率分布律.

解：把觀察一頭羊是否發(fā)病作為一次試驗(yàn)，發(fā)病率p=2/3,不發(fā)病率q=1/3,由于對

50頭感染羊來說是否發(fā)病，可以近似看作相互獨(dú)立，所以將它作為50次重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn),

設(shè)50頭羊群中發(fā)病的頭數(shù)為X,則XX8(50,2/3),X的分布律為

p{x=H=嘯)0依=0,1,2,…,50)

2xQ<r<1

14.設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為p(x)='廿…,用y表示對X的3次

0,其匕

獨(dú)立重復(fù)觀察中事件{X4；}出現(xiàn)的次數(shù)，求P[Y=2}.

121

解：YB(3,p),p=P{X<-]=fadx由二項(xiàng)概率公式

2o4

Iqo

=2}=c；(；)26)=2.

4464

15.已知X的概率密度為=試求：

[0,x<0

(1)、未知系數(shù)a；(2)、X的分布函數(shù)尸(x)；(3)、X在區(qū)間(0―)內(nèi)取值的

概率.

解(1)由「ax2e~Mdx=1,解得°=——.

A2

(2)尸(x)=P(X<x)=￡7(x心，；.當(dāng)xWO時(shí)F(x)=0,當(dāng)x>0時(shí)，

F(x)=￡ax2e~Axdx=1———(A2x24-22x4-2),

1—(2~x~+22x+2),x>0

尸(x)=J2

0,x<0

(3)P(0<X<%)=F(%)-F(0)=l,.

16.設(shè)X在(1,6)內(nèi)服從均勻分布，求方程x2+Xx+l=0有實(shí)根的概率.

解：“方程好+內(nèi)+1=0有實(shí)根”即{X>2},故所求的概率為P{X>2}=*

17.知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(ad),且y=aX+b服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布

N(0,1),求a,b.

解：由題意

a2+b=0

Ml"

解得：a=\,h=-1

18.已知隨機(jī)變量X服從參數(shù)為；I的指數(shù)分布，且X落入?yún)^(qū)間(1,2)內(nèi)

的概率達(dá)到最大，求人

令

解：P(1<X<2)=P(X>1)-P(X>2)=e-"-e-2*=g(㈤，令g'(2)=0,即

eY-2e-2"=0Wl_2eT=0,

Z=In2.

19.設(shè)隨機(jī)變量XN(1,4),求P(04X<1.6),P(X<1).

0-1I6-1

解：P(0<X<1.6)=尸(——<X<-——)

22

16-10-1

=(D(-——)-(D(——)=0.3094

22

P(X<l)=<D(q)=(D(0)=0.5.

20.設(shè)電源電壓X~N(220,25),在X4200,200<X4240,X>240電壓三種情形下，電

子元件損壞的概率分別為0.1,0.001,0.2,求：

(1)該電子元件損壞的概率c；

(2)該電子元件損壞時(shí)，電壓在200~240伏的概率分.

解：設(shè)A=(X4200)M=(200<X4240),4=(X>240),￡>一電子元件損壞，則

（1）?.?A，&完備，由全概率公式

&=P（0=P（A）P（%）+P⑷p（%2卜尸（4）P（%）

今尸（Aj=①=?（-0.8）=1-①（0.8）=0.212,

同理P（4）=①（0.8）-①（-0.8）=2①（0.8）-1=0.576,

P（&）=1-0.212-0.576=0.212,從而a=P（D）=0.062.

(2)由貝葉斯公式

一（%）="&）：（卬0-576x0.001=0（）09

1/D）P（￡＞）=0.062

21.隨機(jī)變量X的分布律為

X-2-1013

尸111111

5651530

求y=x?的分布律

解：X20149

n17111

530530

22.變量X服從參數(shù)為0.7的0—1分布，求X?及X2-2X的概率分布

解.X的分布為

X01

P0.30.7

易見，X?的可能值為0和1；而X2-2X的可能值為-1和0,由于

2

P[X=U}=P[X=u]

(“=0,1),可見X?的概率分布為：

X201

P0.30.7

由于P{X2-2X=-l}=P{X=1}=Q7,P{X2-2X=0}=P{X=0}=0.3,可得X?-2X的

X2-2X-10

P0.70.3

概率分布為

23.X概率密度函數(shù)為/x（x）=—/，求Y=2X的概率密度函數(shù)九（y）.

乃（1+x）

解：y=2x的反函數(shù)為x=工，代入公式得人（y）=打（上）（二）'=-二".

2227r（4+y）

24.設(shè)隨機(jī)變量X~U[0,2],求隨機(jī)變量y=X?在（0,4）內(nèi)概率密度九（y）.

解法一（分布函數(shù)法）當(dāng)y<0時(shí)，工?（），）=（）,y>4時(shí)巴?（），）=1，當(dāng)04y44時(shí)，

43=P（X4初=耳（網(wǎng)

從而九3=卜⑹力木g"

0，其余

解法二（公式法）），=/在（0,2）單增，由于反函數(shù)x=在（O，4）可導(dǎo)，父=」廣，從

而由公式得

人（加卜（彳扇=志

0，其余

,X0

25./x（x）=?'-,求丫=6乂的密度.

[0,x<0

解法一（分布函數(shù)法）因?yàn)閄W0,故y>l,當(dāng)y>l時(shí)，5（y）=P（X41ny）=Fx（lny），

,/、\fx（lny）-=e-|nv-=-^,y>1

.?力（y）=Jyyy.

0,y<1

解法二（公式法）y="的值域（l,+8）,反函數(shù)x=1ny,故

/r(y)=f—］號(hào)刊

0,y<1

26.設(shè)隨機(jī)變量X服從(0,1)上的均勻分布，分別求隨機(jī)變量y=，和Z=|lnX|

的概率密度九(y)和啟(z).

解：X的密度為/(x)=F

［0,其它

(1)函數(shù)y=e?"有唯一反函數(shù)，x=Iny,且1<丫<e,故

、人?！?|?！?1，I<y<eW,l<y<e

l。，其它(0,其它

(2)在區(qū)間(0,1)匕函數(shù)z=|lnx|=-lnx,它有唯?反函數(shù)x=d且Z>0,從而

/UW，z>0_廣，z>0

/z(Z)=lo,其它一i。，其它.

27.設(shè)A(x)為X的密度函數(shù)，且為偶函數(shù)，求證-X與X有相同的分布.

證：即證y=-x與x的密度函數(shù)相同，即人()，)=￡(#,

證法一(分布函數(shù)法)

6(y)=P(-X4y)=P(X>-y)=1-P(X4-y)=1-耳(一)),

?1?p?(y)=-PX(-y)-(->)=PX(y)，得證?

證法二(公式法)

由于為單調(diào)函數(shù),%(y)=Px(-y)|(-y)|=Px(-y)=Px(y).

28.設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布_oo<A<+oo,cr>0,尸(x)是X的分布函數(shù),

隨機(jī)變量Y=F(X).求證Y服從區(qū)間［0,1］上的均勻分布.

證明：記X的概率密度為/(x),則F(x)=1/?)力.由于尸(x)是x的嚴(yán)格單調(diào)增函數(shù),

其反函數(shù)尸()

存在，又因0WF(x)41,因此1的取值范圍是[0,1].即當(dāng)04y41時(shí)

Fv(y)=P[YSy}=P{F(X)<y}=p{x<F'(y)}=F[F-'(y)]=y.

于是y的密度函數(shù)為

[1,0<y<1

P2=[。，其它

即y服從區(qū)間[o,n上的均勻分布.

第二章

思考題

1(答:錯(cuò))2(答:錯(cuò))3答:錯(cuò))

習(xí)題三

1解:P{x=y}=P{x=-i,y=—i}+P{x=1,丫=1}(已知獨(dú)立)

=p{x=-i}P{r=_1}+p{x=\}P{Y==+=；.

由此可看出，即使兩個(gè)離散隨機(jī)變量x與y相互獨(dú)立同分布，x與y一般情況下也不會(huì)

以概率1相等.

2解：由EEp,了=1可得：A=0.14,從而得：

012

P{Y=j}

X00.00.10.00.3

659

10.10.30.20.7

451

0.20.50.31

P{X=i}

p